ในทางคณิตศาสตร์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีริง ไอเดียลของริง คือ เซตย่อยพิเศษของสมาชิกในริงนั้น ไอเดียลเป็นการขยายเซตย่อยบางส่วนของจำนวนเต็มเช่นจำนวนคู่หรือพหุคูณของ 3 การบวกและการลบจำนวนคู่จะคงความเป็นจำนวนคู่ไว้ และการคูณจำนวนคู่ด้วยจำนวนเต็มใดๆ (คู่หรือคี่) จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนคู่ คุณสมบัติ การปิดและการดูดซับ เหล่านี้ เป็นคุณสมบัติที่กำหนดของไอเดียล ไอเดียลสามารถนำมาใช้สร้างริงผลหารได้ในลักษณะเดียวกับที่ในทฤษฎีกลุ่ม เราสามารถใช้กลุ่มย่อยปกติสร้างกลุ่มผลหารได้

ในบรรดาจำนวนเต็ม ไอเดียลจะสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ กล่าวคือ ในริงนี้ ทุกไอเดียลเป็นไอเดียลหลักที่ประกอบด้วยพหุคูณของจำนวนที่ไม่เป็นลบเพียงจำนวนเดียว อย่างไรก็ตาม ในริงอื่นๆ ไอเดียลอาจไม่สอดคล้องโดยตรงกับสมาชิกของริง และคุณสมบัติบางอย่างของจำนวนเต็ม เมื่อขยายไปสู่ริงแล้ว จะสอดคล้องกับไอเดียลมากกว่าสมาชิกของริง ตัวอย่างเช่นไอเดียลเฉพาะของริงนั้นคล้ายคลึงกับจำนวนเฉพาะและทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนสามารถขยายไปสู่ไอเดียลได้ นอกจากนี้ยังมีวิธีการแยกตัวประกอบเฉพาะที่ไม่ซ้ำกันสำหรับไอเดียลของโดเมนเดเดคินด์ (ริงประเภทหนึ่งที่สำคัญในทฤษฎีจำนวน )

แนวคิดที่เกี่ยวข้องแต่แตกต่างกันของไอเดียลในทฤษฎีลำดับนั้น มาจากแนวคิดของไอเดียลในทฤษฎีวงแหวนไอเดียลเศษส่วนเป็นการวางนัยทั่วไปของไอเดียล และไอเดียลทั่วไปบางครั้งเรียกว่าไอเดียลจำนวนเต็มเพื่อความชัดเจน

Ernst Kummerคิดค้นแนวคิดของจำนวนอุดมคติเพื่อใช้เป็นตัวประกอบที่ "หายไป" ในวงแหวนจำนวนซึ่งการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันล้มเหลว ในที่นี้คำว่า "อุดมคติ" หมายถึงการมีอยู่เพียงในจินตนาการเท่านั้น เปรียบได้กับวัตถุ "อุดมคติ" ในเรขาคณิต เช่น จุดที่อนันต์^{[ 1 ]} ในปี พ.ศ. 2429 Richard Dedekindได้แทนที่แนวคิดที่ไม่นิยามของ Kummer ด้วยเซตของจำนวนที่เป็นรูปธรรม เซตที่เขาเรียกว่าอุดมคติ ใน หนังสือ Vorlesungen über Zahlentheorie ฉบับที่สาม ของDirichletซึ่ง Dedekind ได้เพิ่มส่วนเสริมมากมาย^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} ต่อมาแนวคิดนี้ได้รับการขยายออกไปนอกเหนือจากวงแหวนจำนวนไปยังการตั้งค่าของวงแหวนพหุนามและวงแหวนสลับที่อื่นๆ โดยDavid Hilbertและโดยเฉพาะอย่างยิ่งEmmy Noether

เมื่อกำหนดวงแหวน แล้วอุดมคติซ้ายคือเซตย่อยของซึ่งเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มบวกของซึ่งปิด ภายใต้การคูณ ซ้ายด้วยองค์ประกอบของนั่นคือและสำหรับทุกและทุกจะมี^{[ 4 ]}${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle 0\in I}$${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle x,y\in I}$

• ⁠ ⁠${\displaystyle x+y\in I}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle -x\in I}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle rx\in ​​I}$ .

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไอเดียลซ้ายคือโมดูลย่อย ซ้าย ของซึ่งถือว่าเป็นโมดูลซ้ายเหนือตัวมันเอง^{[ 5 ]}${\displaystyle R}$

อุดมคติที่ถูกต้องนั้นถูกนิยามในทำนองเดียวกัน โดยแทนที่เงื่อนไขด้วย⁠ ⁠ . A${\displaystyle rx\in ​​I}$${\displaystyle xr\in I}$อุดมคติสองด้านคือ อุดมคติฝ่ายซ้ายที่เป็นอุดมคติฝ่ายขวาด้วย

ถ้าวงแหวนเป็นวงแหวนสลับที่ได้นิยามของไอเดียลซ้าย ไอเดียลขวา และไอเดียลสองด้านจะตรงกัน และเราจะพูดถึงไอเดียล โดยทั่วไป ในกรณีที่วงแหวนไม่เป็นวงแหวนสลับที่ได้ มักใช้คำว่า "ไอเดียล" แทนคำว่า "ไอเดียลสองด้าน"

เนื่องจากไอเดียลเป็นกลุ่มย่อยอาเบเลียนความสัมพันธ์ระหว่างและถูกกำหนดโดย ${\displaystyle I}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle xy\in I}$

เป็นความสัมพันธ์สมมูลบนและเซตของชั้นสมมูลเป็นกลุ่มอาเบเลียนที่แสดงด้วยและ^{เรียกว่าผลหารของ โดย [} 6 ] ถ้าเป็นอุดมคติซ้าย^{หรือขวา}ผลหารจะเป็นโมดูลซ้ายหรือขวาตามลำดับ ${\displaystyle R}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle R}$

ถ้าอุดมคติเป็นสองด้าน ผลหารจะเป็นวงแหวน^{[ 7 ]}และฟังก์ชัน ${\displaystyle I}$${\displaystyle R/I}$

${\displaystyle R\to R/I}$

ซึ่งเชื่อมโยงกับแต่ละองค์ประกอบของชั้นสมมูลของมันคือโฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนแบบทั่วถึงที่มีอุดมคติเป็นเคอร์เนล^{[ 8 ]}ในทางกลับกัน เคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนคืออุดมคติสองด้าน ดังนั้นอุดมคติสองด้านจึงเป็นเคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนอย่างแท้จริง${\displaystyle R}$

นักเขียนบางคนไม่กำหนดให้ริงต้องมีเอกลักษณ์การคูณ สำหรับนักเขียนเหล่านี้ คำว่า "ริง" หมายถึงสิ่งที่คนอื่นเรียกว่า " rng " สำหรับ rng นั้น ไอเดีย ลซ้ายเป็นซับริงที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมคืออยู่ในสำหรับทุกและทุก(ไอเดียลขวาและไอเดียลสองด้านมีนิยามที่คล้ายกัน) สำหรับริง ไอเดียล(เช่น ไอเดียลซ้าย) มักจะไม่ใช่ซับริง เนื่องจากซับริงมีเอกลักษณ์การคูณเดียวกันกับริงโดยรอบถ้าเป็นซับริง สำหรับทุกเราจะมีนั่นคือ ${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle rx}$${\displaystyle I}$${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle x\in I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle r=r1\in I;}$${\displaystyle I=R}$

แนวคิดเรื่องอุดมคติไม่เกี่ยวข้องกับสมบัติการสลับที่ ดังนั้น อุดมคติจึงถูกนิยามขึ้นสำหรับวงแหวนที่ไม่เป็นไปตามสมบัติการสลับที่ด้วย เช่นกัน

สำหรับพีชคณิต เรายังสมมติเพิ่มเติมว่าไอเดียลคือปริภูมิย่อยเชิงเส้น ถ้าพีชคณิต-algebra มีเอกลักษณ์ ไอเดียลวงแหวนใดๆ ก็จะเป็นไอเดียลพีชคณิต เนื่องจากเมื่อและสำหรับพีชคณิตที่ไม่มีเอกลักษณ์ อาจมีไอเดียลวงแหวนที่ไม่ใช่ไอเดียลพีชคณิต ตัวอย่างเช่น ถ้าสำหรับทุกแล้วไอเดียลวงแหวนของจะเป็นวงแหวนย่อยของในขณะที่ไอเดียลพีชคณิตของจะเป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของ ${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle I\subseteq A}$${\displaystyle ax+by=(a1)x+(b1)y\in I}$${\displaystyle x,y\in I}$${\displaystyle a,b\in k}$${\displaystyle xy=0}$${\displaystyle x,y\in A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

ตามธรรมเนียมแล้ว อุดมคติจะถูกแสดงด้วย ตัวอักษรพิมพ์เล็กแบบ ฟรักตูร์โดยทั่วไปแล้วจะใช้ตัวอักษรไม่กี่ตัวแรก ( , เป็นต้น) สำหรับอุดมคติทั่วไปสำหรับอุดมคติสูงสุด และสำหรับอุดมคติเฉพาะ ในตำราสมัยใหม่ ตัวอักษรพิมพ์ใหญ่ เช่นหรือ(หรือและสำหรับอุดมคติสูงสุดและอุดมคติเฉพาะ ตามลำดับ) ก็ใช้กันทั่วไปเช่นกัน ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle M}$${\displaystyle P}$

(เพื่อความกระชับ ผลลัพธ์บางส่วนระบุไว้เฉพาะสำหรับอุดมคติซ้าย แต่โดยทั่วไปแล้วก็ใช้ได้กับอุดมคติขวาด้วยเช่นกัน หากมีการเปลี่ยนแปลงสัญลักษณ์ให้เหมาะสม)

• ในวงแหวนRเซตRเองก่อให้เกิดอุดมคติสองด้านของRเรียกว่าอุดมคติหน่วยมักจะใช้สัญลักษณ์แทนด้วยเนื่องจากเป็นอุดมคติสองด้านที่สร้างขึ้น (ดูด้านล่าง) โดยเอกลักษณ์⁠ ⁠นอกจากนี้ เซตที่ประกอบด้วยเอกลักษณ์การบวก 0 _R เท่านั้น ยังก่อให้เกิดอุดมคติสองด้านที่เรียกว่าอุดมคติศูนย์และใช้สัญลักษณ์แทนด้วย[หมายเหตุ^{1 ]}อุดมคติ^ทุกตัว (ซ้าย ขวา หรือสองด้าน) ประกอบด้วยอุดมคติศูนย์ และบรรจุอยู่ในอุดมคติหน่วย^{[ 9 ]}${\displaystyle (1)}$${\displaystyle 1_{R}}$${\displaystyle \{0_{R}\}}$${\displaystyle (0)}$
• ไอเดียล (ซ้าย ขวา หรือสองด้าน) ที่ไม่ใช่ไอเดียลหน่วยเรียกว่าไอเดียลแท้ (เนื่องจากเป็นเซตย่อยแท้ ) ^{[ 10 ]}หมายเหตุ: ไอเดียลซ้ายเป็นไอเดียลแท้ก็ต่อเมื่อไม่มีองค์ประกอบหน่วย เนื่องจากถ้าเป็นองค์ประกอบหน่วยแล้วสำหรับทุก⁠ ⁠โดยทั่วไปจะมีไอเดียลแท้มากมาย ในความเป็นจริง ถ้าRเป็นฟิลด์เฉียง ไอเดียล ของ R จะเป็นไอเดียลเพียงอย่างเดียว และในทางกลับกัน นั่นคือ วงแหวนR ที่ไม่ใช่ศูนย์ เป็นฟิลด์เฉียงถ้าไอเดียลซ้าย (หรือขวา) เพียงอย่างเดียว (พิสูจน์: ถ้าเป็นองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ ไอเดียลซ้ายหลัก(ดูด้านล่าง) จะไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้น; กล่าวคือสำหรับบางค่าที่ไม่ใช่ศูนย์⁠ ⁠ในทำนองเดียวกันสำหรับบางค่าที่ไม่ใช่ศูนย์แล้ว)${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle u\in {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle r=(ru^{-1})u\in {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle (0),(1)}$${\displaystyle (0),(1)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Rx}$${\displaystyle Rx=(1)}$${\displaystyle yx=1}$${\displaystyle y}$${\displaystyle zy=1}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z=z(yx)=(zy)x=x}$
• จำนวนเต็มคู่ก่อให้เกิดอุดมคติในวงแหวนของจำนวนเต็มทั้งหมด เนื่องจากผลรวมของจำนวนเต็มคู่สองจำนวนใดๆ ก็เป็นจำนวนคู่ และผลคูณของจำนวนเต็มใดๆ กับจำนวนเต็มคู่ก็เป็นจำนวนคู่เช่นกัน อุดมคตินี้มักจะเขียนแทนด้วย⁠ ⁠โดยทั่วไปแล้ว เซตของจำนวนเต็มทั้งหมดที่หารลงตัวด้วยจำนวนเต็มคงที่ ถือเป็นอุดมคติที่เขียนแทนด้วย⁠ ⁠ ในความเป็นจริง อุดมคติที่ไม่เป็นศูนย์ทุก ^ตัวของวงแหวนถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบบวกที่เล็กที่สุด ซึ่งเป็นผลมาจากการหารแบบยุคลิดดังนั้น จึงเป็นโดเมนอุดมคติหลัก [ ^{9 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• เซตของพหุนาม ทั้งหมด ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงซึ่งหารลงตัวด้วยพหุนามนั้นเป็นไอเดียลในริงของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงทั้งหมด${\displaystyle x^{2}+1}$${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$
• พิจารณาริงและจำนวนเต็มบวกสำหรับแต่ละเซตของเมทริกซ์ ทั้งหมด ที่มีสมาชิกอยู่ในซึ่งแถวที่ เป็นศูนย์ จะเป็นไอเดียลขวาในริงของเมทริกซ์ทั้งหมดที่มีสมาชิกอยู่ใน แต่ไม่ใช่ไอเดียลซ้าย ในทำนองเดียวกัน สำหรับแต่ละเซตของเมทริกซ์ทั้งหมดที่มีคอลัมน์ที่ เป็นศูนย์ จะเป็นไอเดียลซ้ายแต่ไม่ใช่ไอเดียลขวา${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle R}$${\displaystyle i}$${\displaystyle M_{n}(R)}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle R}$${\displaystyle 1\leq j\leq n}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle j}$
• วงแหวนของฟังก์ชันต่อเนื่อง ทั้งหมด จากถึงภายใต้การคูณแบบจุดต่อจุดประกอบด้วยอุดมคติของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมดโดยที่⁠ ⁠ . ^{[ 11 ]}อุดมคติอีกประการหนึ่งในได้รับจากฟังก์ชันเหล่านั้นที่หายไปสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่มากพอ กล่าวคือ ฟังก์ชันต่อเนื่องเหล่านั้นซึ่งมีจำนวน อยู่เช่นนั้นเมื่อใดก็ตามที่⁠ ⁠ .${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(1)=0}$${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L>0}$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle \vert x\vert >L}$
• วงแหวนเรียกว่าวงแหวนเชิงเดี่ยว (simple ring)ถ้าวงแหวนนั้นไม่ใช่วงแหวนศูนย์และไม่มีไอเดียลสองด้านอื่นนอกจาก⁠ ⁠${\displaystyle (0),(1)}$ดังนั้น ฟิลด์เฉียง (skew-field) จึงเป็นวงแหวนเชิงเดี่ยว และวงแหวนสลับที่เชิงเดี่ยว (simple commutative ring) ก็เป็นฟิลด์เช่นกันวงแหวนเมทริกซ์เหนือฟิลด์เฉียงเป็นวงแหวนเชิงเดี่ยว
• ถ้าเป็น โฮโมมอร์ฟิ ซึมของวงแหวนเคอร์เนลจะเป็นอุดมคติสองด้านของ[ ^{9 ] ตาม}คำนิยามและดังนั้นถ้าไม่ใช่วงแหวนศูนย์ (ดังนั้น) แล้วจะเป็นอุดมคติที่เหมาะสม โดยทั่วไปแล้ว สำหรับอุดมคติซ้ายI แต่ละตัว ของSภาพผกผันจะเป็นอุดมคติซ้าย ถ้าIเป็นอุดมคติซ้ายของRแล้วจะเป็นอุดมคติซ้ายของวงแหวนย่อยของSเว้นแต่fจะเป็นฟังก์ชันทั่วถึงไม่จำเป็นต้องเป็นอุดมคติของSดูเพิ่มเติมที่ § การขยายและการ หดตัวของอุดมคติ${\displaystyle f:R\to S}$${\displaystyle \ker(f)=f^{-1}(0_{S})}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f(1_{R})=1_{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 1_{S}\neq 0_{S}}$${\displaystyle \ker(f)}$${\displaystyle f^{-1}(I)}$${\displaystyle f(I)}$${\displaystyle f(R)}$${\displaystyle f(I)}$
• การจับคู่ที่เหมาะสม : เมื่อกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมของริงแบบทั่วถึง⁠ ⁠ แล้ว${\displaystyle f:R\to S}$จะมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งที่รักษาลำดับระหว่างไอเดียลซ้าย (หรือไอเดียลขวาแบบสองด้าน) ของที่มีเคอร์เนลของและไอเดียลซ้าย (หรือไอเดียลขวาแบบสองด้าน) ของ: การจับคู่กำหนดโดยและภาพก่อนหน้า⁠ ⁠ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับริงสลับที่ การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งนี้จะจำกัดเฉพาะไอเดียลเฉพาะ ไอเดียลสูงสุด และไอเดียลราก (ดู ส่วน ประเภทของไอเดียล สำหรับคำจำกัดความของไอเดียลเหล่านี้)${\displaystyle R}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle I\mapsto f(I)}$${\displaystyle J\mapsto f^{-1}(J)}$
• ถ้าMเป็นโมดูลRทาง ซ้าย และเป็นเซตย่อย S แล้วตัวทำลายของSคือไอเดียลทางซ้าย เมื่อกำหนดไอเดียลของวงแหวนสลับที่Rแล้ว ตัวทำลาย RของคือไอเดียลของRที่เรียกว่า ผลหาร ไอเดียลของและใช้สัญลักษณ์;มันเป็นตัวอย่างของตัวสร้างไอเดียลในพีชคณิตสลับที่${\displaystyle S\subset M}$${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0,s\in S\}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$${\displaystyle ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle ({\mathfrak {a}}:{\mathfrak {b}})}$
• ให้เป็นลำดับที่เพิ่มขึ้นของไอเดียลซ้ายในริงRกล่าวคือ เป็นเซตที่มีลำดับสมบูรณ์ และสำหรับแต่ละ⁠ ⁠แล้ว ยูเนียนเป็นไอเดียลซ้ายของR (หมายเหตุ: ข้อเท็จจริงนี้ยังคงเป็นจริงแม้ว่าRจะไม่มีเอกลักษณ์ 1 ก็ตาม)${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i},i\in S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}\subset {\mathfrak {a}}_{j}}$${\displaystyle i<j}$${\displaystyle \textstyle \bigcup _{i\in S}{\mathfrak {a}}_{i}}$
• ข้อเท็จจริงข้างต้นร่วมกับบทพิสูจน์ของ Zornพิสูจน์ได้ดังนี้: ถ้าเป็นเซตย่อยที่อาจว่างเปล่า และเป็นอุดมคติซ้ายที่ไม่ซ้อนทับกับEแล้วจะมีอุดมคติ ที่เป็นอุดมคติสูงสุดในบรรดาอุดมคติที่ประกอบด้วยและไม่ซ้อนทับกับE (อีกครั้ง สิ่งนี้ยังคงใช้ได้แม้ว่าริงRจะขาดเอกลักษณ์ 1 ก็ตาม) เมื่อโดยเลือกและโดยเฉพาะอย่างยิ่ง จะมีอุดมคติซ้าย ที่เป็นอุดมคติสูงสุดในบรรดาอุดมคติซ้ายที่แท้จริง (มักเรียกว่าอุดมคติซ้ายสูงสุด) ดูทฤษฎีบทของ Krullสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม${\displaystyle E\subset R}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}\subset R}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$${\displaystyle R\neq 0}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}=(0)}$${\displaystyle E=\{1\}}$
• ไอเดียลซ้าย (หรือไอเดียลขวาสองด้าน) ที่สร้างขึ้นโดยสมาชิกเดี่ยวxเรียกว่าไอเดียลซ้ายหลัก (หรือไอเดียลขวาสองด้านหลัก) ที่สร้างขึ้นโดยx และใช้สัญลักษณ์⁠ ⁠ แทน ไอเดียลสองด้านหลักมักจะใช้สัญลักษณ์⁠ ⁠หรือแทน เช่นกัน${\displaystyle Rx}$${\displaystyle xR,RxR}$${\displaystyle RxR}$${\displaystyle (x)}$${\displaystyle \langle x\rangle }$
• การรวมกันของไอเดียลโดยพลการไม่จำเป็นต้องเป็นไอเดียล แต่สิ่งต่อไปนี้ยังคงเป็นจริง: เมื่อกำหนดเซตย่อยX ที่อาจว่างเปล่า ของRแล้ว จะมีไอเดียลซ้ายที่เล็กที่สุดที่บรรจุXซึ่งเรียกว่าไอเดียลซ้ายที่สร้างโดยXและเขียนแทนด้วย⁠ ⁠${\displaystyle RX}$ไอเดียลดังกล่าวมีอยู่จริงเนื่องจากเป็นการตัดกันของไอเดียลซ้ายทั้งหมดที่บรรจุXหรือเทียบเท่ากันคือเซตของการรวมเชิงเส้นซ้ายR (จำกัด) ทั้งหมด ขององค์ประกอบของXเหนือR : (เนื่องจากช่วงดังกล่าวเป็นไอเดียลซ้ายที่เล็กที่สุดที่บรรจุX ) ^{[หมายเหตุ 2 ]}ไอเดียลขวา (หรือสองด้าน) ที่สร้างโดยXถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน สำหรับ "สองด้าน" ต้องใช้การรวมเชิงเส้นจากทั้งสองด้าน กล่าวคือถ้าเป็นเซตจำกัดแล้วจะเขียนเป็น⁠ ⁠หรือ ก็ได้ โดยทั่วไปแล้ว ไอเดียลสองด้านที่ สร้างโดยเซต (จำกัดหรืออนันต์) ขององค์ประกอบริงที่มีดัชนีจะเขียนแทนด้วยหรือ${\displaystyle RX}$$${\displaystyle RX=\{r_{1}x_{1}+\dots +r_{n}x_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,x_{i}\in X\}}$$$${\displaystyle RXR=\{r_{1}x_{1}s_{1}+\dots +r_{n}x_{n}s_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,s_{i}\in R,x_{i}\in X\}.}$$${\displaystyle X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$${\displaystyle RXR}$${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle \langle x_{1},...,x_{n}\rangle }$${\displaystyle X=\{x_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle (X)=(x_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle \langle X\rangle =\langle x_{i}\rangle _{i\in I}}$
• มีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างไอเดียลและความสัมพันธ์สมมูล (ความสัมพันธ์สมมูลที่เคารพโครงสร้างของริง) บนริง: กำหนดให้ไอเดียลของริง⁠ ⁠ให้ ​​⁠ ⁠ ถ้า⁠ ⁠แล้วเป็นความสัมพันธ์สมมูลบน⁠ ⁠ในทางกลับกัน กำหนดให้ความสัมพันธ์สมมูลบน⁠ ⁠ให้​​⁠ ⁠แล้วเป็นไอเดียลของ⁠ ⁠${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle x-y\in I}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle R}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle R}$${\displaystyle I=\{x\in R:x\sim 0\}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$

เพื่อความเข้าใจง่าย เราจะถือว่าวงแหวนทั้งหมดเป็นวงแหวนสลับที่ได้ ส่วนกรณีที่วงแหวนไม่เป็นวงแหวนสลับที่ได้นั้น จะกล่าวถึงโดยละเอียดในบทความที่เกี่ยวข้อง

ไอเดียลมีความสำคัญเพราะปรากฏเป็นแกนหลักของโฮโมมอร์ฟิซึมของริง และช่วยให้สามารถกำหนดริงแฟกเตอร์ได้ ไอเดียลประเภทต่างๆ ถูกศึกษาเพราะสามารถนำมาใช้สร้างริงแฟกเตอร์ประเภทต่างๆ ได้

• อุดมคติสูงสุด : อุดมคติที่เหมาะสม Iเรียกว่าอุดมคติสูงสุดหากไม่มีอุดมคติที่เหมาะสมอื่น Jที่ Iเป็นเซตย่อยที่เหมาะสมของ Jวงแหวนปัจจัยของอุดมคติสูงสุดโดยทั่วไป เป็น วงแหวนแบบง่าย และเป็น ฟิลด์สำหรับวงแหวนสลับที่ ^{[ 12 ]}
• ไอเดียลขั้นต่ำ : ไอเดียลที่ไม่เป็นศูนย์เรียกว่าไอเดียลขั้นต่ำ หากไม่มีไอเดียลที่ไม่เป็นศูนย์อื่นใดบรรจุอยู่ภายใน
• อุดมคติศูนย์^:อุดมคติ^[ 13 ^]${\displaystyle \{0\}}$
• อุดมคติหน่วย : วงแหวนทั้งหมด (ซึ่งเป็นอุดมคติที่สร้างขึ้นโดย) ^{[ 9 ]}${\displaystyle 1}$
• อุดมคติเฉพาะ : อุดมคติที่เหมาะสมเรียกว่าอุดมคติเฉพาะถ้าสำหรับและใน ⁠ ⁠ถ้าอยู่ใน ⁠ ⁠แล้วอย่างน้อยหนึ่งในและอยู่ใน ⁠ ⁠วงแหวนปัจจัยของอุดมคติเฉพาะเป็นวงแหวนเฉพาะโดยทั่วไปและเป็นโดเมนจำนวนเต็มสำหรับวงแหวนสลับที่ ^{[ 14 ]}${\displaystyle I}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle R}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle I}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle I}$
• อุดมคติเชิงรากหรืออุดมคติกึ่งไพรม์ : อุดมคติแท้ Iเรียกว่าอุดมคติเชิงรากหรืออุดมคติกึ่งไพรม์ถ้าสำหรับ a ใดๆ ในถ้า a ⁿอยู่ใน Iสำหรับ n บางตัว แล้ว aก็อยู่ใน Iด้วย วงแหวนแฟกเตอร์ของอุดมคติเชิงรากเป็นวงแหวนกึ่งไพรม์สำหรับวงแหวนทั่วไป และเป็นวงแหวนลดรูปสำหรับวงแหวนสลับที่${\displaystyle R}$
• อุดมคติหลัก : อุดมคติ Iเรียกว่าอุดมคติหลักถ้าสำหรับทุก aและ bใน Rถ้า abอยู่ใน Iแล้วอย่างน้อยหนึ่งใน aและ b ⁿจะอยู่ใน Iสำหรับจำนวนธรรมชาติn บางตัว อุดมคติเฉพาะทุกตัวเป็นอุดมคติหลัก แต่ในทางกลับกันไม่ใช่ อุดมคติหลักกึ่งเฉพาะเป็นอุดมคติเฉพาะ
• อุดมคติหลัก : อุดมคติที่สร้างขึ้นจากองค์ประกอบหนึ่ง^{[ 15 ]}
• ไอเดียลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด : ไอเดียลประเภทนี้ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดในฐานะโมดูล
• ไอเดียลดั้งเดิม : ไอเดียลดั้งเดิมด้านซ้ายคือตัวทำลายของโมดูลด้านซ้ายแบบง่าย
• อุดมคติที่ไม่สามารถลดทอนได้ : กล่าวได้ว่าอุดมคติใด ๆ ไม่สามารถลดทอนได้ หากไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการตัดกันของอุดมคติอื่น ๆ ที่ครอบคลุมอุดมคตินั้นได้อย่างเหมาะสม
• ไอเดียลร่วมสูงสุด : ไอเดียลสองไอเดียIและJกล่าวได้ว่าเป็น ไอ เดียลร่วมสูงสุดถ้าสำหรับบางค่าและ⁠ ⁠${\displaystyle x+y=1}$${\displaystyle x\in I}$${\displaystyle y\in J}$
• อุดมคติปกติ : คำนี้มีความหมายหลายอย่าง โปรดดูรายละเอียดเพิ่มเติมในบทความ
• อุดมคติศูนย์ : อุดมคติจะเป็นอุดมคติศูนย์ก็ต่อเมื่อองค์ประกอบแต่ละตัวของอุดมคตินั้นเป็นอุดมคติศูนย์
• อุดมคตินิลโพเทนต์ : กำลังบางส่วนของมันเป็นศูนย์
• อุดมคติของพารามิเตอร์ : อุดมคติที่สร้างขึ้นโดยระบบของพารามิเตอร์
• อุดมคติที่สมบูรณ์แบบ : อุดมคติที่เหมาะสม Iในวงแหวนโนเธอร์เรียนเรียกว่าอุดมคติที่สมบูรณ์แบบหากระดับ ของมัน เท่ากับมิติเชิงโปรเจกทีฟของวงแหวนผลหารที่เกี่ยวข้อง ^{[ 16 ]}อุดมคติที่สมบูรณ์แบบคืออุดมคติที่ไม่ผสมปนเป${\displaystyle R}$${\displaystyle {\textrm {grade}}(I)={\textrm {proj}}\dim(R/I)}$
• อุดมคติที่ไม่ผสม : อุดมคติแท้ Iในวงแหวนโนเธอร์เรียนเรียกว่าอุดมคติที่ไม่ผสม (ในความสูง) ถ้าความสูงของ Iเท่ากับความสูงของ จำนวนเฉพาะ Pที่เกี่ยวข้อง ทุกตัว ของI (นี่มีความเข้มแข็งกว่าการบอกว่า Iเป็น วงแหวน มิติเท่ากัน ดูเพิ่มเติมที่วงแหวนมิติ เท่ากัน )${\displaystyle R}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle R/I}$

คำศัพท์สำคัญอีกสองคำที่ใช้คำว่า "อุดมคติ" นั้น ไม่ได้หมายความว่าจะเป็นอุดมคติของวงแหวนเสมอไป โปรดดูรายละเอียดเพิ่มเติมในบทความที่เกี่ยวข้อง:

• อุดมคติเศษส่วน : โดยทั่วไปจะนิยามเมื่อเป็นโดเมนสลับที่ที่มีฟิลด์ผลหารแม้จะมีชื่อว่าอุดมคติเศษส่วน แต่ก็ไม่จำเป็นต้องเป็นอุดมคติเสมอไป อุดมคติเศษส่วนของคือซับโมดูล ⁠ ⁠ของซึ่งมีค่า ที่ไม่เป็นศูนย์อยู่ค่าหนึ่งที่ทำให้ถ้าอุดมคติเศษส่วนนั้นบรรจุอยู่ใน อย่างสมบูรณ์แล้ว มันจะเป็นอุดมคติที่แท้จริงของ${\displaystyle R}$${\displaystyle K}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle K}$${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle rI\subseteq R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$
• ไอเดียลผกผันได้ : โดยทั่วไป ไอเดียลผกผันได้ Aถูกนิยามว่าเป็นไอเดียลเศษส่วนที่มีไอเดียลเศษส่วนอีกตัวหนึ่ง Bซึ่งทำให้ AB = BA = Rบางผู้เขียนอาจใช้คำว่า "ไอเดียลผกผันได้" กับไอเดียลวงแหวนธรรมดา Aและ Bที่มี AB = BA = Rในวงแหวนอื่นที่ไม่ใช่โดเมนด้วย

ผลรวมและผลคูณของไอเดียลมีนิยามดังนี้ สำหรับ และไอเดีย ล ซ้าย (และไอเดียลขวา) ของริงR ผล รวมของไอเดียลทั้งสองคือ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b\in {\mathfrak {b}}\},}$

ซึ่งเป็นอุดมคติซ้าย (หรือขวา) และถ้าเป็นอุดมคติสองด้าน ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}:=\{a_{1}b_{1}+\dots +a_{n}b_{n}\mid a_{i}\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b_{i}\in {\mathfrak {b}},i=1,2,\dots ,n;{\mbox{ for }}n=1,2,\dots \},}$

กล่าวคือ ผลิตภัณฑ์คืออุดมคติที่สร้างขึ้นจากผลิตภัณฑ์ทั้งหมดในรูปแบบab โดยที่aอยู่ในและbอยู่ใน⁠ ⁠${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

หมายเหตุคือไอเดียลซ้าย (หรือขวา) ที่เล็กที่สุดที่บรรจุทั้งและ(หรือยูเนียน⁠ ⁠ ) ในขณะที่ผลคูณนั้น บรรจุ อยู่ ในอินเตอร์เซกชันของและ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cup {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

กฎการกระจายใช้ได้กับอุดมคติสอง${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}}$ด้าน

• ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathfrak {a}}({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}}$ ,
• ⁠ ⁠${\displaystyle ({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}}$ .

หากผลิตภัณฑ์ถูกแทนที่ด้วยจุดตัด กฎการกระจายแบบบางส่วนจะยังคงใช้ได้:

${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})\supset {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}}$

โดยความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อมีหรือ อยู่ ภายใน ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

หมายเหตุ : ผลรวมและการตัดกันของไอเดียลก็คือไอเดียลอีกตัวหนึ่ง ด้วยการดำเนินการสองอย่างนี้ เช่น การรวมและการตัดกัน เซตของไอเดียลทั้งหมดของริงที่กำหนดให้จึงก่อให้เกิดแลตทิซแบบโมดูลาร์ที่สมบูรณ์ แลต ทิซนี้โดยทั่วไปแล้วไม่ใช่แลตทิซแบบกระจายการดำเนินการสามอย่างคือ การตัดกัน ผลรวม (หรือการรวม) และผลคูณ ทำให้เซตของไอเดียลของริงสลับที่กลายเป็นควอนทาล

ถ้าเป็นไอเดียลของวงแหวนสลับที่Rแล้วในสองกรณีต่อไปนี้ (อย่างน้อย) ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(1)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบที่ประกอบเป็นลำดับปกติโมดูลัส⁠ ⁠${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ .

(โดยทั่วไป ความแตกต่างระหว่างผลคูณและการตัดกันของอุดมคติจะวัดโดยฟังก์ชันทอร์ : ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/{\mathfrak {a}},R/{\mathfrak {b}})=({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$ . ^{[ 17 ]} )

โดเมนอินทิกรัลเรียกว่าโดเมนเดเดคินด์ถ้าสำหรับแต่ละคู่ของอุดมคติจะมีอุดมคติที่⁠ ⁠ ^{[ 18 ]}จากนั้นสามารถแสดงได้ว่าอุดมคติที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวของโดเมนเดเดคินด์สามารถเขียนได้อย่างไม่ซ้ำกันเป็นผลคูณของอุดมคติสูงสุด ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {\mathfrak {a}}}={\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}}$

ในที่ที่เรามี ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle (n)\cap (m)=\operatorname {lcm} (n,m)\mathbb {Z} }$

เนื่องจากเป็นเซตของจำนวนเต็มที่หารลงตัวด้วยทั้งและ⁠ ⁠ . ${\displaystyle (n)\cap (m)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$

ให้และให้⁠ ⁠ . จากนั้น, ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)}$และ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}}=(z,w,x)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}=(z(x+z),z(y+w),w(x+z),w(y+w))=(z^{2}+xz,zy+wz,wx+wz,wy+w^{2})}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}=(xz+z^{2},zw,xw+zw,w^{2})}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$ในขณะที่${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}=(w,xz+z^{2})\neq {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}}$

ในการคำนวณครั้งแรก เราจะเห็นรูปแบบทั่วไปของการหาผลรวมของอุดมคติที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดสองตัว ซึ่งก็คืออุดมคติที่สร้างขึ้นจากการรวมกันของตัวสร้างของพวกมัน ในสามครั้งสุดท้าย เราสังเกตว่าผลคูณและการตัดกันจะตรงกันเมื่อใดก็ตามที่อุดมคติทั้งสองตัดกันที่อุดมคติศูนย์ การคำนวณเหล่านี้สามารถตรวจสอบได้โดยใช้Macaulay2 ^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]}

แนวคิดเชิงอุดมคติปรากฏขึ้นเองตามธรรมชาติในการศึกษาโมดูล โดยเฉพาะอย่างยิ่งในรูปแบบของรากที่สอง

เพื่อความง่าย เราจะใช้ริงสลับที่เป็นตัวอย่าง แต่หากปรับเปลี่ยนเล็กน้อย ผลลัพธ์ก็ใช้ได้กับริงไม่สลับที่เช่นกัน

ให้Rเป็นวงแหวนสลับที่ ตามคำนิยามอุดมคติดั้งเดิมของRคือตัวทำลายของโมดูลRแบบง่าย (ที่ไม่เป็นศูนย์) รากของจาคอบสัน ของR คือจุดตัดของอุดมคติดั้งเดิมทั้งหมด หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ${\displaystyle J=\operatorname {Jac} (R)}$

${\displaystyle J=\bigcap _{{\mathfrak {m}}{\text{ maximal ideals}}}{\mathfrak {m}}.}$

อันที่จริง ถ้าM เป็นโมดูลเชิงเดี่ยว และxเป็นสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ในMแล้วและซึ่งหมายความว่าM เป็นอุดมคติสูงสุด ในทางกลับกัน ถ้าM เป็นอุดมคติสูงสุด แล้ว M คือตัวทำลายของโมดูลเชิงเดี่ยวRนอกจากนี้ยังมีลักษณะเฉพาะอีกแบบหนึ่ง (การพิสูจน์ไม่ยาก): ${\displaystyle M}$${\displaystyle Rx=M}$${\displaystyle R/\operatorname {Ann} (M)=R/\operatorname {Ann} (x)\simeq M}$${\displaystyle \operatorname {Ann} (M)}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle J=\{x\in R\mid 1-yx\,{\text{ is a unit element for every }}y\in R\}.}$

สำหรับวงแหวนที่ไม่จำเป็นต้องสลับที่ได้นั้น ข้อเท็จจริงทั่วไปคือเป็นสมาชิกเอกลักษณ์ก็ต่อเมื่อเป็นสมาชิกเอกลักษณ์ (ดูลิงก์) ดังนั้นลักษณะเฉพาะสุดท้ายนี้แสดงให้เห็นว่ารากสามารถนิยามได้ทั้งในแง่ของอุดมคติแบบดั้งเดิมซ้ายและขวา ${\displaystyle 1-yx}$${\displaystyle 1-xy}$

ข้อเท็จจริงง่ายๆ แต่สำคัญต่อไปนี้ ( ทฤษฎีบทของนาคายามะ ) เป็นส่วนหนึ่งของนิยามของราดิคัลของเจคอบสัน: ถ้าMเป็นโมดูลที่⁠ ⁠${\displaystyle JM=M}$แล้วMจะไม่มีโมดูลย่อยสูงสุดเนื่องจากถ้ามีโมดูลย่อยสูงสุด⁠ ⁠${\displaystyle L\subsetneq M}$และดังนั้น⁠ ⁠ซึ่งขัดแย้งกัน เนื่องจากโมดูลที่สร้างขึ้นอย่าง จำกัดที่ไม่เป็นศูนย์ จะมีโมดูลย่อยสูงสุด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราจึงได้ว่า: ${\displaystyle J\cdot (M/L)=0}$${\displaystyle M=JM\subset L\subsetneq M}$

ถ้าM เป็น เซตที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดแล้ว⁠ ⁠ .${\displaystyle JM=M}$${\displaystyle M=0}$

อุดมคติสูงสุดคืออุดมคติเฉพาะ และดังนั้นจึงมี

${\displaystyle \operatorname {nil} (R)=\bigcap _{{\mathfrak {p}}{\text{ prime ideals }}}{\mathfrak {p}}\subset \operatorname {Jac} (R)}$

โดยที่จุดตัดทางด้านซ้ายเรียกว่านิลราดิคัลของRและปรากฏว่ายังเป็นเซตของสมาชิกนิลโพเทนต์ของ R อีก ด้วย${\displaystyle \operatorname {nil} (R)}$

ถ้าRเป็นวงแหวนอาร์ทิเนียนแล้ว จะเป็นนิลโพเท นต์และ(พิสูจน์: ขั้นแรก สังเกตว่า DCC บ่งชี้ว่าสำหรับบางnถ้า (DCC) เป็นไอเดียลขั้นต่ำที่เหมาะสมเหนือ n แล้วนั่นคือ ซึ่งขัดแย้งกัน) ${\displaystyle \operatorname {Jac} (R)}$${\displaystyle \operatorname {nil} (R)=\operatorname {Jac} (R)}$${\displaystyle J^{n}=J^{n+1}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}\supsetneq \operatorname {Ann} (J^{n})}$${\displaystyle J\cdot ({\mathfrak {a}}/\operatorname {Ann} (J^{n}))=0}$${\displaystyle J^{n}{\mathfrak {a}}=J^{n+1}{\mathfrak {a}}=0}$

ให้และเป็นวงแหวนสลับที่ 2 วง และให้เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนถ้าเป็นไอเดียลในแล้วไม่จำเป็นต้องเป็นไอเดียลใน(เช่น ให้เป็นการรวมวงแหวนของจำนวนเต็มเข้ากับฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ) ส่วนขยายของในถูกกำหนดให้เป็นไอเดียลในที่สร้างขึ้นโดย⁠ ⁠อย่างชัดเจน ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f({\mathfrak {a}})}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f({\mathfrak {a}})}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}=f({\mathfrak {a}})B={\Big \{}\sum y_{i}f(x_{i}):x_{i}\in {\mathfrak {a}},y_{i}\in B{\Big \}}.}$

การใช้สัญลักษณ์ที่ไม่ถูกต้อง ถือเป็นอีกสัญลักษณ์หนึ่งที่ใช้กันทั่วไปสำหรับส่วนขยายในอุดมคตินี้ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}B}$

ถ้าเป็นไอเดียลของแล้วจะเป็นไอเดียลของ เสมอซึ่งเรียกว่าการหดตัวของไปเป็น ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f^{-1}({\mathfrak {b}})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{c}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle A}$

สมมติว่าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริงเป็นไอเดียลในเป็นไอเดียลใน แล้ว: ${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle B}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$เป็นจำนวนเฉพาะในเป็นจำนวนเฉพาะใน${\displaystyle B}$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{c}}$${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{ec}\supseteq {\mathfrak {a}},}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{ce}\subseteq {\mathfrak {b}}.}$

โดยทั่วไปแล้ว เป็นเรื่องไม่จริงที่ว่าการเป็นจำนวนเฉพาะ (หรือจำนวนสูงสุด) ในจะหมายความว่า ก็เป็นจำนวนเฉพาะ (หรือจำนวนสูงสุด) ในเช่นกัน ตัวอย่างคลาสสิกมากมายในเรื่องนี้มาจากทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต ตัวอย่างเช่น พิจารณาการฝังตัวในสมาชิก 2 แยกตัวประกอบได้เป็น โดยที่ (สามารถแสดงได้ว่า) ทั้งและไม่ใช่หน่วยในดังนั้น จึงไม่ใช่จำนวนเฉพาะใน (และด้วยเหตุนี้ จึง ไม่ใช่ จำนวนสูงสุดเช่นกัน) อันที่จริงแสดงให้เห็นว่า,และดังนั้น.${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack .}$${\displaystyle B=\mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack }$${\displaystyle 2=(1+i)(1-i)}$${\displaystyle 1+i,1-i}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (2)^{e}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (1\pm i)^{2}=\pm 2i}$${\displaystyle (1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})}$${\displaystyle (1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})}$${\displaystyle (2)^{e}=(1+i)^{2}}$

ในทางกลับกัน ถ้าเป็นฟังก์ชันทั่วถึงแล้ว: ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}\supseteq \ker f}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{ec}={\mathfrak {a}}}$และ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{ce}={\mathfrak {b}},}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$เป็นอุดมคติหลักในเป็นอุดมคติหลักใน${\displaystyle A}$${\displaystyle \Leftrightarrow }$${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$เป็นอุดมคติสูงสุดในเป็นอุดมคติสูงสุดใน${\displaystyle A}$${\displaystyle \Leftrightarrow }$${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$${\displaystyle B}$

หมายเหตุ : ให้เป็นส่วนขยายฟิลด์ของและให้และเป็นวงแหวนของจำนวนเต็มของและตามลำดับ แล้วเป็นส่วนขยายเชิงอินทิกรัลของและเราให้เป็นแผนที่การรวมจากไปพฤติกรรมของอุดมคติเฉพาะของภายใต้ส่วนขยาย เป็นหนึ่งในปัญหาสำคัญของทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต ${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}}$${\displaystyle A}$

บางครั้งสิ่งต่อไปนี้ก็มีประโยชน์: ^{[ 22 ]}อุดมคติเฉพาะตัวเป็นการหดตัวของอุดมคติเฉพาะตัวก็ต่อเมื่อ. (พิสูจน์: สมมติว่าข้อหลังเป็น จริง สังเกตว่าตัดกับ ซึ่งเป็น ข้อขัดแย้ง ตอนนี้ อุดมคติเฉพาะตัวของสอดคล้องกับอุดมคติเฉพาะตัวในที่ไม่ทับซ้อนกับ. ดังนั้นจึงมีอุดมคติเฉพาะตัวของที่ไม่ทับซ้อนกับเช่นนั้นเป็นอุดมคติสูงสุดที่มี. จากนั้นจึงตรวจสอบว่าอยู่เหนือ. ส่วนกลับนั้นชัดเจน) ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}^{ec}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}=B_{\mathfrak {p}}\Rightarrow {\mathfrak {p}}^{e}}$${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle B_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}B_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

ไอเดียลสามารถขยายความทั่วไปไปยังวัตถุโมโนอิดใดๆ${\displaystyle (R,\otimes )}$ ก็ได้ โดยที่คือวัตถุที่ โครงสร้าง โมโนอิดถูกลืมไปแล้วไอเดียลซ้ายของคือวัตถุย่อยที่ "ดูดซับการคูณจากทางซ้ายด้วยองค์ประกอบของ" กล่าวคือเป็นไอเดียลซ้ายถ้ามันตรงตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้: ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$

1. ${\displaystyle I}$เป็นวัตถุย่อยของ${\displaystyle R}$
2. สำหรับทุกๆ⁠ ⁠ผลิตภัณฑ์อยู่ใน⁠ ⁠${\displaystyle r\in (R,\otimes )}$${\displaystyle x\in (I,\otimes )}$${\displaystyle r\otimes x}$${\displaystyle (I,\otimes )}$

อุดมคติทางขวาถูกนิยามโดยแทนที่เงื่อนไข " ⁠ ⁠${\displaystyle r\otimes x\in (I,\otimes )}$ " ด้วย "' ⁠ ⁠${\displaystyle x\otimes r\in (I,\otimes )}$ " อุดมคติสองด้านคืออุดมคติทางซ้ายที่เป็นอุดมคติทางขวาด้วย และบางครั้งก็เรียกง่ายๆ ว่าอุดมคติ เมื่อเป็นวัตถุโมโนอิดแบบสลับที่ได้ นิยามของอุดมคติทางซ้าย ทางขวา และสองด้านจะตรงกัน และใช้ คำว่า อุดมคติ เพียงอย่างเดียว${\displaystyle R}$

• เลขคณิตแบบโมดูลาร์
• ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมของโนเธอร์
• ทฤษฎีบทไอเดียลเฉพาะบูลีน
• ทฤษฎีในอุดมคติ
• อุดมคติ (ทฤษฎีลำดับ)
• บรรทัดฐานในอุดมคติ
• การแยกอุดมคติหลักในส่วนขยายกาโลอิส
• มัดที่เหมาะสม

• Levinson, Jake (14 กรกฎาคม 2014). "การตีความทางเรขาคณิตสำหรับการขยายแนวคิด?" . Stack Exchange .