ในทางคณิตศาสตร์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตเชิงโฮโม โล ยีการแก้ปัญหา (หรือ การแก้ ปัญหาทางซ้ายหรือการแก้ปัญหาร่วมทางขวา^{[ 1 ]} ) คือลำดับที่แน่นอนของโมดูล (หรือโดยทั่วไปแล้ว ของวัตถุในหมวดหมู่อาเบเลียน ) ที่ใช้ในการกำหนดตัวแปรคงที่ที่บ่งบอกลักษณะของโครงสร้างของโมดูลหรือวัตถุเฉพาะของหมวดหมู่นี้ เมื่อลูกศรชี้ไปทางขวาตามปกติ ลำดับจะถือว่าอนันต์ทางซ้ายสำหรับการแก้ปัญหา (ทางซ้าย) และทางขวาสำหรับการแก้ปัญหาทางขวา อย่างไรก็ตาม การแก้ปัญหาแบบจำกัดคือการแก้ปัญหาที่มีวัตถุในลำดับที่ไม่เป็นศูนย์ เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น โดยปกติจะแสดงด้วยลำดับที่แน่นอนแบบจำกัด ซึ่งวัตถุซ้ายสุด (สำหรับการแก้ปัญหา) หรือวัตถุขวาสุด (สำหรับการแก้ปัญหาร่วมทางขวา) เป็นวัตถุศูนย์^{[ 2 ]}

โดยทั่วไป วัตถุในลำดับจะถูกจำกัดให้มีคุณสมบัติP บางอย่าง (เช่น เป็นอิสระ) ดังนั้นจึงเรียกว่าการแก้ปัญหาแบบ Pโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทุกโมดูลมี การแก้ปัญหา แบบ อิสระการแก้ปัญหาแบบโปรเจคทีฟและการแก้ปัญหาแบบแฟลตซึ่งเป็นการแก้ปัญหาทางซ้ายที่ประกอบด้วยโมดูลอิสระ โมดูลแบบโปรเจคทีฟหรือโมดูลแบบแฟลต ตามลำดับ ในทำนองเดียวกัน ทุกโมดูลมีการแก้ปัญหาแบบฉีดซึ่งเป็นการแก้ปัญหาทางขวาที่ประกอบด้วยโมดูลแบบฉีด

เมื่อกำหนดโมดูลเหนือริง แล้ว การแก้ปัญหา ทางซ้าย (หรือเรียกสั้น ๆ ว่าการแก้ปัญหา ) ของคือลำดับที่แน่นอน (อาจเป็นอนันต์) ของโมดูล ${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \cdots {\overset {d_{n+1}}{\longrightarrow }}E_{n}{\overset {d_{n}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d_{3}}{\longrightarrow }}E_{2}{\overset {d_{2}}{\longrightarrow }}E_{1}{\overset {d_{1}}{\longrightarrow }}E_{0}{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.}$

โฮโมมอร์ฟิซึมเรียกว่าแผนที่ขอบเขต แผนที่นี้เรียกว่าแผนที่เสริมเพื่อความกระชับ สามารถเขียนการแก้ปัญหาข้างต้นได้ดังนี้ ${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle E_{\bullet }{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.}$

แนวคิดคู่ขนานคือการแก้ปัญหาทางขวา (หรือการแก้ปัญหาร่วมหรือเรียกง่ายๆ ว่าการแก้ปัญหา ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อกำหนดโมดูลเหนือริงการแก้ปัญหาทางขวาคือลำดับที่แน่นอนของโมดูล n ซึ่งอาจเป็นอนันต์${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{0}{\overset {d^{0}}{\longrightarrow }}C^{1}{\overset {d^{1}}{\longrightarrow }}C^{2}{\overset {d^{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d^{n-1}}{\longrightarrow }}C^{n}{\overset {d^{n}}{\longrightarrow }}\cdots ,}$

โดยแต่ละอันเป็นโมดูล (โดยทั่วไปจะใช้ตัวยกกับวัตถุในการแก้ปัญหาและแผนที่ระหว่างวัตถุเหล่านั้นเพื่อระบุลักษณะคู่ของการแก้ปัญหาดังกล่าว) เพื่อความกระชับ การแก้ปัญหาข้างต้นสามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle C^{i}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{\bullet }.}$

กล่าวได้ว่า (โค)ความละเอียดเป็นแบบจำกัดถ้ามีเพียงโมดูลจำนวนจำกัดเท่านั้นที่ไม่เป็นศูนย์ความยาวของความละเอียดแบบจำกัดคือดัชนีสูงสุดที่กำกับโมดูลที่ไม่เป็นศูนย์ในความละเอียดแบบจำกัดนั้น ${\displaystyle n}$

ในหลายกรณี จะมีการกำหนดเงื่อนไขให้กับโมดูลที่ใช้ในการแก้ปัญหาโมดูลที่กำหนดตัวอย่างเช่นการแก้ปัญหาแบบอิสระของโมดูลคือ การแก้ปัญหาทางซ้ายซึ่งโมดูลทั้งหมดเป็น โมดูล อิสระในทำนองเดียวกัน การแก้ปัญหา แบบโปรเจคทีฟและแบบแฟลตคือ การแก้ปัญหาทางซ้ายซึ่งโมดูลทั้งหมด เป็นโมดูลโปรเจคทีฟและ แบบ แฟลตตามลำดับ การแก้ปัญหา แบบอินเจกทีฟคือ การแก้ปัญหาทางขวาซึ่ง โมดูล ทั้งหมดเป็นโมดูลอินเจกทีฟ ${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle C^{i}}$

ทุกโมดูลมีการแก้ไขด้านซ้ายที่เป็นอิสระ^{[ 3 ]}ยิ่งไปกว่านั้นทุกโมดูลยังยอมรับการแก้ไขแบบโปรเจคทีฟและแบบแฟลต แนวคิดการพิสูจน์คือการกำหนด ให้เป็นโมดูลอิสระที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบของและจากนั้นให้เป็นโมดูลอิสระที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบของเคอร์เนลของแผนที่ธรรมชาติ→ เป็นต้น ในทำนองเดียวกัน ทุกโมดูลมีการแก้ไขแบบอินเจกทีฟ การแก้ไขแบบโปรเจคทีฟ (และโดยทั่วไป การแก้ไขแบบแฟลต) สามารถใช้ในการคำนวณฟังก์ชัน Torได้ ${\displaystyle R}$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$

การแก้ปัญหาเชิงโปรเจคทีฟของโมดูลนั้นมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงโฮโมโทปีแบบลูกโซ่กล่าวคือ เมื่อกำหนดการแก้ปัญหาเชิงโปรเจคทีฟสองแบบแล้วจะมีโฮโมโทปีแบบลูกโซ่ระหว่างทั้งสองแบบ ${\displaystyle M}$${\displaystyle P_{0}\to M}$${\displaystyle P_{1}\to M}$${\displaystyle M}$

การแก้ปัญหา (Resolutions) ใช้ในการกำหนดมิติเชิงโฮโมโลยีความยาวขั้นต่ำของการแก้ปัญหาเชิงโปรเจคทีฟแบบจำกัดของโมดูลเรียกว่ามิติเชิง โปรเจคทีฟ และใช้สัญลักษณ์ตัวอย่างเช่น โมดูลจะมีมิติเชิงโปรเจคทีฟเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อเป็นโมดูลเชิงโปรเจคทีฟ ถ้าไม่ยอมรับการแก้ปัญหาเชิงโปรเจคทีฟแบบจำกัด มิติเชิงโปรเจคทีฟจะเป็นอนันต์ ตัวอย่างเช่น สำหรับวงแหวนเฉพาะที่แบบสลับ ที่ได้ มิติเชิงโปรเจคทีฟจะเป็นค่าจำกัดก็ต่อเมื่อเป็น วงแหวน ปกติและในกรณีนี้มันจะตรงกับมิติครัลล์ของ ใน ทำนอง เดียวกันมิติเชิงฉีด (Injective Dimension)และมิติเชิงระนาบ (Flat Dimension)ก็ถูกกำหนดสำหรับโมดูลเช่นกัน ${\displaystyle M}$${\displaystyle {\text{P-}}\dim(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\text{I-}}\dim(M)}$${\displaystyle {\text{F-}}\dim(M)}$

มิติเชิงฉีดและเชิงฉายภาพถูกนำมาใช้ในหมวดหมู่ของโมดูลขวาเพื่อกำหนดมิติเชิงโฮโมโลยีสำหรับ ซึ่งเรียกว่า มิติสากลขวาของ ในทำนองเดียวกัน มิติเชิงระนาบถูกใช้เพื่อกำหนดมิติสากลแบบอ่อนพฤติกรรมของมิติเหล่านี้สะท้อนถึงลักษณะเฉพาะของริง ตัวอย่างเช่น ริงจะมีมิติสากลขวาเป็น 0 ก็ต่อเมื่อเป็นริงกึ่งง่ายและริงจะมีมิติสากลแบบอ่อนเป็น 0 ก็ต่อเมื่อเป็นริงปกติของฟอน นอยมันน์ ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

ให้Mเป็นโมดูลแบบมีระดับชั้นเหนือพีชคณิตแบบมีระดับชั้นซึ่งสร้างขึ้นเหนือฟิลด์โดยสมาชิกที่มีดีกรีเป็นบวก แล้วM มีการแก้ปัญหาแบบอิสระซึ่งโมดูลอิสระE _iอาจมีระดับชั้นในลักษณะที่d _iและ ε เป็นแผนที่เชิงเส้นแบบมีระดับชั้นในบรรดาการแก้ปัญหาแบบอิสระที่มีระดับชั้นเหล่านี้การแก้ปัญหาแบบอิสระขั้นต่ำคือการแก้ปัญหาที่จำนวนสมาชิกฐานของแต่ละE _iมีค่าน้อยที่สุด จำนวนสมาชิกฐานของแต่ละE _iและดีกรีของพวกมันจะเหมือนกันสำหรับการแก้ปัญหาแบบอิสระขั้นต่ำทั้งหมดของโมดูลแบบมีระดับชั้น

ถ้าIเป็นไอเดียลเอกพันธุ์ในวงแหวนพหุนามเหนือฟิลด์ความสม่ำเสมอแบบ Castelnuovo–Mumfordของเซตพีชคณิตเชิงโปรเจกทีฟที่กำหนดโดยIคือจำนวนเต็มขั้นต่ำrที่ทำให้ดีกรีขององค์ประกอบฐานของE i _ในการแก้ปัญหาอิสระขั้นต่ำของIทั้งหมดต่ำกว่าri

ตัวอย่างคลาสสิกของการแก้ปัญหาแบบอิสระคือคอมเพล็กซ์ Koszulของลำดับปกติในวงแหวนเฉพาะที่หรือของลำดับปกติที่เป็นเอกพันธุ์ในพีชคณิตแบบแบ่งระดับที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือฟิลด์

ให้Xเป็นปริภูมิแอสเฟริคัล กล่าวคือ ปริภูมิ คลุมสากลE ของ X สามารถหดตัวได้ดังนั้น คอมเพล็กซ์ลูกโซ่เอก ฐาน (หรือ ซิ มพลิเชียล ) ทุกตัวของEจะเป็นการแก้ปัญหาอิสระของโมดูลZไม่เพียงแต่เหนือวงแหวนZ เท่านั้น แต่ยังเหนือวงแหวนกลุ่มZ [ π ₁ ( X )] ด้วย

นิยามของการแก้ปัญหาของวัตถุM ในหมวดหมู่อาเบเลียนAนั้นเหมือนกับข้างต้น แต่E _iและC ⁱเป็นวัตถุในAและแผนที่ทั้งหมดที่เกี่ยวข้องเป็นมอร์ฟิซึมในA

แนวคิดที่คล้ายคลึงกันของโมดูลเชิงโปรเจกทีฟและเชิงอินเจกทีฟคือวัตถุเชิงโปรเจกทีฟและเชิงอินเจกทีฟ และด้วยเหตุนี้ การแก้ปัญหาเชิงโปรเจกทีฟและเชิงอินเจกทีฟจึงเกิดขึ้นได้ อย่างไรก็ตาม การแก้ปัญหาดังกล่าวไม่จำเป็นต้องมีอยู่ในหมวดหมู่อาเบเลียนทั่วไปA หากวัตถุทุกตัวของ A มีการแก้ปัญหาเชิงโปรเจกทีฟ (หรือเชิงอินเจกทีฟ) แล้วAจะถูกกล่าวว่ามีวัตถุเชิงโปรเจกทีฟเพียงพอ (หรือเชิงอินเจกทีฟเพียงพอ ) ถึงแม้ว่าจะมีอยู่จริง การแก้ปัญหาดังกล่าวก็มักจะยากต่อการใช้งาน ตัวอย่างเช่น ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น ทุก โมดูล Rมีการแก้ปัญหาเชิงอินเจกทีฟ แต่การแก้ปัญหานี้ไม่ใช่ฟังก์ชันนัล กล่าว คือ เมื่อกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมM → M'แล้ว การแก้ปัญหาเชิงอินเจกทีฟ จะไม่สามารถทำได้

${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow I_{*},\ \ 0\rightarrow M'\rightarrow I'_{*},}$

โดยทั่วไปแล้ว ไม่มีวิธีการเชิงฟังก์ชันใดที่จะสร้างแผนที่ระหว่างและได้ ${\displaystyle I_{*}}$${\displaystyle I'_{*}}$

ตัวอย่างหนึ่งของหมวดหมู่แบบอาเบเลียนที่ไม่มีการแก้ปัญหาเชิงโปรเจคทีฟคือหมวดหมู่ของชีฟที่สอดคล้องกันบนสกีมเช่น ถ้าเป็นปริภูมิเชิงโปรเจคทีฟ ชีฟที่สอดคล้องกันใดๆบนจะมีการนำเสนอที่กำหนดโดยลำดับที่แน่นอน ${\displaystyle {\text{Coh}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X=\mathbb {P} _{S}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \bigoplus _{i,j=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i,j})\to \bigoplus _{i=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i})\to {\mathcal {M}}\to 0.}$

สองพจน์แรกโดยทั่วไปไม่ใช่พจน์เชิงโปรเจกทีฟ เนื่องจาก แต่ทั้งสองพจน์เป็นอิสระในระดับท้องถิ่นและแบนราบในระดับท้องถิ่น ชีฟทั้งสองประเภทสามารถใช้แทนที่สำหรับการคำนวณบางอย่างได้ โดยแทนที่การแก้ปัญหาเชิงโปรเจกทีฟสำหรับการคำนวณฟังก์ชันอนุพันธ์บางอย่าง ${\displaystyle H^{n}(\mathbb {P} _{S}^{n},{\mathcal {O}}_{X}(s))\neq 0}$${\displaystyle s>0}$

ในหลายกรณี เราไม่ได้สนใจวัตถุที่ปรากฏในการแก้ปัญหามากนัก แต่เราสนใจพฤติกรรมของการแก้ปัญหาเมื่อเทียบกับฟังก์ชัน ที่กำหนดให้ ดังนั้น ในหลายสถานการณ์ จึง มีการใช้แนวคิดของการแก้ปัญหาแบบไม่มีวัฏจักร : เมื่อกำหนด ฟังก์ชันที่แน่นอนทางซ้ายF : A → Bระหว่างสองหมวดหมู่แบบอาเบเลียน การแก้ปัญหาจะเป็นดังนี้

${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow E_{0}\rightarrow E_{1}\rightarrow E_{2}\rightarrow \cdots }$

การแก้ปัญหาแบบซ้ายเรียกว่า F - acyclic หากฟังก์ชันอนุพันธ์R _i F ( E _n ) เป็นศูนย์สำหรับทุกi  > 0 และn  ≥ 0 ในทางกลับกัน การแก้ปัญหาแบบซ้ายจะเป็น acyclic เมื่อเทียบกับฟังก์ชันแบบขวาที่แม่นยำ หากฟังก์ชันอนุพันธ์ของการแก้ปัญหาเป็นศูนย์บนวัตถุของการแก้ปัญหา

ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดโมดูลR Mแล้วผลคูณเทนเซอร์   คือฟังก์ชันเชิงสัมบูรณ์ทางขวาMod ( R ) → Mod ( R ) การแก้ปัญหาแบบราบเรียบทุกแบบไม่มีวัฏจักรเมื่อเทียบกับฟังก์ชันนี้การแก้ปัญหาแบบราบเรียบไม่มีวัฏจักรสำหรับผลคูณเทนเซอร์โดยทุกMในทำนองเดียวกัน การแก้ปัญหาที่ไม่มีวัฏจักรสำหรับฟังก์ชันHom ( ⋅ , M ) ทั้งหมดคือการแก้ปัญหาเชิงโปรเจกทีฟ และการแก้ปัญหาที่ไม่มีวัฏจักรสำหรับฟังก์ชันHom ( M , ⋅ ) คือการแก้ปัญหาเชิงฉีด ${\displaystyle \otimes _{R}M}$

การแก้ปัญหาแบบฉีด (แบบโปรเจคทีฟ) ใดๆ ก็ตาม จะไม่มี วัฏจักร Fสำหรับฟังก์ชันแบบแม่นยำทางซ้าย (แบบแม่นยำทางขวา ตามลำดับ) ใดๆ ก็ตาม

ความสำคัญของการแก้ปัญหาแบบไร้วัฏจักรนั้นอยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันอนุพันธ์R _i F (ของฟังก์ชันที่แม่นยำทางซ้าย และในทำนองเดียวกันL _i Fของฟังก์ชันที่แม่นยำทางขวา) สามารถหาได้จากโฮโมโลยีของการ แก้ปัญหาแบบไร้วัฏจักร F : เมื่อกำหนดการแก้ปัญหาแบบไร้วัฏจักรของวัตถุMเราจะได้ ${\displaystyle E_{*}}$

${\displaystyle R_{i}F(M)=H_{i}F(E_{*}),}$

โดยที่ด้านขวามือคือ วัตถุโฮโมโลยีลำดับที่ iของคอมเพล็กซ์${\displaystyle F(E_{*}).}$

สถานการณ์นี้สามารถนำไปใช้ได้ในหลายกรณี ตัวอย่างเช่น สำหรับชีฟคงที่Rบนแมนิโฟลด์เชิงอนุพันธ์Mสามารถแก้ไขได้ด้วยชีฟของรูปแบบเชิงอนุพันธ์ เรียบ : ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{*}(M)}$

${\displaystyle 0\rightarrow R\subset {\mathcal {C}}^{0}(M){\stackrel {d}{\rightarrow }}{\mathcal {C}}^{1}(M){\stackrel {d}{\rightarrow }}\cdots {\stackrel {d}{\rightarrow }}{\mathcal {C}}^{\dim M}(M)\rightarrow 0.}$

ชีฟเหล่านี้เป็นชีฟละเอียดซึ่งเป็นที่ทราบกันดีว่าไม่มีวัฏจักรเมื่อเทียบกับฟังก์ชันภาคตัดทั่วโลกดังนั้นโคฮอโมโลยีของชีฟซึ่งเป็นฟังก์ชันอนุพันธ์ของฟังก์ชันภาคตัดทั่วโลก Γ จึงคำนวณได้ดังนี้ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{*}(M)}$${\displaystyle \Gamma :{\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(M)}$${\displaystyle \mathrm {H} ^{i}(M,\mathbf {R} )=\mathrm {H} ^{i}({\mathcal {C}}^{*}(M)).}$

ในทำนองเดียวกันการแก้ปัญหา Godementจะไม่มีวัฏจักรเมื่อเทียบกับฟังก์ชันส่วนทั่วโลก

• ความละเอียดมาตรฐาน
• ทฤษฎีบทฮิลเบิร์ต-เบิร์ช
• ทฤษฎีบทซิซีจีของฮิลเบิร์ต
• การนำเสนอฟรี
• การแยกตัวประกอบเมทริกซ์ (พีชคณิต)