ในทางคณิตศาสตร์การทำให้ปริมาณเวกเตอร์Vบนฟิลด์ของจำนวนจริง ("ปริมาณเวกเตอร์จริง") กลายเป็นปริมาณเวกเตอร์เชิงซ้อน จะได้ปริมาณเวกเตอร์V ^Cบนฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งได้มาจากการขยายการปรับขนาดของเวกเตอร์ด้วยจำนวนจริงไปเป็นการปรับขนาด ("การคูณ") เวกเตอร์ด้วยจำนวนเชิงซ้อนฐาน ใดๆ สำหรับV (ปริมาณเวกเตอร์บนจำนวนจริง) ก็สามารถใช้เป็นฐานสำหรับV ^Cบนจำนวนเชิงซ้อนได้ เช่นกัน

ให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์จริง${\displaystyle V}$การทำให้ Vเป็นจำนวนเชิงซ้อนนั้นนิยามโดยการหาผลคูณเทนเซอร์ของกับจำนวนเชิงซ้อน (ซึ่งคิดว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์ 2 มิติเหนือจำนวนจริง): ตัวห้อย, บนผลคูณเทนเซอร์บ่งชี้ว่าผลคูณเทนเซอร์นั้นกระทำเหนือจำนวนจริง (เนื่องจากเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริง นี่จึงเป็นตัวเลือกที่เหมาะสมที่สุด ดังนั้นจึงสามารถละเว้นตัวห้อยได้) ในปัจจุบันเป็นเพียงปริภูมิเวกเตอร์จริง อย่างไรก็ตาม เราสามารถทำให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนได้โดยการนิยามการคูณเชิงซ้อนดังนี้: โดยทั่วไปแล้ว การทำให้เป็นจำนวนเชิงซ้อนเป็นตัวอย่างของการขยายสเกลาร์– ในที่นี้คือการขยายสเกลาร์จากจำนวนจริงไปยังจำนวนเชิงซ้อน – ซึ่งสามารถทำได้สำหรับการขยายฟิลด์หรือสำหรับมอร์ฟิซึมของริงใดๆ ก็ได้ ${\displaystyle V}$$${\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} .}$$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$$${\displaystyle \alpha (v\otimes \beta )=v\otimes (\alpha \beta )\qquad {\mbox{ สำหรับทุก }}v\in V{\mbox{ และ }}\alpha ,\beta \in \mathbb {C} .}$$

ถ้ามีมิติจำกัดเหนือแล้ว จะมีมิติในฐานะปริมาณเวกเตอร์จริง และมีมิติในฐานะปริมาณเวกเตอร์เชิงซ้อน ${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle n}$

ในทางทฤษฎี การทำให้เป็นจำนวนเชิงซ้อนคือฟังก์ชันVect _R → Vect _Cจากหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์จริงไปยังหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อน นี่คือฟังก์ชันผกผัน – โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังก์ชันผกผันด้านซ้าย – ของฟังก์ชันลืมVect _C → Vect _Rที่ลืมโครงสร้างเชิงซ้อน

การลืมโครงสร้างที่ซับซ้อนของปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนนี้เรียกว่าอะไร${\displaystyle V}$การลดความซับซ้อน (หรือบางครั้งเรียกว่า "การทำให้เป็นจริง ") การลดความซับซ้อนของปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนที่มีฐานจะขจัดความเป็นไปได้ของการคูณเชิงซ้อนของสเกลาร์ ดังนั้นจึงให้ปริภูมิเวกเตอร์จริงที่มีมิติเป็นสองเท่าที่มีฐาน ^{[ 1 ]}${\displaystyle V}$${\displaystyle e_{\mu }}$${\displaystyle W_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \{e_{\mu },ie_{\mu }\}.}$

โดยธรรมชาติของผลคูณเทนเซอร์ เวกเตอร์v ทุกตัว ในV ^Cสามารถเขียนได้ในรูปแบบที่ไม่ซ้ำกันดังนี้

${\displaystyle v=v_{1}\otimes 1+v_{2}\otimes i}$

โดยที่v ₁และv ₂เป็นเวกเตอร์ในVเป็นเรื่องปกติที่จะละเว้นสัญลักษณ์ผลคูณเทนเซอร์และเขียนเพียงแค่

${\displaystyle v=v_{1}+iv_{2}.\,}$

การคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนa + ibจะได้มาตามกฎปกติ

${\displaystyle (a+ib)(v_{1}+iv_{2})=(av_{1}-bv_{2})+i(bv_{1}+av_{2}).\,}$

เราจึงสามารถมองว่าV ^Cเป็นผลรวมโดยตรงของV สองชุดได้ :

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }\cong V\oplus iV}$

โดยใช้กฎการคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น

มีการฝังตัวตามธรรมชาติของVลงในV ^Cโดยกำหนดโดย

${\displaystyle v\mapsto v\otimes 1.}$

ปริมาณเวกเตอร์Vอาจถือได้ว่าเป็นปริมาณย่อยจริง ของV ^Cถ้าVมีฐาน{ e _i } (เหนือฟิลด์R ) แล้ว ฐานที่สอดคล้องกันสำหรับV ^Cจะกำหนดโดย{ e _i ⊗ 1 }เหนือฟิลด์C ดังนั้น มิติเชิงซ้อนของV ^Cจึงเท่ากับมิติจริงของ V

${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }V^{\mathbb {C} }=\dim _{\mathbb {R} }V.}$

อีกทางเลือกหนึ่ง แทนที่จะใช้ผลคูณเทนเซอร์ เราสามารถใช้ผลรวมโดยตรงนี้เป็นนิยามของการสร้างจำนวนเชิงซ้อนได้:

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }:=V\oplus V,}$

โดยที่โครงสร้างเชิงซ้อนเชิงเส้นถูกกำหนดโดยตัวดำเนินการJซึ่งนิยามว่า โดยที่Jเข้ารหัสการดำเนินการ "การคูณด้วยi " ในรูปแบบเมทริกซ์Jจะกำหนดโดย: ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle J(v,w):=(-w,v),}$

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}.}$

วิธี นี้ให้ผลลัพธ์เป็นปริภูมิที่เหมือนกัน – ปริภูมิเวกเตอร์จริงที่มีโครงสร้างเชิงซ้อนเชิงเส้นคือข้อมูลที่เหมือนกับปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อน – แม้ว่าจะสร้างปริภูมิด้วยวิธีที่แตกต่างกันก็ตาม ดังนั้น จึงสามารถเขียนได้เป็นหรือระบุVกับพจน์บวกโดยตรงตัวแรก วิธีนี้มีความชัดเจนกว่า และมีข้อดีคือหลีกเลี่ยงการใช้ผลคูณเทนเซอร์ซึ่งมีความซับซ้อนทางเทคนิค แต่ก็เป็นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะหน้า ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle V\oplus JV}$${\displaystyle V\oplus iV,}$

• การแปลงปริภูมิพิกัดจริงR ⁿให้เป็นปริภูมิพิกัดเชิงซ้อนC ⁿ
• ในทำนองเดียวกัน ถ้าVประกอบด้วยเมทริกซ์ขนาดm × n ที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจริงV ^Cก็จะประกอบด้วย เมทริกซ์ขนาด m × nที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน

กระบวนการสร้างจำนวนเชิงซ้อนโดยการเปลี่ยนจากRไปเป็นCได้รับการสรุปโดยนักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 20 รวมถึงเลียวนาร์ด ดิกสัน เริ่มต้นด้วยการใช้การแมปเอกลักษณ์x * = xเป็นการผกผันแบบ ไม่สำคัญ บนRจากนั้นใช้R สองชุดเพื่อสร้าง z = ( a , b )โดยมี การนำ การผันเชิงซ้อนมาใช้เป็นการผกผันz * = ( a , − b ) สมาชิก wและzสองตัวในเซตที่ซ้ำกันจะคูณกันด้วย

${\displaystyle wz=(a,b)\times (c,d)=(ac\ -\ d^{*}b,\ da\ +\ bc^{*}).}$

สุดท้าย เซตที่เพิ่มเป็นสองเท่าจะได้รับนอร์มN ( z ) = z*zเมื่อเริ่มต้นจากRด้วยการผกผันเอกลักษณ์ เซตที่เพิ่มเป็นสองเท่าคือCที่มีนอร์มa² + b²ถ้าเพิ่มC เป็นสองเท่า และใช้การผันแปร ( ^a , b ) * = ( a *, –b ) ^การสร้างจะให้ควอเทอร์เนียน การเพิ่มเป็นสองเท่าอีกครั้งจะสร้างอ็อกโทเนียนหรือที่เรียกว่าจำนวนเคย์ลีย์ ณ จุดนี้เองที่ดิกสันในปี 1919 ได้มีส่วนช่วยในการเปิดเผยโครงสร้างทางพีชคณิต

กระบวนการนี้สามารถเริ่มต้นได้ด้วยCและการผกผันแบบไม่สำคัญz * = zค่ามาตรฐานที่ได้คือz ²ซึ่งแตกต่างจากการสร้างCโดยการคูณR ด้วยสองเท่า เมื่อC นี้ ถูกคูณด้วยสองเท่า จะได้จำนวนไบคอมเพล็กซ์และการคูณด้วยสองเท่าจะได้ไบควอเทอร์เนียนและการคูณด้วยสองเท่าอีกครั้งจะได้ ไบ อ็อกโท เนียน เมื่อพีชคณิตพื้นฐานเป็นแบบสมาคม พีชคณิตที่สร้างขึ้นโดยโครงสร้าง Cayley–Dickson นี้ เรียกว่าพีชคณิตการประกอบเนื่องจากสามารถแสดงได้ว่ามีคุณสมบัติดังกล่าว

${\displaystyle N(p\,q)=N(p)\,N(q)\,.}$

ปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนV ^Cมีโครงสร้างมากกว่าปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนทั่วไป โดยมี แผนที่ การผันเชิงซ้อนแบบมาตรฐาน :

${\displaystyle \chi :V^{\mathbb {C} }\to {\overline {V^{\mathbb {C} }}}}$

กำหนดโดย

${\displaystyle \chi (v\otimes z)=v\otimes {\bar {z}}.}$

แผนที่χอาจถือได้ว่าเป็นแผนที่เชิงเส้นคู่ควบจากV ^Cไปยังตัวมันเอง หรือเป็นไอโซมอร์ฟิซึม เชิงเส้นเชิงซ้อน จากV ^Cไปยังคู่ควบเชิงซ้อน ของ มัน ${\displaystyle {\overline {V^{\mathbb {C} }}}}$

ในทางกลับกัน เมื่อกำหนดปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนWที่มีการผันเชิงซ้อนχแล้วWจะสมมูลกันในฐานะปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนกับการทำให้เป็นเชิงซ้อนV ^Cของปริภูมิย่อยจริง

${\displaystyle V=\{w\in W:\chi (w)=w\}.}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนทั้งหมดที่มีการสังยุคเชิงซ้อน คือ การทำให้เป็นเชิงซ้อนของปริภูมิเวกเตอร์จริง

ตัวอย่างเช่น เมื่อW = C ⁿโดยใช้การผันเชิงซ้อนมาตรฐาน

${\displaystyle \chi (z_{1},\ldots ,z_{n})=({\bar {z}}_{1},\ldots ,{\bar {z}}_{n})}$

ปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลงVก็คือปริภูมิย่อยจริงR ⁿนั่นเอง

กำหนดให้มี การแปลงเชิงเส้น จริงf  : V → W ระหว่างปริภูมิเวกเตอร์จริงสองปริภูมิ จะมีการแปลงเชิงเส้นเชิงซ้อนตามธรรมชาติ

${\displaystyle f^{\mathbb {C} }:V^{\mathbb {C} }\to W^{\mathbb {C} }}$

มอบให้โดย

${\displaystyle f^{\mathbb {C} }(v\otimes z)=f(v)\otimes z.}$

แผนที่นี้เรียกว่าการทำให้เป็นจำนวนเชิงซ้อนของfการทำให้การแปลงเชิงเส้นเป็นจำนวนเชิงซ้อนนั้นมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ ${\displaystyle f^{\mathbb {C} }}$

• ${\displaystyle (\mathrm {id} _{V})^{\mathbb {C} }=\mathrm {id} _{V^{\mathbb {C} }}}$
• ${\displaystyle (f\circ g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }\circ g^{\mathbb {C} }}$
• ${\displaystyle (f+g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }+g^{\mathbb {C} }}$
• ${\displaystyle (af)^{\mathbb {C} }=af^{\mathbb {C} }\quad \forall a\in \mathbb {R} }$

ในภาษาของทฤษฎีหมวดหมู่กล่าวได้ว่า การทำให้เป็นจำนวนเชิงซ้อนนั้น กำหนดฟังก์ชัน ( แบบบวก ) จากหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์จริงไปยังหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อน

แผนที่f ^Cสลับที่ได้กับการผันแปร และดังนั้นจึงแปลงปริภูมิย่อยจริงของV ^Cไปยังปริภูมิย่อยจริงของW ^C (ผ่านแผนที่f ) ยิ่งไปกว่านั้น แผนที่เชิงเส้นเชิงซ้อนg  : V ^C → W ^Cเป็นการทำให้เป็นเชิงซ้อนของแผนที่เชิงเส้นจริงก็ต่อเมื่อมันสลับที่ได้กับการผันแปร

ยกตัวอย่างเช่น การแปลงเชิงเส้นจากR ⁿไปยังR ^mซึ่งมองได้ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาดm × n การแปลงเป็นจำนวนเชิงซ้อนของการแปลงนั้นก็จะได้เมทริกซ์เดียวกัน แต่ในที่นี้มองได้ว่าเป็นแผนที่เชิงเส้นจากC ⁿไปยัง C ^m

ปริภูมิคู่ของปริภูมิเวกเตอร์จริงVคือปริภูมิV *ของแผนที่เชิงเส้นจริงทั้งหมดจากVไปยังRการทำให้เป็นจำนวนเชิงซ้อนของV *สามารถคิดได้อย่างเป็นธรรมชาติว่าเป็นปริภูมิของแผนที่เชิงเส้นจริงทั้งหมดจากVไปยังC (เขียนแทนด้วยHom _R ( V , C ) ) นั่นคือ $${\displaystyle (V^{*})^{\mathbb {C} }=V^{*}\otimes \mathbb {C} \cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,\mathbb {C} ).}$$

ไอโซมอร์ฟิซึมกำหนดโดย ที่φ ₁และφ ₂เป็นสมาชิกของV *การสังยุคเชิงซ้อนกำหนดโดยการดำเนินการตามปกติ $${\displaystyle (\varphi _{1}\otimes 1+\varphi _{2}\otimes i)\leftrightarrow \varphi _{1}+i\varphi _{2}}$$$${\displaystyle {\overline {\varphi _{1}+i\varphi _{2}}}=\varphi _{1}-i\varphi _{2}.}$$

เมื่อกำหนดแผนที่เชิงเส้นจริงφ  : V → Cเราสามารถขยายโดยใช้ความเป็นเชิงเส้นเพื่อให้ได้แผนที่เชิงเส้นเชิงซ้อนφ  : V ^C → Cนั่นคือ การขยายนี้ให้ไอโซมอร์ฟิซึมจากHom _R ( V , C )ไปยังHom _C ( V ^C , C )ซึ่งอย่างหลังนี้ก็คือ ปริภูมิคู่ เชิงซ้อนของV ^Cดังนั้นเราจึงมีไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ : $${\displaystyle \varphi (v\otimes z)=z\varphi (v).}$$$${\displaystyle (V^{*})^{\mathbb {C} }\cong (V^{\mathbb {C} })^{*}.}$$

โดยทั่วไปแล้ว เมื่อกำหนดปริภูมิเวกเตอร์จริงVและWจะมีไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ $${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,W)^{\mathbb {C} }\cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {C} }(V^{\mathbb {C} },W^{\mathbb {C} }).}$$

การทำให้เป็นจำนวนเชิงซ้อนยังสลับที่ ได้กับการดำเนินการของการคูณเทนเซอร์การยกกำลังภายนอกและการยกกำลังสมมาตรตัวอย่างเช่น ถ้าVและWเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริง จะมีไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ สังเกตว่าผลคูณเทนเซอร์ด้านซ้ายทำบนจำนวนจริง ในขณะที่ผลคูณเทนเซอร์ด้านขวาทำบนจำนวนเชิงซ้อน รูปแบบเดียวกันนี้เป็นจริงโดยทั่วไป ตัวอย่างเช่น เรามี ในทุกกรณี ไอโซมอร์ฟิซึมคือไอโซมอร์ฟิซึมที่ "ชัดเจน" $${\displaystyle (V\otimes _{\mathbb {R} }W)^{\mathbb {C} }\cong V^{\mathbb {C} }\otimes _{\mathbb {C} }W^{\mathbb {C} }\,.}$$$${\displaystyle (\Lambda _{\mathbb {R} }^{k}V)^{\mathbb {C} }\cong \Lambda _{\mathbb {C} }^{k}(V^{\mathbb {C} }).}$$

• การขยายสเกลาร์ – กระบวนการทั่วไป
• โครงสร้างเชิงซ้อนเชิงเส้น
• สูตรเบเกอร์-แคมป์เบลล์-เฮาส์ดอร์ฟ