ในพีชคณิตเชิงโฮโมโลยี ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์การแยกตัวประกอบเมทริกซ์เป็นเครื่องมือที่ใช้ในการศึกษาการแก้ปัญหา ที่มีความยาวอนันต์ โดยทั่วไปแล้ว จะ ใช้กับวงแหวนสลับที่ได้

หนึ่งในปัญหาของพีชคณิตที่ไม่เรียบ เช่นพีชคณิตอาร์ตินคือหมวดหมู่ที่ได้มา ของพวกมัน มีพฤติกรรมที่ไม่ดีเนื่องจากการแก้ปัญหาเชิงโปรเจกทีฟ แบบอนันต์ ตัวอย่างเช่น ในวงแหวน มีการแก้ปัญหาแบบอนันต์ของโมดูล - ซึ่ง${\displaystyle R=\mathbb {C} [x]/(x^{2})}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {\cdot x}}R{\xrightarrow {\cdot x}}R{\xrightarrow {\cdot x}}R\to \mathbb {C} \to 0}$

แทนที่จะพิจารณาเฉพาะหมวดหมู่ที่ได้มาของหมวดหมู่โมดูลDavid Eisenbud ^{[ 1 ]}ศึกษาการแก้ปัญหาดังกล่าวโดยพิจารณาจากความเป็นคาบ โดยทั่วไป การแก้ปัญหาดังกล่าวจะเป็นคาบโดยมีคาบตามวัตถุจำนวนจำกัดในการแก้ปัญหา ${\displaystyle 2}$

สำหรับริงสลับที่และสมาชิก การแยกตัวประกอบ เมทริกซ์ของ คือ เมทริกซ์คู่หนึ่ง ขนาด n x nซึ่งทำให้สิ่งนี้สามารถเข้ารหัสได้ทั่วไปมากขึ้นในรูปของโมดูลแบบแบ่งระดับที่มีเอนโดมอร์ฟิซึม${\displaystyle S}$${\displaystyle f\in S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle AB=f\cdot {\text{Id}}_{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M=M_{0}\oplus M_{1}}$

${\displaystyle d={\begin{bmatrix}0&d_{1}\\d_{0}&0\end{bmatrix}}}$

โดยที่. ${\displaystyle d^{2}=f\cdot {\text{Id}}_{M}}$

(1) สำหรับและมีการแยกตัวประกอบเมทริกซ์โดยที่ สำหรับ${\displaystyle S=\mathbb {C} [[x]]}$${\displaystyle f=x^{n}}$${\displaystyle d_{0}:S\rightleftarrows S:d_{1}}$${\displaystyle d_{0}=x^{i},d_{1}=x^{ni}}$${\displaystyle 0\leq i\leq n}$

(2) ถ้าและแล้วจะมีการแยกตัวประกอบเมทริกซ์ที่${\displaystyle S=\mathbb {C} [[x,y,z]]}$${\displaystyle f=xy+xz+yz}$${\displaystyle d_{0}:S^{2}\rightleftarrows S^{2}:d_{1}}$

${\displaystyle d_{0}={\begin{bmatrix}z&y\\x&-xy\end{bmatrix}}{\text{ }}d_{1}={\begin{bmatrix}x+y&y\\x&-z\end{bmatrix}}}$

คำนิยาม

กำหนดให้ริงท้องถิ่นปกติ และไอเดียลที่สร้างขึ้นโดยลำดับ-sequence ตั้งค่าและให้ ${\displaystyle R}$${\displaystyle I\subset R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B=A/I}$

${\displaystyle \cdots \to F_{2}\to F_{1}\to F_{0}\to 0}$

เป็นความละเอียดขั้นต่ำสุดของสนาม พื้นดินที่ปราศจากข้อจำกัด จากนั้นจะกลายเป็นคาบหลังจากขั้นตอน ไม่เกิน https://www.youtube.com/watch?v=2Jo5eCv9ZVY${\displaystyle B}$${\displaystyle F_{\bullet }}$${\displaystyle 1+{\text{dim}}(B)}$

หน้า 18 ของบทความ eisenbud

• เรขาคณิตพีชคณิตแบบไม่สลับที่ได้มา
• หมวดหมู่ที่ได้มา
• พีชคณิตเชิงโฮโมโลยี
• หมวดหมู่สามเหลี่ยม

• พีชคณิตเชิงโฮโมโลยีบนจุดตัดสมบูรณ์พร้อมการประยุกต์ใช้กับการแสดงแทนกลุ่ม
• การศึกษาเชิงเรขาคณิตของหมวดหมู่การแยกตัวประกอบเมทริกซ์
• https://web.math.princeton.edu/~takumim/takumim_Spr13_JP.pdf
• https://arxiv.org/abs/1110.2918