ใน สาขา คณิตศาสตร์ของทฤษฎีหมวดหมู่ผลคูณของสองหมวดหมู่CและDซึ่งแสดงด้วยC × Dและเรียกว่าหมวดหมู่ผลคูณเป็นการขยายแนวคิดของผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเซตหมวดหมู่ผลคูณใช้ในการกำหนดไบฟังก์ชันและมัลติฟังก์ชัน^{[ 1 ]}

หมวดหมู่ผลิตภัณฑ์C × Dประกอบด้วย:

• ในฐานะวัตถุ :

  คู่ของวัตถุ( A , B )โดยที่Aเป็นวัตถุของCและBเป็น วัตถุ ของD

• เป็นลูกศรจาก( A ₁ , B ₁ )ไปยัง ( A ₂ , B ₂ ) :

  คู่ของลูกศร( f , g )โดยที่f  : A ₁ → A ₂เป็นลูกศรของCและg  : B ₁ → B ₂เป็นลูกศรของD

• ในฐานะองค์ประกอบ องค์ประกอบตามส่วนประกอบจากหมวดหมู่ที่สนับสนุน:

  ( f ₂ , g ₂ ) o ( f ₁ , g ₁ ) = ( f ₂ o f ₁ , g ₂ o g ₁ ) ;

• ในฐานะอัตลักษณ์ คู่ของอัตลักษณ์จากหมวดหมู่ที่สนับสนุน:

  1 _{( A , B )} = (1 _A , 1 _B ).

ผลิตภัณฑ์ในกลุ่มประเภทเดียวกันจะถูกกำหนดนิยามในลักษณะเดียวกันทุกประการ

เช่นเดียวกับเซต ผลคูณของกลุ่มหมวดหมู่จะมีลักษณะเฉพาะด้วยคุณสมบัติสากลต่อไปนี้ หมวดหมู่ที่กำหนดโดยเซต จะเป็นไป ตามเงื่อนไขต่อไปนี้: ${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle P=\prod C_{i},p_{j}:P\to C_{j},j\in I}$

เมื่อกำหนดตระกูลของฟังก์ชันแล้วจะมีฟังก์ชันเฉพาะตัวหนึ่งเดียวที่ทำให้สำหรับแต่ละ${\displaystyle f_{i}:D\to C_{i}}$${\displaystyle f:D\to P}$${\displaystyle f_{j}=p_{j}\circ f}$${\displaystyle j\in I}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลคูณของกลุ่มหมวดหมู่ย่อยก็คือผลคูณเชิงหมวด หมู่ ของกลุ่มหมวดหมู่ย่อยเหล่านั้นในหมวดหมู่ของหมวดหมู่ย่อยนั่นเอง ตัวอย่างเช่น ${\displaystyle {\mathsf {Cat}}}$$${\displaystyle \textstyle {\mathsf {Fct}}(A,\prod _{i}B_{i})\simeq \prod _{i}{\mathsf {Fct}}(A,B_{i})}$$

โดยที่หมายถึง หมวด หมู่ฟังก์ชัน^{[ 2 ]}${\displaystyle {\mathsf {Fct}}}$

เมื่อกำหนดฟังก์ชันสองตัว ผลคูณจะถูกกำหนดตามส่วนประกอบ นั่นคือ สำหรับคู่ของวัตถุหรือมอร์ฟิซึม[ ^{3 ] (}ผลคูณนี้อาจมีลักษณะเฉพาะด้วยคุณสมบัติสากลที่คล้ายกับหมวดหมู่) ด้วยวิธีนี้ เราจะได้ฟังก์ชัน ${\displaystyle f:C\to D,g:C'\to D'}$${\displaystyle f\times g:C\times C'\to D\times D'}$$${\displaystyle (f\times g)(x,x')=(f(x),g(x'))}$$${\displaystyle x,x'}$

${\displaystyle \times :{\mathsf {Cat}}\times {\mathsf {Cat}}\to {\mathsf {Cat}}.}$

มันสอดคล้องกับการเชื่อมโยงเทนเซอร์-โฮมในความหมาย

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathsf {Cat}}(A\times B,C)\simeq \operatorname {Hom} _{\mathsf {Cat}}(A,{\mathsf {Fct}}(B,C))}$

โดยที่หมายถึง หมวด หมู่ฟังก์ชัน^{[ 4 ]}${\displaystyle {\mathsf {Fct}}}$

ให้และ เป็นฟังก์ชัน สมมติว่ามีการแปลงธรรมชาติแล้วจะกำหนดฟังก์ชัน ${\displaystyle f,g:C\to D}$${\displaystyle \varphi :f\to g}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle h:C\times {\underline {2}}\to D}$

โดยที่

${\displaystyle h(\cdot ,0)=f,\,h(\cdot ,1)=g}$,

โดยที่ หมวดหมู่ที่มีวัตถุสองชิ้นและมอร์ฟิ ซึมที่ไม่ใช่เอกลักษณ์^{[ 3 ]}ตามสัญชาตญาณh เป็น โฮโมโทปีที่ไม่สามารถผกผันได้จากไปยัง แท้จริงแล้ว กำหนดโดยสำหรับ ใน${\displaystyle {\ขีดเส้นใต้ {2}}=\{0,1\}}$${\displaystyle \rightsquigarrow :0\to 1}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle x:a\to b}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle h(x,\operatorname {id} _{0})=f(x),\,h(x,\operatorname {id} _{1})=g(x),\,h(x,\rightsquigarrow )=g(x)\circ \varphi _{a}=\varphi _{b}\circ f(x).}$

^{ในทาง กลับ}กัน เมื่อกำหนดเราจะได้และ^{[ 5} ]${\displaystyle h:C\times {\underline {2}}\to D}$${\displaystyle f,g,\varphi }$${\displaystyle f=h(\cdot ,0),\,g=h(\cdot ,1)}$${\displaystyle \varphi _{a}=h(\operatorname {id} _{a},\rightsquigarrow )}$

ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นหมวดหมู่ผลคูณเรียกว่าไบฟังก์ชัน (bifunctor ) ไบฟังก์ชันสามารถกำหนดได้ในแต่ละตัวแปรแยกกันในความหมายดังต่อไปนี้:

ตัวอย่างเช่น พิจารณาสำหรับแต่ละค่าคงที่ในเรามีฟังก์ชัน ${\displaystyle (a,b)\mapsto \operatorname {Hom} (a,b):C^{op}\times C\to {\mathsf {Set}}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,b):C^{op}\to {\mathsf {Set}}}$

โดยการดึงกลับ (pullback ) กล่าวคือไปยังฟังก์ชัน ${\displaystyle f:a\to a'}$

${\displaystyle f^{*}:\operatorname {Hom} (a',b)\to \operatorname {Hom} (a,b)}$

ถูกกำหนดโดย ในทางกลับกัน ถูกกำหนดโดยการผลักดันไปข้างหน้า กล่าวคือเห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันทั้งสองนี้สลับที่ได้ (คุณสมบัติการสลับที่ของการประกอบ) ดังนั้นโดยข้อเสนอ เราจึงได้ฟังก์ชันที่เรียกว่าฟังก์ชัน Hom${\displaystyle f^{*}g=g\circ f}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (a,-):C\to {\mathsf {Set}}}$${\displaystyle f\mapsto f_{*}=f\circ -}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,-):C^{op}\times C\to {\mathsf {Set}},}$

ซึ่งระบุไว้อย่างชัดเจนดังนี้:${\displaystyle (f,g)\mapsto (h\mapsto g\circ h\circ f).}$

ผลลัพธ์ที่คล้ายกันนี้พบได้ในการแปลงทางธรรมชาติระหว่างไบฟังก์ชัน: