ในทางคณิตศาสตร์โมดูลเป็นการขยายแนวคิดของปริภูมิเวกเตอร์โดยที่ฟิลด์ของสเกลาร์ถูกแทนที่ด้วยวงแหวน (ไม่จำเป็นต้อง เป็นวงแหวนสลับที่ได้ ) แนวคิดของโมดูลยังเป็นการขยายแนวคิดของกลุ่มอาเบล อีกด้วย เนื่องจากกลุ่มอาเบลคือโมดูลเหนือวงแหวนของจำนวนเต็ม^{[ 1 ]}

เช่นเดียวกับปริภูมิเวกเตอร์ โมดูลเป็นกลุ่มอาเบเลียนแบบบวก และการคูณด้วยสเกลาร์นั้นมีคุณสมบัติการกระจายตัวเหนือการดำเนินการบวกระหว่างสมาชิกของริงหรือโมดูล และเข้ากันได้กับการคูณริง

โมดูลมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีการแทนกลุ่ม นอกจาก นี้ยังเป็นหนึ่งในแนวคิดหลักของพีชคณิตเชิงสลับที่และพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีและถูกนำไปใช้อย่างกว้างขวางในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและโทโพโลยีเชิงพีชคณิต

ในปริภูมิเวกเตอร์ เซตของสเกลาร์เป็นฟิลด์และกระทำต่อเวกเตอร์โดยการคูณสเกลาร์ ภายใต้สัจพจน์บางประการ เช่นกฎการกระจายในโมดูล สเกลาร์จำเป็นต้องเป็นริง เท่านั้น ดังนั้นแนวคิดของโมดูลจึงเป็นการวางนัยทั่วไปที่สำคัญ ในพีชคณิตสลับที่ ทั้งไอเดียลและริงผลหารเป็นโมดูล ดังนั้นข้อโต้แย้งหลายอย่างเกี่ยวกับไอเดียลหรือริงผลหารจึงสามารถรวมเข้าเป็นข้อโต้แย้งเดียวเกี่ยวกับโมดูลได้ ในพีชคณิตไม่สลับที่ ความแตกต่างระหว่างไอเดียลซ้าย ไอเดียล และโมดูลจะเด่นชัดมากขึ้น แม้ว่าเงื่อนไขทางทฤษฎีริงบางอย่างสามารถแสดงได้ทั้งเกี่ยวกับไอเดียลซ้ายหรือโมดูลซ้าย

ทฤษฎีของโมดูลส่วนใหญ่ประกอบด้วยการขยายคุณสมบัติที่พึงประสงค์ของปริภูมิเวกเตอร์ให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ไปยังขอบเขตของโมดูลเหนือวงแหวนที่มี " พฤติกรรมที่ดี " เช่นโดเมนอุดมคติหลักอย่างไรก็ตาม โมดูลอาจซับซ้อนกว่าปริภูมิเวกเตอร์มาก ตัวอย่างเช่น ไม่ใช่ทุกโมดูลจะมีฐานและแม้แต่โมดูลที่มีฐาน ( โมดูลอิสระ ) จำนวนองค์ประกอบในฐานก็ไม่จำเป็นต้องเท่ากันสำหรับทุกฐาน (กล่าวคือ อาจไม่มีอันดับ ที่ไม่ซ้ำกัน ) หากวงแหวนพื้นฐานไม่เป็นไปตาม เงื่อนไข จำนวนฐานไม่แปรเปลี่ยนซึ่งแตกต่างจากปริภูมิเวกเตอร์ซึ่งมีฐานเสมอ (อาจเป็นอนันต์) ซึ่งมีจำนวนสมาชิกที่ไม่ซ้ำกัน (ข้อความสองข้อสุดท้ายนี้โดยทั่วไปต้องอาศัยสัจพจน์ของการเลือกแต่ไม่ใช่ในกรณีของ ปริภูมิเวกเตอร์ มิติจำกัดหรือปริภูมิเวกเตอร์มิติอนันต์ที่มีพฤติกรรมที่ดีบางอย่าง เช่นปริภูมิL ^p )

สมมติว่าRเป็นริงและ 1 คือเอกลักษณ์การคูณของริงนั้น โมดูลซ้ายR - Mประกอบด้วยกลุ่มอาเบเลียน( M , +)และการดำเนินการ·  : R × M → Mโดยที่สำหรับทุกr , sในRและx , yในMเราจะได้ว่า

${\displaystyle r\cdot (x+y)=r\cdot x+r\cdot y}$,

${\displaystyle (r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x}$,

${\displaystyle (rs)\cdot x=r\cdot (s\cdot x)}$,

${\displaystyle 1\cdot x=x.}$

การดำเนินการ · เรียกว่าการคูณสเกลาร์บ่อยครั้งที่มักละสัญลักษณ์ · แต่ในบทความนี้เราใช้สัญลักษณ์นี้ และสงวนการวางเคียงข้างไว้สำหรับการคูณในR เราอาจเขียน_R Mเพื่อเน้นว่าM เป็น โมดูลซ้าย ของ R โมดูลขวาของ R M _Rถูกกำหนดในทำนองเดียวกันโดยใช้การดำเนินการ· : M × R → M

คุณสมบัติเชิงคุณภาพของโมดูลซ้ายหรือขวาไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าสเกลาร์เขียนไว้ทางซ้ายหรือทางขวา แต่ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติที่ 3: ถ้าในคำจำกัดความข้างต้น คุณสมบัติที่ 3 ถูกแทนที่ด้วย

${\displaystyle (rs)\cdot x=s\cdot (r\cdot x),}$

เราจะได้โมดูลทางขวา แม้ว่าค่าคงที่จะถูกเขียนไว้ทางซ้ายก็ตาม อย่างไรก็ตาม การเขียนค่าคงที่ไว้ทางซ้ายสำหรับโมดูลทางซ้าย และทางขวาสำหรับโมดูลทางขวา จะทำให้การจัดการคุณสมบัติข้อ 3 ง่ายขึ้นมาก

ผู้เขียนที่ไม่ต้องการให้วงแหวนมีเอกลักษณ์ จะ ละเว้นเงื่อนไขที่ 4 ในคำจำกัดความข้างต้น พวกเขาจะเรียกโครงสร้างที่กำหนดไว้ข้างต้นว่า " โมดูล R ซ้ายที่มีเอกลักษณ์ " ในบทความนี้ สอดคล้องกับคำศัพท์ของทฤษฎีวงแหวนวงแหวนและโมดูลทั้งหมดถือว่ามีเอกลักษณ์^{[ 2 ]}

( R , S ) -bimoduleคือกลุ่มอาเบเลียนที่มีการคูณสเกลาร์ทางซ้าย · โดยสมาชิกของRและการคูณสเกลาร์ทางขวา ∗ โดยสมาชิกของSทำให้เป็นทั้ง โมดูล R ทางซ้าย และ โมดูล S ทางขวาไปพร้อมกัน โดยมีเงื่อนไขเพิ่มเติมคือ ( r · x ) ∗ s = r ⋅ ( x ∗ s )สำหรับทุกrในR , xในMและsในS

ถ้าRเป็นภาษาสลับที่ได้ โมดูล Rทางซ้ายจะเหมือนกับ โมดูล R ทางขวา และเรียกง่ายๆ ว่า โมดูล Rโดยส่วนใหญ่แล้ว สเกลาร์จะถูกเขียนไว้ทางซ้ายในกรณีนี้

• ถ้าKเป็นฟิลด์โมดูลKจะ เรียกว่า ปริภูมิเวกเตอร์ K (ปริภูมิเวกเตอร์เหนือK )
• ถ้าKเป็นฟิลด์ และK [ x ] เป็น วงแหวนพหุนามเอกตัวแปรแล้วK [ x ]-โมดูลMคือK-โมดูลที่มีการกระทำเพิ่มเติมของxบนMโดยโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มที่สลับที่ได้กับการกระทำของKบนMกล่าวอีกนัยหนึ่งK [ x ]-โมดูลคือปริภูมิเวกเตอร์K Mที่รวมกับแผนที่เชิงเส้นจากMไปยังM การประยุกต์ ใช้ทฤษฎีบทโครงสร้างสำหรับโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือโดเมนอุดมคติหลักกับตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของรูปแบบ แคนอนิก เชิงตรรกะและจอร์แดน
• แนวคิดของZ-โมดูลสอดคล้องกับแนวคิดของกลุ่มอาเบเลียน กล่าวคือ ทุกกลุ่มอาเบเลียนเป็นโมดูลเหนือวงแหวนของจำนวนเต็มZในลักษณะเฉพาะ สำหรับn > 0ให้n ⋅ x = x + x + ... + x ( nพจน์), 0 ⋅ x = 0และ(− n ) ⋅ x = −( n ⋅ x )โมดูลดังกล่าวไม่จำเป็นต้องมีฐาน —กลุ่มที่มีสมาชิกแบบทอร์ชั่นไม่จำเป็นต้องมีฐาน (ตัวอย่างเช่น ในกลุ่มของจำนวนเต็มโมดูล 3 เราไม่สามารถหาสมาชิกแม้แต่ตัวเดียวที่ตรงตามนิยามของ เซต อิสระเชิงเส้นได้ เนื่องจากเมื่อจำนวนเต็มเช่น 3 หรือ 6 คูณกับสมาชิก ผลลัพธ์จะเป็น 0 อย่างไรก็ตาม หาก พิจารณา ฟิลด์จำกัดเป็นโมดูลเหนือฟิลด์จำกัดเดียวกันที่ถือว่าเป็นวงแหวน มันจะเป็นปริภูมิเวกเตอร์และมีฐาน)
• เศษส่วนทศนิยม (รวมถึงเศษส่วนลบ) ก่อตัวเป็นโมดูลเหนือจำนวนเต็ม มีเพียง เซต ที่มีสมาชิกเดียว เท่านั้น ที่เป็นอิสระเชิงเส้น แต่ไม่มีเซตที่มีสมาชิกเดียวใดที่สามารถใช้เป็นฐานได้ ดังนั้นโมดูลนี้จึงไม่มีฐานและไม่มีอันดับในความหมายปกติของพีชคณิตเชิงเส้น อย่างไรก็ตาม โมดูลนี้มีอันดับที่ปราศจากแรงบิดเท่ากับ 1
• ถ้าRเป็นริงใดๆ และnเป็นจำนวนธรรมชาติผลคูณคาร์ทีเซียนR ⁿจะเป็นทั้งโมดูลซ้ายและโมดูลขวาของRถ้าเราใช้การดำเนินการแบบแยกส่วน ดังนั้นเมื่อn = 1 R จะเป็น โมดูล ของRโดยการคูณด้วยสเกลาร์ก็คือการคูณริงนั่นเอง กรณีn = 0จะได้โมดูลของ R ที่ไม่มีสมาชิกอื่น{0} ซึ่งประกอบด้วยสมาชิกเอกลักษณ์เพียงอย่างเดียว โมดูลประเภทนี้เรียกว่าโมดูลอิสระและถ้าRมีฐานเลขไม่แปรเปลี่ยน (เช่น ริงหรือฟิลด์สลับที่ใดๆ) จำนวนnก็จะเป็นอันดับของโมดูลอิสระนั้น
• ถ้า M _n ( R ) คือวงแหวนของเมทริกซ์n × n เหนือวงแหวนRแล้วMคือโมดูล M _n ( R ) และe _iคือ เมทริกซ์ n × nที่มี 1 ใน ตำแหน่ง ( i , i ) (และศูนย์ในตำแหน่งอื่น) แล้วe _i Mคือ โมดูล Rเนื่องจากre _i m = e _i rm ∈ e _i Mดังนั้นMจึงแตกออกเป็นผลรวมโดยตรงของโมดูลR คือ M = e ₁ M ⊕ ... ⊕ e _n Mในทางกลับกัน เมื่อกำหนดโมดูลR M ₀แล้วM ₀ ^{⊕ n}คือโมดูล M _n ( R ) อันที่จริงหมวดหมู่ของโมดูลRและหมวดหมู่ของโมดูล M _n ( R ) นั้น เทียบเท่ากัน กรณีพิเศษคือโมดูลMเป็นเพียงโมดูลR เหนือตัวมันเอง ดังนั้น R ⁿ จึง เป็นโมดูล M _n ( R )
• ถ้าSเป็นเซตที่ไม่ว่าง M เป็น R- โมดูล ซ้ายและM ^Sคือกลุ่มของฟังก์ชัน ทั้งหมด f  : S → Mแล้ว ด้วยการบวกและการคูณสเกลาร์ในM ^Sที่กำหนดแบบจุดต่อจุดโดย( f + g )( s ) = f ( s ) + g ( s )และ( rf )( s ) = rf ( s )แล้วM ^Sจะเป็นR- โมดูลซ้าย กรณีของ R- โมดูล ขวาก็คล้ายกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าRเป็นแบบสลับที่ได้แล้ว กลุ่มของโฮโมมอร์ฟิซึมของ R-โมดูลh  : M → N (ดูด้านล่าง) จะเป็นR-โมดูล (และในความเป็นจริงเป็นซับโมดูลของN ^M )
• ถ้าXเป็นแมนิโฟล ด์ เรียบฟังก์ชันเรียบจากXไปยังจำนวนจริงจะก่อให้เกิดริงC ^∞ ( X ) เซตของฟิลด์เวกเตอร์ เรียบทั้งหมด ที่กำหนดบนXจะก่อให้เกิดโมดูลเหนือC ^∞ ( X ) เช่นเดียวกับฟิลด์เทนเซอร์และฟอร์มเชิงอนุพันธ์บนXโดยทั่วไปแล้ว ส่วนตัดของบันเดิลเวกเตอร์ ใดๆ จะก่อให้เกิดโมดูลเชิงโปรเจก ทีฟ เหนือC ^∞ ( X ) และตามทฤษฎีบทของสวอน โมดูลเชิงโปรเจกที ฟทุกโมดูลจะสมมูลกับโมดูลของส่วนตัดของบันเดิลเวกเตอร์บางอันหมวดหมู่ของ โมดูล C ^∞ ( X ) และหมวดหมู่ของบันเดิลเวกเตอร์เหนือXนั้นเทียบเท่ากัน
• ถ้าRเป็นริงใดๆ และIเป็นไอเดียลซ้าย ใดๆ ในRแล้วIจะเป็นโมดูลซ้ายของ Rและในทำนองเดียวกัน ไอเดียลขวาในR จะเป็น โมดูลขวาของ R
• ถ้าRเป็นริง เราสามารถกำหนดริงตรงข้ามR ^{op ได้ ซึ่งมี} เซตพื้นฐานเดียวกันและการดำเนินการบวกเหมือนกัน แต่มีการคูณตรงกันข้าม กล่าวคือ ถ้าab = cในRแล้วba = cในR ^op โมดูลซ้าย ใดๆM สามารถมองได้ว่าเป็น โมดูล ขวาเหนือR ^opและโมดูลขวาใดๆ เหนือR สามารถพิจารณาได้ ว่าเป็นโมดูลซ้ายเหนือR ^op
• โมดูลเหนือพีชคณิตลีคือ โมดูล (พีชคณิตแบบสมาคม) เหนือพีชคณิตห่อหุ้มสากล ของ มัน
• ถ้าRและSเป็นริงที่มีโฮโมมอร์ฟิซึมของริงφ  : R → Sแล้ว ทุกS-โมดูลMจะเป็นR-โมดูลได้ด้วยการนิยามrm = φ ( r ) mโดยเฉพาะอย่างยิ่งSเองก็เป็นR-โมดูล เช่นนั้น

สมมติว่าMเป็น โมดูล R ซ้าย และNเป็นกลุ่มย่อยของMแล้วNเป็นโมดูลย่อย (หรือกล่าวให้ชัดเจนยิ่งขึ้นคือ โมดูลย่อย R ) ถ้าสำหรับn ใด ๆ ในNและr ใดๆ ในRผลคูณr ⋅ n (หรือn ⋅ rสำหรับ โมดูล R ขวา ) อยู่ในN

ถ้าXเป็นเซตย่อย ใดๆ ของโมดูลR Mแล้วโมดูลย่อยที่แผ่ขยายโดยXจะถูกกำหนดให้เป็นโดยที่Nวิ่งผ่านโมดูลย่อยของMที่มีXหรือโดยชัดแจ้งซึ่งมีความสำคัญในคำจำกัดความของ ผล คูณเทนเซอร์ของโมดูล^{[ 3 ]}${\textstyle \langle X\rangle =\,\bigcap _{N\supseteq X}N}$${\textstyle {\bigl \{}\!\sum _{i=1}^{k}r_{i}x_{i}\mathrel {\big |} r_{i}\in R,\,x_{i}\in X{\bigr \}}}$

เซตของซับโมดูลของโมดูลM ที่กำหนดให้ พร้อมด้วยการดำเนินการทวิภาคสองอย่าง _คือ + (โมดูลที่เกิดจากการรวมกันของอาร์กิวเมนต์) และ ∩ จะก่อให้เกิดแลตทิซที่สอดคล้องกับกฎโมดูลาร์ : กำหนดซับโมดูล_U , N1 , N2 ของ M โดยที่N1 ⊆ N2แล้วซับโมดูลสองตัวต่อไปนี้จะเท่ากัน : ( _{N1 +} U ₎ ∩ N2 = N1 _{+ (} U ∩ N2 ₎

ถ้าMและNเป็นโมดูลR ทางซ้าย แผนที่f  : M → Nจะเป็น โฮโม มอ ร์ฟิซึมของโมดูลRก็ต่อเมื่อสำหรับm , n ใดๆ ในMและr , s ใดๆ ในR

${\displaystyle f(r\cdot m+s\cdot n)=r\cdot f(m)+s\cdot f(n)}$.

เช่นเดียวกับ โฮโมมอร์ฟิซึม ของวัตถุทางคณิตศาสตร์ อื่นๆ นี่คือการแมปที่รักษาโครงสร้างของวัตถุเหล่านั้นไว้ ชื่อเรียกอีกอย่างหนึ่งของโฮโมมอร์ฟิซึมของ โมดูล Rคือแผนที่ เชิงเส้นR

ฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลแบบหนึ่งต่อหนึ่งf  : M → Nเรียกว่า ไอโซมอร์ฟิซึม ของโมดูล และโมดูลMและNเรียกว่าไอโซมอร์ฟิก โมดูลไอโซมอร์ฟิกสองโมดูลนั้นเหมือนกันทุกประการในทางปฏิบัติ ต่างกันเพียงแค่สัญลักษณ์ที่ใช้แทนสมาชิกของโมดูลเท่านั้น

เคอร์เนลของโมดูลโฮโมมอร์ฟิซึมf : M → N คือซับโมดูลของ M ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดที่ส่งไปยังศูนย์โดย f และภาพของ f คือซับโมดูลของ N ที่ประกอบด้วยค่า f ( m  ) สำหรับองค์ประกอบmทั้งหมดของ M [ 4 ]ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมที่คุ้นเคยจากกลุ่มและปริภูมิ^{เวกเตอร์}ยังใช้ได้^กับ R- โมดูลด้วย

เมื่อกำหนดริงRแล้ว เซตของโมดูลซ้ายR ทั้งหมด พร้อมกับโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลเหล่านั้นจะก่อให้เกิดหมวดหมู่แบบอาเบเลียนซึ่งเขียนแทนด้วยR - Mod (ดูหมวดหมู่ของโมดูล )

สร้างขึ้นอย่างจำกัด

โมดูลR - Mเรียกว่าโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดหากมีองค์ประกอบx ₁ , ..., x _n จำนวนจำกัด ในMซึ่งทุกองค์ประกอบของMเป็นผลรวมเชิงเส้นขององค์ประกอบเหล่านั้นโดยมีสัมประสิทธิ์จากริงR

วัฏจักร

โมดูลจะเรียกว่าโมดูลวัฏจักรหากโมดูลนั้นถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบเพียงหนึ่งเดียว

ฟรี

โมดูลRอิสระ คือ โมดูลที่มีฐาน หรือเทียบเท่ากับฐานที่สมมูลกับ ผล รวมโดยตรงของสำเนาของริงRโมดูลเหล่านี้มีพฤติกรรมคล้ายกับปริภูมิเวกเตอร์มาก

ฉายภาพ

โมดูลเชิงโปรเจกทีฟเป็นผลรวมโดยตรงของโมดูลอิสระและมีคุณสมบัติที่พึงประสงค์หลายอย่างร่วมกัน

การฉีด

โมดูลแบบฉีด (Injective modules)ถูกกำหนดในลักษณะคู่ขนานกับโมดูลแบบฉาย (Projective modules)

แบน

โมดูลจะเรียกว่าแบนราบหากการนำผลคูณเทนเซอร์ของโมดูลนั้นกับลำดับที่แน่นอนของโมดูลR ใดๆ ยังคงรักษาความแม่นยำไว้ได้

ไร้แรงบิด

โมดูลจะเรียกว่าไม่มีแรงบิด (torsionless)หากมันสามารถฝังตัวลงในโมดูลคู่ทางพีชคณิต ของมัน ได้

เรียบง่าย

โมดูลแบบง่ายSคือโมดูลที่ไม่ใช่ {0} และมีโมดูลย่อยเพียง {0} และS เท่านั้น บางครั้งโมดูลแบบง่ายก็เรียกว่าโมดูลที่ไม่สามารถลดรูปได้^{[ 5 ]}

เซมิซิมเพิล

โมดูลกึ่งง่าย (semisimple module)คือผลรวมโดยตรง (ไม่ว่าจะเป็นโมดูลจำกัดหรือไม่) ของโมดูลง่าย (simple module) ในอดีต โมดูลเหล่านี้ยังถูกเรียกว่า โมดูลที่ลดรูปได้อย่างสมบูรณ์ (completely reducible module) อีกด้วย

ไม่สามารถย่อยสลายได้

โมดูลที่ไม่สามารถแยกย่อยได้คือ โมดูลที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งไม่สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมโดยตรงของโมดูลย่อยที่ไม่เป็นศูนย์สองโมดูล โมดูลเชิงเดี่ยวทุกโมดูลเป็นโมดูลที่ไม่สามารถแยกย่อยได้ แต่ก็มีโมดูลที่ไม่สามารถแยกย่อยได้ที่ไม่ใช่โมดูลเชิงเดี่ยว (เช่นโมดูลเอกรูป )

ซื่อสัตย์

โมดูลที่ซื่อสัตย์Mคือโมดูลที่การกระทำของแต่ละr ≠ 0ในRต่อM นั้น ไม่ใช่การกระทำที่ไม่สำคัญ (กล่าวคือr ⋅ x ≠ 0สำหรับบางxในM ) หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งตัวทำลายของMคือไอเดียลศูนย์

ปราศจากแรงบิด

โมดูลไร้แรงบิดคือ โมดูลเหนือริงที่ 0 เป็นองค์ประกอบเดียวที่ถูกลบล้างโดยองค์ประกอบปกติ ( ตัวหารที่ไม่ใช่ศูนย์ ) ของริง หรือเทียบเท่ากับrm = 0หมายความว่าr = 0หรือm = 0

โนเอเธเรียน

โมดูลโนเธอร์เรียน (Noetherian module)คือโมดูลที่ตรงตามเงื่อนไขของสายโซ่ที่เพิ่มขึ้นบนโมดูลย่อย กล่าวคือ ทุกสายโซ่ที่เพิ่มขึ้นของโมดูลย่อยจะกลายเป็นสภาวะคงที่หลังจากจำนวนขั้นตอนที่จำกัด หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ทุกโมดูลย่อยถูกสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด

อาร์ติเนียน

โมดูลอา ร์ทิเนียน คือโมดูลที่สอดคล้องกับเงื่อนไขสายโซ่ลดลงของโมดูลย่อย กล่าวคือ ทุกสายโซ่ที่ลดลงของโมดูลย่อยจะกลายเป็นสถานะคงที่หลังจากจำนวนขั้นตอนที่จำกัด

เกรด

โมดูลแบบมีระดับ (Graded module)คือโมดูลเหนือวงแหวนแบบมีระดับR = ⨁ _x R _xพร้อมกับการแยกส่วนผลรวมโดยตรงM = ⨁ _x M _xโดยที่R _x M _y ⊆ M _{x + y}สำหรับทุกxและy

เครื่องแบบ

โมดูลเอกรูปคือ โมดูลที่ทุกคู่ของโมดูลย่อยที่ไม่เป็นศูนย์ มีส่วนตัดกันที่ไม่เป็นศูนย์

การแทนกลุ่มGเหนือฟิลด์kคือโมดูลเหนือวงแหวนกลุ่มk [ G ]

ถ้าMเป็นโมดูลซ้ายRแล้วการกระทำของสมาชิกrในRจะถูกกำหนดให้เป็นแผนที่M → Mที่ส่งx แต่ละตัว ไปยังrx (หรือxrในกรณีของโมดูลขวา) และจำเป็นต้องเป็นเอนโดมอร์ฟิซึมของกลุ่มของกลุ่มอาเบเลียน( M , +)เซตของเอนโดมอร์ฟิซึมของกลุ่มทั้งหมดของMจะถูกแทนด้วย End _Z ( M ) และก่อตัวเป็นวงแหวนภายใต้การบวกและการประกอบและการส่งสมาชิกวงแหวนrของRไปยังการกระทำของมันจะเป็นการกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนจากRไปยัง End _Z ( M )

โฮโมมอร์ฟิซึมของริง R → End _Z ( M )ดังกล่าวเรียกว่าการแทนกลุ่มอาเบเลียนMเหนือริงR ; วิธีการอื่นที่เทียบเท่ากันในการนิยาม โมดูล R ซ้าย คือ การกล่าวว่า โมดูล R ซ้าย คือ กลุ่มอาเบเลียนMพร้อมกับการแทนMเหนือR การแทน R → End _Z ( M )ดังกล่าวอาจเรียกว่า การกระทำ ของริงRบนMก็ได้

การแทนที่เรียกว่าซื่อสัตย์ (faithful) ก็ต่อ เมื่อแผนที่R → End _Z ( M )เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective ) ในแง่ของโมดูล หมายความว่า ถ้าrเป็นสมาชิกของRโดยที่rx = 0สำหรับทุกxในMแล้วr = 0ทุกกลุ่มอาเบเลียนเป็นโมดูลที่ซื่อสัตย์เหนือจำนวนเต็มหรือเหนือวงแหวนของจำนวนเต็มโมดูลn , Z / n Zสำหรับn บาง ค่า

วงแหวนRสอดคล้องกับหมวดหมู่พรีแอดดิทีฟR ที่มี วัตถุเดียวด้วยความเข้าใจนี้ โมดูล R ซ้ายจึง เป็นเพียงฟังก์ชันแอดดิทีฟ ร่วมแปร จากRไปยังหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนAbและ โมดูล R ขวา คือฟังก์ชันแอดดิทีฟผกผัน นี่แสดงให้เห็นว่า ถ้าCเป็นหมวดหมู่พรีแอดดิทีฟใดๆ ฟังก์ชันแอดดิทีฟร่วมแปรจากCไปยังAb ควรได้รับการ พิจารณา ว่าเป็นโมดูลซ้ายแบบทั่วไปเหนือCฟังก์ชันเหล่านี้ก่อตัวเป็นหมวดหมู่ฟังก์ชันC - Modซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปตามธรรมชาติของหมวดหมู่โมดูลR - Mod

โมดูลเหนือ วงแหวน สลับที่สามารถขยายความได้ในอีกทิศทางหนึ่ง: พิจารณาปริภูมิวงแหวน ( X , OX ₎และพิจารณาชีฟของ โมดูล _OX (ดูชีฟของโมดูล ) สิ่งเหล่านี้ก่อตัวเป็นหมวดหมู่_OX - Modและมีบทบาทสำคัญในเรขาคณิตพีชคณิต สมัยใหม่ ถ้าXมีจุดเพียงจุดเดียว นี่จะเป็นหมวดหมู่โมดูลในความหมายดั้งเดิมเหนือวงแหวนสลับ_OX ( X )

เรายังสามารถพิจารณาโมดูลบนเซมิริงซึ่งเรียกว่าเซมิโมดูลได้อีกด้วย โมดูลบนริงเป็นกลุ่มอาเบเลียน แต่โมดูลบนเซมิริงเป็นเพียงโมโนอิดแบบสลับที่ได้ เท่านั้น การประยุกต์ใช้โมดูลส่วนใหญ่ยังคงเป็นไปได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับเซมิริงS ใดๆ เมทริกซ์บนSจะก่อตัวเป็นเซมิริงซึ่งทูเปิลขององค์ประกอบจากSเป็นโมดูล (ในความหมายทั่วไปนี้เท่านั้น) สิ่งนี้ทำให้สามารถขยายแนวคิดของปริภูมิเวกเตอร์โดยรวมเซมิริงจากวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี ได้อีกด้วย

ในนาโนริงเราสามารถพิจารณานาโนโมดูล ซึ่งเป็นการขยายแนวคิดของโมดูลแบบไม่สลับที่ (nonabelian generalization) ได้

• โมดูล G
• แหวนกลุ่ม
• พีชคณิต (ทฤษฎีวงแหวน)
• โมดูล (ทฤษฎีแบบจำลอง)
• โมดูลสเปกตรัม
• ผู้ทำลายล้าง

• "โมดูล" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• โมดูลที่n Lab