ในทางคณิตศาสตร์วงแหวนปกติของฟอน นอยมันน์ (von Neumann regular ring ) คือวงแหวนR (มีคุณสมบัติสมาคม โดยมีค่า 1 ไม่จำเป็นต้องมีคุณสมบัติสลับที่ได้) ซึ่งสำหรับทุกสมาชิกaในRจะมีxในR ที่ มีa = axaเราอาจมองว่าxเป็น "ตัวผกผันแบบอ่อน" ของสมาชิกaโดยทั่วไปแล้วxไม่ได้ถูกกำหนดโดยa เพียงอย่างเดียว วงแหวนปกติของฟอน นอยมันน์ ยังเรียกว่าวงแหวนแบนราบสัมบูรณ์ (absolutely flat rings ) เพราะวงแหวนเหล่านี้มีลักษณะเฉพาะคือ ทุกโมดูล ซ้าย ของ Rเป็นโมดูลแบนราบ

วงแหวนปกติของฟอน นอยมันน์ ถูกนำเสนอโดยฟอน นอยมันน์  ( ค.ศ. 1936 ) ภายใต้ชื่อ "วงแหวนปกติ" ในระหว่างการศึกษาพีชคณิตของฟอน นอยมันน์และเรขาคณิตต่อเนื่องวงแหวนปกติของฟอน นอยมันน์ ไม่ควรสับสนกับวงแหวนปกติและวงแหวนเฉพาะที่ปกติของพีชคณิตสลับที่ ซึ่งไม่เกี่ยวข้อง กัน

สมาชิกaของริงเรียกว่าสมาชิกปกติของฟอน นอยมันน์ถ้ามีx อยู่จริง ที่ทำให้a = axa ^[ 1 ^] ไอเดียล^{เรียก}ว่าไอเดียลปกติ (ของ ^ฟอน นอยมันน์) ถ้าสำหรับทุกสมาชิกaในมีสมาชิกx อยู่ ในที่ทำให้a = axa [ ^{2 ]}${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$

ทุกฟิลด์ (และทุกฟิลด์เฉียง ) เป็นแบบปกติของฟอน นอยมันน์: สำหรับa ≠ 0เราสามารถใช้x = a ⁻¹ได้^{[ 1 ]} โดเมนอินทิกรัลเป็นแบบปกติของฟอน นอยมันน์ก็ต่อเมื่อมันเป็นฟิลด์ผลคูณโดยตรงของวงแหวนปกติของฟอน นอยมันน์ทุกวงจะเป็นแบบปกติของฟอน นอยมันน์อีกครั้ง

ตัวอย่างที่สำคัญอีกกลุ่มหนึ่งของวงแหวนปกติของฟอน นอยมันน์ คือ วงแหวน M _n ( K ) ของเมทริกซ์จัตุรัสขนาดn x n ที่มีสมาชิกจากฟิลด์K บางฟิลด์ ถ้าrคืออันดับของA ∈ M _n ( K ) การกำจัดแบบเกาส์เซียนจะให้เมทริกซ์ผกผันUและVเช่นนั้น^{[ 3 ]}

${\displaystyle A=U{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V}$

(โดยที่I _rคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาดr x r ) ถ้าเรากำหนดX = V ⁻¹ U ⁻¹แล้ว

${\displaystyle AXA=U{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V=U{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V=A.}$

โดยทั่วไปแล้ว วงแหวนเมทริกซ์ n × nเหนือวงแหวนปกติของฟอน นอยมันน์ใดๆ ก็ยังคงปกติของฟอน นอยมันน์อยู่ดี^{[ 1 ]}

ถ้าVเป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือฟิลด์ (หรือฟิลด์เฉียง ) Kแล้ววงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึม End _K ( V ) จะเป็นแบบปกติของฟอนนอยมันน์ แม้ว่าVจะไม่ใช่มิติจำกัด ก็ตาม ^{[ 4 ]}

โดยทั่วไปจากตัวอย่างข้างต้น สมมติว่าSเป็นวงแหวนบางวง และMเป็นS-โมดูล ซึ่งทุกโมดูลย่อยของMเป็นผลรวมโดยตรงของM (โมดูลM ดังกล่าว เรียกว่าเซมิซิมเพิล ) แล้ววงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึม End _S ( M ) จะเป็นวงแหวนปกติของฟอนนอยมันน์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วงแหวนเซมิซิมเพิลทุก วงเป็น วงแหวน ปกติของฟอนนอยมันน์ อันที่จริง วงแหวนเซมิซิมเพิลก็คือ วงแหวนปกติ ของ ฟอนนอย มันน์แบบโนเธอร์เรียน นั่นเอง^{[ 5 ]}

วงแหวนของตัวดำเนินการที่สัมพันธ์กันของพีชคณิตฟอนนอยมันน์ จำกัด นั้นเป็นแบบปกติของฟอนนอยมันน์

วงแหวนบูลีนคือวงแหวนที่ทุกองค์ประกอบสอดคล้องกับเงื่อนไขa² = aวงแหวนบูลีนทุกวงเป็นวงแหวนปกติแบบฟอน นอยมันน์ (von Neumann regular ⁾

ข้อความต่อไปนี้มีความหมายเทียบเท่ากันสำหรับวงแหวนR :

• Rคือค่าปกติของฟอน นอยมันน์
• หลักการทางซ้ายทุกประการ ถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบที่คงตัว
• ไอเดียลซ้าย ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดทุก ตัว ถูกสร้างขึ้นโดยตัวผกผัน
• อุดมคติซ้ายหลักทุกตัวเป็นผลรวมโดยตรงของโมดูล ซ้าย R R
• ไอเดียลซ้ายที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดทุกตัวเป็นผลรวมโดยตรงของโมดูล ซ้าย R R
• ทุกสับโมดูล ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด ของ โมดูล Rซ้ายเชิงโปรเจกทีฟ Pล้วนเป็นส่วนประกอบโดยตรงของP
• ทุกโมดูลR ทางซ้ายเป็น แบบแบนราบ : หรือเรียกอีกอย่างว่าRเป็นแบบแบนราบโดยสมบูรณ์หรือRมีมิติอ่อนเป็น 0
• ลำดับที่แน่นอนสั้น ๆทุก ลำดับ ของ โมดูล R ด้านซ้าย เป็นโมดูลที่แน่นอนบริสุทธิ์

ข้อความที่เกี่ยวข้องสำหรับโมดูลด้านขวาก็เทียบเท่ากับการ ที่ Rเป็นแบบปกติของฟอน นอยมันน์เช่น กัน

วงแหวนปกติของฟอน นอยมันน์ทุกวงมีราดิคัลของเจคอบสัน {0} และดังนั้นจึงเป็นเซมิพริมิทีฟ (เรียกอีกอย่างว่า "เซมิ-ซิมเพิลของเจคอบสัน")

ในวงแหวนปกติแบบสลับที่ได้ของฟอน นอยมันน์ สำหรับแต่ละองค์ประกอบxจะมีองค์ประกอบy ที่ไม่ซ้ำกันเพียงตัวเดียว ซึ่งทำให้xyx = xและyxy = yดังนั้นจึงมีวิธีมาตรฐานในการเลือก "ตัวผกผันแบบอ่อน" ของ x

ข้อความต่อไปนี้เทียบเท่ากันสำหรับวงแหวนสลับที่R :

• Rคือค่าปกติของฟอน นอยมันน์ (von Neumann regular)
• Rมีมิติ Krullเป็น 0 และถูกลดทอนลง
• ทุกการกำหนดตำแหน่งของRที่อุดมคติสูงสุดล้วนเป็นฟิลด์
• Rคือวงแหวนย่อยของผลคูณของฟิลด์ที่ปิดภายใต้การหา "อินเวอร์สแบบอ่อน" ของx ∈ R (องค์ประกอบy ที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งxyx = xและyxy = y )
• Rคือ วงแหวนรูป ตัวV ^{[ 6 ]}
• Rมีคุณสมบัติการยกขึ้นทางขวาต่อโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนZ [ t ] → Z [ t ^± ] × Zที่กำหนดโดยt ↦ ( t , 0)หรือกล่าวในเชิงเรขาคณิตว่าฟังก์ชันปกติ ทุกตัว แยกตัวประกอบผ่านมอร์ฟิซึมของแผนผัง^{[ 7 ]}${\textstyle \mathrm {Spec} (R)\to \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle \{0\}\sqcup \mathbb {G} _{m}\to \mathbb {A} ^{1}}$

นอกจากนี้ สิ่งต่อไปนี้ก็เทียบเท่ากันด้วย: สำหรับวงแหวนสลับที่A

• R = A / nil( A )เป็นเมทริกซ์ปกติของฟอน นอยมันน์
• สเปกตรัมของAคือ Hausdorff (ใน โทโพโล ยีZariski )
• โทโพโลยีที่สร้างได้และโทโพโลยี Zariski สำหรับSpec( A )ตรงกัน

วงแหวนปกติของฟอน นอยมันน์ชนิดพิเศษ ได้แก่วงแหวนปกติแบบหน่วยวงแหวนปกติของฟอน นอยมันน์แบบเข้มแข็งและวงแหวน ลำดับ

วงแหวนRเรียกว่าวงแหวนปกติแบบหน่วย (unit regular)ถ้าสำหรับทุกค่า aในRจะมีหน่วยuในRที่ทำให้a = auaวงแหวนกึ่งง่าย (semisimple ring)ทุกวงเป็นวงแหวนปกติแบบหน่วย และวงแหวนปกติแบบหน่วยเป็นวงแหวนจำกัดโดยตรง (directly finite ring ) วงแหวนปกติแบบฟอน นอยมันน์ (von Neumann regular ring) ทั่วไปไม่จำเป็นต้องเป็นวงแหวนจำกัดโดยตรง

วงแหวนRเรียกว่า วงแหวน von Neumann ปกติอย่างเข้มแข็ง (strongly von Neumann regular)ถ้าสำหรับทุกaในRจะมีx บางตัว ในRที่a = aaxเงื่อนไขนี้สมมาตรซ้ายขวา วงแหวน von Neumann ปกติอย่างเข้มแข็งเป็นวงแหวนปกติหน่วย (unit regular) วงแหวน von Neumann ปกติอย่างเข้มแข็งทุกวงเป็นผลคูณย่อยโดยตรง (subdirect product)ของวงแหวนหาร (division rings ) ในบางแง่ สิ่งนี้เลียนแบบคุณสมบัติของวงแหวน von Neumann ปกติแบบสลับที่ได้ (commutative von Neumann regular rings) ซึ่งเป็นผลคูณย่อยโดยตรงของฟิลด์ (subdirect product) ได้อย่างใกล้ชิดยิ่งขึ้น สำหรับวงแหวนแบบสลับที่ได้ วงแหวน von Neumann ปกติและวงแหวน von Neumann ปกติอย่างเข้มแข็งนั้นเทียบเท่ากัน โดยทั่วไปแล้ว สิ่งต่อไปนี้เทียบเท่ากันสำหรับวงแหวนR :

• Rมีความสม่ำเสมอแบบฟอน นอยมันน์อย่างมาก
• Rคือค่าปกติและค่าลดรูป ของฟอน นอยมันน์
• Rเป็นเมทริกซ์ปกติของฟอน นอยมันน์ และตัวผกผันทุกตัวในRเป็นตัวกลาง
• อุดมคติซ้ายหลักทุกตัวของRถูกสร้างขึ้นโดยตัวผกผันกลาง

การขยายแนวคิดของวงแหวนปกติของฟอน นอยมันน์ ได้แก่ วงแหวนปกติแบบ π , วงแหวนกึ่งสืบทอดซ้าย/ขวา , วงแหวนไม่เอกฐานซ้าย/ขวาและวงแหวนกึ่งดั้งเดิม

• เซมิกรุ๊ปปกติ
• ผกผันที่อ่อนแอ