ปริภูมิเมตริกเชิงจีโอ เดสิก เรียกว่าปริภูมิแบบทรีเกรดโดยสัมพันธ์กับกลุ่มของเซตย่อยแท้ที่เชื่อมต่อกัน ซึ่งเรียกว่า ชิ้น ส่วน ถ้าชิ้นส่วนที่แตกต่างกันสองชิ้นใด ๆตัดกัน ที่จุดเดียวเป็นอย่างมาก และ สามเหลี่ยมเชิงจีโอเดสิกแบบง่ายที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมเล็กทุกรูปของจะบรรจุอยู่ในชิ้นส่วนใดชิ้นหนึ่ง ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

พื้นที่ที่มีโครงสร้างแบบต้นไม้จะทำงานเหมือนต้นไม้จริง "เท่าที่สามารถเกิดขึ้นได้ภายในชิ้นส่วน" ในขณะเดียวกันก็อนุญาตให้มีพฤติกรรมที่ไม่เหมือนต้นไม้ภายในชิ้นส่วนได้ ตัวอย่างเช่น วงกลม ที่ฝังตัวอยู่ในโครงสร้างเชิงโทโพโลยีจะอยู่ในชิ้นส่วนนั้น มีการฉายภาพ ที่กำหนดไว้อย่างดี บนทุกชิ้นส่วน โดยที่ เซตย่อย ที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นทางซึ่งมาบรรจบกับชิ้นส่วนที่จุดไม่เกินหนึ่งจุด จะฉายภาพไปยังจุดที่ไม่ซ้ำกันบนชิ้นส่วนนั้น พื้นที่นั้นถูกจัดเรียงเป็นโครงสร้างต้นไม้จริงตามธรรมชาติซึ่งตั้งฉากกับชิ้นส่วน และชิ้นส่วนต่างๆ สามารถ "รวมเข้าด้วยกันตามเส้นทางที่ฝังตัวอยู่" ในลักษณะที่รักษาโครงสร้างแบบต้นไม้เอาไว้ได้

แนวคิดเรื่องปริภูมิแบบแบ่งระดับต้นไม้ (Tree-graded spaces) ถูกนำเสนอโดยCornelia DruţuและMark Sapir  ( 2005 ) ในการศึกษาเกี่ยวกับกรวยเชิงอะซิมโทติก (asymptotic cones ) ของกลุ่มไฮเปอร์โบลิกเชิงสัมพัทธ์ (relatively hyperbolic groups) มุมมองนี้ทำให้เกิดแนวคิดเรื่องไฮเปอร์โบลิกเชิงสัมพัทธ์ที่สมเหตุสมผลสำหรับปริภูมิเมตริกเชิงจีโอเดสิ ก (geodesic metric spaces)และซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงกึ่งไอโซเมตริก (quasi-isometries )

ตัวอย่างเช่นกลุ่ม CAT(0)มีแฟลตที่แยกเดี่ยวก็ต่อเมื่อกรวยเชิงเส้นกำกับทั้งหมดเป็นปริภูมิเมตริกแบบต้นไม้เกรดซึ่งชิ้นส่วนทั้งหมดเป็นไอโซเมตริกกับปริภูมิยุคลิด^{[ 1 ]}