ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ใน ทฤษฎีริง ไอเดียล ซ้าย ไอเดีย ลขวา หรือไอเดีย ลสองด้าน ของริงจะเรียกว่า ไอเดียลนิลได้ก็ต่อ เมื่อสมาชิกทั้งหมดของไอเดียลนิลนั้นเป็นนิลโพเทนต์ กล่าว คือ สำหรับแต่ละ ไอเดียลซ้าย ไอเดียลขวา หรือ ไอเดียลสองด้าน${\displaystyle a\in I}$มีจำนวนธรรมชาติn อยู่จำนวนหนึ่ง ซึ่ง${\displaystyle a^{n}=0.}$ถ้าองค์ประกอบทั้งหมดของวงแหวนเป็นนิลโพเทนต์ (ซึ่งเป็นไปได้เฉพาะสำหรับวงแหวนที่ไม่มีหน่วย) วงแหวนนั้นจะเรียกว่าวงแหวนนิล^{[ 1 ] [ 2 ]}

นิลราดิคัลของริงสลับที่เป็นตัวอย่างหนึ่งของนิลไอเดียล อันที่จริง มันคือไอเดียลของริงที่มีคุณสมบัติสูงสุดในแง่ของการเป็นนิล น่าเสียดายที่เซตของสมาชิกนิลโพเทนต์ไม่ได้ก่อให้เกิดไอเดียลเสมอไปสำหรับริงไม่สลับที่นิลไอเดียลยังคงเกี่ยวข้องกับคำถามเปิด ที่น่าสนใจ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสมมติฐานของเคอเธ่ ที่ยังหาคำตอบไม่ ได้

ในวงแหวนสลับที่ การเข้าใจอุดมคติแบบนิลนั้นง่ายกว่าในวงแหวนไม่สลับที่ เนื่องจากในวงแหวนสลับที่ผลคูณที่เกี่ยวข้องกับสมาชิกนิลโพเทนต์และผลรวมของสมาชิกนิลโพเทนต์ต่างก็เป็นนิลโพเทนต์ เพราะถ้าaและbเป็นสมาชิกนิลโพเทนต์ของRโดยที่a ⁿ = 0 และb ^m = 0 และrเป็นสมาชิกใดๆ ของRแล้ว ( a · r ) ⁿ = a ⁿ · r ⁿ = 0 และตามทฤษฎีบททวินาม ( a + b ) ^{m + n} = 0 ดังนั้น เซตของสมาชิกนิลโพเทนต์ทั้งหมดจึงก่อให้เกิดอุดมคติที่เรียกว่ารากนิลของวงแหวน เนื่องจากรากนิลประกอบด้วยสมาชิกนิลโพเทนต์ทุกตัว อุดมคติของวงแหวนสลับที่จึงเป็นนิลก็ต่อเมื่อเป็นเซตย่อยของรากนิล และดังนั้นรากนิลจึงเป็นอุดมคติที่ใหญ่ที่สุดในบรรดาอุดมคติแบบนิล นอกจากนี้ สำหรับสมาชิกนิลโพเทนต์ใดๆaของวงแหวนสลับที่RไอเดียลaRจะเป็นไอเดียลนิล อย่างไรก็ตาม สำหรับวงแหวนไม่สลับที่ โดยทั่วไปแล้วจะไม่เป็นจริงที่เซตของสมาชิกนิลโพเทนต์จะประกอบกันเป็นไอเดียล หรือว่าa · Rจะเป็นไอเดียลนิล (ไอเดียลด้านเดียว) แม้ว่าaจะเป็นนิลโพเทนต์ ก็ตาม

ทฤษฎีของอุดมคตินิลมีความสำคัญอย่างยิ่งในทฤษฎีวงแหวนไม่สลับที่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การทำความเข้าใจวงแหวนนิลซึ่งเป็นวงแหวนที่มีองค์ประกอบทุกตัวเป็นนิลโพเทนต์ จะช่วยให้เข้าใจวงแหวนทั่วไปได้ดียิ่งขึ้น^{[ 3 ]}

ในกรณีของวงแหวนสลับที่ จะมีอุดมคติศูนย์สูงสุดเสมอ นั่นคือ นิลราดิคัลของวงแหวน การมีอยู่ของอุดมคติศูนย์สูงสุดดังกล่าวในกรณีของวงแหวนไม่สลับที่นั้นรับประกันได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของอุดมคติศูนย์ก็ยังคงเป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม ความจริงของการยืนยันที่ว่าผลรวมของอุดมคติศูนย์ซ้ายสองตัวก็ยังคงเป็นอุดมคติศูนย์ซ้ายเช่นกันยังคงคลุมเครือ มันเป็นปัญหาที่ยังเปิดอยู่ซึ่งรู้จักกันในชื่อสมมติฐานของ Köthe [ ^{4 ] สมมติฐาน}ของ Köthe ถูกตั้งขึ้นครั้งแรกในปี 1930 และยังคงไม่ได้รับการแก้ไขจนถึงปี 2025

แนวคิดเรื่องอุดมคติที่เป็นศูนย์มีความเชื่อมโยงอย่างลึกซึ้งกับอุดมคติที่เป็นศูนย์กำลังและในบางประเภทของริง แนวคิดทั้งสองนี้จะตรงกัน หากอุดมคติเป็นศูนย์กำลัง ก็ย่อมเป็นศูนย์ด้วยเช่นกัน มีอุปสรรคสำคัญสองประการที่ทำให้อุดมคติที่เป็นศูนย์ไม่สามารถเป็นศูนย์กำลังได้:

1. ไม่จำเป็นต้องมีขีดจำกัดสูงสุดสำหรับเลขชี้กำลังที่จำเป็นในการทำลายองค์ประกอบ อาจจำเป็นต้องใช้เลขชี้กำลังที่สูงมากก็ได้
2. ผลคูณของ องค์ประกอบนิลโพเทนต์ nตัว อาจมีค่าไม่เป็นศูนย์สำหรับn ที่มีค่าสูงมาก ๆ

เห็นได้ชัดว่าต้องหลีกเลี่ยงอุปสรรคทั้งสองประการนี้ เพื่อให้แนวคิดที่เป็นศูนย์มีคุณสมบัติเป็นแนวคิดที่เป็นศูนย์อย่างแท้จริง

ใน วงแหวนอาร์ทิเนียนขวาไอเดียลนิลใดๆ ก็เป็นไอเดียลนิลโพเทนต์ได้^{[ 5 ]}สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดยการสังเกตว่าไอเดียลนิลใดๆ นั้นมีอยู่ในรากของจาคอบสันของวงแหวน และเนื่องจากรากของจาคอบสันเป็นไอเดียลนิลโพเทนต์ (เนื่องจากสมมติฐานอาร์ทิเนียน) ผลลัพธ์จึงเป็นไปตามนั้น อันที่จริง สิ่งนี้ได้รับการขยายไปสู่วงแหวนโนเธอร์เรียน ขวา ผลลัพธ์นี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทของเลวิตซ์กี้การพิสูจน์ที่ง่ายเป็นพิเศษของอูตูมิสามารถพบได้ใน( Herstein 1968 , Theorem 1.4.5, p. 37 )

• สมมติฐานของ Köthe
• อุดมคตินิลโพเทนต์
• นิลราดิคัล
• จาคอบสันหัวรุนแรง