ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มเลขคณิตคือกลุ่มที่ได้มาจากจุดจำนวนเต็มของกลุ่มพีชคณิตตัวอย่างเช่น กลุ่มเลขคณิต เกิดขึ้นเองตามธรรมชาติในการศึกษาคุณสมบัติทางเลขคณิตของรูปแบบกำลังสองและหัวข้อคลาสสิกอื่นๆ ในทฤษฎีจำนวนนอกจากนี้ยังก่อให้เกิดตัวอย่างที่น่าสนใจมากของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์และด้วยเหตุนี้จึงเป็นวัตถุที่น่าสนใจในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และโทโพโลยีสุดท้าย หัวข้อทั้งสองนี้มารวมกันในทฤษฎีของรูปแบบอัตโนมัติซึ่งเป็นพื้นฐานในทฤษฎีจำนวนสมัยใหม่ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

หนึ่งในต้นกำเนิดของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของกลุ่มเลขคณิตคือทฤษฎีจำนวนพีชคณิต ทฤษฎีการลดรูปคลาสสิกของรูปแบบกำลังสองและเฮอร์มิเชียนโดยCharles Hermite , Hermann Minkowskiและคนอื่นๆ สามารถมองได้ว่าเป็นการคำนวณโดเมนพื้นฐานสำหรับการกระทำของกลุ่มเลขคณิตบางกลุ่มบนปริภูมิสมมาตรที่เกี่ยวข้อง[ 1 ^{] [ 2 ]หัวข้อนี้}เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตของจำนวน ของ Minkowski และการพัฒนาในช่วงแรกของการศึกษาตัวแปรเลขคณิตของฟิลด์จำนวน เช่น ตัวแยกแยะกลุ่มเลขคณิตสามารถคิดได้ว่าเป็นการขยายกลุ่มหน่วยของฟิลด์จำนวนไปสู่การตั้งค่าที่ไม่สลับที่กัน อย่างกว้างขวาง

กลุ่มเดียวกันนี้ยังปรากฏในทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ ด้วย เนื่องจากการศึกษารูปแบบมอดูลาร์แบบคลาสสิกและการวางนัยทั่วไปของรูปแบบเหล่านั้นได้รับการพัฒนา แน่นอนว่าทั้งสองหัวข้อมีความสัมพันธ์กัน ดังที่เห็นได้จากการคำนวณปริมาตรของโดเมนพื้นฐานบางโดเมนโดยใช้วิธีการวิเคราะห์ของ Langlands ^{[ 3 ]}ทฤษฎีคลาสสิกนี้สิ้นสุดลงด้วยผลงานของ Siegel ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความจำกัดของปริมาตรของโดเมนพื้นฐานในหลายกรณี

เพื่อให้ทฤษฎีสมัยใหม่เริ่มต้นขึ้น จำเป็นต้องมีงานพื้นฐาน ซึ่งได้มาจากงานของArmand Borel , André Weil , Jacques Titsและคนอื่นๆ เกี่ยวกับกลุ่มพีชคณิต^{[ 4 ] [ 5 ]} หลังจากนั้นไม่นาน Borel และ Harish-Chandraก็ได้พิสูจน์ความจำกัดของปริมาตรโดยรวมอย่างสมบูรณ์^{[ 6 ]}ในขณะเดียวกัน ก็มีความก้าวหน้าในทฤษฎีทั่วไปของแลตติสในกลุ่ม LieโดยAtle Selberg , Grigori Margulis , David Kazhdan , MS Raghunathanและคนอื่นๆ สถานะของศิลปะหลังจากช่วงเวลานี้ได้รับการกำหนดไว้ในบทความของ Raghunathan ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1972 ^{[ 7 ]}

ในช่วงทศวรรษที่ 1970 มาร์กูลิสได้ปฏิวัติวงการนี้ด้วยการพิสูจน์ว่าในกรณี "ส่วนใหญ่" การสร้างทางเลขคณิตสามารถอธิบายแลตทิซทั้งหมดในกลุ่มลีที่กำหนดได้^{[ 8 ]}เซลเบิร์กได้ผลลัพธ์ที่จำกัดในทิศทางนี้มาก่อนแล้ว แต่วิธีการของมาร์กูลิส (การใช้ เครื่องมือ ทางทฤษฎีเออร์โกดิกสำหรับการกระทำบนพื้นที่เอกพันธุ์) นั้นเป็นสิ่งใหม่โดยสิ้นเชิงในบริบทนี้ และจะมีอิทธิพลอย่างมากต่อการพัฒนาในภายหลัง ซึ่งเป็นการฟื้นฟูวิชาเรขาคณิตของจำนวนแบบเก่าอย่างมีประสิทธิภาพ และทำให้มาร์กูลิสเองสามารถพิสูจน์สมมติฐานของออปเพนไฮม์ได้ ผลลัพธ์ที่แข็งแกร่งกว่า ( ทฤษฎีบทของแรทเนอร์ ) ได้รับในภายหลังโดยมารินา แรทเนอร์

ในอีกทิศทางหนึ่ง หัวข้อคลาสสิกของรูปแบบโมดูลาร์ได้เบ่งบานเป็นทฤษฎีสมัยใหม่ของรูปแบบอัตโนมัติ แรงผลักดันเบื้องหลังความพยายามนี้ส่วนใหญ่มาจากโครงการ Langlandsที่ริเริ่มโดยRobert Langlandsหนึ่งในเครื่องมือหลักที่ใช้ในนั้นคือสูตรร่องรอยซึ่งมีต้นกำเนิดมาจากงานของ Selberg ^{[ 9 ]}และได้รับการพัฒนาในบริบททั่วไปที่สุดโดยJames Arthur ^{[ 10 ]}

สุดท้าย กลุ่มเลขคณิตมักถูกใช้เพื่อสร้างตัวอย่างที่น่าสนใจของ แมนิโฟลด์รีมันน์ สมมาตรเฉพาะที่ หัวข้อวิจัยที่คึกคักเป็นพิเศษคือ แมนิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิกเลขคณิต 3 มิติซึ่งวิลเลียม เธอร์สตันเขียนไว้ว่า^{[ 11 ]} "...มักดูเหมือนมีความสวยงามเป็นพิเศษ"

ถ้าเป็นกลุ่มย่อยเชิงพีชคณิตของสำหรับบางค่าแล้วเราสามารถกำหนดกลุ่มย่อยเชิงเลขคณิตของเป็นกลุ่มของจุดจำนวนเต็มได้โดยทั่วไปแล้ว การทำความเข้าใจความหมายของ "จุดจำนวนเต็ม" ของกลุ่ม -group อย่างแม่นยำนั้นไม่ใช่เรื่องง่ายและกลุ่มย่อยที่กำหนดไว้ข้างต้นอาจเปลี่ยนแปลงได้เมื่อเราใช้การฝังตัวที่แตกต่างกัน${\displaystyle \mathrm {G} }$${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \Gamma =\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )\cap \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} )}$

ดังนั้น แนวคิดที่ดีกว่าคือการใช้กลุ่มย่อยทางพีชคณิตของกลุ่มใดๆที่สามารถเปรียบเทียบกันได้ (ซึ่งหมายความว่าทั้งและเป็นเซตจำกัด) กับกลุ่มที่กำหนดไว้ข้างต้น (โดยสัมพันธ์กับการฝังตัวใดๆ ใน) ด้วยนิยามนี้ กลุ่มพีชคณิตจึงเกี่ยวข้องกับกลุ่มย่อย "แบบไม่ต่อเนื่อง" ที่สามารถเปรียบเทียบกันได้ทั้งหมด ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Gamma /(\Gamma \cap \Lambda )}$${\displaystyle \Lambda /(\Gamma \cap \Lambda )}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$${\displaystyle \mathrm {G} }$

การสรุปโดยทั่วไปตามธรรมชาติของการสร้างข้างต้นมีดังนี้: ให้เป็นฟิลด์จำนวนที่มีวงแหวนของจำนวนเต็มและเป็นกลุ่มพีชคณิตเหนือถ้าเราได้รับฝังตัวที่นิยามไว้เหนือแล้วกลุ่มย่อยสามารถเรียกได้อย่างถูกต้องว่าเป็นกลุ่มเลขคณิต ${\displaystyle F}$${\displaystyle O}$${\displaystyle \mathrm {G} }$${\displaystyle F}$${\displaystyle \rho :\mathrm {G} \to \mathrm {GL} _{n}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \rho ^{-1}(\mathrm {GL} _{n}(O))\subset \mathrm {G} (F)}$

ในทางกลับกัน กลุ่มที่ได้มาด้วยวิธีนี้ไม่ได้มีขนาดใหญ่กว่ากลุ่มเลขคณิตตามที่นิยามไว้ข้างต้น อันที่จริง หากเราพิจารณากลุ่มพีชคณิตเหนือ ที่ได้จากการจำกัดสเกลาร์จากไปยังและการฝังตัวแบบที่เกิดจาก(โดยที่) แล้ว กลุ่มที่สร้างขึ้นข้างต้นจะเท่ากับ ${\displaystyle \mathrm {G} '}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \rho ':\mathrm {G} '\to \mathrm {GL} _{dn}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle d=[F:\mathbb {Q} ]}$${\displaystyle (\rho ')^{-1}(\mathrm {GL} _{nd}(\mathbb {Z} ))}$

ตัวอย่างคลาสสิกของกลุ่มเลขคณิตคือหรือกลุ่มที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด ได้แก่และสำหรับกลุ่มหรือบางครั้งเรียกว่ากลุ่มมอดูลาร์เนื่องจากมีความสัมพันธ์กับเส้นโค้งมอดูลาร์ตัวอย่างที่คล้ายกันคือกลุ่มมอดูลาร์ของซีเกล ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {PSL} _{n}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {PGL} _{n}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$

ตัวอย่างอื่นๆ ที่เป็นที่รู้จักและศึกษากันดี ได้แก่กลุ่มเบียนชี (Bianchi groups) ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสอง และเป็นวงแหวนของจำนวนเต็มในฟิลด์และกลุ่มมอดูลาร์ฮิลเบิร์ต-บลูเมนทัล (Hilbert–Blumenthal modular groups ) ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(O_{-m}),}$${\displaystyle m>0}$${\displaystyle O_{-m}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-m}}),}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(O_{m})}$

ตัวอย่างคลาสสิกอีกประการหนึ่งคือองค์ประกอบจำนวนเต็มในกลุ่มเชิงตั้งฉากของรูปแบบกำลังสองที่กำหนดบนฟิลด์จำนวน เช่นการสร้างที่เกี่ยวข้องอีกอย่างหนึ่งคือการใช้กลุ่มเอกลักษณ์ของอันดับในพีชคณิตควอเทอร์เนียนบนฟิลด์จำนวน (ตัวอย่างเช่นอันดับควอเทอร์เนียนของฮูร์วิตซ์ ) การสร้างที่คล้ายกันนี้สามารถทำได้ด้วยกลุ่มเอกลักษณ์ของรูปแบบเฮอร์มิเชียนตัวอย่างที่รู้จักกันดีคือ กลุ่มมอดูลาร์ ของ ปิการ์ด${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)(\mathbb {Z} )}$

เมื่อเป็นกลุ่มลี เราสามารถกำหนดแลตทิซเลขคณิตในได้ดังนี้: สำหรับกลุ่มพีชคณิตใดๆที่กำหนดบนซึ่งมีมอร์ฟิซึมที่มีเคอร์เนลกระชับ ภาพของกลุ่มย่อยเลขคณิตในจะเป็นแลตทิซเลขคณิตในดังนั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าและเป็นกลุ่มย่อยของแล้วจะเป็นแลตทิซเลขคณิตใน(แต่ยังมีอีกมากมายที่สอดคล้องกับการฝังตัวแบบอื่นๆ) ตัวอย่างเช่นจะเป็นแลตทิซเลขคณิตใน ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {G} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {R} )\to G}$${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G=\mathrm {G} (\mathbb {R} )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$${\displaystyle G\cap \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$

โดยทั่วไปแล้ว แลตทิซในกลุ่มลีจะถูกนิยามว่าเป็นกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องที่มีปริมาตรจำกัด คำศัพท์ที่กล่าวถึงข้างต้นสอดคล้องกับสิ่งนี้ เนื่องจากทฤษฎีบทของโบเรลและฮาริช-จันทรากล่าวว่า กลุ่มย่อยทางเลขคณิตในกลุ่มลีแบบกึ่งง่ายมีปริมาตรจำกัด (ความไม่ต่อเนื่องนั้นชัดเจน)

ทฤษฎีบทนี้มีความแม่นยำกว่า กล่าวคือ มันบอกว่าแลตทิซทางเลขคณิตจะเป็นโคคอมแพ็กต์ก็ต่อเมื่อ "รูปแบบ" ที่ใช้ในการกำหนดมัน (เช่นกลุ่ม) เป็นแบบแอนิโซโทรปิก ตัวอย่างเช่น แลตทิซทางเลขคณิตที่เกี่ยวข้องกับรูปแบบกำลังสองในตัวแปรเหนือจะเป็นโคคอมแพ็กต์ในกลุ่มออร์โทโกนอลที่เกี่ยวข้องก็ต่อเมื่อรูปแบบกำลังสองนั้นไม่เป็นศูนย์ที่จุดใด ๆใน ${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathrm {G} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}\setminus \{0\}}$

ผลลัพธ์อันน่าทึ่งที่มาร์กูลิสได้รับคือบทกลับบางส่วนของทฤษฎีบทโบเรล-ฮาริช-จันทรา: สำหรับกลุ่มลีบางกลุ่ม แลตทิซ ใดๆ ก็เป็นเลขคณิต ผลลัพธ์นี้เป็นจริงสำหรับแลตทิซที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั้งหมดในกลุ่มลีแบบกึ่งง่ายที่มีอันดับจริงมากกว่าสอง^{[ 12 ] [ 13 ]}ตัวอย่างเช่น แลตทิซทั้งหมดในเป็นเลขคณิตเมื่อส่วนประกอบใหม่หลักที่มาร์กูลิสใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาคือความแข็งแกร่งยิ่งยวดของแลตทิซในกลุ่มอันดับสูงที่เขาพิสูจน์เพื่อจุดประสงค์นี้ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle n\geq 3}$

ความไม่สามารถลดทอนได้จะมีบทบาทก็ต่อเมื่อมีตัวประกอบที่มีอันดับจริงเป็นหนึ่ง (มิฉะนั้นทฤษฎีบทจะยังคงเป็นจริงเสมอ) และไม่ใช่แลตทิซแบบง่าย: หมายความว่าสำหรับการแยกส่วนผลคูณใดๆแลตทิซจะไม่สามารถเทียบเคียงได้กับผลคูณของแลตทิซในแต่ละตัวประกอบตัวอย่างเช่น แลตทิซใน นั้นไม่สามารถลดทอนได้ ในขณะที่ นั้นไม่ใช่ ${\displaystyle G}$${\displaystyle G=G_{1}\times G_{2}}$${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}])}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

ทฤษฎีบทความเป็นเลขคณิตของมาร์กูลลิส (และความแข็งแกร่งยิ่งยวด) ใช้ได้กับกลุ่มลีอันดับ 1 บางกลุ่ม โดยเฉพาะกลุ่มพิเศษ[ ^{14 ] [ 15 ] เป็น} ที่ทราบกันว่า ทฤษฎีบท นี้ไม่ใช้ได้กับทุกกลุ่มสำหรับ(อ้างอิงถึง GPS) และสำหรับเมื่อไม่มีแลตทิซที่ไม่ใช่เลขคณิตที่รู้จักในกลุ่มเมื่อ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,1)}$${\displaystyle n\geqslant 1}$${\displaystyle F_{4}^{-20}}$${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$${\displaystyle n\geqslant 2}$${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$${\displaystyle n=1,2,3}$${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$${\displaystyle n\geqslant 4}$

กลุ่มฟุคเซียนเชิงเลขคณิตถูกสร้างขึ้นจากข้อมูลต่อไปนี้: ฟิลด์จำนวนจริงทั้งหมด , พีชคณิตควอเทอร์เนียนเหนือและอันดับใน โดย กำหนดให้สำหรับการฝังตัวแบบหนึ่งพีชคณิตนั้นต้องสมมูลกับพีชคณิตเมทริกซ์และสำหรับการฝังตัวแบบอื่นๆ ทั้งหมดต้องสมมูลกับควอเทอร์เนียนแฮมิลตันดังนั้น กลุ่มของหน่วยจะเป็นแลตทิซในซึ่งสมมูลกับและเป็นกลุ่มร่วมกระชับในทุกกรณี ยกเว้นเมื่อเป็นพีชคณิตเมทริกซ์เหนือ แลตทิซเชิงเลขคณิตทั้งหมดในได้มาด้วยวิธีนี้ (โดยคำนึงถึงความเข้ากันได้) ${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \sigma :F\to \mathbb {R} }$${\displaystyle A^{\sigma }\otimes _{F}\mathbb {R} }$${\displaystyle M_{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\mathcal {O}}^{1}}$${\displaystyle (A^{\sigma }\otimes _{F}\mathbb {R} )^{1}}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

กลุ่ม Kleinian ทางเลขคณิตถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกัน ยกเว้นว่าจะต้องมีตำแหน่งเชิงซ้อนเพียงหนึ่งตำแหน่งเท่านั้น และต้องเป็นควอเทอร์เนียนของแฮมิลตันที่ตำแหน่งจริงทั้งหมด กลุ่มเหล่านี้ครอบคลุมชั้นความสอดคล้องทางเลขคณิตทั้งหมดใน${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} ).}$

สำหรับกลุ่ม Lie กึ่งง่ายทุกกลุ่มในทางทฤษฎีแล้วสามารถจำแนก (จนถึงความสอดคล้องกัน) แลตทิซเลขคณิตทั้งหมดใน ได้ในลักษณะที่คล้ายกับกรณีที่อธิบายไว้ข้างต้น ซึ่งเทียบเท่ากับการจำแนกกลุ่มพีชคณิตที่มีจุดจริงเป็นไอโซมอร์ฟิกกันจนถึงปัจจัยกระชับกับ^{[ 16 ]}${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle G}$

กลุ่มย่อยสมมูล (congruence subgroup ) คือ (โดยประมาณ) กลุ่มย่อยของกลุ่มเลขคณิต (arithmetic group) ที่กำหนดโดยการนำเมทริกซ์ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการบางอย่างมอดูลจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น กลุ่มของเมทริกซ์จำนวนเต็ม 2x2 ที่มีสัมประสิทธิ์แนวทแยง (หรือนอกแนวทแยง) สมมูลกับ 1 (หรือ 0) มอดูลจำนวนเต็มบวก กลุ่มย่อยเหล่านี้มักเป็นกลุ่มย่อยที่มีดัชนีจำกัด และปัญหาของกลุ่มย่อยสมมูลโดยประมาณถามว่ากลุ่มย่อยทั้งหมดได้มาด้วยวิธีนี้หรือไม่ ข้อสันนิษฐาน (โดยทั่วไปเชื่อกันว่าเป็นของJean-Pierre Serre ) คือข้อสันนิษฐานนี้เป็นจริงสำหรับแลตทิซเลขคณิต (ที่ไม่สามารถแยกย่อยได้) ในกลุ่มที่มีอันดับสูงกว่า และเป็นเท็จในกลุ่มที่มีอันดับหนึ่ง ข้อสันนิษฐานนี้ยังคงเปิดอยู่สำหรับความทั่วไปนี้ แต่มีผลลัพธ์มากมายที่พิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงสำหรับแลตทิซเฉพาะ (ทั้งในกรณีบวกและลบ)

แทนที่จะใช้จุดจำนวนเต็มในนิยามของแลตทิซเลขคณิต เราสามารถใช้จุดที่อยู่ห่างจากจำนวนเฉพาะจำนวนจำกัดได้เท่านั้น ซึ่งนำไปสู่แนวคิดของแลตทิซเลขคณิต - (โดยที่หมายถึงเซตของจำนวนเฉพาะผกผัน) ตัวอย่างต้นแบบคือ นอกจากนี้ แลตทิซเหล่านี้ยังเป็นแลตทิซตามธรรมชาติในกลุ่มทางทอพอโลยีบางกลุ่ม ตัวอย่างเช่นเป็นแลตทิซใน${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{p}}\right]\right)}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{p}}\right]\right)}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Q} _{p}).}$

นิยามอย่างเป็นทางการของกลุ่มเลขคณิต -สำหรับเซตจำกัดของจำนวนเฉพาะนั้นเหมือนกับกลุ่มเลขคณิต โดยที่ถูกแทนที่ด้วย โดยที่คือผลคูณของจำนวนเฉพาะใน ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}\left(\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{N}}\right]\right)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle S}$

ทฤษฎีบท Borel–Harish-Chandra สามารถขยายไปสู่กลุ่มเลขคณิตได้ดังนี้: ถ้าเป็นกลุ่มเลขคณิตในกลุ่มพีชคณิตแล้วจะเป็นแลตทิซในกลุ่มกระชับเฉพาะที่${\displaystyle S}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathrm {G} }$${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle G=\mathrm {G} (\mathbb {R} )\times \prod _{p\in S}\mathrm {G} (\mathbb {Q} _{p})}$.

กลุ่มเลขคณิตที่มีคุณสมบัติของ Kazhdan (T)หรือคุณสมบัติที่อ่อนกว่า ( ) ของ Lubotzky และ Zimmer สามารถใช้สร้างกราฟขยาย (Margulis) หรือแม้แต่กราฟ Ramanujan (Lubotzky-Phillips-Sarnak ^{[ 17 ] [ 18 ]} ) กราฟดังกล่าวเป็นที่ทราบกันว่ามีอยู่มากมายตามผลลัพธ์เชิงความน่าจะเป็น แต่ลักษณะที่ชัดเจนของการสร้างเหล่านี้ทำให้น่าสนใจ ${\displaystyle \tau }$

เป็นที่ทราบกันดีว่า การปกคลุมที่สอดคล้องกันของพื้นผิวทางเลขคณิตทำให้เกิดพื้นผิวที่มีรัศมีของการฉีดขนาดใหญ่^{[ 19 ]}ในทำนองเดียวกัน กราฟ Ramanujan ที่สร้างโดย Lubotzky-Phillips-Sarnak ก็มีเส้นรอบวง ขนาดใหญ่ อัน ที่จริงเป็นที่ทราบกันดีว่าคุณสมบัติของ Ramanujan เองบ่งชี้ว่าเส้นรอบวงเฉพาะที่ของกราฟนั้นเกือบจะใหญ่เสมอ^{[ 20 ]}

กลุ่มเลขคณิตสามารถใช้สร้างแมนิโฟลด์ไอโซสเปกตรัม ได้ สิ่งนี้ได้รับการตระหนักเป็นครั้งแรกโดยMarie-France Vignéras ^{[ 21 ]}และมีการดัดแปลงการสร้างของเธอมากมายตั้งแต่นั้นมา ปัญหาไอโซสเปกตรัมนั้นเหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับการศึกษาในบริบทที่จำกัดของแมนิโฟลด์เลขคณิต^{[ 22 ]}

ระนาบเชิงโปรเจกทีฟปลอม^{[ 23 ]}คือพื้นผิวเชิงซ้อนที่มีจำนวนเบตติเหมือนกับระนาบเชิงโปรเจกทีฟ แต่ไม่เป็นไบโฮโลมอร์ฟิกกับระนาบเชิงโปรเจกทีฟ ตัวอย่างแรกถูกค้นพบโดยมัมฟอร์ด จากผลงานของคลิงเลอร์ (ซึ่งได้รับการพิสูจน์โดยอิสระโดยเยืองเช่นกัน) ระนาบดังกล่าวทั้งหมดเป็นผลหารของลูกบอล 2 มิติโดยแลตทิซเลขคณิตในแลตทิซที่เป็นไปได้ได้รับการจำแนกโดยปราสาดและเยือง และการจำแนกประเภทเสร็จสมบูรณ์โดยคาร์ทไรท์และสเตเกอร์ ซึ่งกำหนดระนาบเชิงโปรเจกทีฟปลอมทั้งหมดในแต่ละชั้นของปราสาด-เยืองโดยการคำนวณด้วยคอมพิวเตอร์ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathrm {PU} (2,1)}$