ในทางคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เชิงทฤษฎีตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ไม่แปรเปลี่ยน คือ แผนที่ทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่งจากวัตถุหนึ่งไปยังวัตถุที่มีประเภทคล้ายกัน โดยทั่วไปวัตถุเหล่านี้จะเป็นฟังก์ชันบนฟังก์ชันบนแมนิโฟล ด์ ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ฟิลด์เวกเตอร์หรือโดยทั่วไปแล้วคือส่วนต่างๆของบันเดิลเวกเตอร์ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ในตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงคำว่าตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์บ่งชี้ว่าค่าของแผนที่ขึ้นอยู่กับและอนุพันธ์ของใน เท่านั้นคำว่าไม่เปลี่ยนแปลงบ่งชี้ว่าตัวดำเนินการนั้นมีสมมาตร บางอย่าง ซึ่งหมายความว่ามีกลุ่มที่มีการกระทำของกลุ่มต่อฟังก์ชัน (หรือวัตถุอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้อง) และการกระทำนี้ได้รับการรักษาไว้โดยตัวดำเนินการ ${\displaystyle D}$${\displaystyle Df}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle D(g\cdot f)=g\cdot (Df).}$

โดยปกติ การกระทำของกลุ่มมีความหมายถึงการเปลี่ยนพิกัด (การเปลี่ยนผู้สังเกตการณ์) และความไม่เปลี่ยนแปลงหมายความว่าตัวดำเนินการมีรูปแบบการแสดงออกเดียวกันในทุกพิกัดที่ยอมรับได้

ให้M  =  G / Hเป็นปริภูมิเอกพันธุ์สำหรับกลุ่มลี G และกลุ่มย่อยลี H การแทนทุกรูปแบบ ก่อให้เกิดเวกเตอร์บันเดิล${\displaystyle \rho :H\rightarrow \mathrm {Aut} (\mathbb {V} )}$

${\displaystyle V=G\times _{H}\mathbb {V} \;{\text{โดยที่}}\;(gh,v)\sim (g,\rho (h)v)\;\forall \;g\in G,\;h\in H\;{\text{และ}}\;v\in \mathbb {V} .}$

สามารถระบุ ส่วนต่างๆ ได้ด้วย${\displaystyle \varphi \in \Gamma (V)}$

${\displaystyle \Gamma (V)=\{\varphi :G\rightarrow \mathbb {V} \;:\;\varphi (gh)=\rho (h^{-1})\varphi (g)\;\forall \;g\in G,\;h\in H\}.}$

ในรูปแบบนี้ กลุ่มGจะกระทำต่อส่วนต่างๆ ผ่านทาง

${\displaystyle (\ell _{g}\varphi )(g')=\varphi (g^{-1}g').}$

ให้VและWเป็นเวกเตอร์บันเดิลสองชุดเหนือMแล้วตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์

${\displaystyle d:\Gamma (V)\rightarrow \Gamma (W)}$

ฟังก์ชันที่แปลงส่วนต่างๆ ของVไปเป็นส่วนต่างๆ ของWเรียกว่าฟังก์ชันไม่เปลี่ยนแปลง ถ้า

${\displaystyle d(\ell _{g}\varphi )=\ell _{g}(d\varphi )}$

สำหรับทุกส่วนในและองค์ประกอบgในGตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นคงที่ทั้งหมดบนเรขาคณิตพาราโบ ลิกเอกพันธุ์ กล่าวคือ เมื่อGเป็นกลุ่มกึ่งเรียบง่ายและHเป็นกลุ่มย่อยพาราโบลิกจะถูกกำหนดแบบคู่ขนานโดยโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูล เวอร์มาทั่วไป${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \Gamma (V)}$

เมื่อกำหนดการ เชื่อมต่อ สองจุดและรูปแบบหนึ่งเราจะได้ ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle {\hat {\nabla }}}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \nabla _{a}\omega _{b}={\hat {\nabla }__{a}\omega _{b}-Q_{ab}{}^{c}\omega _{c}}$

สำหรับเทนเซอร์บางตัว[ ^{1 ] เมื่อ} กำหนดคลาสสมมูลของการเชื่อมต่อเรากล่าวว่าตัวดำเนินการไม่เปลี่ยนแปลงหากรูปแบบของตัวดำเนินการไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเราเปลี่ยนจากการเชื่อมต่อหนึ่งในคลาสสมมูลไปยังการเชื่อมต่ออื่น ตัวอย่างเช่น หากเราพิจารณาคลาสสมมูลของ การเชื่อมต่อ ที่ไม่มีแรงบิด ทั้งหมด เทนเซอร์ Q จะสมมาตรในดัชนีล่าง กล่าวคือดังนั้นเราจึงสามารถคำนวณได้ ${\displaystyle Q_{ab}{}^{c}}$${\displaystyle [\nabla ]}$${\displaystyle Q_{ab}{}^{c}=Q_{(ab)}{}^{c}}$

${\displaystyle \nabla _{[a}\omega _{b]}={\hat {\nabla }__{[a}\omega _{b]},}$

โดยวงเล็บเหลี่ยมแสดงถึงการสมมาตรแบบเฉียง ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความไม่เปลี่ยนแปลงของอนุพันธ์ภายนอกเมื่อกระทำกับรูปแบบหนึ่ง ชั้นสมมูลของการเชื่อมต่อเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น:

• ในเรขาคณิตเชิงคอนฟอร์มัลชั้นสมมูลของการเชื่อมต่อจะกำหนดโดยการเชื่อมต่อ Levi Civita ของเมตริก ทั้งหมด ในชั้นคอนฟอร์มัล
• ในเรขาคณิตเชิงโปรเจคทีฟ ชั้นสมมูลของการเชื่อมต่อจะกำหนดโดยการเชื่อมต่อทั้งหมดที่มีเส้นทางจีโอเดสิกเดียวกัน
• ในเรขาคณิต CRชั้นสมมูลของการเชื่อมต่อจะถูกกำหนดโดยการเชื่อมต่อ Tanaka-Webster สำหรับโครงสร้างเทียมเฮอร์มิเชียนแต่ละแบบ

1. ตัวดำเนินการเกรเดียนต์ปกติที่กระทำกับฟังก์ชันค่าจริงในปริภูมิยุคลิด จะไม่เปลี่ยนแปลง ไปตามการแปลงยุคลิด ทั้งหมด${\displaystyle \nabla }$
2. อนุพันธ์ที่กระทำต่อฟังก์ชันบนแมนิโฟลด์ที่มีค่าอยู่ในรูปแบบ 1 (การแสดงออกของมันอยู่ในพิกัดท้องถิ่นใดๆ) จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเทียบกับการแปลงเรียบทั้งหมดของแมนิโฟลด์ (การกระทำของการแปลงต่อรูปแบบอนุพันธ์ก็คือพูลแบ็ก นั่นเอง )     ${\displaystyle d=\sum _{j}\partial _{j}\,dx_{j}}$
3. โดยทั่วไปแล้วอนุพันธ์ภายนอก ที่กระทำต่อn-ฟอร์มของแมนิโฟลด์เรียบ M ใดๆ จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเทียบกับการแปลงเรียบทั้งหมด สามารถแสดงได้ว่าอนุพันธ์ภายนอกเป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลงเพียงตัวเดียวระหว่างบันเดิลเหล่านั้น     ${\displaystyle d:\Omega ^{n}(M)\rightarrow \Omega ^{n+1}(M)}$
4. ตัวดำเนินการ Diracในทางฟิสิกส์นั้นไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเทียบกับกลุ่ม Poincaré (หากเราเลือกการกระทำ ที่เหมาะสม ของกลุ่ม Poincaréบน ฟังก์ชันที่มีค่า เป็นสปินเนอร์ ) อย่างไรก็ตาม นี่เป็นคำถามที่ละเอียดอ่อน และหากเราต้องการทำให้สิ่งนี้มีความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ เราควรกล่าวว่ามันไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเทียบกับกลุ่มที่เป็นการปกคลุมสองชั้นของกลุ่ม Poincaré)
5. สมการคิลลิงแบบคอนฟอร์มอล คือ ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงคอนฟอร์มอล ระหว่างฟิลด์เวกเตอร์และเทนเซอร์สมมาตรที่ปราศจากร่องรอย     ${\displaystyle X^{a}\mapsto \nabla _{(a}X_{b)}-{\frac {1}{n}}\nabla _{c}X^{c}g_{ab}}$

• 
  ทรงกลม (ในภาพแสดงเป็นวงกลมสีแดง) เป็นแมนิโฟลด์เอกพันธุ์แบบคอนฟอร์มอล

เมื่อกำหนดตัวชี้วัดแล้ว

${\displaystyle g(x,y)=x_{1}y_{n+2}+x_{n+2}y_{1}+\sum _{i=2}^{n+1}x_{i}y_{i}}$

บนเราสามารถเขียนทรงกลมเป็นปริภูมิของตัวสร้างของกรวยศูนย์ ได้${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+2}}$${\displaystyle S^{n}}$

${\displaystyle S^{n}=\{[x]\in \mathbb {RP} _{n+1}\;:\;g(x,x)=0\}.}$

ด้วยวิธีนี้ แบบจำลองแบนของเรขาคณิตคอนฟอร์มอลคือทรงกลมที่มีและ P เป็นตัวรักษาเสถียรภาพของจุดในการจำแนกประเภทของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามคอนฟอร์มอลทั้งหมดบนทรงกลมเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว (อีสต์วูดและไรซ์, 1987) ^{[ 2 ]}${\displaystyle S^{n}=G/P}$${\displaystyle G=SO_{0}(n+1,1)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+2}}$

• ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์
• ตัวแปรลาปลาส
• การแยกตัวประกอบแบบไม่เปลี่ยนแปลงของ LPDO

^{[ 1 ]}