ในทางคณิตศาสตร์ CR manifoldหรือCauchy–Riemann manifold [ ^{1 ] คือ} manifold ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้พร้อมกับโครงสร้างทางเรขาคณิตที่จำลองมาจากพื้นผิวไฮเปอร์จริงใน ปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนหรือโดยทั่วไปแล้วจำลองมาจากขอบของลิ่ม

ในทางทฤษฎีแล้วCR manifoldคือ manifold ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้Mพร้อมกับ distribution เชิงซ้อนที่ต้องการLหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือsubbundle เชิงซ้อน ของtangent bundle เชิงซ้อน โดยที่ ${\displaystyle \mathbb {C} TM=TM\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

• ${\displaystyle [L,L]\subseteq L}$( Lสามารถหาปริพันธ์ได้ในเชิงรูปธรรม )
• ${\displaystyle L\cap {\bar {L}}=\{0\}}$.

ซับบันเดิลLเรียกว่าโครงสร้าง CRบนแมนิโฟลด์Mมันก่อให้เกิดตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์แบบแคนอนิกที่แมปฟังก์ชันที่กำหนดในท้องถิ่นไปยังส่วนท้องถิ่นของบันเดิลคู่นี่คือตัวดำเนินการ -operator; มันถูกกำหนดโดย ${\displaystyle L^{*}}$${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$

${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}f=df\upharpoonright _{\overline {L}}}$.

ตัวย่อ CR ย่อมาจาก " Cauchy–Riemann " หรือ "Complex-Real" ^{[ 1 ] [ 2 ]}ฟังก์ชัน CR ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก เป็นคำตอบของระบบสมการ ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}f=0}$

แนวคิดของโครงสร้าง CR พยายามอธิบายคุณสมบัติที่แท้จริง ของการเป็นไฮเปอร์เซอร์เฟซ (หรือซับแมนิ โฟ ลด์จริงบางชนิดที่มีมิติร่วมสูงกว่า ) ในปริภูมิเชิงซ้อน โดยการศึกษาคุณสมบัติของสนามเวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิก ที่สัมผัสกับไฮเปอร์เซอร์เฟซ

สมมติตัวอย่างเช่นว่าMคือพื้นผิวไฮเปอร์เซอร์เฟซของที่กำหนดโดยสมการ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle F(z,w):=|z|^{2}+|w|^{2}=1,}$

โดยที่zและwคือพิกัดเชิงซ้อนทั่วไปบนบันเดิลสัมผัสเชิงโฮโลมอร์ฟิกของประกอบด้วยผลรวมเชิงเส้นทั้งหมดของเวกเตอร์ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}},\quad {\frac {\partial }{\partial w}}.}$

การแจกแจงLบนMประกอบด้วยการรวมกันทั้งหมดของเวกเตอร์เหล่านี้ที่สัมผัสกับMเวกเตอร์สัมผัสจะต้องทำให้สมการนิยามของM เป็นศูนย์ ดังนั้นLจึงประกอบด้วยผลคูณเชิงสเกลาร์เชิงซ้อนของ

${\displaystyle {\bar {w}}{\frac {\partial }{\partial z}}-{\bar {z}}{\frac {\partial }{\partial w}}}.}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งLประกอบด้วยฟิลด์เวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิกที่ทำลายFโปรดทราบว่าLให้โครงสร้าง CR บนMสำหรับ [ L , L ] = 0 (เนื่องจากLเป็นมิติเดียว) และเนื่องจาก ∂/∂ zและ ∂/∂ wเป็นอิสระเชิงเส้นจากคู่สังยุคเชิงซ้อนของพวกมัน ${\displaystyle L\cap {\bar {L}}=\{0\}}$

โดยทั่วไปแล้ว สมมติว่าMเป็นไฮเปอร์เซอร์เฟซจริงในที่มีสมการนิยามF ( z ₁ , ..., z _n ) = 0 โครงสร้าง CR Lประกอบด้วยการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิกพื้นฐานบน: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}}$

ซึ่งทำลายฟังก์ชันที่กำหนด ในกรณีนี้ด้วยเหตุผลเดียวกันกับก่อนหน้านี้ ยิ่งไปกว่านั้น [ L , L ] ⊂ Lเนื่องจากคอมมิวเทเตอร์ของฟิลด์เวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิกที่ทำลายFก็คือฟิลด์เวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิกที่ทำลายF อีก ครั้ง${\displaystyle L\cap {\bar {L}}=\{0\}}$

มีความแตกต่างอย่างชัดเจนระหว่างทฤษฎีของแมนิโฟลด์ CR ฝังตัว (ไฮเปอร์เซอร์เฟซและขอบของลิ่มในปริภูมิเชิงซ้อน) และแมนิโฟลด์ CR นามธรรม (ที่กำหนดโดยการกระจายเชิงซ้อนL ) คุณลักษณะทางเรขาคณิตเชิงรูปแบบหลายอย่างมีความคล้ายคลึงกัน ซึ่งรวมถึง:

• แนวคิดเรื่องความนูน (ที่ได้มาจากรูปแบบของเลวี )
• ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์แบบแคนอนิกซึ่งคล้ายคลึงกับตัวดำเนินการดอลโบต์และโคฮอโมโลยี ที่เกี่ยวข้อง ( คอมเพล็กซ์โคชี-รีมันน์สัมผัส หรือ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$ - คอมเพล็กซ์ )

อย่างไรก็ตาม แมนิโฟลด์ CR แบบฝังตัวมีโครงสร้างเพิ่มเติมบางอย่าง ได้แก่ ปัญหา NeumannและDirichletสำหรับสมการ Cauchy–Riemann

บทความนี้เริ่มต้นด้วยการกล่าวถึงเรขาคณิตของแมนิโฟลด์ CR ที่ฝังตัว แสดงวิธีการกำหนดโครงสร้างเหล่านี้โดยแท้จริง จากนั้นจึงขยายแนวคิดเหล่านี้ไปยังบริบทนามธรรม

แมนิโฟลด์ CR ฝังตัวนั้น โดยหลักแล้วคือซับแมนิโฟลด์ของกำหนดคู่ของซับบันเดิลของบันเดิลสัมผัสที่ซับซ้อนโดย: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes T\mathbb {C} ^{n}}$

• ${\displaystyle T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}}$ประกอบด้วยเวกเตอร์เชิงซ้อนที่ทำลาย ฟังก์ชัน แอนติโฮโลมอร์ฟิก ในพิกัดโฮโลมอร์ฟิก :

${\displaystyle T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} \left({\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\right).}$

• ${\displaystyle T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}}$ประกอบด้วยเวกเตอร์เชิงซ้อนที่ทำลายฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในพิกัด:

${\displaystyle T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} \left({\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}\right).}$

สิ่งที่สำคัญอีกประการหนึ่งคือสารทำลายล้างลักษณะเฉพาะจากกลุ่มหิน Dolbeault :

• ${\displaystyle \Omega ^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\left(T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}\right)^{\bot }.}$ในพิกัด

${\displaystyle \Omega ^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} (dz_{1},\dots ,dz_{n}).}$

• ${\displaystyle \Omega ^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\left(T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}\right)^{\bot }.}$ในพิกัด

${\displaystyle \Omega ^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{n}).}$

ผลิตภัณฑ์ภายนอกของสิ่งเหล่านี้แสดงด้วยสัญลักษณ์ที่ชัดเจน Ω ^{( p , q )}และตัวดำเนินการ Dolbeault และ แผนที่ คู่ควบเชิงซ้อนระหว่างพื้นที่เหล่านี้ผ่านทาง:

${\displaystyle \partial :\Omega ^{(p,q)}\to \Omega ^{(p+1,q)}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}:\Omega ^{(p,q)}\to \Omega ^{(p,q+1)}}$

นอกจากนี้ ยังมีการแยกส่วนของอนุพันธ์ภายนอก ปกติ ผ่านทาง. ${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$

ให้ เป็น ซับแมนิโฟลด์จริงซึ่งกำหนดไว้ในระดับท้องถิ่นว่าเป็นตำแหน่งของระบบฟังก์ชันค่าจริงเรียบ ${\displaystyle M\subset \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle F_{1}=0,F_{2}=0,\ldots ,F_{k}=0.}$

สมมติว่าส่วนเชิงซ้อนเชิงเส้นของอนุพันธ์ของระบบนี้มีอันดับสูงสุด ในแง่ที่ว่าอนุพันธ์เป็นไปตามเงื่อนไขความเป็นอิสระ ต่อไปนี้ :

${\displaystyle \partial F_{1}\wedge \dots \wedge \partial F_{k}\not =0.}$

โปรดทราบว่าเงื่อนไขนี้เข้มงวดกว่าที่จำเป็นสำหรับการใช้ทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายโดยเฉพาะอย่างยิ่งMคือแมนิโฟลด์ที่มีมิติจริงเรากล่าวว่าMเป็นซับแมนิโฟลด์ CR ฝังตัวทั่วไปที่มีมิติร่วม CR kคำคุณศัพท์ทั่วไปบ่งชี้ว่าปริภูมิสัมผัสครอบคลุมปริภูมิสัมผัสของจำนวนเชิงซ้อนในการใช้งานส่วน ใหญ่ k  = 1 ซึ่งในกรณีนี้ แมนิโฟลด์จะเรียกว่าเป็นประเภทไฮเปอร์เซอร์เฟซ ${\displaystyle 2n-k.}$ ${\displaystyle TM}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

ให้L เป็นกลุ่มย่อยของเวกเตอร์ที่ทำลายฟังก์ชันนิยามทั้งหมดสังเกตว่า จากการพิจารณาตามปกติสำหรับการกระจายที่สามารถหาปริพันธ์ได้บนไฮเปอร์เซอร์เฟซLเป็นกลุ่มผกผัน ยิ่งไปกว่านั้น เงื่อนไขความเป็นอิสระบ่งชี้ว่าLเป็นกลุ่มที่มีอันดับคงที่n  −  k${\displaystyle L\subset T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}|_{M}}$${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{k}.}$

ต่อจากนี้ไป ให้ถือว่าk  = 1 (เพื่อให้ CR manifold เป็นประเภท hypersurface) เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น

ให้Mเป็นแมนิโฟลด์ CR ประเภทไฮเปอร์เซอร์เฟซที่มีฟังก์ชันกำหนดเดี่ยวF = 0 รูปแบบเลวีของMซึ่งตั้งชื่อตามEugenio Elia Levi [ ^{3 ] คือ}ฟอร์มเฮอร์มิเชียน 2

${\displaystyle h=i\,\partial {\bar {\partial }}F|_{L\wedge {\bar {L}}}.}$

สิ่งนี้กำหนดเมตริกบนL M กล่าวได้ว่าเป็นpseudoconvex อย่างเคร่งครัด (จากด้านF<0 ) ถ้าhเป็นบวกแน่นอน (หรือpseudoconvexในกรณีที่hเป็นบวกกึ่งแน่นอน) ^{[ 4 ]}ผลลัพธ์การมีอยู่และการเป็นเอกลักษณ์เชิงวิเคราะห์จำนวนมากในทฤษฎีของ CR manifold ขึ้นอยู่กับ pseudoconvexity

ระบบการตั้งชื่อนี้มาจากการศึกษาโดเมนแบบซูโดคอนเว็กซ์ : Mคือขอบเขตของโดเมนแบบซูโดคอนเว็กซ์ (อย่างเคร่งครัด) ก็ต่อเมื่อมันเป็นซูโดคอนเว็กซ์ (อย่างเคร่งครัด) ในฐานะแมนิโฟลด์ CR จากด้านข้างของโดเมน (ดูฟังก์ชันพหุซับฮาร์มอนิกและแมนิโฟลด์สไตน์ ) ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

โครงสร้าง CR นามธรรมบนแมนิโฟลด์จริงMที่มีมิติจริงnประกอบด้วยซับบันเดิลเชิงซ้อนLของบันเดิลสัมผัสเชิงซ้อน ซึ่งสามารถอินทิเกรตได้ในเชิงรูปธรรม ในแง่ที่ว่า [ L , L ] ⊂ Lซึ่งมีจุดตัดเป็นศูนย์กับคอนจูเกตเชิงซ้อนของมันมิติร่วม CRของโครงสร้าง CR คือโดยที่ dim  Lคือมิติเชิงซ้อน ในกรณีที่k  = 1 โครงสร้าง CR เรียกว่าเป็นแบบไฮเปอร์เซอร์เฟซตัวอย่างส่วนใหญ่ของโครงสร้าง CR นามธรรมเป็นแบบไฮเปอร์เซอร์เฟซ ${\displaystyle k=n-2\dim L,}$

สมมติว่าMเป็นแมนิโฟลด์ CR ชนิดไฮเปอร์เซอร์เฟซ ฟอร์มเลวีเป็นฟอร์ม 2 มิติแบบเวกเตอร์ซึ่งนิยามบนLโดยมีค่าอยู่ในบันเดิลเส้นตรง

${\displaystyle V={\frac {TM\otimes \mathbb {C} }{L\oplus {\overline {L}}}}}$

มอบให้โดย

${\displaystyle h(v,w)={\frac {1}{2i}}[v,{\overline {w}}]\mod L\oplus {\overline {L}},\quad v,w\in L.}$

hกำหนด รูปแบบ เซสควิลิเนียร์บนLเนื่องจากไม่ขึ้นอยู่กับว่าvและwถูกขยายไปยังส่วนต่างๆ ของL อย่างไร โดยเงื่อนไขความสามารถในการหาปริพันธ์ รูปแบบนี้ขยายไปเป็นรูปแบบเฮอร์มิเชียนบนบันเดิลโดยใช้การแสดงออกเดียวกัน รูปแบบที่ขยายแล้วนี้บางครั้งเรียกว่ารูปแบบเลวีด้วย ${\displaystyle L\oplus {\overline {L}}}$

รูปแบบของเลวีสามารถอธิบายได้อีกทางหนึ่งในแง่ของความเป็นคู่ พิจารณาซับบันเดิลเส้นของบันเดิลโคแทนเจนต์ เชิงซ้อนที่ทำให้ Vเป็นศูนย์

${\displaystyle H_{0}M=V^{*}=(L\oplus {\overline {L}})^{\perp }\subset T^{*}M\otimes \mathbb {C} .}$

สำหรับแต่ละส่วนย่อยเฉพาะที่ α ∈ Γ( H ₀ M ) ให้กำหนด

${\displaystyle h_{\alpha }(v,w)=d\alpha (v,{\overline {w}})=-\alpha ([v,{\overline {w}}]),\quad v,w\in L\oplus {\overline {L}}.}$

รูปแบบh _αเป็นรูปแบบเฮอร์มิเชียนที่มีค่าเชิงซ้อนซึ่งเกี่ยวข้องกับ α รูปแบบ 1 เป็นจำนวนจริงบันเดิลระนาบไฮเปอร์ เชิงซ้อน คือการทำให้เป็นจำนวนซ้อนของบันเดิลระนาบไฮเปอร์จริงในกรณีที่เป็นซูโดคอนเวกซ์อย่างเคร่งครัด บันเดิลนี้กำหนดโครงสร้างสัมผัสบนโดยมีรูปแบบสัมผัส ชั้นคอนฟอร์มอลของรูปแบบสัมผัสได้รับการกำหนดไว้อย่างดี ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle L\oplus {\overline {L}}}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }=\ker \alpha }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \alpha }$

การเลือกรูปแบบการสัมผัสจะกำหนดสนามเวกเตอร์ซึ่งตั้งฉากกับโครงสร้างการสัมผัสสนามเวกเตอร์นี้เรียกว่าสนามเวกเตอร์รีบ (Reeb vector field) ซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle T}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$

${\displaystyle i_{T}d\alpha =0,\quad \alpha (T)=1}$.

รูปแบบทั่วไปของฟอร์มเลวีมีอยู่เมื่อแมนิโฟลด์ไม่ใช่ประเภทไฮเปอร์เซอร์เฟซ ในกรณีนั้น ฟอร์มจะไม่รับค่าในบันเดิลเส้นอีกต่อไป แต่จะรับค่าในบันเดิลเวกเตอร์ แทน ในกรณีเช่นนั้น เราอาจพูดถึงโครงสร้างนั้นได้ไม่ใช่ฟอร์มเลวี แต่เป็นชุดของฟอร์มเลวี

บนแมนิโฟลด์ CR นามธรรมประเภท pseudo-convex ที่แข็งแกร่ง รูปแบบ Levi ก่อให้เกิดเมตริก pseudo-Hermitian บน. ถ้าแล้วเรากำหนดผลคูณภายในแบบเฮอร์มิเชียนโดยการตั้งค่า^{[ 5 ]}${\displaystyle L}$${\displaystyle Z,W\in L}$

${\displaystyle \langle Z,W\rangle ={\frac {1}{i}}d\alpha (Z,{\overline {W}})}$.

นี่เป็นการกำหนดเมตริกเฮอร์มิเชียนสำหรับเวกเตอร์สัมผัสโฮโลมอร์ฟิกเท่านั้น ดังนั้นจึงเป็นแบบเสื่อมสภาพ เราสามารถขยายมันเพื่อกำหนดเมตริกรีมันน์บนปริภูมิสัมผัสจริงได้โดยสังเกตว่าฟิลด์เวกเตอร์ใดๆ ก็สามารถแสดงได้ดังนี้ ${\displaystyle TM}$${\displaystyle X\in TM}$

${\displaystyle X=Z_{X}+{\overline {Z}}_{X}+a_{X}T{\text{ where }}Z_{X}\in L,a_{X}\in {\mathbb {R} }}$; ถ้า . ${\displaystyle X,Y\in TM{\text{ then }}\langle X,Y\rangle =\Re \langle Z_{X},Z_{W}\rangle +a_{X}a_{Y}}$

สิ่งนี้กำหนดเมตริกแบบรีมันน์บน. รูปแบบของเลวีให้ความยาวของการฉายภาพของในทิศทาง - ${\displaystyle TM}$${\displaystyle [v,{\overline {w}}]}$${\displaystyle T}$

จากนั้นเราสามารถกำหนดการเชื่อมต่อและแรงบิดและเทนเซอร์ความโค้งที่เกี่ยวข้อง เช่นความโค้งริชชีและความโค้งสเกลาร์โดยใช้เมตริกนี้ ซึ่งก่อให้เกิดปัญหา CR Yamabe ที่คล้ายคลึงกัน ซึ่งศึกษาครั้งแรกโดยDavid JerisonและJohn Leeการเชื่อมต่อที่เกี่ยวข้องกับแมนิโฟลด์ CR ได้รับการกำหนดและศึกษาครั้งแรกโดยSidney M. Websterในวิทยานิพนธ์ของเขาเกี่ยวกับการศึกษาปัญหาความเท่าเทียมกัน และยังได้รับการกำหนดและศึกษาโดยอิสระโดย Tanaka อีกด้วย^{[ 6 ]}สามารถดูรายละเอียดของแนวคิดเหล่านี้ได้ในบทความ^{[ 7 ] [ 5 ]}แมนิโฟลด์ CR แบบซูโดนูนอย่างเคร่งครัดยังมีการเชื่อมต่อ Cartan แบบแคนอนิก ซึ่งกำหนดขึ้นโดยอิสระจากการเลือกรูปแบบการสัมผัส การเชื่อมต่อนี้ได้รับการแนะนำใน 3 มิติโดย Cartan และในมิติที่สูงกว่าโดยSS ChernและJ. Moser [ ^{8 ] [ 9 ] [ 10 ] การ}เชื่อมต่อ Cartan-Chern-Moser และความโค้งของมันไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ CR-diffeomorphism

หนึ่งในคำถามพื้นฐานของเรขาคณิต CR คือ เมื่อใดที่แมนิโฟลด์เรียบที่มีโครงสร้าง CR นามธรรมสามารถถูกทำให้เป็นจริงได้ในฐานะแมนิโฟลด์ฝังตัวในปริภูมิใดปริภูมิหนึ่งดังนั้น เราจึงไม่เพียงแต่ฝังแมนิโฟลด์เท่านั้น แต่เรายังต้องการการฝังตัวแบบทั่วโลกด้วยว่า แผนที่ที่ฝังแมนิโฟลด์นามธรรมใน ปริภูมินั้น จะต้องดึงโครงสร้าง CR ที่เหนี่ยวนำของแมนิโฟลด์ฝังตัว (ซึ่งมาจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันอยู่ในปริภูมินั้น) กลับมาเพื่อให้โครงสร้าง CR ที่ดึงกลับมานั้นสอดคล้องกับโครงสร้าง CR นามธรรม ฟังก์ชันพิกัดของแผนที่ดังกล่าวเป็นฟังก์ชัน CR นั่นคืออยู่ในปริภูมิว่างของตัวดำเนินการ φ เป็นการง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าปริภูมิว่างนี้เป็นพีชคณิตที่มีการคูณแบบจุดต่อจุด เราสามารถพิจารณาทั้งคำถามของการฝังตัวในระดับท้องถิ่นและการฝังตัวแบบทั่วโลกได้ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{b}}$

Louis Boutet de Monvel ^{[ 11 ]}พิสูจน์ว่า CR-manifold ที่กำหนดแบบนามธรรม กระชับ และมีความนูนเทียมอย่างแข็งแกร่ง ซึ่งมีมิติจริง 5 หรือสูงกว่านั้น สามารถฝังตัวได้ทั่วโลก งานของเขาแสดงให้เห็นว่าหากตัวดำเนินการ -operator (ดูด้านล่าง) ที่กระทำกับฟังก์ชัน มีช่วงปิดในแล้ว CR-manifold จะสามารถฝังตัวได้ทั่วโลก ${\displaystyle \Box _{b}}$${\displaystyle L^{2}}$

ในมิติที่ 3 มีอุปสรรคต่อการฝังตัวทั่วโลก โครงสร้าง CR มาตรฐานบนทรงกลมสามมิติถูกสร้างขึ้นโดยสนามเวกเตอร์เชิงซ้อน สำหรับ โดยที่สนามเวกเตอร์เชิงซ้อนจะกำหนดโครงสร้าง CR นามธรรมบนทรงกลม 3 มิติ ซึ่งไม่สามารถฝังตัวได้ทั่วโลก สิ่งเหล่านี้มักเรียกว่าตัวอย่างของ Rossi ^{[ 12 ]}แม้ว่าจะย้อนกลับไปถึงงานก่อนหน้าของHans GrauertและปรากฏในบทความของAldo AndreottiและYum-Tong Siu [ ^{13 ] ตัวอย่าง}เหล่านี้สามารถฝังตัวได้ในระดับท้องถิ่นในบริเวณใกล้เคียงของทุกจุด แต่ไม่สามารถฝังตัวได้ทั่วโลก: พีชคณิตของฟังก์ชัน CR ไม่ได้แยกจุดต่างๆ ดังที่ Burns ^{[ 14 ]} แสดงให้เห็นว่า คำตอบทั้งหมดของเป็นฟังก์ชันคู่ ${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle {\overline {Z}}=z_{1}\partial _{{\overline {z}}_{2}}-z_{2}\partial _{{\overline {z}}_{1}}}$${\displaystyle \epsilon \in {\mathbb {C} }\setminus \{0\}}$${\displaystyle |\epsilon |<1}$${\displaystyle {\overline {Z}}_{\epsilon }={\overline {Z}}+\epsilon Z}$${\displaystyle {\overline {Z}}_{\epsilon }f=0}$

โจเซฟ เจ. โคนแสดงให้เห็นว่าความสามารถในการฝังตัวทั่วโลกบ่งชี้ว่าตัวดำเนินการลาปลาเซียนของโคน (ดูด้านล่าง) ที่กระทำกับฟังก์ชันมีช่วงปิดใน[ ^{15 ] เมื่อ}รวมสิ่งนี้เข้ากับผลลัพธ์ของบูเตต์ เดอ มงเวล จะได้ว่าความสามารถในการฝังตัวทั่วโลกของแมนิโฟลด์ CR แบบซูโดนูนอย่างเคร่งครัดขนาดกะทัดรัดเทียบเท่ากับการปิดของช่วงของ ที่กระทำกับฟังก์ชัน ดังนั้นคุณสมบัติช่วงปิดสำหรับ จึงเป็น CR-invariant ${\displaystyle \Box _{b}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \Box _{b}}$${\displaystyle \Box _{b}}$

โปรดทราบว่าเซตของการรบกวนที่ฝังได้ของโครงสร้าง CR บนแมนิโฟลด์ 3 มิติขนาดกะทัดรัดนั้นมีมิติอนันต์และมีมิติร่วมอนันต์ด้วย ภายใต้เงื่อนไขความเป็นบวกของสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของเทอมการรบกวน แดเนียล เบิร์นส์และชาร์ลส์ เอปสไตน์ได้พิสูจน์ความสามารถในการฝังทั่วโลกสำหรับการรบกวนเล็กน้อยของโครงสร้าง CR มาตรฐานบนทรงกลม 3 มิติ^{[ 16 ]}อันที่จริง พวกเขาแสดงให้เห็นว่าพีชคณิตทั้งหมดของฟังก์ชัน CR เปลี่ยนแปลงอย่างเสถียรภายใต้ "การรบกวนเชิงบวก" ขนาดเล็ก หลังจากนั้นไม่นาน เลมเพิร์ตได้พิสูจน์ว่าการรบกวนที่ฝังได้ขนาดเล็กใด ๆ ของโครงสร้าง CR บนไฮเปอร์เซอร์เฟซจริงขนาดกะทัดรัดและเป็นแบบซูโดโคเว็กซ์อย่างเคร่งครัดในสามารถฝังเป็นการรบกวนขนาดเล็กของการฝังดั้งเดิมได้^{[ 17 ] [ 18 ]}เอกสาร^{[ 16 ]} ยังคาดเดารูปแบบปกติสำหรับการรบกวนดังกล่าว ซึ่งรวมถึงการรบกวนเชิงบวกที่สามารถฝังได้พร้อมกับสิ่งกีดขวางจำนวนอนันต์ต่อการฝัง การมีอยู่ของรูปแบบปกตินี้ได้รับการพิสูจน์ โดย John Bland ^{[ 19 ]}${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

ในมิติที่ 3 ชุดเงื่อนไขที่ไม่รบกวนซึ่งคงที่ภายใต้ CR ได้ถูกค้นพบโดยSagun Chanillo , Hung-Lin Chiu และPaul C. Yang ^{[ 20 ]}ซึ่งรับประกันการฝังตัวทั่วโลกสำหรับโครงสร้าง CR แบบนูนเทียมที่แข็งแกร่งแบบนามธรรมที่กำหนดบนแมนิโฟลด์แบบกะทัดรัด ภายใต้สมมติฐานที่ว่าตัวดำเนินการ Paneitz ของ CRไม่เป็นลบและค่าคงที่ Yamabe ของ CR เป็นบวก จะมีการฝังตัวทั่วโลก เงื่อนไขที่สองสามารถลดทอนลงเป็นเงื่อนไขที่ไม่คงที่ภายใต้ CR ได้โดยการกำหนดให้ความโค้งของ Webster ของแมนิโฟลด์แบบนามธรรมมีขอบเขตล่างโดยค่าคงที่บวก ซึ่งทำให้ผู้เขียนได้รับขอบเขตล่างที่คมชัดสำหรับค่าไอเกนบวกแรกของตัวดำเนินการ Laplacian ของ Kohn ขอบเขตล่างนี้เป็นอนาล็อกในเรขาคณิต CR ของ ขอบเขต André Lichnerowiczสำหรับค่าไอเกนบวกแรกของตัวดำเนินการ Laplace–Beltramiสำหรับแมนิโฟลด์แบบกะทัดรัดในเรขาคณิตแบบ Riemannian ^{[ 21 ]}การไม่เป็นลบของตัวดำเนินการ CR Paneitz ในมิติ 3 เป็นเงื่อนไขคงที่ของ CR ดังต่อไปนี้ โดยคุณสมบัติการแปรผันตามคอนฟอร์มอลของตัวดำเนินการ CR Paneitz บนแมนิโฟลด์ CR ของมิติจริง 3 ซึ่งสังเกตครั้งแรกโดยKengo Hirachi [ ^{22 ] ตัว}ดำเนินการ Paneitz เวอร์ชัน CR หรือที่เรียกว่าตัวดำเนินการ CR Paneitzปรากฏครั้งแรกในงานของC. Robin GrahamและJohn Leeตัวดำเนินการนี้ไม่เป็นที่ทราบกันว่าแปรผันตามคอนฟอร์มอลในมิติจริง 5 ขึ้นไป แต่เฉพาะในมิติจริง 3 เท่านั้น มันเป็นตัวดำเนินการที่ไม่เป็นลบเสมอในมิติจริง 5 ขึ้นไป^{[ 23 ]}

อาจมีคนถามว่า CR manifold ที่ฝังตัวแบบกะทัดรัดทั้งหมดในมีตัวดำเนินการ Paneitz ที่ไม่เป็นลบหรือไม่ นี่เป็นคำถามผกผันกับทฤษฎีบทการฝังตัวที่กล่าวถึงข้างต้น ในทิศทางนี้ Jeffrey Case, Sagun ChanilloและPaul C. Yangได้พิสูจน์ทฤษฎีบทความเสถียร นั่นคือ ถ้าเริ่มต้นด้วยตระกูลของ CR manifold แบบกะทัดรัดที่ฝังตัวอยู่ในและโครงสร้าง CR ของตระกูลเปลี่ยนแปลงไปในลักษณะวิเคราะห์จริงโดยสัมพันธ์กับพารามิเตอร์และค่าคงที่ CR Yamabe ของตระกูล manifold ถูกจำกัดด้านล่างอย่างสม่ำเสมอด้วยค่าคงที่บวก ตัวดำเนินการ CR Paneitz จะยังคงไม่เป็นลบสำหรับทั้งตระกูล ตราบใดที่สมาชิกหนึ่งคนในตระกูลมีตัวดำเนินการ CR Paneitz ที่ไม่เป็นลบ^{[ 24 ]}ในที่สุดคำถามผกผันก็ได้รับการแก้ไขโดย Yuya Takeuchi เขาพิสูจน์ว่าสำหรับ CR-3 manifold แบบกะทัดรัดที่ฝังตัวอยู่และเป็นแบบ pseudoconvex อย่างเคร่งครัด ตัวดำเนินการ CR Paneitz ที่เกี่ยวข้องกับ manifold ที่ฝังตัวอยู่นี้จะไม่เป็นลบ^{[ 25 ]}${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2},}$${\displaystyle J_{t}}$${\displaystyle t,}$

การตระหนักรู้ถึงแมนิโฟลด์ CR นามธรรมในฐานะแมนิโฟลด์เรียบในบางขอบเขตจะจำกัดวาไรตี้เชิงซ้อนซึ่งโดยทั่วไปอาจมีจุดเอกฐาน นี่คือเนื้อหาของปัญหาที่ราบเชิงซ้อนที่ศึกษาในบทความโดย F. Reese Harvey และH. Blaine Lawson [ ^{26 ] นอกจาก}นี้ยังมีงานเพิ่มเติมเกี่ยวกับปัญหาที่ราบเชิงซ้อนโดยStephen S.-T. Yau ^{[ 27 ]}${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

การฝังตัวแบบโลคอลของโครงสร้าง CR นามธรรมไม่เป็นจริงในมิติจริง 3 เนื่องจากตัวอย่างของLouis Nirenberg (หนังสือของ Chen และMei-Chi Shawที่อ้างถึงด้านล่างยังมีการนำเสนอการพิสูจน์ของ Nirenberg ด้วย) ^{[ 28 ]}ตัวอย่างของ L. Nirenberg อาจมองได้ว่าเป็นการรบกวนแบบเรียบของสนามเวกเตอร์เชิงซ้อนที่ไม่สามารถแก้ได้ของHans Lewyเราสามารถเริ่มต้นด้วยสนามเวกเตอร์แอนติโฮโลมอร์ฟิกบนกลุ่มไฮเซนเบิร์กที่กำหนดโดย ${\displaystyle {\overline {L}}}$

${\displaystyle {\overline {L}}={\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}-\imath z{\frac {\partial }{\partial t}},\qquad (z,t)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} ,\imath ={\sqrt {-1}}.}$

สนามเวกเตอร์ที่นิยามไว้ข้างต้นมีปริพันธ์อันดับแรกที่เป็นอิสระเชิงเส้นสองตัว นั่นคือ สมการเอกพันธุ์มีสองคำตอบ

${\displaystyle {\overline {L}}Z_{i}=0,i=1,2,\qquad Z_{1}=z,Z_{2}=t+\imath |z|^{2},dZ_{1}\wedge dZ_{2}\not =0.}$

เนื่องจากเราอยู่ในมิติจริงสามมิติ เงื่อนไขความสามารถในการหาปริพันธ์อย่างเป็นทางการจึงง่ายๆ ดังนี้

${\displaystyle \left[{\overline {L}},{\overline {L}}\right]=0}$

ซึ่งเป็นไปโดยอัตโนมัติ สังเกตว่ารูปแบบของเลวีเป็นแบบบวกแน่นอนอย่างเคร่งครัด ดังที่การคำนวณอย่างง่ายแสดงให้เห็น

${\displaystyle \left[{\overline {L}},L\right]=2i{\frac {\partial }{\partial t}},}$

โดยที่สนามเวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิก L กำหนดโดย

${\displaystyle L={\frac {\partial }{\partial z}}+\imath {\overline {z}}{\frac {\partial }{\partial t}}.}$

อินทิกรัลแรกซึ่งเป็นอิสระเชิงเส้นทำให้เราสามารถสร้างโครงสร้าง CR เป็นกราฟได้ โดยกำหนดโดย ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle (z,t)\to (z,t+\imath |z|^{2})}$

โครงสร้าง CR จึงปรากฏให้เห็นเป็นเพียงการจำกัดโครงสร้างเชิงซ้อนของกราฟเท่านั้น ไนเรนเบิร์กสร้างสนามเวกเตอร์เชิงซ้อนเดี่ยวที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งกำหนดไว้ในบริเวณใกล้เคียงจุดกำเนิด จากนั้นเขาแสดงให้เห็นว่าถ้าแล้วจะต้องเป็นค่าคงที่ ดังนั้นสนามเวกเตอร์จึงไม่มีปริพันธ์อันดับแรก สนามเวกเตอร์ถูกสร้างขึ้นจากสนามเวกเตอร์แอนติโฮโลมอร์ฟิกสำหรับกลุ่มไฮเซนเบิร์กที่แสดงไว้ข้างต้น โดยการรบกวนด้วยฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนเรียบดังแสดงด้านล่าง: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} .}$${\displaystyle Pu=0}$${\displaystyle u}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle P={\overline {L}}+\phi (z,{\overline {z}},t){\frac {\partial }{\partial t}}}$

ดังนั้น เวกเตอร์ฟิลด์ใหม่ P นี้จึงไม่มีปริพันธ์แรกอื่นใดนอกจากค่าคงที่ และด้วยเหตุนี้จึงไม่สามารถสร้างโครงสร้าง CR ที่ถูกรบกวนนี้ในรูปแบบกราฟได้งานของ L. Nirenberg ได้รับการขยายไปสู่ผลลัพธ์ทั่วไปโดย Howard Jacobowitz และFrançois Trèves [ ^{29 ] ใน}มิติจริง 9 และสูงกว่า การฝังตัวแบบโลคอล ของ โครงสร้าง CR แบบนามธรรมที่นูนอย่างเคร่งครัดนั้นเป็นจริงโดยงานของMasatake Kuranishiและในมิติจริง 7 โดยงานของ Akahori ^{[ 30 ]}การนำเสนอแบบง่ายของบทพิสูจน์ของ Kuranishi มาจาก Webster ^{[ 31 ]}${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

ปัญหาของการฝังตัวในระดับท้องถิ่นยังคงเป็นปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขในมิติจริง 5

ก่อนอื่นต้องกำหนดตัวดำเนินการโคบาวน์ดารีสำหรับแมนิโฟลด์ CR ที่เกิดขึ้นเป็นขอบเขตของแมนิโฟลด์เชิงซ้อน เราอาจมองตัวดำเนินการนี้เป็นการจำกัดจากภายในไปยังขอบเขต ตัวห้อย b ใช้เพื่อเตือนว่าเราอยู่บนขอบเขต ตัวดำเนินการโคบาวน์ดารีใช้รูปแบบ (0,p) ถึงรูปแบบ (0,p+1) เราสามารถกำหนดตัวดำเนินการโคบาวน์ดารีสำหรับแมนิโฟลด์ CR นามธรรมได้แม้ว่ามันจะไม่ใช่ขอบเขตของวาไรตี้เชิงซ้อนก็ตาม สามารถทำได้โดยใช้การเชื่อมต่อของ Webster ^{[ 32 ]}ตัวดำเนินการโคบาวน์ดารีสร้างคอมเพล็กซ์ นั่นคือคอมเพล็กซ์นี้เรียกว่าคอมเพล็กซ์ Tangential Cauchy–Riemann หรือคอมเพล็กซ์ Kohn–Rossi การตรวจสอบคอมเพล็กซ์นี้และการศึกษากลุ่มโคฮอโมโลยีของคอมเพล็กซ์นี้ทำในเอกสารพื้นฐานโดย Joseph J. Kohn และ Hugo Rossi ^{[ 33 ]}${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$${\displaystyle {\overline {\partial }}}$${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}\circ {\overline {\partial _{b}}}=0}$

ในเรขาคณิต CR และตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัว วัตถุพื้นฐานที่เกี่ยวข้องคือตัวดำเนินการลาปลาเซียนของ Kohn ซึ่งมีนิยามดังนี้:

${\displaystyle \Box _{b}={\overline {\partial _{b}}}{\overline {\partial _{b}}}^{\star }+{\overline {\partial _{b}}}^{\star }{\overline {\partial _{b}}}}$

ในที่นี้หมายถึงตัวผกผันเชิงรูปธรรมของโดยสัมพันธ์กับซึ่งรูปแบบปริมาตรอาจได้มาจากรูปแบบสัมผัสซึ่งเกี่ยวข้องกับโครงสร้าง CR ดูตัวอย่างเช่น บทความของ JM Lee ใน American J. ที่อ้างถึงด้านล่าง โปรดทราบว่าตัวดำเนินการลาปลาเซียนของ Kohn แปลงรูปแบบ (0,p) เป็นรูปแบบ (0,p) ฟังก์ชันที่ถูกทำลายโดยตัวดำเนินการลาปลาเซียนของ Kohn เรียกว่าฟังก์ชัน CRพวกมันเป็นอนาล็อกขอบเขตของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ส่วนจริงของฟังก์ชัน CR เรียกว่าฟังก์ชัน CR พลูริฮาร์มอนิก ตัวดำเนินการลาปลาเซียนของ Kohn เป็นตัวดำเนินการที่ไม่เป็นลบและผกผันตัวเองเชิงรูปธรรม มันเป็นตัวดำเนินการเสื่อมสภาพและมีเซตลักษณะเฉพาะที่สัญลักษณ์ของมันเป็นศูนย์ บนแมนิโฟลด์ CR นามธรรมแบบกะทัดรัดและนูนเทียมอย่างแข็งแกร่ง มันมีค่าลักษณะเฉพาะบวกแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งไปสู่อนันต์และเข้าใกล้ศูนย์ เคอร์เนลประกอบด้วยฟังก์ชัน CR ดังนั้นจึงมีมิติอนันต์ ถ้าค่าไอเกนบวกของตัวดำเนินการลาปลาเซียนของ Kohn ถูกจำกัดด้วยค่าคงที่บวก ตัวดำเนินการลาปลาเซียนของ Kohn จะมีช่วงปิด และในทางกลับกัน ดังนั้น สำหรับโครงสร้าง CR ที่ฝังตัวโดยใช้ผลลัพธ์ของ Kohn ที่กล่าวไว้ข้างต้น เราสรุปได้ว่าโครงสร้าง CR ขนาดกะทัดรัดที่เป็น pseudoconvex อย่างแข็งแกร่งนั้นฝังตัวอยู่ก็ต่อเมื่อตัวดำเนินการลาปลาเซียนของ Kohn มีค่าไอเกนบวกที่ถูกจำกัดด้วยค่าคงที่บวก ตัวดำเนินการลาปลาเซียนของ Kohn จะมีค่าไอเกนเป็นศูนย์เสมอ ซึ่งสอดคล้องกับฟังก์ชัน CR ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}^{\star }}$${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$${\displaystyle L^{2}(M)}$${\displaystyle \Box _{b}}$

ค่าประมาณสำหรับและได้รับมาในปริภูมิฟังก์ชันต่างๆ ในการตั้งค่าต่างๆ ค่าประมาณเหล่านี้หาได้ง่ายที่สุดเมื่อแมนิโฟลด์เป็นแบบซูโดนูนอย่างเข้มข้น เพราะในกรณีนั้นเราสามารถแทนที่แมนิโฟลด์ด้วยการสัมผัสในลำดับที่สูงพอด้วยกลุ่มไฮเซนเบิร์ก จากนั้นใช้คุณสมบัติของกลุ่มและโครงสร้างการสังเคราะห์ที่เกี่ยวข้องของกลุ่มไฮเซนเบิร์ก เราสามารถเขียนตัวผกผัน/พาราเมตริกหรือพาราเมตริกสัมพัทธ์ของได้^{[ 34 ]}${\displaystyle \Box _{b}}$${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$${\displaystyle \Box _{b}}$

ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมของตัวดำเนินการนี้สามารถยกมาได้จากกลุ่มไฮเซนเบิร์ก พิจารณากลุ่มไฮเซนเบิร์กทั่วไปและพิจารณาฟิลด์เวกเตอร์แอนติโฮโลมอร์ฟิกซึ่งยังคงไม่เปลี่ยนแปลงทางซ้ายของกลุ่มด้วย ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\overline {L}}_{j}={\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{j}}}}}-\imath z_{j}{\frac {\partial }{\partial t}},j=1,2,\ldots ,n,(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n},t\in \mathbb {R} .}$

จากนั้นสำหรับฟังก์ชัน u เราจะมีรูปแบบ (0,1)${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega ={\overline {\partial _{b}}}u=\sum _{j=1}^{n}{\overline {L_{j}}}u\ d{\overline {z_{j}}}.}$

เนื่องจากค่าหายไปบนฟังก์ชัน เราจึงมีสูตรต่อไปนี้สำหรับตัวดำเนินการลาปลาเซียนของ Kohn สำหรับฟังก์ชันบนกลุ่ม Heisenberg: ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}^{\star }}$

${\displaystyle \Box _{b}=-\sum _{j=1}^{n}L_{j}{\overline {L_{j}}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle L_{j}={\frac {\partial }{\partial z_{j}}}+\imath {\overline {z_{j}}}{\frac {\partial }{\partial t}},}$

คือกลุ่มเวกเตอร์ฟิลด์โฮโลมอร์ฟิกที่ไม่เปลี่ยนแปลงทางซ้ายบนกลุ่มไฮเซนเบิร์ก นิพจน์สำหรับตัวดำเนินการลาปลาเซียนของโคห์นข้างต้นสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้ ก่อนอื่นสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่า

${\displaystyle [L_{j},{\overline {L_{j}}}]=-2\imath T,T={\frac {\partial }{\partial t}},j=1,2,\ldots ,n}$

ดังนั้นจากการคำนวณอย่างง่าย เราจึงได้ว่า:

${\displaystyle \Box _{b}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}(L_{j}{\overline {L_{j}}}+{\overline {L_{j}}}L_{j})+\imath nT}$

ตัวดำเนินการตัวแรกทางด้านขวาเป็นตัวดำเนินการจริง และในความเป็นจริงมันคือส่วนจริงของโคห์นลาปลาเซียน เรียกว่าซับลาปลาเซียนมันเป็นตัวอย่างหลักของสิ่งที่เรียกว่าตัวดำเนินการผลรวมกำลังสองของฮอร์แมน เดอร์ ^{[ 35 ] [ 36 ]}เห็นได้ชัดว่ามันไม่เป็นลบ ดังที่เห็นได้จากการอินทิเกรตโดยส่วน ผู้เขียนบางคนกำหนดซับลาปลาเซียนด้วยเครื่องหมายตรงข้าม ในกรณีของเรา เรามีโดยเฉพาะ:

${\displaystyle \Delta _{b}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}(L_{j}{\overline {L_{j}}}+{\overline {L_{j}}}L_{j})}$

โดยที่สัญลักษณ์ดังกล่าวเป็นสัญลักษณ์ดั้งเดิมสำหรับซับ-ลาปลาเซียน ดังนั้น ${\displaystyle \Delta _{b}}$

${\displaystyle \Box _{b}=\Delta _{b}+\imath nT}$

ตัวอย่างมาตรฐานของแมนิโฟลด์ CR ขนาดกะทัดรัดคือทรงกลมจริงซึ่งเป็นซับแมนิโฟลด์ของบันเดิลที่อธิบายไว้ข้างต้นกำหนดโดย ${\displaystyle 2n+1}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle L=\mathbb {C} TS^{2n+1}\cap T^{1,0}\mathbb {C} ^{n+1}}$

โดยที่บันเดิลของเวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิกคือ รูปแบบจริงของบันเดิลนี้กำหนดโดย ซึ่งเป็นบันเดิลที่กำหนด ณ จุดหนึ่งอย่างเป็นรูปธรรมในแง่ของโครงสร้างเชิงซ้อนบนโดย ${\displaystyle T^{1,0}\mathbb {C} ^{n+1}}$${\displaystyle P=\Re (L\oplus {\bar {L}})}$${\displaystyle p\in S^{2n+1}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$

${\displaystyle P_{p}=\{X\in T_{p}S^{2n+1}:IX\in T_{p}S^{2n+1}\subset T_{p}\mathbb {C} ^{n+1}\},}$

และโครงสร้างที่ซับซ้อนเกือบทั้งหมดบนนั้นเป็นเพียงข้อจำกัดของทรงกลมเป็นตัวอย่างของแมนิโฟลด์ CR ที่มีความโค้งเวบสเตอร์บวกคงที่และมีแรงบิดเวบสเตอร์เป็นศูนย์กลุ่มไฮเซนเบิร์กเป็นตัวอย่างของแมนิโฟลด์ CR ที่ไม่กระชับซึ่งมีแรงบิดเวบสเตอร์เป็นศูนย์และความโค้งเวบสเตอร์เป็นศูนย์ บันเดิลวงกลมหน่วยเหนือพื้นผิวรีมันน์ กระชับ ที่มีจีนัสมากกว่า 1 อย่างเคร่งครัดยังให้ตัวอย่างของแมนิโฟลด์ CR ซึ่งเป็นแบบซูโดนูนอย่างแข็งแกร่งและมีแรงบิดเวบสเตอร์เป็นศูนย์และความโค้งเวบสเตอร์ลบคงที่ พื้นที่เหล่านี้สามารถใช้เป็นพื้นที่เปรียบเทียบในการศึกษาจีโอเดสิกและทฤษฎีบทเปรียบเทียบปริมาตรบนแมนิโฟลด์ CR ที่มีแรงบิดเวบสเตอร์เป็นศูนย์คล้ายกับทฤษฎีบทเปรียบเทียบ HE Rauchในเรขาคณิตรีมันน์^{[ 37 ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle I}$

ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา มีการศึกษาวิเคราะห์ด้านอื่นๆ ของกลุ่มไฮเซนเบิร์ก เช่นพื้นผิวขั้นต่ำในกลุ่มไฮเซนเบิร์กปัญหาเบิร์นสไตน์ในกลุ่มไฮเซนเบิร์ก และการไหลของความโค้ง^{[ 38 ]}

• ยูเจนิโอ เอเลีย เลวี
• ความนูนเทียม