ในทางคณิตศาสตร์แผนที่ทวิเชิงเส้น (bilinear map)คือฟังก์ชัน ที่รวมองค์ประกอบของ ปริภูมิเวกเตอร์สอง ปริภูมิเข้าด้วยกัน เพื่อให้ได้องค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์ที่สาม และเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นในแต่ละตัวแปร การคูณเมทริกซ์เป็นตัวอย่างหนึ่ง

สามารถกำหนดแผนที่เชิงเส้นคู่สำหรับโมดูล ได้เช่นกัน สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูบทความเรื่องการจับคู่

ให้และ เป็น ปริภูมิเวกเตอร์สาม ปริภูมิบน ฟิลด์ฐานเดียวกันแผนที่ทวิเชิงเส้น (bilinear map) คือฟังก์ชัน ที่สำหรับทุกค่า แผนที่ เป็นแผนที่เชิงเส้นจากไปยังและสำหรับทุกค่าแผนที่ เป็นแผนที่เชิงเส้นจากไปยังกล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อเรากำหนดค่าที่สองของแผนที่ทวิเชิงเส้นให้คงที่ในขณะที่ปล่อยให้ค่าแรกเปลี่ยนแปลงได้ จะได้ผลลัพธ์จะเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น และในทำนองเดียวกันสำหรับ เมื่อเรากำหนดค่าแรกให้คงที่ ${\displaystyle V,W}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$$${\displaystyle B:V\times W\to X}$$${\displaystyle w\in W}$${\displaystyle B_{w}}$$${\displaystyle v\mapsto B(v,w)}$$${\displaystyle V}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle B_{v}}$$${\displaystyle w\mapsto B(v,w)}$$${\displaystyle W}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle B_{w}}$

แผนที่ดังกล่าวมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ ${\displaystyle B}$

• สำหรับสิ่งใดก็ตาม${\displaystyle \lambda \in F}$${\displaystyle B(\lambda v,w)=B(v,\lambda w)=\lambda B(v,w)}$
• แผนที่นี้เป็นแบบบวกในทั้งสองส่วนประกอบ: ถ้าและแล้วและ${\displaystyle B}$${\displaystyle v_{1},v_{2}\ใน V}$${\displaystyle w_{1},w_{2}\ใน W,}$${\displaystyle B(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)}$${\displaystyle B(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1})+B(v,w_{2}).}$

ถ้าเรามีB ( v , w ) = B ( w , v )สำหรับทุก ๆแล้วเราจะกล่าวว่าBเป็นเมทริกซ์สมมาตรถ้าXคือฟิลด์ฐานFแล้วแผนที่นี้เรียกว่ารูปแบบทวิเชิงเส้นซึ่งมีการศึกษากันอย่างดี (ตัวอย่างเช่นผลคูณสเกลาร์ผลคูณภายในและรูปแบบกำลังสอง ) ${\displaystyle V=W}$${\displaystyle v,w\in V,}$

นิยามนี้ยังคงใช้ได้โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ หากแทนที่จะใช้ปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์Fเราใช้โมดูลเหนือวงแหวนสลับที่Rและสามารถขยายไปสู่ ฟังก์ชัน n -ary ได้ โดยที่เทอมที่เหมาะสมคือฟังก์ชันเชิงเส้นหลายตัว

สำหรับริงไม่สลับที่RและS , โมดูลซ้ายR Mและโมดูล ขวา S Nแผนที่ทวิเชิงเส้นคือแผนที่B  : M × N → Tโดยที่Tเป็นโมดูลทวิ เชิงเส้น ( R , S )และสำหรับn ใดๆ ในN , m ↦ B ( m , n )เป็น โฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูล Rและสำหรับm ใดๆ ในM , n ↦ B ( m , n )เป็น โฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูล Sซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้

B ( r ⋅ m , n ) = r ⋅ B ( m , n )

B ( m , n ⋅ s ) = B ( m , n ) ⋅ s

สำหรับm ทั้งหมด ในM , n ทั้งหมดในN , r ทั้งหมดในRและs ทั้งหมดในSรวมทั้งBมีคุณสมบัติการบวกในแต่ละอาร์กิวเมนต์ด้วย

_{ผลที่ตามมาโดยตรงจากนิยาม นี้}คือB ( v , w ) = 0X _{เมื่อ}ใดก็ตามที่v = _0Vหรือw = _0Wสามารถเห็นได้จากการเขียนเวกเตอร์ศูนย์ 0V เป็น0 ⋅ _0V (และในทำนองเดียวกันสำหรับ 0W ₎และย้ายค่าคงที่ 0 "ออกไป" ด้านหน้าBโดยใช้คุณสมบัติเชิงเส้น

เซตL ( V , W ; X )ของแผนที่เชิงเส้นคู่ทั้งหมดเป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของปริภูมิ ( กล่าวคือปริภูมิเวกเตอร์โมดูล)ของแผนที่ทั้งหมดจากV × Wไปยัง X

ถ้าV , W , Xเป็นปริภูมิที่มีมิติจำกัด ปริภูมิ L ( V , W ; X )ก็เป็น ปริภูมิที่มีมิติจำกัดเช่นกัน กล่าวคือ สำหรับรูปแบบทวิเชิงเส้น มิติของปริภูมินี้คือdim V × dim W (ในขณะที่ปริภูมิL ( V × W ; F )ของ รูปแบบ เชิงเส้นมีมิติdim V + dim W ) เพื่อให้เห็นเช่นนี้ ให้เลือกฐานสำหรับVและWจากนั้นแผนที่ทวิเชิงเส้นแต่ละอันสามารถแทนได้อย่างไม่ซ้ำกันด้วยเมทริกซ์B ( ei _, fj )และในทางกลับกัน ทีนี้ ถ้าX เป็นปริภูมิที่มีมิติสูง กว่า เราจะเห็นได้ชัดว่าdim _L ( V , W ; X ) = dim V × dim W × dim X${\displaystyle X=F,}$

• การคูณเมทริกซ์เป็นการแมปแบบทวิเชิงเส้นM ( m , n ) × M( n , p ) → M( m , p )
• ถ้าปริภูมิเวกเตอร์Vบนจำนวนจริง มีผลคูณภายในผลคูณภายในนั้นจะเป็นแผนที่เชิงเส้นคู่${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle V\times V\to \mathbb {R} .}$
• โดยทั่วไป สำหรับปริมาณเวกเตอร์V บนฟิลด์Fรูปแบบทวิเชิงเส้นบนVจะเหมือนกับแผนที่ทวิเชิงเส้นV × ​​V → F
• ถ้าVเป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่มีปริภูมิคู่V ^∗แล้วแผนที่การประเมินเชิงแคนอนิก b ( f , v ) = f ( v )เป็นแผนที่เชิงเส้นคู่จากV ^∗ × Vไปยังฟิลด์ฐาน
• ให้VและWเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ฐานเดียวกันFถ้าfเป็นสมาชิกของV ^∗และgเป็นสมาชิกของW ^∗แล้วb ( v , w ) = f ( v ) g ( w )กำหนดแผนที่ทวิเชิงเส้นV × ​​W → F
• ผลคูณไขว้ในเป็นแผนที่เชิงเส้นคู่${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}.}$
• ให้เป็นแผนที่ทวิเชิงเส้น และเป็นแผนที่เชิงเส้นแล้ว( v , u ) ↦ B ( v , Lu )เป็นแผนที่ทวิเชิงเส้นบนV × ​​U${\displaystyle B:V\times W\to X}$${\displaystyle L:U\to W}$

สมมติว่าและเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีและให้เป็นแผนที่ทวิเชิงเส้น แล้วbเรียกว่า เป็น${\displaystyle X,Y,}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$ต่อเนื่องแยกกันหากเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้เป็นจริง:

1. สำหรับ แผนที่ทั้งหมดที่กำหนดโดยนั้นมีความต่อเนื่อง${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle Y\to Z}$${\displaystyle y\mapsto b(x,y)}$
2. สำหรับ แผนที่ทั้งหมดที่กำหนดโดยนั้นจะมีความต่อเนื่อง${\displaystyle y\in Y,}$${\displaystyle X\to Z}$${\displaystyle x\mapsto b(x,y)}$

แผนที่ เชิงเส้นคู่ต่อเนื่องแยกกันจำนวนมากที่ไม่ต่อเนื่องจะมีคุณสมบัติเพิ่มเติมคือ ความต่อเนื่อง แบบไฮโป^{[ 1 ]} แผนที่เชิงเส้นคู่ต่อเนื่องทั้งหมดมีความต่อเนื่องแบบไฮโป

แผนที่เชิงเส้นคู่จำนวนมากที่พบได้ในทางปฏิบัติมีความต่อเนื่องแยกกัน แต่ไม่ใช่ทั้งหมดที่จะมีความต่อเนื่อง ในที่นี้เราได้รวบรวมเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับแผนที่เชิงเส้นคู่ที่มีความต่อเนื่องแยกกันว่าจะเป็นแผนที่เชิงเส้นคู่ที่มีความต่อเนื่อง

• ถ้าXเป็นปริภูมิแบร์และYเป็นเมตริกซ์ แผนที่ทวิเชิงเส้นแบบแยกกันทุกอันจะต่อเนื่อง^{[ 1 ]}${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$
• ถ้าเป็นคู่ที่แข็งแกร่งของปริภูมิ Fréchetแล้วแผนที่ทวิเชิงเส้นที่แยกกันทุกอันจะต่อเนื่อง^{[ 1 ]}${\displaystyle X,Y,{\text{ และ }}Z}$${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$
• ถ้าแผนที่เชิงเส้นคู่มีความต่อเนื่องที่ (0, 0) แล้วแผนที่นั้นจะมีความต่อเนื่องทุกที่^{[ 2 ]}

ให้เป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟนูนเฉพาะที่และให้เป็นแผนที่การประกอบที่กำหนดโดย โดยทั่วไปแล้ว แผนที่ทวิเชิงเส้นจะไม่ต่อเนื่อง (ไม่ว่าปริภูมิของแผนที่เชิงเส้นจะมีโทโพโลยีแบบใดก็ตาม) อย่างไรก็ตาม เรามีผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: ${\displaystyle X,Y,{\text{ และ }}Z}$${\displaystyle C:L(X;Y)\times L(Y;Z)\to L(X;Z)}$${\displaystyle C(u,v):=v\circ u.}$${\displaystyle C}$

กำหนดให้ปริภูมิทั้งสามของแผนที่เชิงเส้นมีโทโพโลยีอย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้:

1. ให้ทั้งสามมีโทโพโลยีของการลู่เข้าแบบมีขอบเขต
2. ให้ทั้งสาม มีโทโพโล ยีของการลู่เข้าแบบกะทัดรัด
3. ให้ทั้งสาม มีโทโพโล ยีของการบรรจบกันแบบจุดต่อจุด

• ถ้าเป็นเซตย่อยที่มีความต่อเนื่องเท่ากัน ของ แล้วข้อจำกัดจะมีความต่อเนื่องสำหรับโทโพโลยีทั้งสาม^{[ 1 ]}${\displaystyle E}$${\displaystyle L(Y;Z)}$${\displaystyle C{\big \vert }_{L(X;Y)\times E}:L(X;Y)\times E\to L(X;Z)}$
• ถ้าเป็นปริภูมิทรงกระบอกแล้วสำหรับลำดับทุกลำดับที่ลู่เข้าสู่ในและลำดับทุกลำดับที่ลู่เข้าสู่ในลำดับจะลู่เข้าสู่ใน^{[ 1 ]}${\displaystyle Y}$${\displaystyle \left(u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle u}$${\displaystyle L(X;Y)}$${\displaystyle \left(v_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle v}$${\displaystyle L(Y;Z),}$${\displaystyle \left(v_{i}\circ u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle v\circ u}$${\displaystyle L(Y;Z).}$

• ผลคูณเทนเซอร์  – การดำเนินการทางคณิตศาสตร์บนปริภูมิเวกเตอร์
• รูปแบบเซสควิลิเนียร์  – การวางนัยทั่วไปของผลคูณภายในเชิงซ้อน
• การกรองแบบไบลิเนียร์  – วิธีการประมาณค่าฟังก์ชันบนตาราง 2 มิติหน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง
• แผนที่เชิงเส้นหลายตัว (Multilinear map)  – ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ของเวกเตอร์หลายตัว ซึ่งเป็นเชิงเส้นในแต่ละอาร์กิวเมนต์

• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีGTMเล่ม 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer New York. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• เทรฟส์, ฟรองซัวส์ (2549) [2510] ปริภูมิเวกเตอร์ทอพอโลยี การแจกแจง และเคอร์เนล Mineola, NY: สิ่งพิมพ์โดเวอร์ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .

• "การแมปเชิงเส้นคู่" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]