นี่คือคำอธิบายศัพท์บางส่วนที่ใช้ในเรขาคณิตแบบรีมันน์และเรขาคณิตเชิงเมตริกซึ่งไม่ได้ครอบคลุมศัพท์เฉพาะของ โทโพโล ยี เชิงอนุพันธ์

บทความต่อไปนี้อาจเป็นประโยชน์เช่นกัน เนื่องจากบทความเหล่านี้มีคำศัพท์เฉพาะทางหรือให้คำอธิบายที่ละเอียดมากขึ้นเกี่ยวกับคำจำกัดความที่ระบุไว้ด้านล่าง

• การเชื่อมต่อ
• ความโค้ง
• ปริภูมิเมตริก
• แมนิโฟลด์รีมันน์

ดูเพิ่มเติม:

• คำศัพท์เฉพาะทางด้านโทโพโลยีทั่วไป
• คำศัพท์ทางเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และโทโพโลยี
• รายชื่อหัวข้อเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

หากไม่ได้ระบุไว้เป็นอย่างอื่น ตัวอักษรX , Y , Zด้านล่างหมายถึงปริภูมิเมตริก, M , Nหมายถึงแมนิโฟลด์แบบรีมันน์, | xy | หรือหมายถึงระยะห่างระหว่างจุดxและyในX คำที่เป็นตัวเอียงหมายถึงการอ้างอิงถึงอภิธานศัพท์นี้เอง ${\displaystyle |xy|_{X}}$

ข้อควรระวัง : คำศัพท์หลายคำในเรขาคณิตแบบรีมันน์และเมตริก เช่นฟังก์ชันนูนเซตนูนและอื่นๆ ไม่ได้มีความหมายเหมือนกับที่ใช้ในคณิตศาสตร์ทั่วไปเสียทีเดียว

การเชื่อมต่อแบบแอฟฟิน

ปริภูมิอเล็กซานดรอฟ คือการขยายแนวคิดของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ โดยมีขอบเขตความโค้งบน ล่าง หรือแบบอินทิกรัล (แบบสุดท้ายใช้ได้เฉพาะในมิติ 2 เท่านั้น)

ท่อร่วมไอดีเกือบแบนราบ

การแปลงรูปทรงตามส่วนโค้งให้เหมือนกับการ แปลงรูปทรงตามเส้นทาง

กรวยอะซิมโทติก

ขนานอัตโนมัติเหมือนกับ จีโอเดสิ กโดยสมบูรณ์^{[ 1 ]}

ปริภูมิบานาค

จุดศูนย์กลางมวล (Barycenter)ดูที่ จุดศูนย์กลางของมวล (center of mass )

แผนที่ไบลิปชิตซ์ (Bi-Lipschitz map )แผนที่เรียกว่าแผนที่ไบลิปชิตซ์ ถ้ามีค่าคงที่บวก cและ Cที่ทำให้สำหรับ xและ y ใดๆ ใน X${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle c|xy|_{X}\leq |f(x)f(y)|_{Y}\leq C|xy|_{X}.}$

ขอบเขตที่อนันต์โดยทั่วไปแล้ว หมายถึงโครงสร้างที่อาจถือได้ว่าเป็นปริภูมิของทิศทางที่อนันต์ สำหรับตัวอย่างทางเรขาคณิต โปรดดู เช่นขอบเขตไฮเปอร์ โบลิ กขอบเขตโกรโมฟขอบเขตภาพขอบเขตทิตส์ขอบเขตเธอร์สตันดูเพิ่มเติมที่ปริภูมิเชิงฉายและการทำให้กระชับ

ฟังก์ชัน Busemannกำหนดโดยรังสี γ : [0, ∞)→ Xฟังก์ชัน Busemann ถูกกำหนดโดย$${\displaystyle B_{\gamma }(p)=\lim _{t\to \infty }(|\gamma (t)-p|-t).}$$

การเชื่อมต่อคาร์ตัน

ปริภูมิคาร์ตัน-ฮาดามาร์ดเป็นแมนิโฟลด์รีมันน์ที่สมบูรณ์ เชื่อมต่อกันอย่างง่าย และโค้งไม่เป็นบวก

ทฤษฎีบทคาร์ตัน-ฮาดามาร์ดกล่าวว่า แมนิโฟลด์รีมันน์ที่สมบูรณ์และเชื่อมต่อกันอย่างง่ายซึ่งมีความโค้งภาคตัดขวางไม่เป็นบวกนั้น สามารถแปลงเป็น R ⁿ ได้ โดยใช้แผนที่เอกซ์โพเนนเชียล สำหรับปริภูมิเมตริก กล่าวว่า ปริภูมิเมตริกจีโอเดสิกที่สมบูรณ์และเชื่อมต่อกันอย่างง่ายซึ่งมีความโค้งไม่เป็นบวกในความหมายของอเล็กซานดรอฟ เป็นปริภูมิ CAT(0) (ทั่วโลก )

คาร์ตัน (เอลี)นักคณิตศาสตร์ผู้ซึ่งเป็นที่มา ของชื่อ แมนิโฟลด์คาร์ตัน-ฮาดามาร์ด ,ซับอัลเจบราคาร์ตันและคอนเน็กชันคาร์ตัน (ไม่ควรสับสนกับอองรี คาร์ตัน บุตรชายของเขา )

${\textstyle CAT(\kappa )}$ช่องว่าง

จุดศูนย์กลางมวลจุดหนึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลางมวล^{[ 2 ]}ของจุดต่างๆหากเป็นจุดต่ำสุดทั่วโลกของฟังก์ชัน ${\textstyle q\in M}$${\textstyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{i}|p_{i}x|^{2}.}$

จุดดังกล่าวจะมีเพียงจุดเดียว หากระยะทางทั้งหมดน้อยกว่ารัศมีของความนูน ${\displaystyle |p_{i}p_{j}|}$

ค่าคงที่ชีเกอร์

สัญลักษณ์คริสโตเฟล

เรขาคณิตหยาบ

ท่อร่วมไอดีที่ยุบตัว

แมนิโฟลด์สมบูรณ์ตามทฤษฎีบทฮอปฟ์-ริโนว์ ของรีมันน์ แมนิโฟลด์รีมันน์จะสมบูรณ์ในฐานะปริภูมิเมตริกก็ต่อเมื่อเส้นทางจีโอเดสิกทั้งหมดสามารถขยายออกไปได้อย่างไม่มีที่สิ้นสุด

พื้นที่เมตริกสมบูรณ์

เสร็จสมบูรณ์

ปริภูมิไฮเปอร์โบลิกเชิงซ้อน

แผนที่คอนฟอร์มอลคือแผนที่ที่รักษาค่ามุมไว้

ระนาบเชิงคอนฟอร์มัล Mจะเรียกว่าระนาบเชิงคอนฟอร์มัล หากระนาบนั้นสมมูลเชิงคอนฟอร์มัลเฉพาะที่กับปริภูมิยุคลิด ตัวอย่างเช่น ทรงกลมมาตรฐานเป็นระนาบเชิงคอนฟอร์มัล

จุดคู่สมจุด pและ qบนเส้นทางจีโอเดสิกเรียกว่าจุดคู่สมหากมีสนามจาโคบีที่มีศูนย์ที่จุด pและ q${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$

การเชื่อมต่อ

ฟังก์ชันนูนฟังก์ชัน fบนแมนิโฟลด์แบบรีมันน์เรียกว่าฟังก์ชันนูน ถ้าสำหรับเส้นทางจีโอเดสิกใดๆฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชัน fเรียกว่า-นูน ถ้าสำหรับเส้นทางจีโอเดสิกใดๆที่มีพารามิเตอร์ธรรมชาติฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันนูน ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle f\circ \gamma }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle t}$${\displaystyle f\circ \gamma (t)-\lambda t^{2}}$

เซตย่อย Kของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ Mเรียกว่าเซตแบบนูน ถ้าสำหรับจุดสองจุดใดๆ ใน Kจะมีเส้นทางที่สั้นที่สุด เพียงเส้นเดียว ที่เชื่อมต่อจุดทั้งสองนั้น ซึ่งเส้นทางนั้นอยู่ภายใน K ทั้งหมด ดูเพิ่มเติมที่ เซตแบบนูนโดยสมบูรณ์

รัศมีความนูนณ จุดหนึ่งของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์คือค่าสูงสุดของรัศมีของทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ จุด นั้นซึ่งมีความนูน (โดยสมบูรณ์)รัศมีความนูนของแมนิโฟลด์คือค่าต่ำสุดของรัศมีความนูน ณ จุดต่างๆ ของแมนิโฟลด์ สำหรับแมนิโฟลด์แบบกระชับ ค่านี้จะเป็นจำนวนบวก^{[ 3 ]}บางครั้งมีข้อกำหนดเพิ่มเติมว่าฟังก์ชันระยะทางไปยังในทรงกลมเหล่านี้ต้องมีความนูน^{[ 4 ]}${\textstyle p}$${\textstyle p}$${\textstyle p}$

มัดโคแทนเจนต์

อนุพันธ์โคแวเรียนต์

คอมเพล็กซ์ทรงลูกบาศก์

ตำแหน่งที่ถูกตัด

เส้นผ่านศูนย์กลางของปริภูมิเมตริก คือค่าสูงสุดของระยะทางระหว่างจุดสองจุด

พื้นผิวที่สามารถคลี่ออกได้คือพื้นผิวที่มีสมมาตรกับระนาบ

การขยายตัวเท่ากับค่าคงที่ของลิปชิตซ์

ความเชื่อมโยงของเอเรสแมนน์

แมนิโฟลด์ของไอน์สไตน์

เรขาคณิตแบบยุคลิด

แผนที่เลขชี้กำลัง(ทฤษฎีของลี) แผนที่เลขชี้กำลัง (เรขาคณิตแบบรีมันน์ )

เมตริกฟินส์เลอร์ คือการขยายแนวคิดของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ โดยที่ผลคูณเชิงสเกลาร์บนปริภูมิสัมผัสถูกแทนที่ด้วยนอร์ม

รูปแบบพื้นฐานแรกของการฝังตัวหรือการจุ่มคือพูลแบ็กของเมตริกเทนเซอร์

ท่อร่วมไอดีแบบแบน

เส้นทางจีโอเดสิกคือเส้นโค้งที่ลดระยะทาง ให้ เหลือ

สมการจีโอเดสิกคือ สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีคำตอบเฉพาะที่คือเส้นจีโอเดสิก

การไหลแบบจีโอเดสิกคือการไหลบนบันเดิลสัมผัสTMของแมนิโฟลด์ Mซึ่งเกิดจากสนามเวกเตอร์ที่มีวิถีการเคลื่อนที่อยู่ในรูปแบบโดยที่เป็นเส้นจีโอเดสิก ${\displaystyle (\gamma (t),\gamma '(t))}$${\displaystyle \gamma }$

การบรรจบกันของ Gromov-Hausdorff

พื้นที่เมตริกไฮเปอร์โบลิกของโกรโมฟ

ปริภูมิเมตริกจีโอเดสิกคือปริภูมิเมตริกที่จุดสองจุดใดๆ เป็นจุดปลายของเส้นจีโอเดสิกที่

พื้นที่ฮาดามาร์ด (Hadamard space)เป็นพื้นที่สมบูรณ์ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย และมีความโค้งไม่เป็นบวก

มิติเฮาส์ดอร์ฟ

ระยะทางเฮาส์ดอร์ฟ

การวัดแบบเฮาส์ดอร์ฟ

พื้นที่ฮิลเบิร์ต

แผนที่โฮลเดอร์

กลุ่มโฮโลโนมีคือกลุ่มย่อยของไอโซเมตรีของปริภูมิสัมผัสที่ได้มาจากการเคลื่อนย้ายแบบขนานไปตามเส้นโค้งปิด

ชั้นบรรยากาศโลก (Horosphere)คือเซตระดับของฟังก์ชัน Busemann

เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก (ดูเพิ่มเติมที่ปริภูมิไฮเปอร์โบลิกแบบรีมันน์ )

ลิงก์ไฮเปอร์โบลิก

รัศมีของการฉีด รัศมีของการฉีดที่จุดpของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์คือค่าสูงสุดของรัศมีที่แผนที่เอกซ์โพเนน เชียล ที่pเป็นดิฟเฟโอโม ฟิซึม รัศมี ของ การฉีดของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์คือค่าต่ำสุดของรัศมีของการฉีดที่ทุกจุด^{[ 5 ]}ดูเพิ่มเติมที่ตำแหน่งตัด

สำหรับแมนิโฟลด์ที่สมบูรณ์ หากรัศมีของการฉีดที่pเป็นจำนวนจำกัดrแล้วจะมีจีโอเดสิกที่มีความยาว 2r ซึ่งเริ่มต้นและสิ้นสุดที่pหรือมีจุดqที่เป็นคู่คอนจูเกตกับp (ดูจุดคอนจูเกตด้านบน) และอยู่บนระยะทางrจากp [ ^{6 ]}สำหรับ แมนิโฟลด์รีมันน์ แบบปิดรัศมีของการฉีดจะเป็นครึ่งหนึ่งของความยาวขั้นต่ำของจีโอเดสิกแบบปิดหรือระยะทางขั้นต่ำระหว่างจุดคอนจูเกตบนจีโอเดสิ ^ก

อินฟรานิลแมนิโฟลด์เมื่อกำหนดกลุ่มลีแบบนิลโพเทนต์ที่เชื่อมต่ออย่างง่ายNที่กระทำกับตัวเองโดยการคูณทางซ้ายและกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมจำกัดFของNเราสามารถกำหนดการกระทำของผลคูณกึ่งตรง บนNได้ พื้นที่วงโคจรของNโดยกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งกระทำอย่างอิสระบนNเรียกว่าอินฟรานิลแมนิโฟลด์อินฟรานิลแมนิโฟลด์ถูกปกคลุมอย่างจำกัดโดยนิลแมนิโฟลด์^{[ 7 ]}${\displaystyle N\rtimes F}$${\textstyle N\rtimes F}$

การฝังแบบไอโซเมตริกคือการฝังที่รักษาเมตริกแบบรีมันน์ไว้

ไอโซเมตรีเป็นฟังก์ชันทั่วถึงที่รักษาค่าระยะทางไว้

ฟังก์ชันไอโซเพอริเมตริกของปริภูมิเมตริกวัด "ประสิทธิภาพในการหดตัวอย่างหยาบของลูปที่แก้ไขได้เมื่อเทียบกับความยาว" สำหรับ Cayley 2-complex ของการนำเสนอแบบจำกัด ฟังก์ชันเหล่านี้เทียบเท่ากับฟังก์ชัน Dehnของการนำเสนอแบบกลุ่ม ฟังก์ชันเหล่านี้ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้กึ่งไอโซเมตริก^{[ 8 ]}${\textstyle X}$

เมตริกภายใน

สนามจาโคบี (Jacobi field) คือสนามเวกเตอร์บนเส้นโค้งจีโอเดสิก γ ซึ่งสามารถหาได้ด้วยวิธีต่อไปนี้: พิจารณาตระกูลเส้นโค้งจีโอเดสิกแบบพารามิเตอร์เดียวที่เรียบเนียนโดยที่ แล้วสนามจาโคบีจะถูกอธิบายโดย ${\displaystyle \gamma _{\tau }}$${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma }$

${\displaystyle J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}.}$

เส้นโค้งจอร์แดน

เมตริกคาห์เลอร์-ไอน์สไตน์

เมตริกคาห์เลอร์

สนามเวกเตอร์สังหาร

การเชื่อมต่อ Koszul

เมตริกความยาวเหมือนกับเมตริก ภายใน

ความยาวพื้นที่

การเชื่อมต่อแบบ Levi-Civitaเป็นวิธีธรรมชาติในการหาอนุพันธ์ของสนามเวกเตอร์บนแมนิโฟลด์แบบรีมันน์

การเชื่อมต่อเชิงเส้น

ลิงก์

ค่าคงที่ลิปชิตซ์ของแผนที่คือค่าต่ำสุดของจำนวน Lที่ทำให้แผนที่ที่กำหนดเป็น L -ลิปชิตซ์

การลู่เข้าแบบลิปชิตซ์คือการลู่เข้าของปริภูมิเมตริกที่กำหนดโดยระยะทางแบบลิปชิตซ์

ระยะทางลิปชิตซ์ระหว่างปริภูมิเมตริกคือค่าต่ำสุดของจำนวนrที่มี แผนที่ ไบลิปชิตซ์ แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ระหว่างปริภูมิเหล่านี้ด้วยค่าคงที่ exp(- r ), exp( r ) ^{[ 9 ]}

แผนที่ลิปชิตซ์

พื้นที่สมมาตรเฉพาะที่

แผนที่ลอการิทึมหรือลอการิทึม เป็นการผกผันทางขวาของแผนที่เลขชี้กำลัง^{[ 10 ] [ 11 ]}

ความโค้งเฉลี่ย

ลูกบอลเมตริก

เมตริกเทนเซอร์

พื้นที่มินโกวสกี้

พื้นผิวขั้นต่ำสุดคือส่วนย่อยของแมนิโฟลด์ที่มีความโค้งเฉลี่ยเป็นศูนย์ (หรือเวกเตอร์ของความโค้งเฉลี่ย)

ความแข็งแกร่งของ Mostowในมิติแมนิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิกแบบกะทัดรัดถูกจำแนกตามกลุ่มพื้นฐานของมัน ${\textstyle \geq 3}$

การกำหนดพารามิเตอร์ตามธรรมชาติคือการกำหนดพารามิเตอร์ตามความยาว^{[ 12 ]}

เน็ตเซตย่อยSของปริภูมิเมตริกXเรียกว่าเน็ต - ถ้าสำหรับจุดใดๆ ในXจะมีจุดในSบนระยะทาง[ ^{13 ] ซึ่ง} แตกต่างจากเน็ตเชิงโทโพโลยีซึ่งเป็นการขยายขอบเขตของลิ มิต${\textstyle \epsilon }$${\textstyle \leq \epsilon }$

นิลแมนิโฟลด์ (Nilmanifold ): สมาชิกของเซตแมนิโฟลด์ขั้นต่ำที่รวมจุดหนึ่งไว้ และมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:บันเดิลแบบมีทิศทางใดๆ บนนิลแมนิโฟลด์ก็เป็นนิลแมนิโฟลด์เช่นกัน นอกจากนี้ยังสามารถนิยามได้ว่าเป็นแฟกเตอร์ของกลุ่มลีแบบนิลโพ เทนต์ที่เชื่อมต่อกัน โดยแลตทิซ ${\displaystyle S^{1}}$

บันเดิลปกติ : บันเดิลปกติเกี่ยวข้องกับการฝังตัวของแมนิโฟลด์ Mลงในปริภูมิยูคลิดโดยรอบ โดยที่ไฟเบอร์ ณ จุด pแต่ละจุดเป็นส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉาก (ใน) ของปริภูมิสัมผัส ${\textstyle {\mathbb {R} }^{N}}$${\textstyle {\mathbb {R} }^{N}}$${\textstyle T_{p}M}$

แผนที่แบบไม่ขยายเหมือนกับแผนที่แบบสั้น

ออร์บิโฟลด์

บันเดิลเฟรมออร์โทนอร์มอลคือบันเดิลของฐานในปริภูมิสัมผัสที่เป็นออร์โทนอร์มอลสำหรับเมตริกแบบรีมันน์

การขนส่งแบบขนาน

ไอโซเมตรีเส้นทาง

พื้นที่ก่อนฮิลเบิร์ต

พื้นที่โปแลนด์

ปริภูมิทรงหลายเหลี่ยม คือ คอมเพล็กซ์เชิงซิมเพล็กซ์ที่มีเมตริก โดยที่ซิมเพล็กซ์แต่ละอันที่มีเมตริกเหนี่ยวนำนั้นสมมาตรกับซิมเพล็กซ์ในปริภูมิ ยุคลิด

ความโค้งหลักคือ ค่าความโค้งปกติสูงสุดและต่ำสุด ณ จุดใดจุดหนึ่งบนพื้นผิว

ทิศทางหลักคือทิศทางของ ความ โค้ง หลัก

ตัวชี้วัดผลิตภัณฑ์

แมนิโฟลด์รีมันน์แบบผลิตภัณฑ์

ปริภูมิเมตริกที่เหมาะสมคือปริภูมิเมตริกที่ลูกบอลปิด ทุกลูก เป็นเซตกระชับหรือเทียบเท่ากับเซตย่อยปิดที่มีขอบเขตทุกเซตเป็นเซตกระชับ ปริภูมิเมตริกที่เหมาะสมทุกปริภูมิเป็นปริภูมิสมบูรณ์^{[ 14 ]}

แมนิโฟลด์เทียมรีมันน์

ปริภูมิย่อยกึ่งนูนของปริภูมิเมตริกคือเซตย่อยที่มีอยู่ซึ่งสำหรับทุกสำหรับทุกส่วนของเส้นจีโอเดสิก^และสำหรับทุก^[ 15 ^]${\textstyle X}$${\textstyle Y\subseteq X}$${\textstyle K\geq 0}$${\textstyle y,y'\in Y}$${\textstyle [y,y']}$${\textstyle z\in [y,y']}$${\textstyle d(z,Y)\leq K}$

คำว่า "ควาซีจีโอเดสิก"มีความหมายสองอย่าง ในที่นี้เราจะใช้ความหมายที่พบได้บ่อยที่สุด แผนที่(โดยที่เป็นช่วงย่อย) เรียกว่าควาซีจีโอเดสิกถ้ามีค่าคงที่และที่ทำให้ สำหรับทุก ๆ${\displaystyle f:I\to Y}$${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle C\geq 0}$${\displaystyle x,y\in I}$

${\displaystyle {1 \over K}d(x,y)-C\leq d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y)+C.}$

โปรดทราบว่าเส้นโค้งกึ่งธรณีวิทยา (quasigeodesic) ไม่จำเป็นต้องเป็นเส้นโค้งต่อเนื่องเสมอไป

กึ่งไอโซเมตรี (Quasi-isometry )แผนที่เรียกว่ากึ่งไอโซเมตรีถ้ามีค่าคงที่และที่ทำให้ ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle C\geq 0}$

${\displaystyle {1 \over K}d(x,y)-C\leq d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y)+C.}$

และทุกจุดในYจะมีระยะห่างไม่เกินCจากจุดใดจุดหนึ่งของf ( X ) โปรดทราบว่าฟังก์ชันกึ่งไอโซเมตรีไม่จำเป็นต้องต่อเนื่อง ตัวอย่างเช่น แผนที่ใดๆ ระหว่างปริภูมิเมตริกกระชับเป็นฟังก์ชันกึ่งไอโซเมตรี หากมีฟังก์ชันกึ่งไอโซเมตรีจาก X ไปยัง Y แล้ว X และ Y จะเรียกว่าเป็นปริภูมิกึ่งไอโซเมตริกกัน

รัศมีของปริภูมิเมตริกคือค่าต่ำสุดของรัศมีของทรงกลมเมตริกซึ่งบรรจุปริภูมิทั้งหมด^{[ 16 ]}

เรย์เป็นจีโอเดสิกด้านเดียวที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งมีค่าต่ำสุดในแต่ละช่วง^{[ 17 ]}

ต้นไม้จริง

เส้นโค้งที่ปรับแก้ได้

ความโค้งริชชี

รีมันน์นักคณิตศาสตร์ผู้เป็นที่มาของชื่อ เรขาคณิตแบบ รีมันน์

มุมรีมันน์

โดยทั่วไปแล้ว เทนเซอร์ความโค้งของรีมันน์จะถูกกำหนดให้เป็นเทนเซอร์ (4, 0) ของบันเดิลสัมผัสของแมนิโฟลด์รีมันน์เช่นเดียวกับและ(ขึ้นอยู่กับข้อตกลงและบางครั้งอาจสลับกัน) ${\textstyle (M,g)}$$${\displaystyle R_{p}(X,Y,Z)W={g_{p}({\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z,W})},}$$${\textstyle p\in M}$${\textstyle X,Y,Z,W\in T_{p}M}$${\textstyle X}$${\textstyle Y}$

ปริภูมิไฮเปอร์โบลิกแบบรีมันน์

แมนิโฟลด์รีมันน์

ส่วนย่อยแบบรีมันน์ (Riemannian submanifold)คือส่วนย่อยที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ซึ่งเมตริกแบบรีมันน์เป็นส่วนจำกัดของเมตริกแบบรีมันน์โดยรอบ (ไม่ควรสับสนกับส่วนย่อยแบบรีมันน์ (sub-Riemannian manifold ))

การแทรกแบบรีมันน์ (Riemannian submersion)คือแผนที่ระหว่างแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ ซึ่งเป็นการแทรกและการวัดย่อยไปพร้อมกัน

ความโค้งสเกลาร์

รูปแบบพื้นฐานที่สองคือรูปแบบกำลังสองบนปริภูมิสัมผัสของไฮเปอร์เซอร์เฟซ ซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ II แทน ซึ่งเป็นวิธีที่เทียบเท่าในการอธิบายตัวดำเนินการรูปร่างของไฮเปอร์เซอร์เฟซ

${\displaystyle {\text{II}}(v,w)=\langle S(v),w\rangle .}$

นอกจากนี้ยังสามารถขยายความให้ครอบคลุมมิติร่วมใดๆ ก็ได้ ซึ่งในกรณีนี้จะเป็นรูปแบบกำลังสองที่มีค่าอยู่ในปริภูมิปกติ

ความโค้งภาคตัดขวางณ จุดหนึ่งบนแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ตามระนาบ 2 มิติที่เกิดจากเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสองตัวคือจำนวนที่คือเทนเซอร์ความโค้งซึ่งเขียนแทนด้วยและคือเมตริกแบบรีมันน์ ${\textstyle p}$${\textstyle M}$${\textstyle u,v\in T_{p}M}$$${\displaystyle \sigma _{p}({Vect}(u,v))={\frac {R_{p}(u,v,v,u)}{g_{p}(u,u)g_{p}(v,v)-g_{p}(u,v)^{2}}}}$$${\textstyle R_{p}}$${\textstyle R_{p}(X,Y,Z)W={g_{p}({\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z,W})}}$${\textstyle {g_{p}}}$

ตัวดำเนินการรูปร่างสำหรับไฮเปอร์เซอร์เฟซ Mคือตัวดำเนินการเชิงเส้นบนปริภูมิสัมผัส S _p :  T _p M → T _p Mถ้า nคือฟิลด์ปกติหน่วยของ Mและ vคือเวกเตอร์สัมผัสแล้ว

${\displaystyle S(v)=\pm \nabla _{v}n}$

(ไม่มีข้อตกลงมาตรฐานว่าจะใช้ + หรือ − ในคำจำกัดความ)

แผนที่ระยะสั้นคือแผนที่ที่ระยะทางไม่เพิ่มขึ้นตามระยะทาง

ท่อร่วมไอดีแบบเรียบ

Sol manifoldคือแฟกเตอร์ของกลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อและแก้ได้โดยใช้แลตทิซ

เรขาคณิตทรงกลม

ซับเมตรีแผนที่สั้นfระหว่างปริภูมิเมตริกเรียกว่าซับเมตรี^{[ 18 ]}ถ้ามีR > 0 อยู่ เช่นนั้นสำหรับจุดx ใดๆ และรัศมีr < Rภาพของเมตริกr -ball จะเป็นr -ball นั่นคือซับ-รีมันน์แมนิโฟลด์$${\displaystyle f(B_{r}(x))=B_{r}(f(x)).}$$

ปริภูมิสมมาตรแบบรีมันน์ (Riemannian symmetric spaces) คือ แมนิโฟลด์แบบรีมันน์ (Riemannian manifolds) ซึ่งการสะท้อนทางธรณีฟิสิกส์ ณ จุดใดๆ ก็ตาม เป็นไอโซเมตรี ปริภูมิเหล่านี้เป็นผลหารของกลุ่มลี (Lie group) จริง (real Lie group) โดยกลุ่มย่อยกระชับสูงสุด (maximal compact subgroup) ซึ่งพีชคณิตลีของกลุ่มย่อยนี้คือพีชคณิตย่อยคงที่ของการผกผัน (involution) ที่ได้จากการหาอนุพันธ์ของสมมาตรทางธรณีฟิสิกส์ ข้อมูลทางพีชคณิตนี้เพียงพอที่จะใช้ในการจำแนกประเภทของปริภูมิสมมาตรแบบรีมันน์ได้

ซิส โตล kของ Mคือปริมาตรขั้นต่ำของ วัฏจักร kที่ไม่สอดคล้องกับศูนย์ ${\textstyle syst_{k}(M)}$

มัดสัมผัส

กรวยสัมผัส

เรขาคณิตของเธอร์สตันเรขาคณิตสามมิติแปดแบบที่ทำนายโดยสมมติฐานการสร้างเรขาคณิตของเธอร์สตันซึ่งพิสูจน์โดยเพอร์แมนน์ ได้แก่,, ,,,,,และ. ${\textstyle \mathbb {S} ^{3}}$${\textstyle \mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{2}}$${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$${\textstyle \mathbb {R} \times \mathbb {H} ^{2}}$${\textstyle \mathbb {H} ^{3}}$${\displaystyle \mathrm {Sol} }$${\displaystyle \mathrm {Nil} }$${\textstyle {\widetilde {PSL}}_{2}(\mathbb {R} )}$

ขอบเขตหน้าอก

นูนโดยสมบูรณ์เซตย่อยKของแมนิโฟลด์รีมันน์Mเรียกว่านูนโดยสมบูรณ์ ถ้าสำหรับจุดสองจุดใดๆ ในKเส้นจีโอเดสิกใดๆ ที่เชื่อมต่อจุดทั้งสองนั้นอยู่บนK ทั้งหมด ดูเพิ่มเติมที่นูน^{[ 19 ]}

ซับแมนิโฟลด์ จีโอเดสิกโดยสมบูรณ์คือซับแมนิโฟลด์ที่จีโอเด สิก ทั้งหมดในซับแมนิโฟลด์นั้นเป็นจีโอเดสิกของแมนิโฟลด์โดยรอบด้วย^{[ 20 ]}

พื้นที่ที่มีต้นไม้

ปริภูมิเมตริกแบบจีโอเดสิกที่ไม่ซ้ำกันคือ ปริภูมิเมตริกที่จุดสองจุดใดๆ เป็นจุดปลายของเส้นจีโอเดสิกที่ สั้นที่สุดที่ไม่ซ้ำกันเพียงเส้นเดียว

ความแปรผัน

รูปแบบปริมาตร

เมตริกของคำในกลุ่มคือเมตริกของกราฟเคย์ลีย์ที่สร้างขึ้นโดยใช้ชุดตัวสร้าง