ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตกลุ่มของโมดูลเชิงโปรเจกทีฟขยายกลุ่มของโมดูลอิสระ (นั่นคือโมดูลที่มีเวกเตอร์ฐาน ) บนริงโดยยังคงรักษาคุณสมบัติหลักบางประการของโมดูลอิสระไว้ ลักษณะเฉพาะที่เทียบเท่ากันต่างๆ ของโมดูลเหล่านี้ปรากฏอยู่ด้านล่าง

ทุกโมดูลอิสระเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟ แต่ข้อความกลับกันนั้นใช้ไม่ได้กับริงบางประเภท เช่นริงเดเดคินด์ที่ไม่ใช่โดเมนอุดมคติหลักอย่างไรก็ตาม ทุกโมดูลเชิงโปรเจกทีฟเป็นโมดูลอิสระหากริงนั้นเป็นโดเมนอุดมคติหลัก เช่นจำนวนเต็มหรือริงพหุนาม (หลายตัวแปร) เหนือฟิลด์ (นี่คือทฤษฎีบทควิลเลน-ซัสลิน )

โมดูลเชิงโปรเจคทีฟได้รับการแนะนำครั้งแรกในปี 1956 ในหนังสือที่มีอิทธิพลอย่างมากเรื่อง Homological AlgebraโดยHenri CartanและSamuel Eilenberg

นิยาม ตามทฤษฎีหมวดหมู่ทั่วไปนั้นอยู่ในแง่ของคุณสมบัติของการยกกำลังที่ถ่ายทอดมาจากโมดูลอิสระไปยังโมดูลเชิงโปรเจกทีฟ: โมดูลPเป็นโมดูลเชิงโปร เจก ทีฟก็ต่อเมื่อสำหรับทุก ฟังก์ชัน โฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลแบบทั่วถึงf  : N ↠ Mและทุกฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลg  : P → Mจะมีฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลh  : P → N อยู่จริง โดยที่fh = g (เราไม่จำเป็นต้องให้ฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมของการยกกำลังhมีเพียงหนึ่งเดียว นี่ไม่ใช่คุณสมบัติสากล )

ข้อดีของนิยาม "โปรเจกทีฟ" นี้คือ สามารถนำไปใช้ในหมวดหมู่ที่ทั่วไปกว่าหมวดหมู่โมดูลได้ กล่าวคือ เราไม่จำเป็นต้องมีแนวคิดเรื่อง "วัตถุอิสระ" นอกจากนี้ยังสามารถทำให้เป็นคู่กันได้ซึ่งนำไปสู่โมดูลแบบฉีด (injective modules ) คุณสมบัติการยกกำลัง (lifting property) อาจกล่าวใหม่ได้ว่าทุกมอร์ฟิซึมจากไป ยัง จะแยก ตัวประกอบผ่านทุกเอพิมอร์ฟิซึม ไป${\displaystyle P}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$ ยัง ดังนั้น ตามนิยามแล้ว โมดูลโปรเจกทีฟก็คือวัตถุโปรเจกทีฟในหมวดหมู่ของโมดูลRนั่นเอง

โมดูลPเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟก็ต่อเมื่อลำดับที่แน่นอนสั้น ๆของโมดูลทุก ๆ รูปแบบ

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow P\rightarrow 0}$

เป็นลำดับที่แน่นอนแบบแยกส่วนกล่าวคือ สำหรับโฮโมมอร์ฟิซึมโมดูลแบบทั่วถึงทุกตัวf  : B ↠ Pจะมีแผนที่ส่วนตัดนั่นคือ โฮโมมอร์ฟิซึมโมดูลh  : P → Bที่ทำให้fh = id _Pในกรณีนั้นh ( P )เป็นส่วนประกอบโดยตรงของB , hเป็นไอโซมอร์ฟิซึมจากPไปยังh ( P )และhfเป็นการฉายภาพบนส่วนประกอบh ( P )หรือเทียบเท่ากัน

${\displaystyle B=\operatorname {Im} (h)\oplus \operatorname {Ker} (f)\ \ {\text{ โดยที่ }}\operatorname {Ker} (f)\cong A\ {\text{ และ }}\operatorname {Im} (h)\cong P.}$

โมดูลPเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟก็ต่อเมื่อมีโมดูลQ อีกโมดูลหนึ่ง ซึ่งผลรวมโดยตรงของPและQเป็นโมดูลอิสระ

โมดูลR - Pเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟก็ต่อเมื่อฟังก์ชัน โคแวเรียนต์ Hom( P , -): R - Mod → Abเป็นฟังก์ชันที่แม่นยำโดยที่R - Modคือหมวดหมู่ของ โมดูล R ซ้าย และAbคือหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนเมื่อวงแหวนRเป็นวงแหวนสลับที่ได้Abจะถูกแทนที่ด้วยR - Modในการกำหนดลักษณะข้างต้น ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่แม่นยำทางซ้าย เสมอ แต่เมื่อPเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟ ฟังก์ชันนี้จะเป็นฟังก์ชันที่แม่นยำทางขวาด้วย ซึ่งหมายความว่าPเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟก็ต่อเมื่อฟังก์ชันนี้รักษาเอพิโมร์ฟิซึม (โฮโมโมร์ฟิซึมแบบทั่วถึง) หรือถ้ามันรักษา โค ลิ มิต จำกัด

โมดูลP เป็นโมดูลเชิงโปรเจกที ฟ ก็ต่อเมื่อมีเซตและเซตอยู่จริง โดยที่สำหรับทุกxในP , f _i ( x ) จะมีค่าไม่เป็นศูนย์เฉพาะสำหรับ iจำนวนจำกัดและ${\displaystyle \{a_{i}\in P\mid i\in I\}}$${\displaystyle \{f_{i}\in \mathrm {Hom} (P,R)\mid i\in I\}}$${\displaystyle x=\sum f_{i}(x)a_{i}}$

คุณสมบัติของโมดูลเชิงโปรเจคทีฟต่อไปนี้สามารถอนุมานได้อย่างรวดเร็วจากคำจำกัดความ (ที่เทียบเท่ากัน) ใดๆ ของโมดูลเชิงโปรเจคทีฟข้างต้น:

• ผลรวมโดยตรงและผลบวกโดยตรงของโมดูลเชิงโปรเจคทีฟล้วนเป็นโมดูลเชิงโปรเจคทีฟ
• ถ้าe = e ²เป็นตัวประกอบเอกลักษณ์ในริงRแล้วReจะเป็นโมดูลซ้ายเชิงโปรเจกทีฟเหนือR

ให้เป็นผลคูณโดยตรงของวงแหวนสองวงและซึ่งเป็นวงแหวนที่มีการดำเนินการที่กำหนดตามส่วนประกอบ ให้และจากนั้นและเป็นตัวประกอบเอกลักษณ์ และ อยู่ในศูนย์กลางของ ไอเดีย ลสองด้านและเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟ เนื่องจากผลรวมโดยตรงของพวกมัน (ในฐานะ โมดูล R ) เท่ากับโมดูลอิสระR อย่างไรก็ตามถ้าและไม่เป็นศูนย์ พวกมันจะไม่เป็นโมดูลอิสระเหนือตัวอย่างเช่นเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟแต่ไม่เป็นโมดูลอิสระเหนือ ${\displaystyle R=R_{1}\times R_{2}}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2},}$${\displaystyle e_{1}=(1,0)}$${\displaystyle e_{2}=(0,1).}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle R.}$${\displaystyle Re_{1}}$${\displaystyle Re_{2}}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }$

ความสัมพันธ์ระหว่างโมดูลเชิงโปรเจกทีฟกับโมดูลอิสระและ โมดูล แบนนั้นสรุปได้ในแผนภาพคุณสมบัติของโมดูลดังต่อไปนี้:

ข้อความบ่งชี้จากซ้ายไปขวานั้นเป็นจริงสำหรับวงแหวนใดๆ ก็ตาม แม้ว่าผู้เขียนบางคนจะนิยามโมดูลที่ปราศจากแรงบิดไว้เฉพาะในโดเมน เท่านั้น ข้อความบ่งชี้จากขวาไปซ้ายนั้นเป็นจริงสำหรับวงแหวนที่ใช้เป็นป้ายกำกับ อาจมีวงแหวนอื่นๆ ที่ข้อความบ่งชี้เหล่านั้นเป็นจริง ตัวอย่างเช่น ข้อความบ่งชี้ที่ใช้ป้ายกำกับว่า " วงแหวนเฉพาะที่หรือ PID" นั้นเป็นจริงสำหรับวงแหวนพหุนาม (หลายตัวแปร) บนฟิลด์ ด้วยเช่นกัน ซึ่งก็คือทฤษฎีบท Quillen–Suslinนั่นเอง

โมดูลอิสระใดๆ ก็เป็นโมดูลเชิงฉาย (projective module) และในทางกลับกันจะเป็นจริงในกรณีต่อไปนี้:

• ถ้าRเป็นฟิลด์หรือฟิลด์เฉียง : โมดูล ใดๆ ก็เป็นอิสระในกรณีนี้
• ถ้าวงแหวนRเป็นโดเมนอุดมคติหลักตัวอย่างเช่น สิ่งนี้ใช้ได้กับR = Z ( จำนวนเต็ม ) ดังนั้นกลุ่มอาเบเลียนจะเป็นกลุ่มเชิงโปรเจกทีฟก็ต่อเมื่อเป็นกลุ่มอาเบเลียนอิสระเหตุผลก็คือโมดูลย่อย ใดๆ ของโมดูลอิสระเหนือโดเมนอุดมคติหลักจะเป็นโมดูลอิสระ
• ถ้าวงแหวนRเป็นวงแหวนเฉพาะที่ข้อเท็จจริงนี้เป็นพื้นฐานของสัญชาตญาณของ "วงแหวนอิสระเฉพาะที่ = วงแหวนเชิงโปรเจกทีฟ" ข้อเท็จจริงนี้พิสูจน์ ได้ง่าย สำหรับ โมดูลเชิงโปรเจกทีฟ ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดโดยทั่วไปแล้ว ข้อเท็จจริงนี้เป็นผลงานของKaplansky (1958)โปรดดูทฤษฎีบทของ Kaplansky เกี่ยวกับโมดูลเชิงโปรเจกทีฟ

โดยทั่วไปแล้ว โมดูลเชิงฉายภาพไม่จำเป็นต้องเป็นอิสระเสมอไป:

• บนผลคูณโดยตรงของวงแหวนR × Sโดยที่RและSเป็นวงแหวนที่ไม่เป็นศูนย์ ทั้ง R × 0และ0 × Sเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟที่ไม่เป็นอิสระ
• บนโดเมนเดเดคินด์ ไอเดียลที่ไม่ใช่ไอเดียลหลักจะเป็นโมดูลเชิงฉายที่ไม่ใช่โมดูลอิสระเสมอ
• บนวงแหวนเมทริกซ์ M _n ( R ) โมดูลธรรมชาติR ⁿเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟแต่ไม่ใช่โมดูลอิสระเมื่อn > 1
• บนวงแหวนกึ่งเรียบง่ายทุกโมดูลเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟ แต่ไอเดียลซ้าย (หรือขวา) แท้ที่ไม่เป็นศูนย์จะไม่ใช่โมดูลอิสระ ดังนั้น วงแหวนกึ่งเรียบง่ายเพียงวงเดียวที่โมดูลเชิงโปรเจกทีฟทั้งหมดเป็นโมดูลอิสระคือวงแหวนหาร

ความแตกต่างระหว่างโมดูลอิสระและโมดูลเชิงฉายนั้น ในแง่หนึ่งวัดได้จากกลุ่มทฤษฎีพีชคณิตK K ₀ ( R ); ดูด้านล่าง

โมดูลเชิงโปรเจกทีฟทุกตัวเป็นแบบแบนราบ [ ^{1 ] โดย}ทั่วไปแล้วข้อความกลับกันจะไม่เป็นจริง: กลุ่มอาเบเลียนQเป็น โมดูล Zที่แบนราบแต่ไม่ใช่เชิงโปรเจกทีฟ^{[ ​​2 ]}

ในทางกลับกันโมดูลแบนที่มีความสัมพันธ์จำกัด จะเป็นแบบโปรเจคทีฟ ^{[ ​​3 ]}

Govorov (1965)และLazard (1969)พิสูจน์ว่าโมดูลMแบนราบก็ต่อเมื่อมันเป็นลิมิตโดยตรงของโมดูลอิสระ ที่สร้าง ขึ้น อย่างจำกัด

โดยทั่วไป ความสัมพันธ์ที่ชัดเจนระหว่างความเรียบและความเป็นเชิงโปรเจกทีฟได้รับการกำหนดโดยRaynaud & Gruson (1971) (ดูเพิ่มเติมที่Drinfeld (2006)และBraunling, Groechenig & Wolfson (2016) ) ซึ่งแสดงให้เห็นว่าโมดูลMเป็นเชิงโปรเจกทีฟก็ต่อเมื่อเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

• Mแบนราบ
• Mคือผลรวมโดยตรงของโมดูลที่สร้างขึ้นโดยนับได้
• M ตรงตาม เงื่อนไขประเภทMittag-Lefflerบางประการ

ลักษณะเฉพาะนี้สามารถใช้เพื่อแสดงว่าถ้าเป็น แผนที่ แบนราบที่ซื่อสัตย์ของวงแหวนสลับที่และเป็นโมดูล - แล้วจะเป็นโปรเจกทีฟก็ต่อเมื่อเป็นโปรเจกทีฟ^{[ ​​4 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณสมบัติของการเป็นโปรเจกทีฟเป็นไปตามการลดระดับแบนราบที่ซื่อสัตย์ ${\displaystyle R\to S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M\otimes _{R}S}$

ซับโมดูลของโมดูลเชิงโปรเจกทีฟไม่จำเป็นต้องเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟเสมอไป วงแหวนRที่ซับโมดูลทุกตัวของโมดูลซ้ายเชิงโปรเจกทีฟเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟ เรียกว่า วงแหวนสืบทอดทางซ้าย

ผลหารของโมดูลเชิงโปรเจกทีฟไม่จำเป็นต้องเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟเสมอไป ตัวอย่างเช่นZ / nเป็นผลหารของZแต่ไม่ใช่โมดูลไร้แรงบิดดังนั้นจึงไม่ใช่โมดูลแบนราบ และด้วยเหตุนี้จึงไม่ใช่โมดูลเชิงโปรเจกทีฟ

หมวดหมู่ของโมดูลเชิงโปรเจกทีฟที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือริงเป็นหมวดหมู่ที่แม่นยำ (ดูเพิ่มเติมที่ทฤษฎี K ทางพีชคณิต )

เมื่อกำหนดโมดูลMแล้วการแก้ปัญหาเชิงโปรเจคทีฟของMคือลำดับที่แน่นอนอนันต์ของโมดูล

⋅⋅⋅ → P _n → ⋅⋅⋅ → P ₂ → P ₁ → P ₀ → M → 0,

โดยที่ Pทั้งหมด เป็นโมดูลเชิงโปร _เจก ทีฟ ทุกโมดูลมีการแก้ปัญหาเชิงโปรเจกทีฟ ในความเป็นจริงการแก้ปัญหาแบบอิสระ (การแก้ปัญหาโดยโมดูลอิสระ) มีอยู่จริง ลำดับที่แน่นอนของโมดูลเชิงโปรเจกทีฟบางครั้งอาจย่อเป็นP ( M ) → M → 0หรือP _• → M → 0ตัวอย่างคลาสสิกของการแก้ปัญหาเชิงโปรเจกทีฟคือคอมเพล็กซ์ Koszulของลำดับปกติซึ่งเป็นการแก้ปัญหาแบบอิสระของไอเดียลที่สร้างขึ้นโดยลำดับนั้น

ความยาวของการแก้ปัญหาแบบจำกัดคือดัชนีnโดยที่P _n ไม่ เป็นศูนย์และP _i = 0สำหรับiที่มากกว่าnถ้าMยอมรับการแก้ปัญหาเชิงโปรเจกทีฟแบบจำกัด ความยาวขั้นต่ำสุดในบรรดาการแก้ปัญหาเชิงโปรเจกทีฟแบบจำกัดทั้งหมดของMเรียกว่ามิติเชิง โปรเจกทีฟ และใช้สัญลักษณ์ pd( M ) ถ้าMไม่ยอมรับการแก้ปัญหาเชิงโปรเจกทีฟแบบจำกัด ตามธรรมเนียมแล้ว มิติเชิงโปรเจกทีฟจะเรียกว่าอนันต์ ตัวอย่างเช่น พิจารณาโมดูลMที่pd( M ) = 0ในสถานการณ์นี้ ความแม่นยำของลำดับ 0 → P ₀ → M → 0 บ่งชี้ว่าลูกศรตรงกลางเป็นไอโซมอร์ฟิซึม ดังนั้นMเองจึงเป็นเชิงโปรเจกทีฟ

โมดูลเชิงโปรเจคทีฟเหนือวงแหวนสลับที่นั้นมีคุณสมบัติที่ดี

การหาตำแหน่งเฉพาะที่ของโมดูลเชิงโปรเจกทีฟคือโมดูลเชิงโปรเจกทีฟเหนือวงแหวนเฉพาะที่ โมดูลเชิงโปรเจกทีฟเหนือวงแหวนเฉพาะที่นั้นเป็นโมดูลอิสระ ดังนั้น โมดูลเชิงโปรเจกทีฟ จึงเป็น โมดูลอิสระเฉพาะที่ (ในความหมายที่ว่าการหาตำแหน่งเฉพาะที่ของมันที่ทุกอุดมคติเฉพาะตัว นั้น เป็นโมดูลอิสระเหนือการหาตำแหน่งเฉพาะที่ที่สอดคล้องกันของวงแหวน) ส่วนกลับนั้นเป็นจริงสำหรับโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือ วงแหวนโนเธอร์เรียน : โมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือวงแหวนโนเธอร์เรียนแบบสลับที่ได้นั้นเป็นโมดูลอิสระเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อมันเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟ

อย่างไรก็ตาม มีตัวอย่างของโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดบนวงแหวนที่ไม่ใช่โนเธอร์เรียน ซึ่งเป็นโมดูลอิสระเฉพาะที่และไม่ใช่โมดูลเชิงโปรเจกทีฟ ตัวอย่างเช่นวงแหวนบูลีนมีโลคัลไลเซชันทั้งหมดที่สมมาตรกับF² _ซึ่งเป็นฟิลด์ของสององค์ประกอบ ดังนั้นโมดูลใดๆ บนวงแหวนบูลีนจึงเป็นโมดูลอิสระเฉพาะที่ แต่ก็มีโมดูลที่ไม่ใช่โมดูลเชิงโปรเจกทีฟบนวงแหวนบูลีนอยู่บ้าง ตัวอย่างหนึ่งคือ_{R /} Iโดยที่ R เป็นผลคูณโดยตรงของสำเนาจำนวนนับได้ของF²และIเป็นผลรวมโดยตรงของสำเนาจำนวนนับได้ของF² ภายใน RโมดูลR / IบนR เป็น โมดูลอิสระเฉพาะที่เนื่องจากRเป็นวงแหวนบูลีน (และสร้างขึ้นอย่างจำกัดในฐานะ โมดูล Rด้วย โดยมีเซตแผ่ขยายขนาด 1) แต่R / Iไม่ใช่โมดูลเชิงโปรเจกทีฟเพราะ Iไม่ใช่อุดมคติหลัก (ถ้าโมดูลผลหารR / Iสำหรับวงแหวนสลับที่RและอุดมคติI ใดๆ เป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟบนRแล้วIจะเป็นอุดมคติหลัก)

อย่างไรก็ตาม เป็นความจริงที่ว่าสำหรับโมดูลที่นำเสนออย่างจำกัดMเหนือวงแหวนสลับเปลี่ยนR (โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าMเป็น โมดูล R ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด และRเป็นโนเธอร์เรียน) สิ่งต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน^{[ 5 ]}

1. ${\displaystyle M}$แบนราบ
2. ${\displaystyle M}$เป็นลักษณะเชิงฉาย (projective)
3. ${\displaystyle M_{\mathfrak {m}}}$เป็น โมดูลอิสระสำหรับทุกอุดมคติสูงสุดของR${\displaystyle R_{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
4. ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$เป็น โมดูลอิสระสำหรับทุกอุดมคติเฉพาะของR${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
5. มีการสร้างอุดมคติหน่วยขึ้นมาโดยที่เป็นอิสระในฐานะโมดูลสำหรับแต่ละi${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}\in R}$${\displaystyle M[f_{i}^{-1}]}$${\displaystyle R[f_{i}^{-1}]}$
6. ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$เป็นชีฟอิสระเฉพาะที่บนแผนผังเชิงเส้น (โดยที่คือชีฟที่เกี่ยวข้องกับM )${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

นอกจากนี้ ถ้าRเป็นโดเมนอินทิกรัลแบบ โนเธอร์เรียน แล้ว ตามทฤษฎีบทของนาคายามะเงื่อนไขเหล่านี้จะเทียบเท่ากับ

• มิติของปริภูมิเวกเตอร์ - เหมือนกันสำหรับอุดมคติเฉพาะทั้งหมดของRโดยที่คือฟิลด์ตกค้างที่[ ^{6 ] กล่าว} คือMมีอันดับคงที่ (ตามที่กำหนดไว้ด้านล่าง)${\displaystyle k({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle k({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

ให้Aเป็นวงแหวนสลับที่ได้ ถ้าB เป็น พีชคณิตA (อาจจะไม่สลับที่ได้) ซึ่งเป็น โมดูล Aเชิง โปรเจกทีฟที่ ^{สร้าง} ขึ้นอย่างจำกัด ซึ่งมีAเป็นวงแหวนย่อยแล้วAเป็นตัวประกอบโดยตรงของB ^{[ 7} ]

ให้Pเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดบนวงแหวนสลับที่R และ X เป็นสเปกตรัมของ R อันดับของ P ที่อุดมคติเฉพาะในXคืออันดับของโมดูลอิสระมันเป็นฟังก์ชันคงที่เฉพาะที่บนXโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าXเชื่อมต่อกัน (นั่นคือถ้าRไม่มีตัวผกผันอื่นนอกจาก 0 และ 1) แล้วPจะมีอันดับคงที่ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle P_{\mathfrak {p}}}$

แรงจูงใจพื้นฐานของทฤษฎีนี้คือ โมดูลเชิงโปรเจกทีฟ (อย่างน้อยที่สุดบนวงแหวนสลับที่บางประเภท) เป็นอนาล็อกของเวกเตอร์บันเดิล สามารถอธิบายให้ชัดเจนยิ่งขึ้นได้สำหรับวงแหวนของฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่อง บน ปริภูมิเฮาส์ดอ ร์ฟ แบบกระชับเช่นเดียวกับสำหรับวงแหวนของฟังก์ชันเรียบบนแมนิโฟลด์เรียบ (ดูทฤษฎีบทเซอเร-สวอนที่กล่าวว่า โมดูลเชิงโปรเจกทีฟที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดบนปริภูมิของฟังก์ชันเรียบบนแมนิโฟลด์แบบกระชับคือปริภูมิของส่วนเรียบของเวกเตอร์บันเดิลเรียบ )

เวกเตอร์บันเดิลเป็นโมดูลอิสระเฉพาะที่หากมีแนวคิดเรื่อง "การกำหนดตำแหน่งเฉพาะที่" ที่สามารถนำมาใช้กับโมดูลได้ เช่น การกำหนดตำแหน่งเฉพาะที่ของวงแหวน ตามปกติ เราสามารถกำหนดโมดูลอิสระเฉพาะที่ได้ และโดยทั่วไปแล้วโมดูลเชิงโปรเจกทีฟจะสอดคล้องกับโมดูลอิสระเฉพาะที่เหล่านั้น

ทฤษฎีบทQuillen–Suslinซึ่งแก้ปัญหาของ Serre เป็นผลลัพธ์ที่ลึกซึ้ง อีกอย่างหนึ่ง : ถ้าKเป็นฟิลด์ หรือโดยทั่วไปแล้วเป็นโดเมนอุดมคติหลักและR = K [ X ₁ ,..., X _n ]เป็นวงแหวนพหุนามเหนือKแล้วโมดูลเชิงโปรเจกทีฟทุกตัวเหนือRเป็นอิสระ ปัญหานี้ถูกยกขึ้นครั้งแรกโดย Serre โดยที่Kเป็นฟิลด์ (และโมดูลถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัด) Bassได้แก้ไขปัญหานี้สำหรับโมดูลที่ไม่ได้ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัด^{[ 8 ]}และQuillenและSuslinได้พิจารณากรณีของโมดูลที่ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดโดยอิสระและพร้อมกัน

เนื่องจากโมดูลเชิงโปรเจกทีฟทุกตัวเหนือโดเมนอุดมคติหลักเป็นอิสระ เราอาจตั้งคำถามนี้ได้ว่า ถ้าRเป็นวงแหวนสลับที่ซึ่งโมดูลเชิงโปรเจกทีฟR ทุกตัว (ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด) เป็นอิสระ แล้วโมดูลเชิงโปรเจกทีฟR [ X ] ทุกตัว (ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด) เป็นอิสระหรือ ไม่คำตอบคือ ไม่ใช่ ตัวอย่างค้านเกิดขึ้นเมื่อRเท่ากับวงแหวนเฉพาะที่ของเส้นโค้งy ² = x ³ที่จุดกำเนิด ดังนั้นทฤษฎีบท Quillen–Suslin จึงไม่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยการอุปมาน อย่างง่าย บนจำนวนตัวแปร

วิกิบุ๊กเรื่องพีชคณิตเชิงสลับเปลี่ยนมีหน้าหนึ่งที่กล่าวถึงหัวข้อ: โมดูลไร้แรงบิด โมดูลแบน โมดูลเชิงฉาย และโมดูลอิสระ

• ฝาครอบแบบฉายภาพ
• ทฤษฎีบทของชานูเอล
• ทฤษฎีการหักล้างเบส
• ทฤษฎีการแสดงแทนแบบโมดูลาร์

• https://mathoverflow.net/questions/272018/faithfully-flat-descent-of-projectivity-for-non-commutative-rings