ในทางคณิตศาสตร์ การจัดประเภท ของเอนริเกส-โคไดระจัดกลุ่มพื้นผิวเชิงซ้อนแบบกะทัดรัดออก เป็นสิบประเภท โดยแต่ละประเภทมีพารามิเตอร์เป็นปริภูมิโมดูลัสสำหรับประเภทส่วนใหญ่ ปริภูมิโมดูลัสเป็นที่เข้าใจกันดี แต่สำหรับประเภทของพื้นผิวแบบทั่วไป ปริภูมิโมดูลัสดูซับซ้อนเกินกว่าจะอธิบายได้อย่างชัดเจน แม้ว่าส่วนประกอบบางอย่างจะทราบแล้วก็ตาม

Max Noetherเริ่มการศึกษาพื้นผิวพีชคณิตอย่างเป็นระบบ และGuido Castelnuovoได้พิสูจน์ส่วนสำคัญของการจำแนกประเภทFederigo Enriques ^{[ 1 ] [ 2 ]}ได้อธิบายการจำแนกประเภทของพื้นผิวเชิงโปรเจกทีฟที่ซับซ้อนKunihiko Kodaira ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}ต่อมาได้ขยายการจำแนกประเภทเพื่อรวมพื้นผิวคอมแพ็กต์ที่ไม่ใช่พีชคณิต

การจำแนกประเภทพื้นผิวเชิงซ้อนกระชับตามแบบ Enriques–Kodaira ระบุว่า พื้นผิวเชิงซ้อนกระชับขั้นต่ำที่ไม่เอกฐานทุกพื้นผิวจะมีอยู่เพียงหนึ่งใน 10 ประเภทที่ระบุไว้ในหน้านี้เท่านั้น การจำแนกประเภทและความสัมพันธ์กับมิติ Kodaira สรุปไว้ในตารางต่อไปนี้:

การจำแนกประเภทพื้นผิวตามแบบ Kodaira-Enriques

มิติโคไดระ	พื้นผิว (ลิงก์ไปยังส่วนด้านล่าง)	พื้นผิว (ลิงก์ไปยังบทความหลัก)
${\displaystyle -\infty }$	พื้นผิวเชิงตรรกะ พื้นผิวที่มีเส้นขีดของสกุลบวก พื้นผิวของชั้นเรียนที่ 7	พื้นผิวเชิงตรรกะ พื้นผิว ที่มีเส้นขีดของสกุลบวก พื้นผิวของชั้นเรียนที่ 7
0	พื้นผิว K3 โทริ พื้นผิวโคไดระ เอนริเกสปรากฏตัว พื้นผิวไฮเปอร์อิลิปติก	พื้นผิว K3 โทริ พื้นผิวโคไดระ เอนริเกสปรากฏตัว พื้นผิวไฮเปอร์อิลิปติก
1	พื้นผิววงรี[ก]	พื้นผิววงรี
2	พื้นผิวประเภททั่วไป	พื้นผิวประเภททั่วไป

สำหรับพื้นผิว 9 ประเภทอื่นนอกเหนือจากประเภททั่วไป มีคำอธิบายที่ค่อนข้างสมบูรณ์เกี่ยวกับลักษณะของพื้นผิวทั้งหมด (ซึ่งสำหรับประเภทที่ 7 ขึ้นอยู่กับสมมติฐานเปลือกทรงกลมทั่วโลกซึ่งยังไม่ได้รับการพิสูจน์ในปี 2024) สำหรับพื้นผิวประเภททั่วไปนั้น ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดเกี่ยวกับการจำแนกประเภทอย่างชัดเจน แม้ว่าจะพบตัวอย่างมากมายแล้วก็ตาม

ตัวแปรคงที่ที่สำคัญที่สุดของพื้นผิวเชิงซ้อนขนาดกะทัดรัดที่ใช้ในการจำแนกประเภท สามารถแสดงได้ในแง่ของมิติของ กลุ่ม โคฮอโมโลยีชีฟที่สอดคล้องกัน ต่างๆ ตัวแปรพื้นฐาน ได้แก่พลูริจีนาและจำนวนฮอดจ์ ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้:

• Kคือบันเดิลเส้นตรงมาตรฐานที่มีภาคตัดเป็น 2-ฟอร์มเชิงโฮโลมอร์ฟิก
• ${\displaystyle P_{n}=\dim H^{0}(K^{n}),n\geqslant 1}$เรียกว่า พลูริเจเน รา (plurigenera ) พวกมันเป็น ค่าคงที่แบบไบราชันนัล (birational invariants) กล่าวคือ ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเป่าลม (blowing up) โดยใช้ทฤษฎีของไซเบิร์ก-วิตเทน (Seiberg–Witten theory)โรเบิร์ต ฟรีดแมน (Robert Friedman) และจอห์น มอร์แกน (John Morgan)แสดงให้เห็นว่าสำหรับแมนิโฟลด์เชิงซ้อน (complex manifolds) พวกมันขึ้นอยู่กับแมนิโฟลด์เรียบ 4 มิติ (4-manifold) ที่มีทิศทาง (oriented smooth 4-manifold) ที่อยู่เบื้องหลังเท่านั้น สำหรับพื้นผิวที่ไม่ใช่คาห์เลอ ร์ (non-Kähler surfaces) พลูริเจเนราจะถูกกำหนดโดยกลุ่มพื้นฐาน (fundamental group) แต่สำหรับ พื้นผิว คาห์เลอร์ มีตัวอย่างของพื้นผิวที่เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิก (homeomorphic) แต่มีพลูริเจเนราและมิติโคไดระ (Kodaira dimensions ) ที่แตกต่างกัน พลูริเจเนราแต่ละตัวมักไม่ค่อยถูกนำมาใช้ สิ่งที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับพวกมันคืออัตราการเติบโต ซึ่งวัดโดยมิติโคไดระ
• ${\displaystyle \kappa }$มิติโคไดระคือ ค่า n = 0 (บางครั้งเขียนว่า −1) ถ้าพหุพันธ์ทั้งหมดเป็น 0 และจะเป็นค่า n = 0 ในกรณีอื่น ๆ โดยที่ n = 0, 1 หรือ 2 สำหรับพื้นผิวเอนริเกสไม่ได้ใช้คำจำกัดความนี้ แต่เขาใช้ค่า n = 0 และn = 1 แทน ซึ่งค่าเหล่านี้กำหนดมิติโคไดระตามความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle P_{n}/n^{\kappa }}$${\displaystyle P_{12}}$${\displaystyle K\cdot K=c_{1}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa =-\infty &\longleftrightarrow P_{12}=0\\\kappa =0&\longleftrightarrow P_{12}=1\\\kappa =1&\longleftrightarrow P_{12}>1{\text{ and }}K\cdot K=0\\\kappa =2&\longleftrightarrow P_{12}>1{\text{ and }}K\cdot K>0\\\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle h^{i,j}=\dim H^{j}(X,\Omega ^{i}),}$กลุ่มของไอฟอร์มโฮโลมอร์ฟิกอยู่ที่ไหนและตัวเลขฮอดจ์ซึ่งมักจัดเรียงอยู่ในรูปเพชรฮอดจ์ อยู่ ที่ไหน${\displaystyle \Omega ^{i}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&&h^{0,0}&&\\&h^{1,0}&&h^{0,1}&\\h^{2,0}&&h^{1,1}&&h^{0,2}\\&h^{2,1}&&h^{1,2}&\\&&h^{2,2}&&\\\end{matrix}}}$

โดยอาศัยทฤษฎีทวิภาวะของ Serre และจำนวน Hodge ของพื้นผิวเชิงซ้อนจะขึ้นอยู่กับ วงแหวน โคฮอโมโลยี จริงแบบมีทิศทาง ของพื้นผิวเท่านั้น และไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงแบบไบราชันนัล ยกเว้นกรณีที่เพิ่มขึ้น 1 เมื่อเป่าจุดเดียวให้พองขึ้น ${\displaystyle h^{i,j}=h^{2-i,2-j}}$${\displaystyle h^{0,0}=h^{2,2}=1.}$${\displaystyle h^{1,1}}$

• ถ้าพื้นผิวเป็นแบบ Kählerแล้วจะมีเลข Hodge อิสระเพียงสามตัวเท่านั้น${\displaystyle h^{i,j}=h^{j,i}}$
• ถ้าพื้นผิวมีความแน่น จะเท่ากับหรือ${\displaystyle h^{1,0}}$${\displaystyle h^{0,1}}$${\displaystyle h^{0,1}-1.}$

มีค่าคงที่หลายค่าที่ (อย่างน้อยสำหรับพื้นผิวเชิงซ้อน) สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของจำนวนฮอดจ์ ดังต่อไปนี้:

• เลขเบ็ตติ : กำหนดโดย${\displaystyle b_{i}=\dim H^{i}(S),0\leqslant i\leqslant 4.}$

${\displaystyle {\begin{cases}b_{0}=b_{4}=1\\b_{1}=b_{3}=h^{1,0}+h^{0,1}=h^{2,1}+h^{1,2}\\b_{2}=h^{2,0}+h^{1,1}+h^{0,2}\end{cases}}}$

ในกรณีที่ลักษณะเฉพาะp  > 0 จำนวน Betti จะถูกกำหนดโดยใช้โคฮอโมโลยี l-adicและไม่จำเป็นต้องเป็นไปตามความสัมพันธ์เหล่านี้

• ลักษณะเฉพาะของออยเลอร์หรือเลขของออยเลอร์ :

${\displaystyle e=b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+b_{4}.}$

• ความไม่สม่ำเสมอถูกกำหนดให้เป็นมิติของความหลากหลายแบบ Picardและความหลากหลายแบบ Albaneseและใช้สัญลักษณ์q แทน สำหรับพื้นผิวเชิงซ้อน (แต่ไม่เสมอไปสำหรับพื้นผิวที่มีลักษณะเฉพาะแบบไพรม์)

${\displaystyle q=h^{0,1}.}$

• สกุลทางเรขาคณิต :

${\displaystyle p_{g}=h^{0,2}=h^{2,0}=P_{1}.}$

• สกุลทางคณิตศาสตร์ :

${\displaystyle p_{a}=p_{g}-q=h^{0,2}-h^{0,1}.}$

• ลักษณะเฉพาะของออยเลอร์เชิงโฮโลมอร์ฟิกของบันเดิลที่ไม่สำคัญ (โดยปกติจะแตกต่างจากจำนวนออยเลอร์eที่กำหนดไว้ข้างต้น):

${\displaystyle \chi =p_{g}-q+1=h^{0,2}-h^{0,1}+1.}$

ตามสูตรของ Noether แล้ว มันยังเท่ากับสกุล Todd อีกด้วย${\displaystyle {\tfrac {1}{12}}(c_{1}^{2}+c_{2}).}$

• สัญลักษณ์ของกลุ่มโคฮอโมโลยีที่สองสำหรับพื้นผิวเชิงซ้อนแสดงด้วย :${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau =4\chi -e=\sum \nolimits _{i,j}(-1)^{j}h^{i,j}.}$

• ${\displaystyle b^{\pm }}$มิติของปริภูมิย่อยบวกและลบที่แน่นอนสูงสุดของso คือ:${\displaystyle H^{2},}$

${\displaystyle {\begin{cases}b^{+}+b^{-}=b_{2}\\b^{+}-b^{-}=\tau \end{cases}}}$

• c ₂ = eและคือจำนวนเชิร์นซึ่งนิยามว่าเป็นปริพันธ์ของพหุนามต่างๆ ในชั้นเชิร์นเหนือแมนิโฟลด์${\displaystyle c_{1}^{2}=K^{2}=12\chi -e}$

นอกจากนี้ ยังมีค่าคงที่ของพื้นผิวเชิงซ้อนขนาดกะทัดรัดอีกหลายชนิดที่ไม่ค่อยได้ใช้ในการจำแนกประเภท ซึ่งรวมถึงค่าคงที่ทางพีชคณิต เช่นกลุ่ม Picard Pic( X ) ของตัวหารโมดูลัสความสมมูลเชิงเส้น ผลหารของกลุ่มนี้คือกลุ่ม Néron–Severi NS( X ) ที่มีอันดับเป็นจำนวน Picard ρ ค่าคงที่ทางโทโพโลยี เช่นกลุ่มพื้นฐาน π ₁และกลุ่มโฮโมโลยีและโคโฮโมโลยีเชิงปริพันธ์ และค่าคงที่ของ แมนิโฟ ลด์เรียบ 4 มิติ ที่อยู่เบื้องหลัง เช่นค่าคงที่ Seiberg–Wittenและ ค่าคง ที่ Donaldson

พื้นผิวใดๆ ก็ตามสามารถเป็นไบราชันนัลกับพื้นผิวที่ไม่เอกฐานได้ ดังนั้นสำหรับวัตถุประสงค์ส่วนใหญ่ การจำแนกประเภทของพื้นผิวที่ไม่เอกฐานก็เพียงพอแล้ว

เมื่อกำหนดจุดใดๆ บนพื้นผิว เราสามารถสร้างพื้นผิวใหม่ได้โดยการขยายจุดนั้น ซึ่งโดยคร่าวๆ หมายความว่าเราแทนที่จุดนั้นด้วยสำเนาของเส้นตรงเชิงโปรเจคทีฟ สำหรับวัตถุประสงค์ของบทความนี้ พื้นผิวที่ไม่เอกฐานXเรียกว่า พื้นผิว ขั้นต่ำหากไม่สามารถได้มาจากการขยายจุดใดจุดหนึ่งจากพื้นผิวที่ไม่เอกฐานอื่นได้ ตามทฤษฎีบทการหดตัวของ Castelnuovoนี่เทียบเท่ากับการกล่าวว่าXไม่มีเส้นโค้ง (−1) (เส้นโค้งเชิงตรรกะเรียบที่มีจำนวนจุดตัดตัวเองเท่ากับ −1) (ในศัพท์เฉพาะที่ทันสมัยกว่าของโครงการแบบจำลองขั้นต่ำพื้นผิวเชิงโปรเจคทีฟเรียบXจะถูกเรียกว่าพื้นผิวขั้นต่ำหากมัดเส้นตรงแคนอนิกK _X ของมัน คือnefพื้นผิวเชิงโปรเจคทีฟเรียบจะมีแบบจำลองขั้นต่ำในความหมายที่เข้มงวดกว่านั้นก็ต่อเมื่อมิติ Kodaira ของมันไม่เป็นลบ)

ทุกพื้นผิวXเป็นไบราชันนัลกับพื้นผิวที่ไม่เอกฐานขั้นต่ำ และพื้นผิวที่ไม่เอกฐานขั้นต่ำนี้จะมีเพียงหนึ่งเดียวก็ต่อเมื่อXมีมิติโคไดระอย่างน้อย 0 หรือไม่ใช่พื้นผิวพีชคณิต พื้นผิวพีชคณิตที่มีมิติโคไดระอาจเป็นไบราชันนัลกับพื้นผิวที่ไม่เอกฐานขั้นต่ำได้มากกว่าหนึ่งพื้นผิว แต่การอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างพื้นผิวขั้นต่ำเหล่านี้ทำได้ง่าย ตัวอย่างเช่นP ¹ × P ¹ที่ขยายใหญ่ขึ้น ณ จุดหนึ่ง จะสมสัณฐานกับP ²ที่ขยายใหญ่ขึ้นสองครั้ง ดังนั้นในการจำแนกพื้นผิวเชิงซ้อนขนาดกะทัดรัดทั้งหมดจนถึงการสมสัณฐานแบบไบราชันนัล จึงเพียงพอ (ไม่มากก็น้อย) ที่จะจำแนกพื้นผิวที่ไม่เอกฐานขั้นต่ำ ${\displaystyle -\infty }$

พื้นผิวพีชคณิตที่มีมิติโคไดระสามารถจำแนกได้ดังนี้ ถ้าq > 0 แผนที่ไปยังวาไรตี้อัลบานีสจะมีไฟเบอร์ที่เป็นเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟ (ถ้าพื้นผิวเป็นพื้นผิวขั้นต่ำ) ดังนั้นพื้นผิวจึงเป็นพื้นผิวแบบเส้นตรง ถ้าq = 0 ข้อโต้แย้งนี้ใช้ไม่ได้ผลเนื่องจากวาไรตี้อัลบานีสเป็นจุด แต่ในกรณีนี้ทฤษฎีบทของคาสเตลนูโอโวบ่งชี้ว่าพื้นผิวเป็นพื้นผิวเชิงตรรกะ ${\displaystyle -\infty }$

สำหรับพื้นผิวที่ไม่ใช่เชิงพีชคณิต โคไดระได้ค้นพบพื้นผิวประเภทพิเศษที่เรียกว่าประเภท VII ซึ่งยังไม่เป็นที่เข้าใจอย่างถ่องแท้

พื้นผิวเชิงตรรกะหมายถึง พื้นผิวที่เป็น birational กับระนาบเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟP ²พื้นผิวเหล่านี้ล้วนเป็นพีชคณิต พื้นผิวเชิงตรรกะขั้นต่ำคือP ²เอง และพื้นผิว Hirzebruch Σ _nสำหรับn = 0 หรือn ≥ 2 (พื้นผิว Hirzebruch Σ _nคือ บันเดิ ล P ¹เหนือP ¹ที่เกี่ยวข้องกับชีฟ O(0) + O( n ) พื้นผิว Σ ₀มีโครงสร้างเหมือนกับP ¹ × P ¹และ Σ ₁มีโครงสร้างเหมือนกับP ²ที่ขยายใหญ่ขึ้น ณ จุดหนึ่ง ดังนั้นจึงไม่ใช่พื้นผิวขั้นต่ำ)

ตัวแปรคงที่:พลูริเจนเนอราทั้งหมดเป็น 0 และกลุ่มพื้นฐานเป็นกลุ่มที่ไม่มีตัวแปร

เพชรฮอดจ์:

		1
	0		0
0		1		0	(ระนาบฉายภาพ)
	0		0
		1

		1
	0		0
0		2		0	(พื้นผิว Hirzebruch)
	0		0
		1

ตัวอย่างเช่น: P ² , P ¹ × P ¹ = Σ ₀ , พื้นผิว Hirzebruch Σ _n , พื้นผิวควอดริก , พื้นผิวลูกบาศก์ , พื้นผิว del Pezzo , พื้นผิว Veroneseตัวอย่างเหล่านี้จำนวนมากไม่ใช่พื้นผิวขั้นต่ำ

พื้นผิวแบบเส้นตรงที่มีจีนัสgมีมอร์ฟิซึมเรียบไปยังเส้นโค้งที่มีจีนัสgซึ่งมีไฟเบอร์เป็นเส้นตรงP ¹พื้นผิวเหล่านี้ทั้งหมดเป็นพีชคณิต (ส่วนพื้นผิวที่มีจีนัส 0 คือพื้นผิว Hirzebruch และเป็นตรรกยะ) พื้นผิวแบบเส้นตรงใดๆ ก็ตามจะสมมูลกันแบบไบราชันนัลกับP ¹ × Cสำหรับเส้นโค้งC ที่ไม่ซ้ำกัน ดังนั้นการจำแนกประเภทของพื้นผิวแบบเส้นตรงจนถึงความสมมูลแบบไบราชันนัลจึงเหมือนกับการจำแนกประเภทของเส้นโค้งโดยพื้นฐาน พื้นผิวแบบเส้นตรงที่ไม่สมมาตรกับP ¹ × P ¹จะมีเส้นกำหนดเพียงหนึ่งเดียว ( P ¹ × P ¹มีสองเส้น)

ค่าคงที่:พลูริเจนเนอราทั้งหมดมีค่าเป็น 0

เพชรฮอดจ์:

		1
	จี		จี
0		2		0
	จี		จี
		1

ตัวอย่าง:ผลคูณของเส้นโค้งใดๆ ที่มีจีนัส > 0 กับ P ¹

พื้นผิวเหล่านี้ไม่เคยเป็นพื้นผิวพีชคณิตหรือพื้นผิวคาห์เลอร์พื้นผิวขั้นต่ำที่มีb² ₌ 0 ได้รับการจำแนกโดยโบโกโมลอฟ และเป็นพื้นผิวฮอปฟ์หรือพื้นผิวอิโนอุเอะตัวอย่างที่มีเลขเบตติที่สองเป็นบวก ได้แก่พื้นผิวอิโนอุเอะ-ฮิร์เซบรุคพื้นผิวเอโนกิและโดยทั่วไปคือพื้นผิวคาโตะ ข้อสันนิษฐานเกี่ยว กับเปลือกทรงกลมทั่วโลกบ่งชี้ว่าพื้นผิวคลาส VII ขั้นต่ำทั้งหมดที่มีเลขเบตติที่สองเป็นบวกเป็นพื้นผิวคาโตะ ซึ่งจะทำให้การจำแนกประเภทของพื้นผิวประเภท VII สมบูรณ์ขึ้นไม่มากก็น้อย

ค่าคงที่: q = 1, h ^1,0 = 0. พลูริเจนเนอราทั้งหมดมีค่าเป็น 0.

เพชรฮอดจ์:

		1
	0		1
0		ข2		0
	1		0
		1

พื้นผิวเหล่านี้ถูกจำแนกประเภทโดยเริ่มจากสูตรของ Noether สำหรับมิติ Kodaira เท่ากับ 0 นั้นKมีจำนวนจุดตัดกับตัวเอง เป็นศูนย์ ดังนั้นการใช้ ${\displaystyle 12\chi =c_{2}+c_{1}^{2}.}$${\displaystyle c_{1}^{2}=0.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi &=h^{0,0}-h^{0,1}+h^{0,2}\\c_{2}&=2-2b_{1}+b_{2}\end{aligned}}}$

เรามาถึงจุดนี้:

${\displaystyle 10+12h^{0,2}=8h^{0,1}+2\left(2h^{0,1}-b_{1}\right)+b_{2}}$

นอกจากนี้ เนื่องจากκ = 0 เราจึงได้ว่า:

${\displaystyle h^{0,2}={\begin{cases}1&K=0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

เมื่อนำสมการนี้มารวมกับสมการก่อนหน้าจะได้:

${\displaystyle 8h^{0,1}+2\left(2h^{0,1}-b_{1}\right)+b_{2}={\begin{cases}22&K=0\\10&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

โดยทั่วไป 2 h ^0,1 ≥ b ₁ดังนั้นสามพจน์ทางด้านซ้ายเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และมีคำตอบเพียงไม่กี่คำตอบสำหรับสมการนี้

• สำหรับพื้นผิวพีชคณิต 2 h ^0,1 − b ₁เป็นจำนวนเต็มคู่ระหว่าง 0 และ 2 p _g .
• สำหรับพื้นผิวเชิงซ้อนขนาดกะทัดรัด 2 h ^0,1 − b ₁ = 0 หรือ 1
• สำหรับ พื้น ผิวKähler 2 h ^0,1 − b ₁ = 0 และh ^1,0 = h ^0,1

วิธีแก้ปัญหาส่วนใหญ่สำหรับเงื่อนไขเหล่านี้สอดคล้องกับประเภทของพื้นผิว ดังแสดงในตารางต่อไปนี้:

นี่คือพื้นผิวเชิงซ้อนขนาดกะทัดรัดขั้นต่ำสุดของมิติโคไดระ 0 โดยที่q = 0 และบันเดิลเส้นแคนอนิกแบบไม่สำคัญ พื้นผิวเหล่านี้ทั้งหมดเป็นแมนิโฟลด์คาห์เลอร์พื้นผิว K3 ทั้งหมดเป็นดิฟเฟโอเมอร์ฟิก และคลาสดิฟเฟโอเมอร์ฟิกของพวกมันเป็นตัวอย่างสำคัญของแมนิโฟลด์ 4 มิติแบบเชื่อมต่ออย่างง่ายที่มีสปินเรียบ

ตัวแปรคงที่:กลุ่มโคฮอโมโลยีที่สองH ² ( X , Z ) เป็นไอโซมอร์ฟิกกับแลตทิซยูนิโมดูลาร์คู่ที่ไม่ซ้ำ กัน II _3,19ที่มีมิติ 22 และลายเซ็น −16

เพชรฮอดจ์:

ตัวอย่าง :

• ไฮเปอร์เซอร์เฟซระดับ 4 ในP ³ ( C )
• พื้นผิว Kummerได้มาจากการหารพื้นผิวอาเบเลียนด้วยออโตมอร์ฟิซึมa → − aแล้วจึงขยายจุดเอกฐานทั้ง 16 จุด

พื้น ผิว K3 ที่มีเครื่องหมายคือ พื้นผิว K3 พร้อมกับไอโซมอร์ฟิซึมจาก II _3,19ไปยังH ² ( X , Z ) ปริภูมิโมดูลัสของพื้นผิว K3 ที่มีเครื่องหมาย คือ ปริภูมิวิเคราะห์เรียบที่ไม่ใช่เฮาส์ดอร์ฟที่เชื่อมต่อกัน มีมิติ 20 พื้นผิว K3 เชิงพีชคณิตก่อตัวเป็นชุดย่อยที่นับได้ของมิติ 19

ทอรัสเชิงซ้อนสองมิติประกอบด้วยพื้นผิวอาเบเลียนทอรัสเชิงซ้อนหนึ่งมิติเป็นเพียงเส้นโค้งวงรีและล้วนเป็นพีชคณิต แต่รีมันน์ค้นพบว่าทอรัสเชิงซ้อนส่วนใหญ่ที่มีมิติ 2 ไม่ใช่พีชคณิต ทอรัสที่เป็นพีชคณิตนั้นก็คือวาไรตีอาเบเลียน สองมิตินั่นเอง ทฤษฎีส่วนใหญ่ของพวกมันเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีทอรัสหรือวาไรตีอาเบเลียนมิติสูงกว่า เกณฑ์ในการเป็นผลคูณของเส้นโค้งวงรีสองเส้น (จนถึง ไอโซจีนี ) เป็น หัวข้อการศึกษาที่ได้รับความนิยมในศตวรรษที่สิบเก้า

ค่าคงที่: พลูริ เจน เนอราทั้งหมดเป็น 1 พื้นผิวมีลักษณะทางดิฟเฟอเรนเชียลเหมือนกับS ¹ × S ¹ × S ¹ × S ¹ดังนั้นกลุ่มพื้นฐานคือZ ⁴

เพชรฮอดจ์:

		1
	2		2
1		4		1
	2		2
		1

ตัวอย่าง:ผลคูณของเส้นโค้งวงรีสองเส้น จาโคเบียนของเส้นโค้งที่มีจีนัส 2 ผลหารใดๆ ของC ²ด้วยแลตทิซ

พื้น ผิวเหล่านี้ไม่ใช่พื้นผิวพีชคณิต แม้ว่าจะมีฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกที่ไม่คงที่ก็ตาม โดยทั่วไปแล้วจะแบ่งออกเป็นสองประเภทย่อย ได้แก่พื้นผิวโคไดระปฐมภูมิที่มีบันเดิลแคนอนิกแบบไม่สำคัญ และพื้นผิวโคไดระทุติยภูมิซึ่งเป็นผลหารของพื้นผิวเหล่านี้โดยกลุ่มจำกัดที่มีอันดับ 2, 3, 4 หรือ 6 และมีบันเดิลแคนอนิกที่ไม่ใช่แบบไม่สำคัญ พื้นผิวโคไดระทุติยภูมิมีความสัมพันธ์กับพื้นผิวปฐมภูมิในลักษณะเดียวกับที่พื้นผิวเอนริเกสมีความสัมพันธ์กับพื้นผิว K3 หรือพื้นผิวไบเอลลิปติกมีความสัมพันธ์กับพื้นผิวอาเบเลียน

ตัวแปรคงที่: ถ้าพื้นผิวเป็นผลหารของพื้นผิวโคไดระหลักโดยกลุ่มที่มีอันดับk = 1, 2, 3, 4, 6 แล้ว พหุนามP _nจะมีค่าเป็น 1 ถ้าn หารด้วย kลงตัวและมีค่าเป็น 0 ถ้าไม่ใช่

เพชรฮอดจ์:

		1
	1		2
1		2		1	(หลัก)
	2		1
		1

		1
	0		1
0		0		0	(ระดับมัธยมศึกษา)
	1		0
		1

ตัวอย่าง:พิจารณากลุ่มเส้นตรงที่ไม่เป็นศูนย์บนเส้นโค้งวงรี ลบส่วนที่เป็นศูนย์ออก จากนั้นหารเส้นใยด้วยZซึ่งทำหน้าที่เหมือนการคูณด้วยกำลังของจำนวนเชิงซ้อนz บางจำนวน วิธีนี้จะให้พื้นผิวโคไดระขั้นต้น

พื้นผิวเหล่านี้เป็นพื้นผิวเชิงซ้อนที่q = 0 และบันเดิลเส้นตรงมาตรฐานไม่ใช่บันเดิลธรรมดา แต่มีกำลังสองธรรมดา พื้นผิวของเอนริเกสทั้งหมดเป็นพื้นผิวพีชคณิต (และดังนั้นจึงเป็น พื้นผิว คาห์เลอร์ ) พื้นผิวเหล่านี้เป็นผลหารของพื้นผิว K3 โดยกลุ่มอันดับ 2 และทฤษฎีของพื้นผิวเหล่านี้คล้ายคลึงกับทฤษฎีของพื้นผิวพีชคณิต K3

ตัวแปรคงที่:พลูริเจเนราP _nจะเป็น 1 ถ้าnเป็นจำนวนคู่ และ 0 ถ้าnเป็นจำนวนคี่ กลุ่มพื้นฐานมีอันดับ 2 กลุ่มโคฮอโมโลยีที่สอง H ² ( X , Z ) เป็นไอโซมอร์ฟิกกับผลรวมของแลตทิซยูนิโมดูลาร์คู่ที่ไม่ซ้ำกัน II _1,9ที่มีมิติ 10 และลายเซ็น −8 และกลุ่มที่มีอันดับ 2

เพชรฮอดจ์:

		1
	0		0
0		10		0
	0		0
		1

พื้นผิว Enriques ที่มีเครื่องหมายนั้นก่อให้เกิดตระกูล 10 มิติที่เชื่อมต่อกัน ซึ่งได้มีการอธิบายไว้อย่างชัดเจนแล้ว

ในลักษณะเฉพาะที่ 2 มีตระกูลพื้นผิวเอนริเกสเพิ่มเติมบางตระกูลที่เรียกว่าพื้นผิวเอนริเกสเอกฐานและพื้นผิวเอนริเกสเอกฐานพิเศษ โปรดดูบทความเกี่ยวกับพื้นผิวเอนริเกสสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

บนจำนวนเชิงซ้อน สิ่งเหล่านี้คือผลหารของผลคูณของเส้นโค้งวงรีสองเส้นโดยกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมจำกัด กลุ่มจำกัดนั้นอาจเป็นZ /2 Z ,   Z /2 Z  +  Z / 2 Z , Z /3 Z ,   Z /3 Z  +  Z /3 Z ,   Z /4 Z ,   Z /4 Z  +  Z /2 ZหรือZ /6 Zซึ่งให้พื้นผิวประเภทนี้เจ็ดตระกูล

เพชรฮอดจ์:

		1
	1		1
0		2		0
	1		1
		1

บนฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะ 2 หรือ 3 จะมีตระกูลพิเศษบางตระกูลที่ได้มาจากการหาผลหารโดยใช้โครงร่างกลุ่มที่ไม่ใช่เอทาล โปรดดูบทความเกี่ยวกับพื้นผิวไฮเปอร์อิลิปติกสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

พื้นผิว วงรี(elliptic surface)คือพื้นผิวที่มีไฟเบอร์วงรี (elliptic fibration) (ซึ่งเป็นแผนที่โฮโลมอร์ฟิกแบบทั่วถึงไปยังเส้นโค้งBโดยที่ไฟเบอร์ทั้งหมด ยกเว้นจำนวนจำกัด เป็นเส้นโค้งเรียบที่ไม่สามารถลดทอนได้ มีจีนัส 1) ไฟเบอร์ทั่วไปในไฟเบอร์ดังกล่าวคือเส้นโค้งจีนัส 1 บนฟิลด์ฟังก์ชันของBในทางกลับกัน เมื่อกำหนดเส้นโค้งจีนัส 1 บนฟิลด์ฟังก์ชันของเส้นโค้งแล้ว แบบจำลองขั้นต่ำสัมพัทธ์ของเส้นโค้งนั้นคือพื้นผิววงรี โคไดระและคนอื่นๆ ได้ให้คำอธิบายที่ค่อนข้างสมบูรณ์ของพื้นผิววงรีทั้งหมด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โคไดระได้ให้รายการที่สมบูรณ์ของไฟเบอร์เอกฐานที่เป็นไปได้ทฤษฎีของพื้นผิววงรีนั้นคล้ายคลึงกับทฤษฎีของแบบจำลองปกติที่เหมาะสมของเส้นโค้งวงรีบนวงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่อง (เช่น วงแหวนของจำนวนเต็มp -adic ) และโดเมนเดเดคินด์ (เช่น วงแหวนของจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวน)

ในลักษณะเฉพาะจำกัดที่ 2 และ 3 เรายังสามารถได้ พื้นผิว กึ่งวงรีซึ่งเส้นใยของพื้นผิวเหล่านั้นเกือบทั้งหมดอาจเป็นเส้นโค้งตรรกยะที่มีจุดยอดเดียว ซึ่งเรียกว่า "เส้นโค้งวงรีเสื่อมสภาพ"

พื้นผิวทุกพื้นผิวที่มีมิติโคไดระเท่ากับ 1 เป็นพื้นผิววงรี (หรือพื้นผิวกึ่งวงรีในลักษณะเฉพาะ 2 หรือ 3) แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง: พื้นผิววงรีสามารถมีมิติโคไดระเป็น0 หรือ 1 ได้พื้นผิวเอนริเกสทั้งหมดพื้นผิวไฮเปอร์ วงรี ทั้งหมดพื้นผิวโคไดระ ทั้งหมด พื้นผิว K3บางส่วน พื้น ผิวอาเบเลียนบางส่วนและพื้นผิวตรรกยะ บางส่วน เป็นพื้นผิววงรี และตัวอย่างเหล่านี้มีมิติโคไดระน้อยกว่า 1 พื้นผิววงรีที่มีเส้นโค้งฐานB มีจีนัสอย่างน้อย 2 จะมีมิติโคไดระเท่ากับ 1 เสมอ แต่บางพื้นผิววงรีที่มี Bเป็นจีนัส 0 หรือ 1 มิติโคไดระก็สามารถเป็น 1 ได้เช่นกัน${\displaystyle -\infty }$

ค่าคงที่:${\displaystyle c_{1}^{2}=0,c_{2}\geqslant 0.}$

ตัวอย่าง:ถ้าEเป็นเส้นโค้งวงรี และBเป็นเส้นโค้งที่มีจีนัสอย่างน้อย 2 แล้วE × Bจะเป็นพื้นผิววงรีที่มีมิติโคไดระเท่ากับ 1

สิ่งเหล่านี้ล้วนเป็นพีชคณิต และในแง่หนึ่ง พื้นผิวส่วนใหญ่ก็อยู่ในกลุ่มนี้ กีเซเกอร์แสดงให้เห็นว่ามีโครงร่างโมดูลัสแบบหยาบสำหรับพื้นผิวประเภททั่วไป ซึ่งหมายความว่าสำหรับค่าคงที่ใดๆ ของเลขเชิร์นc² ₁และc ₂มีแผนผังแบบกึ่งโปรเจคทีฟที่จัดประเภทพื้นผิวประเภททั่วไปด้วยเลขเชิร์นเหล่านั้น อย่างไรก็ตาม การอธิบายแผนผังเหล่านี้อย่างชัดเจนนั้นเป็นปัญหาที่ยากมาก และมีเลขเชิร์นเพียงไม่กี่คู่เท่านั้นที่ทำได้สำเร็จ (ยกเว้นในกรณีที่แผนผังว่างเปล่า!)

ตัวแปรคงที่:มีเงื่อนไขหลายประการที่เลขเชิร์นของพื้นผิวเชิงซ้อนขั้นต่ำของประเภททั่วไปต้องเป็นไปตามนั้น:

• ${\displaystyle c_{1}^{2},c_{2}>0}$
• ${\displaystyle c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}}$( ความไม่เท่าเทียมกันของโบโกโมลอฟ–มิยาโอกะ–เหยา )
• ${\displaystyle 5c_{1}^{2}-c_{2}+36\geqslant 0}$(อสมการโนเอเธอร์)
• ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\bmod {1}}2.}$

คู่ของจำนวนเต็มส่วนใหญ่ที่ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้คือจำนวนเชิร์นสำหรับพื้นผิวเชิงซ้อนบางประเภททั่วไป

ตัวอย่าง:ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือผลคูณของเส้นโค้งสองเส้นที่มีจีนัสอย่างน้อย 2 และไฮเปอร์เซอร์เฟซที่มีดีกรีอย่างน้อย 5 ในP ³มีการสร้างอื่นๆ อีกมากมายที่เป็นที่รู้จัก อย่างไรก็ตาม ยังไม่มีการสร้างใดที่สามารถสร้างพื้นผิว "ทั่วไป" ของประเภททั่วไปสำหรับเลขเชิร์นขนาดใหญ่ได้ อันที่จริงแล้วยังไม่ทราบด้วยซ้ำว่ามีแนวคิดที่สมเหตุสมผลเกี่ยวกับพื้นผิว "ทั่วไป" ของประเภททั่วไปหรือไม่ มีตัวอย่างอื่นๆ อีกมากมายที่ถูกค้นพบ รวมถึงพื้นผิวโมดูลาร์ของฮิลเบิร์ต ส่วนใหญ่ ระนาบ เชิง โปรเจกทีฟปลอมพื้นผิวบาร์โลว์และอื่นๆ

การจำแนกประเภทในลักษณะเชิงบวกเริ่มต้นโดยDavid Mumford  ( 1969 ) ^{[ 7 ]}และเสร็จสมบูรณ์โดยEnrico Bombieriและ David Mumford ( 1976 , 1977 ) ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}มีลักษณะคล้ายกับพื้นผิวพีชคณิตในลักษณะ 0 แต่ไม่มีพื้นผิว Kodaira หรือพื้นผิวประเภท VII มีตระกูลเพิ่มเติมบางตระกูลในลักษณะขนาดเล็ก

คำตอบสุดท้ายโดยพื้นฐานแล้วจะเหมือนกับคำตอบในกรณีที่ซับซ้อน (แม้ว่าวิธีการที่ใช้จะแตกต่างกันบ้าง) เมื่อมีการปรับเปลี่ยนที่สำคัญสองประการ ประการแรกคือ อาจได้พื้นผิว "ที่ไม่ใช่แบบคลาสสิก" ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อp -torsion ในPicard schemeเสื่อมสภาพไปเป็น group scheme ที่ไม่ลดรูป ประการที่สองคือ ความเป็นไปได้ที่จะได้รับพื้นผิวแบบกึ่งวงรีในลักษณะเฉพาะสองและสาม พื้นผิวเหล่านี้เป็นพื้นผิวที่มีเส้นใยอยู่เหนือเส้นโค้ง โดยที่เส้นใยทั่วไปเป็นเส้นโค้งที่มีจีนัสทางเลขคณิตหนึ่งและมีจุดยอดแหลม

เมื่อทำการปรับเปลี่ยนเหล่านี้แล้ว พื้นผิวจะถูกแบ่งออกเป็นสี่ประเภทตามมิติโคไดระเช่นเดียวกับในกรณีเชิงซ้อน มีพื้นผิวเอนริเกสในลักษณะเฉพาะ 2 และพื้นผิวไฮเปอร์อิลิปติกในลักษณะเฉพาะ 2 และ 3 และในมิติโคไดระ 1 ในลักษณะเฉพาะ 2 และ 3 ยังอนุญาตให้มีไฟเบอร์แบบกึ่งอิลิปติกได้ด้วย ตระกูลพิเศษเหล่านี้สามารถเข้าใจได้ดังนี้: ในลักษณะเฉพาะ 0 พื้นผิวเหล่านี้คือผลหารของพื้นผิวโดยกลุ่มจำกัด แต่ในลักษณะเฉพาะจำกัดก็สามารถใช้ผลหารโดยแผนผังกลุ่ม จำกัด ที่ไม่ใช่เอทาลได้เช่นกัน จะได้ทั้งพื้นผิวเอนริเกสเอกฐานและเอกฐานยิ่งยวดในลักษณะเฉพาะ 2 และพื้นผิวกึ่งไฮเปอร์อิลิปติกในลักษณะเฉพาะ 2 และ 3

ออสการ์ ซาริสกีสร้างพื้นผิวบางอย่างในลักษณะเฉพาะเชิงบวกที่เป็นเอกฐานแต่ไม่ใช่ฐานเหตุผล ซึ่งได้มาจากส่วนขยายที่ไม่สามารถแยกออกจากกันได้ (ที่เรียกว่าพื้นผิวซาริสกี ) ในลักษณะเฉพาะเชิงบวก เซอร์เร แสดงให้เห็นว่าอาจแตกต่างจากและอิกูซา แสดงให้เห็นว่าแม้ว่าพวกมันจะเท่ากัน แต่ก็อาจมากกว่าความไม่สม่ำเสมอ (มิติของความหลากหลายของปิการ์ด ) ${\displaystyle h^{0}(\Omega )}$${\displaystyle h^{1}({\mathcal {O}})}$

• รายชื่อพื้นผิวพีชคณิต

• บาร์ธ, วูล์ฟ พี. ; ฮูเล็ค, เคลาส์ ; ปีเตอร์ส คริส น.; Van de Ven, Antonius (2004), พื้นผิวที่ซับซ้อนขนาดกะทัดรัด , Ergebnisse der Mathematik และ ihrer Grenzgebiete 3. Folge. ฉบับ. 4, สปริงเกอร์-แวร์ลัก, เบอร์ลิน, ดอย : 10.1007/978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3, MR  2030225– หนังสืออ้างอิงมาตรฐานสำหรับพื้นผิวซับซ้อนขนาดกะทัดรัด
• Beauville, Arnaud (1996), Complex algebraic surfaces , London Mathematical Society Student Texts, vol. 34 (ฉบับที่ 2), Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511623936 , ISBN 978-0-521-49510-3, MR  1406314; ( ISBN 978-0-521-49842-5(ปกอ่อน) – รวมถึงบทนำเบื้องต้นเกี่ยวกับการจำแนกประเภท
• Bombieri, E.; Mumford, D. (1977). "การจำแนกประเภทพื้นผิวของ Enriques ใน Char. P, II" การวิเคราะห์เชิงซ้อนและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตหน้า  23–42 . doi : 10.1017/CBO9780511569197.004 . ISBN 9780521217774.
• รีด, ไมล์ส (1997), "บทเกี่ยวกับพื้นผิวพีชคณิต", เรขาคณิตพีชคณิตเชิงซ้อน (พาร์คซิตี้, ยูทาห์, 1993) , IAS/Park City Math. Ser., เล่ม 3, พรอวิเดนซ์, โรดไอแลนด์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน , หน้า  3–159 , arXiv : alg-geom/9602006 , Bibcode : 1996alg.geom..2006R , doi : 10.1090/pcms/003/02 , ISBN 9780821811450, MR  1442522 , S2CID  116933286
• ชาฟาเรวิช, อิกอร์ อาร์. ; อาเวอร์บูห์, บอริส จี.; เวนเบิร์ก, จู. ร.; ซิจเชนโก, AB; มานิน, ยูริ ไอ. ; มอยเชซอน, บอริส จี. ; จูรินา, กาลินา เอ็น.; Tjurin, Andrei N. (1967) [1965], "Algebraic Surfaces", การดำเนินการของสถาบันคณิตศาสตร์ Steklov , ฉบับ. 75, พรอวิเดนซ์, RI: American Mathematical Society , หน้า  1– 215, ISBN 978-0-8218-1875-6, MR  0190143
• Van de Ven, Antonius (1978), "เกี่ยวกับการจำแนกพื้นผิวพีชคณิตของ Enriques" , Séminaire Bourbaki, 29e année (1976/77) , Lecture Notes in Math., vol. 677, เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: Springer-Verlag , หน้า  237– 251, MR  0521772
• Lang, William E. "พื้นผิวกึ่งวงรีในลักษณะสาม" , Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 12 (1979) no. 4, หน้า 473–500. ดอย : 10.24033/asens.1373 . ทฤษฎีบท 4.3 ของบทความนี้จำแนกตัวเลขฮอดจ์ของพื้นผิวเสมือนไฮเปอร์รีลิปติกในลักษณะเฉพาะที่สาม

• le superficie algebricheเป็นการแสดงภาพเชิงโต้ตอบของการจำแนกประเภท Enriques—Kodaira โดย Pieter Belmans และ Johan Commelin