ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชัน เกือบเป็น คาบ ( almost periodic function)โดยคร่าว ๆ แล้วคือฟังก์ชันของ ตัวแปร จริงที่เป็นคาบภายในระดับความแม่นยำที่ต้องการ โดยกำหนด "คาบเกือบ" ที่ยาวและกระจายตัวอย่างเหมาะสม แนวคิดนี้ได้รับการศึกษาครั้งแรกโดยฮาราลด์ โบห์รและต่อมาได้รับการขยายความโดยเวียเชสลาฟ สเตปานอ ฟ เฮอ ร์มันน์ เวย์ลและอับราม ซาโมอิโลวิช เบซิโควิชและคนอื่นๆ นอกจากนี้ยังมีแนวคิดเกี่ยวกับฟังก์ชันเกือบเป็นคาบในกลุ่มอาเบเลียนแบบกะทัดรัดเฉพาะที่ (locally compact abelian groups ) ซึ่งได้รับการศึกษาครั้งแรกโดยจอห์น ฟอน นอยมันน์

ความเกือบจะ เป็นคาบเวลาคือคุณสมบัติของระบบพลวัตที่ดูเหมือนจะย้อนรอยเส้นทางเดิมผ่านปริภูมิเฟสแต่ไม่ตรงเป๊ะ ตัวอย่างเช่นระบบดาวเคราะห์ที่มีดาวเคราะห์โคจรด้วยคาบเวลาที่ไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้ (กล่าวคือ เวกเตอร์คาบเวลาที่ไม่เป็นสัดส่วนกับเวกเตอร์ของจำนวนเต็ม ) ทฤษฎีบทของโครเนกเกอร์จากการประมาณไดโอแฟนไทน์สามารถใช้แสดงให้เห็นว่า การจัดเรียงตัวใดๆ ที่เกิดขึ้นครั้งหนึ่ง จะเกิดขึ้นซ้ำได้ภายในความแม่นยำที่กำหนดไว้ หากเรารอเป็นเวลานานพอ เราจะสังเกตเห็นว่าดาวเคราะห์ทั้งหมดกลับมาอยู่ในตำแหน่งเดิม ภายในระยะเวลาประมาณหนึ่ง วินาทีของส่วนโค้ง

มีนิยามที่ไม่เท่ากันหลายประการสำหรับฟังก์ชันเกือบเป็นคาบ นิยามแรกนั้นได้มาจากฮาราลด์ โบห์ร ความสนใจของเขาในตอนแรกนั้นอยู่ที่อนุกรมดิริชเลต์ แบบจำกัด อันที่จริงแล้ว การตัดทอนอนุกรมสำหรับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ζ ( s ) เพื่อให้เป็นแบบจำกัด จะได้ผลรวมจำกัดของพจน์ประเภท

${\displaystyle e^{s\log n}\,}$

โดยที่sเขียนได้เป็นσ  +  it – ผลรวมของส่วนจริงσและส่วนจินตนาการit เมื่อกำหนดค่า σให้คงที่โดยจำกัดความสนใจไว้ที่เส้นแนวตั้งเส้นเดียวในระนาบเชิงซ้อนเราสามารถมองเห็นสิ่งนี้ได้ดังนี้

${\displaystyle n^{\sigma }e^{(\log n)it}.\,}$

การนำ ผลรวม จำกัดของพจน์ดังกล่าวมาใช้จะช่วยหลีกเลี่ยงความยากลำบากในการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ไปยังบริเวณ σ < 1 ในบริเวณนี้ "ความถี่" log nจะไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้ทั้งหมด (ความถี่เหล่านี้เป็นอิสระเชิงเส้นเหนือจำนวนตรรกยะ เช่นเดียว กับที่จำนวนเต็มnเป็นอิสระเชิงการคูณ ซึ่งขึ้นอยู่กับการแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนเหล่านั้น)

ด้วยแรงจูงใจเบื้องต้นในการพิจารณาประเภทของพหุนามตรีโกณมิติที่มีความถี่อิสระ จึงได้ มี การนำการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์มาใช้เพื่ออภิปรายเกี่ยวกับการปิดของเซตของฟังก์ชันพื้นฐานเหล่านี้ในบรรทัดฐานต่างๆ

ทฤษฎีนี้ได้รับการพัฒนาโดยใช้บรรทัดฐานอื่นๆ โดยBesicovitch , Stepanov , Weyl , von Neumann , Turing , Bochnerและคนอื่นๆ ในช่วงทศวรรษ 1920 และ 1930

Bohr (1925) ^{[ 1 ]}นิยามฟังก์ชันเกือบเป็นคาบสม่ำเสมอว่าเป็นการปิดของพหุนามตรีโกณมิติโดยสัมพันธ์กับบรรทัดฐานสม่ำเสมอ

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x}|f(x)|}$

(สำหรับฟังก์ชันf ที่มีขอบเขต บนR ) กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันfจะเป็นฟังก์ชันเกือบคาบสม่ำเสมอ ถ้าสำหรับทุกε > 0 จะมีการรวมเชิงเส้นจำกัดของคลื่นไซน์และโคไซน์ที่มีระยะห่างน้อยกว่าεจากfเมื่อเทียบกับบรรทัดฐานสม่ำเสมอ ความถี่ของคลื่นไซน์และโคไซน์สามารถเป็นจำนวนจริงใดๆ ก็ได้ บอร์พิสูจน์ว่านิยามนี้เทียบเท่ากับการมีอยู่ของ เซต ของ เกือบคาบεที่ค่อนข้างหนาแน่นสำหรับทุกε  > 0 นั่นคือการเลื่อนT ( ε ) =  Tของตัวแปรt ที่ ทำให้

${\displaystyle \left|f(t+T)-f(t)\right|<\varepsilon .}$

นิยามทางเลือกอีกประการหนึ่งที่เสนอโดย Bochner (1926) นั้นเทียบเท่ากับนิยามของ Bohr และสามารถอธิบายได้ค่อนข้างง่าย:

ฟังก์ชันf เรียกว่าเกือบจะเป็นคาบ ถ้า ลำดับการเลื่อนของfทุกชุด { ƒ ( t  +  T _n )} มีลำดับย่อยที่ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอสำหรับtในช่วง (−∞, +∞)

ฟังก์ชันเกือบเป็นคาบของบอร์นั้นโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับฟังก์ชันต่อเนื่องบนการบีอัดของบอร์ของจำนวนจริง

พื้นที่S ^pของฟังก์ชันเกือบคาบสเตปานอฟ (สำหรับp  ≥ 1) ได้รับการแนะนำโดย VV Stepanov (1925) ^{[ 2 ]}ประกอบด้วยพื้นที่ของฟังก์ชันเกือบคาบโบร์ เป็นการปิดของพหุนามตรีโกณมิติภายใต้บรรทัดฐาน

${\displaystyle \|f\|_{S,r,p}=\sup _{x}\left({1 \over r}\int _{x}^{x+r}|f(s)|^{p}\,ds\right)^{1/p}}$

สำหรับค่า rบวกคงที่ใดๆสำหรับค่าr ที่แตกต่างกัน บรรทัดฐานเหล่านี้จะให้โทโพโลยีเดียวกัน และดังนั้นจึงให้พื้นที่ของฟังก์ชันเกือบเป็นคาบเดียวกัน (แม้ว่าบรรทัดฐานในพื้นที่นี้จะขึ้นอยู่กับการเลือกค่า  r ก็ตาม )

พื้นที่W ^pของฟังก์ชันเกือบเป็นคาบของ Weyl (สำหรับp  ≥ 1) ได้รับการแนะนำโดย Weyl (1927) ^{[ 3 ]}ประกอบด้วยพื้นที่S ^pของฟังก์ชันเกือบเป็นคาบของ Stepanov ซึ่งเป็นการปิดของพหุนามตรีโกณมิติภายใต้เซมินอร์ม

${\displaystyle \|f\|_{W,p}=\lim _{r\to \infty }\|f\|_{S,r,p}}$

คำเตือน: มีฟังก์ชันƒ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่ง || ƒ || _{W , p}  = 0 เช่น ฟังก์ชันที่มีขอบเขตใดๆ ที่มีฐานรองรับแบบกระชับ ดังนั้นเพื่อให้ได้ปริภูมิบานาค จำเป็นต้องหารด้วยฟังก์ชันเหล่านี้

พื้นที่B ^pของฟังก์ชันเกือบเป็นคาบของ Besicovitch ได้รับการแนะนำโดย Besicovitch (1926) ^{[ 4 ]} มันคือการปิดของพหุนามตรีโกณมิติภายใต้เซมินอร์ม

${\displaystyle \|f\|_{B,p}=\limsup _{x\to \infty }\left({1 \over 2x}\int _{-x}^{x}|f(s)|^{p}\,ds\right)^{1/p}}$

คำเตือน: มีฟังก์ชันƒ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่ง || ƒ || _{B, p}  = 0 เช่น ฟังก์ชันที่มีขอบเขตใดๆ ที่มีฐานรองรับแบบกระชับ ดังนั้นเพื่อให้ได้ปริภูมิบานาค จำเป็นต้องหารด้วยฟังก์ชันเหล่านี้

ฟังก์ชันเกือบเป็นคาบของ Besicovitch ในB ²มีการขยาย (ไม่จำเป็นต้องลู่เข้า) ดังนี้

${\displaystyle \sum a_{n}e^{i\lambda _{n}t}}$

ด้วย Σ a² _น.มีค่าจำกัดและλ _nเป็นจำนวนจริง ในทางกลับกัน อนุกรมดังกล่าวทุกชุดเป็นการขยายของฟังก์ชันคาบเบซิโควิชบางฟังก์ชัน (ซึ่งไม่ซ้ำกัน)

ปริภูมิB ^pของฟังก์ชันเกือบคาบของเบซิโควิช (สำหรับp  ≥ 1) ประกอบด้วยปริภูมิW ^pของฟังก์ชันเกือบคาบของไวล์ หากเราแยกส่วนย่อยของฟังก์ชัน "ศูนย์" ออกมา ปริภูมิย่อยนั้นสามารถระบุได้ว่าเป็นปริภูมิของ ฟังก์ชัน L ^pบนการทำให้เป็นคอมแพ็กต์ของบอร์ของจำนวนจริง

ด้วยพัฒนาการทางทฤษฎีเหล่านี้และการเกิดขึ้นของวิธีการเชิงนามธรรม ( ทฤษฎีบทปีเตอร์-ไวล์ , ทฤษฎีบทคู่ของพอนทรียาจินและพีชคณิตบานาค ) ทำให้ทฤษฎีทั่วไปเป็นไปได้ แนวคิดทั่วไปของความเป็นคาบเกือบสมบูรณ์ในความสัมพันธ์กับกลุ่มอาเบเลียนG ที่ มีความกะทัดรัดเฉพาะ ที่ กลาย เป็นแนวคิดของฟังก์ชันFในL ^∞ ( G ) ซึ่งการแปลของฟังก์ชันนี้โดยGก่อให้เกิดเซตที่มีความกะทัดรัดสัมพัทธ์ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ปริภูมิของฟังก์ชันคาบเกือบสมบูรณ์คือการปิดบรรทัดฐานของการรวมเชิงเส้นจำกัดของอักขระของ  Gถ้าGมีความกะทัดรัด ฟังก์ชันคาบเกือบสมบูรณ์จะเหมือนกับฟังก์ชันต่อเนื่อง

กลุ่มคอมแพ็กต์ของบอร์ของGคือกลุ่มอาเบเลียนคอมแพ็กต์ของอักขระที่ไม่ต่อเนื่องทั้งหมดที่เป็นไปได้ของกลุ่มคู่ของGและเป็นกลุ่มคอมแพ็กต์ที่มีGเป็นกลุ่มย่อยหนาแน่น ปริภูมิของฟังก์ชันเกือบคาบสม่ำเสมอบนGสามารถระบุได้ว่าเป็นปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมดบนกลุ่มคอมแพ็กต์ของบอร์ของ  Gโดยทั่วไปแล้ว กลุ่มคอมแพ็กต์ของบอร์สามารถกำหนดได้สำหรับกลุ่มโทโพโลยี  G ใดๆ และปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่องหรือL ^pบนกลุ่มคอมแพ็กต์ของบอร์สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นฟังก์ชันเกือบคาบบน  Gสำหรับกลุ่มเชื่อมต่อคอมแพ็กต์เฉพาะ ที่ Gแผนที่จากGไปยังกลุ่มคอมแพ็กต์ของบอร์จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งก็ต่อเมื่อGเป็นส่วนขยายศูนย์กลางของกลุ่มคอมแพ็กต์ หรือเทียบเท่ากับผลคูณของกลุ่มคอมแพ็กต์และปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด

ฟังก์ชันบนกลุ่มที่กระชับเฉพาะที่ เรียกว่าฟังก์ชันเกือบเป็นคาบอย่างอ่อนหากวงโคจรของฟังก์ชันนั้น กระชับสัมพัทธ์อย่างอ่อนในกลุ่มนั้น ${\displaystyle L^{\infty }}$

กำหนดให้ระบบพลวัตเชิงทอพอโลยีประกอบด้วยปริภูมิเชิงทอพอโลยีแบบกระชับXที่มีการกระทำของกลุ่มกระชับเฉพาะที่Gฟังก์ชันต่อเนื่องบนXจะเป็นฟังก์ชันเกือบคาบ (อย่างอ่อน) ถ้าวงโคจรของฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันพรีคอมแพ็กต์ (อย่างอ่อน) ในปริภูมิบานาค ${\displaystyle (X,G)}$${\displaystyle C(X)}$

ในการประมวลผลเสียงพูดการประมวลผลสัญญาณเสียงและการสังเคราะห์ดนตรีสัญญาณกึ่งคาบ (quasiperiodic signal) หรือบางครั้งเรียกว่า สัญญาณ กึ่งฮาร์มอนิก (quasiharmonic signal) คือรูปคลื่นที่แทบจะเป็นคาบในระดับจุลภาคแต่ไม่จำเป็นต้องเป็นคาบในระดับมหภาค นี่ไม่ได้ให้ฟังก์ชันกึ่งคาบแต่เป็นสิ่งที่คล้ายกับฟังก์ชันเกือบเป็นคาบ (almost periodic function) มากกว่า กล่าวคือ เป็นฟังก์ชันเกือบเป็นคาบที่แต่ละคาบแทบจะเหมือนกับคาบที่อยู่ติดกัน แต่ไม่จำเป็นต้องคล้ายกับคาบที่อยู่ห่างออกไปมากในเวลา นี่คือกรณีของเสียงดนตรี (หลังจากช่วงเริ่มต้นของเสียง) ที่เสียงย่อยหรือเสียงโอเวอร์โทน ทั้งหมด เป็นฮาร์มอนิก (นั่นคือ เสียงโอเวอร์โทนทั้งหมดมีความถี่ที่เป็นจำนวนเต็มเท่าของความถี่พื้นฐานของเสียงนั้น)

เมื่อสัญญาณเป็นคาบสมบูรณ์ที่มีคาบ n สัญญาณนั้นจะสอดคล้องกับเงื่อนไข n อย่างแม่นยำ ${\displaystyle x(t)\ }$${\displaystyle P\ }$

${\displaystyle x(t)=x(t+P)\qquad \forall t\in \mathbb {R} }$

หรือ

${\displaystyle {\Big |}x(t)-x(t+P){\Big |}=0\qquad \forall t\in \mathbb {R} .\ }$

การแสดงผลในรูป แบบอนุกรมฟูริเยร์จะเป็นดังนี้

${\displaystyle x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\big [}a_{n}\cos(2\pi nf_{0}t)-b_{n}\sin(2\pi nf_{0}t){\big ]}}$

หรือ

${\displaystyle x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }r_{n}\cos(2\pi nf_{0}t+\varphi _{n})}$

ความถี่พื้นฐานและสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์อยู่ ที่ไหน${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{P}}}$

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+P}x(t)\,dt\ }$

${\displaystyle a_{n}=r_{n}\cos \left(\varphi _{n}\right)={\frac {2}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+P}x(t)\cos(2\pi nf_{0}t)\,dt\qquad n\geq 1}$

${\displaystyle b_{n}=r_{n}\sin \left(\varphi _{n}\right)=-{\frac {2}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+P}x(t)\sin(2\pi nf_{0}t)\,dt\ }$

ซึ่ง สามารถเป็นเวลาใดก็ได้: .${\displaystyle t_{0}\ }$${\displaystyle -\infty <t_{0}<+\infty \ }$

ความถี่พื้นฐาน และสัมประสิทธิ์ ฟูริเยร์ , , , หรือเป็นค่าคงที่ กล่าวคือ ไม่ใช่ฟังก์ชันของเวลา ความถี่ฮาร์มอนิกเป็นผลคูณจำนวนเต็มที่แน่นอนของความถี่พื้นฐาน ${\displaystyle f_{0}\ }$${\displaystyle a_{n}\ }$${\displaystyle b_{n}\ }$${\displaystyle r_{n}\ }$${\displaystyle \varphi _{n}\ }$

แล้ว เมื่อไหร่จึงจะเรียกว่าเป็นกึ่งคาบ${\displaystyle x(t)\ }$

${\displaystyle x(t)\approx x{\big (}t+P(t){\big )}\ }$

หรือ

${\displaystyle {\Big |}x(t)-x{\big (}t+P(t){\big )}{\Big |}<\varepsilon \ }$

ที่ไหน

${\displaystyle 0<\epsilon \ll {\big \Vert }x{\big \Vert }={\sqrt {\overline {x^{2}}}}={\sqrt {\lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{-\tau /2}^{\tau /2}x^{2}(t)\,dt}}.\ }$

ตอนนี้ การแสดงผลแบบอนุกรมฟูริเยร์จะเป็นดังนี้

${\displaystyle x(t)=a_{0}(t)\ +\ \sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}(t)\cos \left(2\pi n\int _{0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau \right)-b_{n}(t)\sin \left(2\pi n\int _{0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau \right)\right]}$

หรือ

${\displaystyle x(t)=a_{0}(t)\ +\ \sum _{n=1}^{\infty }r_{n}(t)\cos \left(2\pi n\int _{0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau +\varphi _{n}(t)\right)}$

หรือ

${\displaystyle x(t)=a_{0}(t)+\sum _{n=1}^{\infty }r_{n}(t)\cos \left(2\pi \int _{0}^{t}f_{n}(\tau )\,d\tau +\varphi _{n}(0)\right)}$

โดย ที่ความถี่พื้นฐาน ที่อาจเปลี่ยนแปลงตามเวลา และ สัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา นั้นอยู่ที่ใด${\displaystyle f_{0}(t)={\frac {1}{P(t)}}}$

${\displaystyle a_{0}(t)={\frac {1}{P(t)}}\int _{t-P(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\,d\tau \ }$

${\displaystyle a_{n}(t)=r_{n}(t)\cos {\big (}\varphi _{n}(t){\big )}={\frac {2}{P(t)}}\int _{t-P(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\cos {\big (}2\pi nf_{0}(t)\tau {\big )}\,d\tau \qquad n\geq 1}$

${\displaystyle b_{n}(t)=r_{n}(t)\sin {\big (}\varphi _{n}(t){\big )}=-{\frac {2}{P(t)}}\int _{t-P(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\sin {\big (}2\pi nf_{0}(t)\tau {\big )}\,d\tau \ }$

และความถี่ทันทีสำหรับแต่ละส่วนย่อยคือ

${\displaystyle f_{n}(t)=nf_{0}(t)+{\frac {1}{2\pi }}\varphi _{n}^{\prime }(t).\,}$

ในกรณีแบบกึ่งคาบนี้ ความถี่พื้นฐานความถี่ฮาร์มอนิกและสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์, , , หรือไม่จำเป็นต้องคงที่ และเป็นฟังก์ชันของเวลา แม้ว่าจะ เป็นฟังก์ชันของเวลา ที่เปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ ก็ตาม กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันของเวลาเหล่านี้มีแบนด์วิดท์จำกัดที่ต่ำกว่าความถี่พื้นฐานมาก จึงจะถือว่าเป็นแบบกึ่งคาบ ${\displaystyle f_{0}(t)\ }$${\displaystyle f_{n}(t)\ }$${\displaystyle a_{n}(t)\ }$${\displaystyle b_{n}(t)\ }$${\displaystyle r_{n}(t)\ }$${\displaystyle \varphi _{n}(t)\ }$${\displaystyle x(t)\ }$

ความถี่ย่อยนั้นเกือบจะเป็นฮาร์มอนิก แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นฮาร์มอนิกอย่างแท้จริง อนุพันธ์เทียบกับเวลาของนั่นคือมีผลทำให้ความถี่ย่อยเบี่ยงเบนไปจากค่าฮาร์มอนิกจำนวนเต็มที่แน่นอนการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วหมายความว่าความถี่ทันทีสำหรับความถี่ย่อยนั้นเบี่ยงเบนไปจากค่าฮาร์มอนิกจำนวนเต็มอย่างมาก ซึ่งหมายความว่าไม่ใช่ความถี่กึ่งคาบ ${\displaystyle f_{n}(t)\ }$${\displaystyle \varphi _{n}(t)\ }$${\displaystyle \varphi _{n}^{\prime }(t)\ }$${\displaystyle nf_{0}(t)\ }$${\displaystyle \varphi _{n}(t)\ }$${\displaystyle x(t)\ }$

• การสังเคราะห์แบบเติม
• ฟังก์ชันไม่เป็นคาบ
• ดนตรีคอมพิวเตอร์
• อนุกรมฟูริเยร์
• อนุกรมฮาร์มอนิก (ดนตรี)
• ฟังก์ชันกึ่งคาบ
• การปูพื้นแบบกึ่งคาบ

• Amerio, Luigi ; Prouse, Giovanni (1971), ฟังก์ชันเกือบเป็นคาบและสมการเชิงฟังก์ชัน , ชุดหนังสือคณิตศาสตร์ชั้นสูงของมหาวิทยาลัย , นิวยอร์ก–ซินซินเนติ–โทรอนโต–ลอนดอน–เมลเบิร์น: Van Nostrand Reinhold , หน้า viii+184, ISBN 0-442-20295-4, MR  0275061 , Zbl  0215.15701.
• AS Besicovitch, "Almost periodic functions", Cambridge Univ. Press (1932)
• Bochner, S. (1926), "Beitrage zur Theorie der fast periodischen Funktionen", คณิตศาสตร์ อันนาเลน , 96 : 119– 147, ดอย : 10.1007/BF01209156 , S2CID  118124462
• S. Bochner และ J. von Neumann, "ฟังก์ชันเกือบเป็นคาบในกลุ่ม II", Trans. Amer. Math. Soc., 37 ฉบับที่ 1 (1935) หน้า 21–50
• H. Bohr, "ฟังก์ชันเกือบเป็นคาบ", Chelsea, พิมพ์ซ้ำ (1947)
• Bredikhina, EA (2001) [1994], "ฟังก์ชันเกือบเป็นคาบ" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• Bredikhina, EA (2001) [1994], "ฟังก์ชันเกือบเป็นคาบของ Besicovitch" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• Bredikhina, EA (2001) [1994], "ฟังก์ชันเกือบเป็นคาบของโบร์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• Bredikhina, EA (2001) [1994], "ฟังก์ชันเกือบเป็นคาบของสเตปานอฟ" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• Bredikhina, EA (2001) [1994], "ฟังก์ชันเกือบเป็นคาบของ Weyl" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• J. von Neumann, "ฟังก์ชันเกือบเป็นคาบในกลุ่ม I", Trans. Amer. Math. Soc., 36 ฉบับที่ 3 (1934) หน้า 445–492

• "ฟังก์ชัน เกือบ เป็นคาบ (นิยาม ที่เทียบเท่า)" PlanetMath