ในทางคณิตศาสตร์ กลุ่มซิ มเพล็กติก (symplectic group)คือกลุ่มของการแปลงเชิงเส้นที่รักษาโครงสร้างทางเรขาคณิตของปริภูมิเฟสซึ่งเป็นปริภูมิของตัวแปรตำแหน่งและโมเมนตัมที่ใช้ในกลศาสตร์คลาสสิก โดยนิยามแล้วคือกลุ่มของการเปลี่ยนแปลงพิกัดเชิงเส้นบนปริภูมิเฟสที่รักษารูปแบบซิมเพล็กติกไว้

กลุ่มซิมเพล็กติกมักใช้สัญลักษณ์โดยที่เป็นจำนวนเต็มบวก และเป็นฟิลด์ซึ่งมักจะเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน กลุ่มเหล่านี้เป็นหนึ่งในสี่ตระกูลของกลุ่มคลาสสิกและมีบทบาทสำคัญในเรขาคณิตซิมเพล็กติกกลศาสตร์แฮมิลตันและทฤษฎีการแทนกลุ่มที่เกี่ยวข้องแต่แตกต่างกันคือกลุ่มซิมเพล็กติกแบบกระชับซึ่งมักใช้สัญลักษณ์หรือแทน ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$${\displaystyle \mathrm {USp} (n)}$

ชื่อ "ซิมเพล็กติก" (symplectic) ถูกนำมาใช้โดยเฮอร์มันน์ เวย์ล (Hermann Weyl)เพื่อแทนที่คำศัพท์เก่าๆ เช่นกลุ่มเชิงซ้อนเส้น (line complex group ) โดยมีจุดประสงค์เพื่อให้เป็นคำที่มีความหมายคล้ายคลึงกับคำว่า " เชิงซ้อน " ( complex) ซึ่งมาจากภาษากรีก

สัญลักษณ์นี้โดยทั่วไปหมายถึงกลุ่มซิมเพล็กติกของปริภูมิเวกเตอร์ซิมเพล็กติกมิติ n เหนือฟิลด์กลุ่มที่เกี่ยวข้องแต่แตกต่างกันคือกลุ่มซิมเพล็กติกแบบกระชับซึ่งใช้สัญลักษณ์หรือซึ่งเป็นรูปแบบจริงแบบกระชับของกลุ่มซิมเพล็กติกเชิงซ้อน ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$${\displaystyle \mathrm {USp} (n)}$

ผู้เขียนหลายคนใช้สัญลักษณ์ที่แตกต่างกันเล็กน้อย โดยมักแตกต่างกันด้วยตัวประกอบของใน การจำแนกประเภทของ คาร์ตันพีชคณิตลีของมีประเภท ${\displaystyle 2}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle C_{n}}$

กลุ่มซิมเพล็กติก (Symplectic group) เป็นกลุ่มคลาสสิกที่นิยามว่าเป็นเซตของการแปลงเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์มิติ n บนฟิลด์ซึ่งรักษา รูปแบบทวิเชิงเส้นแบบสมมาตรเฉียง ที่ไม่เสื่อมสภาพ (non-degenerate skew-symmetric bilinear form ) ไว้ ปริภูมิเวกเตอร์ดังกล่าวเรียกว่าปริภูมิเวกเตอร์ซิมเพล็กติก (Symplectic vector space ) และกลุ่มซิมเพล็กติกของปริภูมิเวกเตอร์ซิมเพล็กติกนามธรรม (abstract symplectic vector space ) จะใช้สัญลักษณ์เมื่อกำหนดฐานสำหรับn แล้ว รูปแบบซิมเพล็กติกจะถูกแทนด้วย เมทริกซ์สมมาตรเฉียง ที่ไม่ เอกฐาน (nonsingular skew-symmetric matrix ) และถูกระบุว่าเป็นกลุ่มของเมทริกซ์บนฟิลด์ ที่สอดคล้องกับ เงื่อนไข ${\displaystyle 2n}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (V)}$${\displaystyle 2n\times 2n}$${\displaystyle \mathbb {F} }$

$${\displaystyle \{M\in M_{2n\times 2n}(F):M^{\mathrm {T} }JM=J\}.}$$

กลุ่มเมทริกซ์นี้ใช้สัญลักษณ์หรือแทน แม้ว่าสัญลักษณ์ที่ใช้จะขึ้นอยู่กับข้อตกลงที่ใช้ก็ตาม ในที่นี้หมายถึงเมทริกซ์สลับตำแหน่ง ของ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (n,\mathbb {F} )}$${\displaystyle M^{T}}$${\displaystyle M}$

ในฐานใดๆ เมทริกซ์ไม่จำเป็นต้องมีรูปแบบเฉพาะใดๆ อย่างไรก็ตาม เราสามารถเลือกฐานเชิงซิมเพล็กติกได้ซึ่งรูปแบบนั้นจะถูกแทนด้วยเมทริกซ์มาตรฐาน ${\displaystyle J}$

$${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}},}$$

เมทริกซ์เอกลักษณ์อยู่ ที่ไหนในฐานดังกล่าว ${\displaystyle I_{n}}$

$${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )=\{M\in M_{2n\times 2n}(\mathbb {F} ):M^{\mathrm {T} }\Omega M=\Omega \}.}$$

ในกรณีนี้สามารถแสดงได้ในรูปเมทริกซ์บล็อกเหล่านั้นโดยที่สอดคล้องกับสมการทั้งสาม: ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )}$${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})}$${\displaystyle A,B,C,D\in M_{n\times n}(\mathbb {F} )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}-C^{\mathrm {T} }A+A^{\mathrm {T} }C&=0,\\-C^{\mathrm {T} }B+A^{\mathrm {T} }D&=I_{n},\\-D^{\mathrm {T} }B+B^{\mathrm {T} }D&=0.\end{aligned}}}$$

เนื่องจากเมทริกซ์เชิงซิมเพล็กติกทั้งหมดมีดีเทอร์มิแนนต์ เท่ากับ 1 ดังนั้น กลุ่มเชิงซิมเพล็กติกจึงเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มเชิงเส้นพิเศษเมื่อเงื่อนไขเชิงซิมเพล็กติกบนเมทริกซ์จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 ดังนั้นสำหรับจะมีเงื่อนไขเพิ่มเติม กล่าวคือเป็นกลุ่มย่อยแท้ของ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle \operatorname {SL} (2n,\mathbb {F} )}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {F} )=\operatorname {SL} (2,\mathbb {F} )}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )}$${\displaystyle \operatorname {SL} (2n,\mathbb {F} )}$

โดยทั่วไป ฟิลด์ดังกล่าวคือฟิลด์ของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนในกรณีเหล่านี้คือกลุ่มลีจริงหรือกลุ่มลี เชิงซ้อน ที่มีมิติเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนตามลำดับ กลุ่มเหล่านี้เชื่อมต่อกันแต่ไม่กระชับ ${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )}$${\displaystyle n(2n+1)}$

ศูนย์กลางของประกอบด้วยเมทริกซ์และตราบใดที่ลักษณะเฉพาะของฟิลด์ไม่ใช่^{[ 1 ]}เนื่องจากศูนย์กลางของเป็นแบบไม่ต่อเนื่องและผลหารโมดูลศูนย์กลางเป็นกลุ่มแบบง่ายจึงถือว่าเป็นกลุ่ม Lie แบบง่าย ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )}$${\displaystyle I_{2n}}$${\displaystyle -I_{2n}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )}$

อันดับจริงของพีชคณิตลีที่สอดคล้องกัน และด้วยเหตุนี้จึงเป็นอันดับจริงของกลุ่มลี คือ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )}$${\displaystyle n}$

พีชคณิตลีของคือเซต ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )}$

$${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,F)=\{X\in M_{2n\times 2n}(F):\Omega X+X^{\mathrm {T} }\Omega =0\},}$$

ติดตั้งคอมมิวเทเตอร์เป็นวงเล็บ Lie ^{[ 2 ]}สำหรับรูปแบบทวิเชิงเส้นแบบเฉียงมาตรฐานพีชคณิต Lie นี้คือเซตของเมทริกซ์บล็อกทั้งหมดที่อยู่ภายใต้เงื่อนไข ${\displaystyle \Omega =({\begin{smallmatrix}0&I\\-I&0\end{smallmatrix}})}$${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=-D^{\mathrm {T} },\\B&=B^{\mathrm {T} },\\C&=C^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}}$

กลุ่มซิมเพล็กติกเหนือฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนเป็นกลุ่มลีที่ไม่กระชับเชื่อมต่ออย่างง่ายและ เรียบง่าย คำจำกัดความของกลุ่มนี้ไม่มีคอนจูเกต (ตรงกันข้ามกับสิ่งที่อาจคาดหวังอย่างง่ายๆ) แต่กลับเหมือนกับคำจำกัดความทุกประการยกเว้นการเปลี่ยนแปลงฟิลด์^{[ 3 ]}

${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$เป็นกลุ่ม Lie ที่เรียบง่าย ไม่กระชับ และเชื่อมต่อกันจริงที่มีมิติ[ ^{4 ] มี} กลุ่มพื้นฐานที่สมมาตรกับจำนวนเต็มภายใต้การบวก^{[ 5 ]} เนื่องจากเป็นรูปแบบจริงของพีชคณิต Lie เชิงซ้อนที่เรียบง่าย พีชคณิต Lie ของมันจึงเป็นรูปแบบจริงแบบแยกส่วนของ^{[ 4 ]}${\displaystyle n(2n+1)}$${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} )}$

แผนที่เลขชี้กำลังจากไปยัง ไม่ใช่ฟังก์ชันทั่วถึง^{[ 6 ]}${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$

สำหรับทุก ๆในจะมีการแยกส่วนแบบคาร์ตัน/โพลาร์^{[ 4 ] [ 7 ]} โดยมี และ. ในฐานะที่เป็นแมนิโฟลด์จะเป็นดิฟเฟโอเมอร์ฟิกกับคูณกับปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติ. ^{[ 4 ]}${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$$${\displaystyle S=OZO'}$$${\displaystyle O,O'\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\cap \operatorname {SO} (2n)\cong \operatorname {U} (n)}$${\displaystyle Z={\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$${\displaystyle n(n+1)}$

สมาชิกของพีชคณิตลีเชิงซิมเพล็กติกคือเมทริกซ์แฮมิลโทเนียน ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {F} )}$

นี่คือเมทริกซ์โดย ที่และเป็นเมทริกซ์สมมาตรดูการพิสูจน์ได้จาก กลุ่มคลาสสิก${\displaystyle Q}$$${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}A&B\\C&-A^{\mathrm {T} }\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$

กลุ่มซิมเพล็กติกถูกสร้างขึ้นโดยทรานส์เวคชัน ซิมเพล็กติกของมัน กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น ถ้าเป็นปริภูมิเวกเตอร์ซิมเพล็กติกมิติจำกัดเหนือแล้วจะถูกสร้างขึ้นโดยการแปลง โดยที่และนี่เป็นส่วนทั่วไปของทฤษฎีโครงสร้างของกลุ่มคลาสสิก และปรากฏในรูปแบบแรกเริ่มในงานของ Dieudonné ดูการวิเคราะห์ในภายหลังที่อุทิศให้กับทรานส์เวคชันซิมเพล็กติกและกลุ่มย่อยที่พวกมันสร้างขึ้นโดยเฉพาะ^{[ 8 ] [ 9 ]}${\displaystyle (V,J)}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle {\mathrm {Sp} (V,\omega )}}$$${\displaystyle T_{v,\lambda }(x)=x+\lambda \,(x^{T}Jv)\,v,}$$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {F} }$

กลุ่มซิมเพล็กติกสามารถสร้างขึ้นโดยการแปลงเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์ซิมเพล็กติกเพื่อให้และ^{[ 8 ] [ 10 ]}${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )}$${\displaystyle A:V\to V}$${\displaystyle (V,J)}$${\displaystyle A^{2}=I}$${\displaystyle A^{T}JA=-J}$

สำหรับกลุ่มของเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ เมทริกซ์ ซิมเพล็กติก สามเมทริกซ์คือ: ^{[ 11 ]}${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle (0,1)}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.}$$

ปรากฏว่าสามารถอธิบายได้อย่างชัดเจนโดยใช้ตัวสร้าง หากเรากำหนดให้แทนเมทริกซ์สมมาตรแล้วจะถูกสร้างขึ้นโดยที่ เป็นกลุ่ม ย่อย ของ^{[ 12 ] [ 13 ]}${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle D(n)\cup N(n)\cup \{\Omega \},}$$${\displaystyle {\begin{aligned}D(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}A&0\\0&(A^{T})^{-1}\end{bmatrix}}\,\right|\,A\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )\right\}\\[6pt]N(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{bmatrix}}\,\right|\,B\in \operatorname {Sym} (n)\right\}\end{aligned}}}$$${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$

เรขาคณิตเชิงซิ มเพล็กติกคือการศึกษาเกี่ยวกับแมนิโฟลด์เชิง ซิมเพล็กติก พื้นที่สัมผัสที่จุดใดๆ บนแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกคือปริภูมิเวกเตอร์เชิงซิมเพล็กติก^{[ 14 ]}ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ การแปลงที่รักษาโครงสร้างของปริภูมิเวกเตอร์เชิงซิมเพล็กติกก่อให้เกิดกลุ่มและกลุ่มนี้คือขึ้นอยู่กับมิติของปริภูมิและฟิลด์ที่กำหนด ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )}$

ปริภูมิเวกเตอร์เชิงซิมเพล็กติกนั้นเป็นแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกด้วยตัวมันเอง ดังนั้น การแปลงภายใต้การกระทำของกลุ่มเชิงซิมเพล็กติกจึงเป็นเหมือนเวอร์ชันเชิงเส้นของการแปลงเชิงซิมเพล็กโตมอร์ฟิซึมซึ่งเป็นการแปลงที่รักษาโครงสร้างทั่วไปบนแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติก

กลุ่มซิมเพล็กติกขนาดกะทัดรัด^{[ 15 ]} คือการตัดกันของกับกลุ่มเอกภาพ: ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle 2n\times 2n}$

${\displaystyle \operatorname {Sp} (n):=\operatorname {Sp} (2n;\mathbb {C} )\cap \operatorname {U} (2n)=\operatorname {Sp} (2n;\mathbb {C} )\cap \operatorname {SU} (2n).}$

บางครั้งเขียนเป็นหรืออีกนัยหนึ่งสามารถอธิบายได้ว่าเป็นกลุ่มย่อยของ( เมทริกซ์ควอเทอร์ เนียน ผกผันได้ ) ที่รักษาฟอร์มเฮอร์มิเชียน มาตรฐาน บน: ${\displaystyle \operatorname {USp} (2n)}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}.}$

นั่นคือ เป็นเพียงกลุ่มเอกภาพควอเทอร์เนียน [ 16 ^{]อันที่}จริง บางครั้งเรียกว่ากลุ่มไฮเปอร์เอกภาพนอกจากนี้ ยังเป็นกลุ่มของควอเทอร์เนียนที่มีบรรทัดฐานซึ่งเทียบเท่ากับSU(2)และในทางโทโพโลยีเป็นทรงกลม3มิติ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$${\displaystyle \operatorname {U} (n,\mathbb {H} )}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (1)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\mathcal {S}}^{3}}$

โปรดทราบว่าไม่ใช่ กลุ่มซิ มเพล็กติกในความหมายเดียวกับในส่วนก่อนหน้า กล่าวคือ มันไม่ได้รักษาฟอร์มไบลิเนียร์แบบสมมาตรเฉียงที่ไม่เสื่อมสภาพบน: ไม่มีฟอร์มดังกล่าว ยกเว้นฟอร์มศูนย์ แต่กลับเป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มย่อยของและดังนั้นจึงรักษาฟอร์มซิมเพล็กติก เชิงซ้อน ในปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติเป็นสองเท่า ดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง พีชคณิตลีของคือฟอร์มจริงแบบ กระชับของพีชคณิตลีซิ ม เพล็กติกเชิงซ้อน${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$เป็นกลุ่ม Lie จริงที่มีมิติ (จริง) เป็น กลุ่ม กระชับและเชื่อมต่อกันอย่างง่าย^{[ 17 ]}${\displaystyle n(2n+1)}$

พีชคณิตลีของ นั้นกำหนดโดย เมทริก ซ์ควอเทอร์เนียนแบบเฉียงเฮอร์มิเชียนซึ่งเป็นเซตของเมทริกซ์ควอเทอร์เนียนที่สอดคล้องกับเงื่อนไข ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle A+A^{\dagger }=0}$

โดยที่คือทรานสโพสสังยุคของ(ในที่นี้ใช้สังยุคควอเทอร์เนียน) วงเล็บลีได้มาจากคอมมิวเทเตอร์ ${\displaystyle A^{\dagger }}$${\displaystyle A}$

กลุ่มย่อยหลักๆ ได้แก่:

${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {Sp} (n-1)}$

${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {U} (n)}$

${\displaystyle \operatorname {Sp} (2)\supset \operatorname {O} (4)}$

ในทางกลับกัน กลุ่มนี้ก็เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มอื่นๆ ด้วยเช่นกัน:

${\displaystyle \operatorname {SU} (2n)\supset \operatorname {Sp} (n)}$

${\displaystyle \operatorname {F} _{4}\supset \operatorname {Sp} (4)}$

${\displaystyle \operatorname {G} _{2}\supset \operatorname {Sp} (1)}$

นอกจากนี้ยังมีไอโซมอร์ฟิซึมของพีชคณิตลี และด้วย ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2)={\mathfrak {so}}(5)}$${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(1)={\mathfrak {so}}(3)={\mathfrak {su}}(2)}$

กลุ่มซิมเพล็กติกเอกภาพสามารถแสดงได้ในรูปของพีชคณิตคลิฟฟอร์ดที่กำหนดเป็นผลคูณเทนเซอร์ของพีชคณิตควอเทอร์เนียนที่เรียกว่าจำนวนไฮเปอร์ควอเทอร์เนียนดังนั้น จึงนำไปสู่กลุ่มซิมเพล็กติกกระชับ^{[ 18 ]}${\displaystyle \operatorname {USp} (n)}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes 2}=\mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} =M_{4\times 4}(\mathbb {R} )=Cl_{3,1}\mathbb {(R)} }$${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes 3}=M_{4\times 4}(\mathbb {H} )}$${\displaystyle \operatorname {USp} (4)}$

กลุ่มซิมเพล็กติกเชิงจำนวนเต็มคือกลุ่มย่อยของที่ประกอบด้วยเมทริกซ์ที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเต็ม หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นกลุ่มของเมทริกซ์จำนวนเต็มที่รักษารูปแบบซิมเพล็กติกมาตรฐานไว้ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle 2n\times 2n}$

${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )=\{M\in M_{2n}(\mathbb {Z} ):M^{\mathrm {T} }JM=J\},}$

ที่ไหน

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}.}$

สำหรับกรณีนี้ กลุ่มนี้จะสอดคล้องกับกลุ่มโมดูลาร์ ${\displaystyle n=1}$${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}$

กลุ่มดังกล่าวทำการแปลงเชิงเส้นเศษส่วนบนซีเกลครึ่งบนซึ่งเป็นปริภูมิของเมทริกซ์เชิงซ้อนสมมาตรที่มีส่วนจินตนาการเป็นบวกแน่นอน ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle \gamma \cdot \tau =(A\tau +B)(C\tau +D)^{-1},\qquad \gamma ={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} ).}$

ด้วยเหตุนี้จึงเรียกอีกอย่างว่ากลุ่มโมดูลาร์ของซีเกลที่มีดีกรี4 ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle n}$

กลุ่มย่อยที่สอดคล้องกันเช่นกลุ่มย่อยที่สอดคล้องกันหลัก

${\displaystyle \Gamma _{n}(m)=\{\gamma \in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} ):\gamma \equiv I_{2n}{\pmod {m}}\},}$

มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีของรูปแบบมอดูลาร์ของซีเกลผลหารของครึ่งพื้นที่บนของซีเกลโดยคือปริภูมิมอดูลัสของวาไรตี้อาเบเลียนโพ ลาไรซ์หลัก ที่มีมิติและผลหารโดยกลุ่มย่อยความสอดคล้องจะสอดคล้องกับการเพิ่มโครงสร้างระดับ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle n}$

กลุ่มย่อยทางเลขคณิตอื่นๆของกลุ่มซิมเพล็กติก เช่นกลุ่มพาราโมดูลาร์ก็ได้รับการศึกษาในเรขาคณิตเชิงเลขคณิตเช่นกัน

พีชคณิตลีแบบซับซ้อนและกึ่งง่ายทุกตัวจะมีรูปแบบจริงแบบแยกส่วนและรูปแบบจริงแบบกระชับโดยรูปแบบแรกเรียกว่าการทำให้เป็นเชิงซ้อนของสองรูปแบบหลัง

พีชคณิตลีของเป็นแบบกึ่งง่ายและใช้สัญลักษณ์ แทนรูปแบบจริงแบบแยกส่วนคือและรูปแบบจริงแบบกระชับคือซึ่งสอดคล้องกับกลุ่มลีและตามลำดับ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(n)}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$

พีชคณิตซึ่งเป็นพีชคณิตลีของ นั้นเป็นลายเซ็นที่ไม่แน่นอนซึ่งเทียบเท่ากับรูปแบบกระชับ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(p,n-p)}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (p,n-p)}$

นอกจากนี้ ยังมี ไอโซมอร์ฟิซึมโดยบังเอิญอีกจำนวนหนึ่ง ซึ่งมี กลุ่มสปินที่หลากหลาย:

• ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {F} )\cong \operatorname {SL} (2,\mathbb {F} )}$(ในลักษณะที่แตกต่างจากสอง) และ. ทั้งนี้เป็นเพราะกลุ่มเชิงเส้นพิเศษจะรักษารูปแบบซิมเพล็กติกใดๆ ในสองมิติโดยอัตโนมัติ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {R} )\cong \operatorname {Spin} _{0}(1,2)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Sp} (1)\cong \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Spin} (3)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {Sp} (1)\times \operatorname {Sp} (1)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2)\cong \operatorname {Spin} (5)}$ไอโซมอร์ฟิซึมนี้แสดงให้เห็นโดยการระบุกับกลุ่มของเมทริกซ์ควอ เทอร์เนียน โดยที่คือเมทริกซ์สลับตำแหน่ง และสังยุคของ ร่องรอยลดรูปบน นั้นไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การสังยุค และปริภูมิของ (ร่องรอยลดรูป) ที่ไม่มีร่องรอยโดยที่ เป็นปริภูมิยุคลิดห้ามิติที่มีรูปแบบ กำลังสอง${\displaystyle \operatorname {Sp} (2)}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle g\in M_{2}(\mathbb {H} )}$${\displaystyle g^{*}g=I}$${\displaystyle g^{*}={\bar {g}}^{T}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M_{2}(\mathbb {H} )}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (2)}$${\displaystyle x\in M_{2}(\mathbb {H} )}$${\displaystyle x^{*}=x}$${\displaystyle \operatorname {tr} _{\mathrm {red} }(x^{2})}$
• ${\displaystyle \operatorname {Sp} (1,1)\cong \operatorname {Spin} _{0}(1,4)}$ไอโซมอร์ฟิซึมนี้แสดงให้เห็นโดยการระบุกับกลุ่มของเมทริกซ์ควอเทอร์ เนียน โดยที่และ คือเมทริกซ์สลับตำแหน่งสังยุคของ ร่องรอยที่ลดลงจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การสังยุค และปริภูมิของ (ร่องรอยที่ลดลง) ที่ไม่มีร่องรอยโดยที่เป็นปริภูมิซูโด-ยุคลิดห้ามิติที่มีรูปแบบกำลังสอง ที่มีลายเซ็น${\displaystyle \operatorname {Sp} (1,1)}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle g\in M_{2}(\mathbb {H} )}$${\displaystyle g^{*}Kg=K}$${\displaystyle K={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle g^{*}={\bar {g}}^{T}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (1,1)}$${\displaystyle x\in M_{2}(\mathbb {H} )}$${\displaystyle Kx^{*}K=x}$${\displaystyle \operatorname {tr} _{\mathrm {red} }(x^{2})}$${\displaystyle (1,4)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Sp} (4,\mathbb {R} )\cong \operatorname {Spin} _{0}(2,3)}$ระบุว่าเป็นเซตย่อยของวงแหวนของเมทริกซ์จริงโดยที่(มีบล็อก และเมทริกซ์เอกลักษณ์) ปริภูมิย่อยที่ ประกอบด้วยเมทริก ซ์ที่ไม่มีร่องรอยโดยที่มีมิติห้า และรูปแบบร่องรอยกำหนดเมตริกแบบซูโด-ยุคลิดบนปริภูมิย่อยนั้น ซึ่งได้รับการรักษาไว้โดยการกระทำของ${\displaystyle \operatorname {Sp} (4,\mathbb {R} )}$${\displaystyle M_{4}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle 4\times 4}$${\displaystyle g}$${\displaystyle gJg^{T}=J}$${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&I\\-I&0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle I}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle V\subset M_{4}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle J}$${\displaystyle x=-Jx^{T}J}$${\displaystyle (2,3)}$${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (4,\mathbb {R} )}$

กลุ่มซิมเพล็กติกจริงเกิดขึ้นในกลศาสตร์แฮมิลตันในฐานะกลุ่มของการแปลงเชิงเส้นแบบแคน อนิก ของปริภูมิเฟส ในพิกัดแคนอนิก ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle (q^{1},\dots ,q^{n},p_{1},\dots ,p_{n}),}$

องค์ประกอบของมันคือการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นของตัวแปรที่รักษารูปแบบซิมเพล็กติกมาตรฐาน หรือเทียบเท่ากับวงเล็บปัวซง

พีชคณิตลี (Lie algebra) สามารถระบุได้อย่างเป็นธรรมชาติว่าคือแฮมิลโทเนียนกำลังสองบนปริภูมิเฟส: ถ้า ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle H(z)={\tfrac {1}{2}}z^{\mathrm {T} }Kz,}$

ดังนั้น การไหลของแฮมิลโทเนียนที่สอดคล้องกันจะเป็นเชิงเส้นและกำหนดกลุ่มย่อยหนึ่งพารามิเตอร์ของในแง่นี้ กลุ่มซิมเพล็กติกถูกสร้างขึ้นโดยแฮมิลโทเนียนกำลังสอง ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$

กลุ่มซิมเพล็กติกกระทำการโดยการเปลี่ยนพิกัดเชิงเส้นในปริภูมิเฟสของกลศาสตร์คลาสสิก เมื่อพยายามทำให้การแปลงแบบเดียวกันกระทำกับฟังก์ชันคลื่นของกลศาสตร์ควอนตัมจะเกิดความกำกวมของเฟส และจำเป็นต้องเปลี่ยนไปใช้การปกคลุมสองชั้นกลุ่มเมตาเพล็กติกเป็นการปกคลุมสองชั้นของกลุ่มซิมเพล็กติกเหนือ(มีกลุ่มที่คล้ายกันเหนือฟิลด์เฉพาะที่ อื่นๆ ฟิลด์จำกัดและวงแหวนอะเดล ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• กลศาสตร์แฮมิลตัน
• กลุ่มเมตาเพล็กติก
• กลุ่มออร์โธโกนอล
• กลุ่มพาราโมดูลาร์
• กลุ่มเอกภาพเชิงฉาย
• ภาพแทนของกลุ่ม Lie แบบคลาสสิก
• แมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติก , เมทริกซ์เชิงซิมเพล็กติก , ปริภูมิเวกเตอร์เชิงซิมเพล็กติก , การแสดงผลเชิงซิมเพล็กติก
• กลุ่มยูนิแทรี
• Θ10