ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์โลคัสตัดของจุดpบนแมนิโฟลด์คือการปิดของเซตของจุดอื่นๆ ทั้งหมดบนแมนิโฟลด์ที่เชื่อมต่อกับpด้วยจีโอเดสิกที่สั้นที่สุดที่แตกต่างกันสองเส้นขึ้นไป[ 1 ^{]โดยทั่วไป}แล้ว โลคัสตัดของเซตปิดXบนแมนิโฟลด์คือการปิดของเซตของจุดอื่นๆ ทั้งหมดบนแมนิโฟลด์ที่เชื่อมต่อกับXด้วยจีโอเดสิกที่สั้นที่สุดที่แตกต่างกันสองเส้นขึ้นไป

ในระนาบยุคลิดจุดpจะมีเส้นโค้งตัดที่ว่างเปล่า เนื่องจากทุกจุดอื่นเชื่อมต่อกับpด้วยเส้นโค้งทางภูมิศาสตร์ที่ไม่ซ้ำกัน (ส่วนของเส้นตรงระหว่างจุดเหล่านั้น)

บนทรงกลมเส้นโค้งตัดของจุดหนึ่งๆ จะประกอบด้วยจุดตรงข้ามจุด เดียวที่ อยู่ตรงข้ามกับจุดนั้นในแนวเส้นผ่านศูนย์กลาง

บนทรงกระบอก ที่มีความยาวอนันต์ เส้นตัดของจุดหนึ่งจะประกอบด้วยเส้นตรงข้ามกับจุดนั้น

ให้Xเป็นขอบเขตของรูปหลายเหลี่ยม อย่างง่าย ในระนาบยุคลิด แล้วเส้นโค้งตัดของXภายในรูปหลายเหลี่ยมจะเป็นแกนกลาง ของรูปหลายเหลี่ยม นั้น จุดบนแกนกลางจะเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่สัมผัสกับขอบเขตของรูปหลายเหลี่ยมตั้งแต่สองจุดขึ้นไป ซึ่งสอดคล้องกับเส้นทางที่สั้นที่สุดตั้งแต่สองเส้นทางขึ้นไปไปยังจุดศูนย์กลางของวงกลม

ให้xเป็นจุดบนพื้นผิวของทรงหลายเหลี่ยมนูนPแล้วเส้นโค้งตัดของxบนพื้นผิวของทรงหลายเหลี่ยมนี้เรียกว่าต้นไม้สัน (ridge tree)ของPเทียบกับxต้นไม้สันนี้มีคุณสมบัติว่า การตัดพื้นผิวตามขอบของมันจะคลี่P ออก เป็นรูปหลายเหลี่ยมระนาบอย่างง่าย รูปหลายเหลี่ยมนี้สามารถมองได้ว่าเป็นโครงแบบสำหรับทรงหลายเหลี่ยม

กำหนดจุดหนึ่งในแมนิโฟลด์รีมันน์ที่สมบูรณ์และพิจารณาปริภูมิสัมผัสเป็นผลลัพธ์มาตรฐานที่ว่าสำหรับค่า n ที่เล็กพอในเส้นโค้งที่กำหนดโดยแผนที่เอกซ์โพเนนเชียลรีมันน์สำหรับซึ่งอยู่ในช่วงเป็นจีโอเดสิกที่ลดค่าต่ำสุดและ เป็นจีโอเดสิกที่ลดค่าต่ำสุดเพียงเส้นเดียวที่เชื่อมต่อจุดปลายทั้งสอง ในที่นี้แทนแผนที่เอกซ์โพเนนเชียลจากตำแหน่งตัดของในปริภูมิสัมผัสถูกกำหนดให้เป็นเซตของเวกเตอร์ทั้งหมดในที่ เป็น จีโอ เดสิกที่ลดค่าต่ำสุดสำหรับแต่ไม่ลดค่าต่ำสุดสำหรับสำหรับทุกดังนั้น ตำแหน่งตัดในปริภูมิสัมผัสคือขอบเขตของเซต^{[ 2 ]} โดยที่แทนเมตริกความยาวของและเป็นนอร์มยุคลิดของตำแหน่งตัดของในถูกกำหนดให้เป็นภาพของตำแหน่งตัดของในปริภูมิสัมผัสภายใต้แผนที่เอกซ์โพเนนเชียลที่ ดังนั้น เราอาจตีความตำแหน่งตัดของin ว่าเป็นจุดบนแมนิโฟลด์ที่เส้นจีโอเดสิกที่เริ่มต้นจากจุดนั้นหยุดเป็นเส้นที่ทำให้ค่าต่ำสุด ${\displaystyle p}$${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle v}$${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle \gamma (t)=\exp _{p}(tv)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \exp _{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle v}$${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle \gamma (t)=\exp _{p}(tv)}$${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle t=1+\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon >0}$$${\displaystyle \{v\in T_{p}M|d(\exp _{p}v,p)=\|v\|\}}$$${\displaystyle d}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$

ระยะทางที่สั้นที่สุดจากpไปยังตำแหน่งตัดคือรัศมีของการฉีดที่pบนทรงกลมเปิดที่มีรัศมีนี้ แผนที่เอกซ์โพเนนเชียลที่pเป็นการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลจากปริภูมิสัมผัสไปยังแมนิโฟลด์ และนี่คือรัศมีที่ใหญ่ที่สุดดังกล่าว รัศมีของการฉีดทั่วโลกถูกกำหนดให้เป็นค่าต่ำสุดของรัศมีของการฉีดที่pเหนือทุกจุดของแมนิโฟลด์

สมมติว่าอยู่ในโลคัสตัดของในผลลัพธ์มาตรฐาน^{[ 3 ]}คือ (1) มีจีโอเดสิกที่ลดขนาดลงมากกว่าหนึ่งเส้นที่เชื่อมต่อกับหรือ (2) และเป็นคู่กันตามจีโอเดสิกบางเส้นที่เชื่อมต่อกัน เป็นไปได้ที่ทั้ง (1) และ (2) จะเป็นจริง ${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

ความสำคัญของเส้นตัดคือ ฟังก์ชันระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งจะเรียบ ยกเว้นบนเส้นตัดของจุดนั้น เอง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การหา เกรเดียนต์และเฮสเซียนของฟังก์ชันระยะทางออกจากเส้นตัดนั้นสมเหตุสมผลแนวคิดนี้ถูกนำไปใช้ในทฤษฎีบทการเปรียบเทียบลาปลาเซียนเฉพาะที่และทฤษฎีบทการเปรียบเทียบเฮสเซียนเฉพาะที่ซึ่งใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทโทโปโนกอฟเวอร์ชัน เฉพาะที่ และทฤษฎีบทสำคัญอื่นๆ อีกมากมายในเรขาคณิตแบบรีมันน์ ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

สำหรับปริภูมิเมตริกของระยะทางพื้นผิวบนทรงหลายเหลี่ยมนูน การตัดทรงหลายเหลี่ยมตามเส้นโค้งตัดจะสร้างรูปร่างที่สามารถคลี่ออกเป็นระนาบแบนได้ ซึ่งเรียกว่าการคลี่ออกของแหล่งกำเนิด^{[ 4 ]}กระบวนการคลี่ออกสามารถดำเนินการได้อย่างต่อเนื่อง เหมือนกับการเบ่งบานของทรงหลายเหลี่ยม^{[ 5 ]}วิธีการที่คล้ายกันของการตัดตามเส้นโค้งตัดสามารถใช้เพื่อคลี่ออกทรงหลายเหลี่ยมนูนที่มีมิติสูงกว่าได้เช่นกัน^{[ 6 ]}

เราสามารถกำหนดตำแหน่งรอยตัดของส่วนย่อยของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ได้โดยใช้แผนที่เอกซ์โปเนนเชียลปกติของมันเช่นกัน