ในทางคณิตศาสตร์โมดูล Verma ทั่วไปเป็นการวางนัยทั่วไปของโมดูล Verma ^{(จริง) [} 1 ^{] และ}เป็นวัตถุในทฤษฎีการแสดงแทนของพีชคณิต Lie James Lepowskyเป็นผู้ศึกษาโมดูลเหล่านี้เป็นครั้งแรกในช่วงทศวรรษ 1970 แรงจูงใจในการศึกษาคือโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลเหล่านี้สอดคล้องกับตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงบนแมนิโฟลด์ธงทั่วไปการศึกษาตัวดำเนินการเหล่านี้เป็นส่วนสำคัญของทฤษฎีเรขาคณิตพาราโบลิก

ให้เป็นพีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายและเป็นพีชคณิตย่อยแบบพาราโบลิกของสำหรับตัวแทนมิติจำกัดที่ไม่สามารถลดทอนได้ ใดๆ ของเรากำหนดโมดูลเวอร์มาแบบทั่วไปให้เป็นผลคูณเทนเซอร์สัมพัทธ์${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(V):={\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})\otimes _{{\mathfrak {U}}({\mathfrak {p}})}V}$.

การกระทำของคือการคูณทางซ้ายใน. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$

ถ้า λ คือค่าน้ำหนักสูงสุดของ V บางครั้งเราจะใช้สัญลักษณ์ แทนโมดูลเวอร์มา ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$

โปรดทราบว่าวิธีนี้ใช้ได้ผลเฉพาะกับน้ำหนักแบบ -dominant และ -integral เท่านั้น ( ดูที่ น้ำหนัก )${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \lambda }$

เป็นที่ทราบกันดีว่าพีชคณิตย่อยพาราโบลิก ของกำหนดระดับที่ไม่ซ้ำกันเพื่อให้. ให้. จากทฤษฎีบท Poincaré–Birkhoff–Witt จะได้ ว่า ในฐานะปริมาณเวกเตอร์ (และแม้กระทั่งในฐานะโมดูล - และโมดูล -) ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\oplus _{j=-k}^{k}{\mathfrak {g}}_{j}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\oplus _{j\geq 0}{\mathfrak {g}}_{j}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-}:=\oplus _{j<0}{\mathfrak {g}}_{j}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}__{-}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}__{0}}$

${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(V)\simeq {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}__{-})\otimes V}$.

ในข้อความต่อไปนี้ เราจะใช้สัญลักษณ์ GVM แทนโมดูลเวอร์มาแบบทั่วไป

GVM คือโมดูลที่มีน้ำหนักสูงสุดและน้ำหนักสูงสุด λ ของมันคือน้ำหนักสูงสุดของการแสดงผล V ถ้าเป็นเวกเตอร์ที่มีน้ำหนักสูงสุดใน V แล้วก็เป็นเวกเตอร์ที่มีน้ำหนักสูงสุดในด้วย ${\displaystyle v_{\lambda }}$${\displaystyle 1\otimes v_{\lambda }}$${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$

GVM คือโมดูลน้ำหนักกล่าวคือ เป็นผลรวมโดยตรงของปริภูมิน้ำหนักและปริภูมิน้ำหนักเหล่านี้มีมิติจำกัด

โมดูลที่มีน้ำหนักสูงสุดทั้งหมดGVM เป็นผลหารของโมดูลเวอร์มา เคอร์เนลของการฉายภาพ คือ ${\displaystyle M_{\lambda }\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$

${\displaystyle (1)\quad K_{\lambda }:=\sum _{\alpha \in S}M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }\subset M_{\lambda }}$

โดยที่เซตของรากง่าย α เหล่านั้น ซึ่งปริภูมิรากลบของรากอยู่ใน(เซต S กำหนดซับอัลเจบราอย่างไม่ซ้ำกัน) คือการสะท้อนรากเทียบกับราก α และ คือการกระทำเชิงเส้นของบน λ เป็นผลมาจากทฤษฎีของโมดูล Verma (ที่แท้จริง) ว่าเป็นไอโซมอร์ฟิกกับซับโมดูลที่ไม่ซ้ำกันของใน (1) เราได้ระบุ ผลรวมใน (1) ไม่ใช่ ผล รวม โดยตรง${\displaystyle S\subset \Delta }$${\displaystyle -\alpha }$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle s_{\alpha }\cdot \lambda }$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }}$${\displaystyle M_{\lambda }}$${\displaystyle M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }\subset M_{\lambda }}$

ในกรณีพิเศษเมื่อพีชคณิตย่อยพาราโบลิกคือพีชคณิตย่อยโบเรลและ GVM จะตรงกับโมดูลเวอร์มา (ที่แท้จริง) ในกรณีสุดขั้วอื่นเมื่อและGVM จะสมมาตรกับการแสดงแทนเหนี่ยวนำ V ${\displaystyle S=\emptyset }$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle S=\Delta }$${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {g}}}$

GVM เรียกว่าปกติ (regular)ถ้าค่าน้ำหนักสูงสุด λ ของมันอยู่บนวงโคจร Weyl แบบแอฟฟินของค่าน้ำหนักเด่นกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีองค์ประกอบ w ของกลุ่ม Weyl W อยู่จริง โดยที่ ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$

${\displaystyle \lambda =w\cdot {\ตัวหนอน {\lambda }}}$

การกระทำเชิงเส้นของกลุ่ม Weyl อยู่ที่ไหน${\displaystyle \cdot }$

โมดูลเวอร์มาเรียกว่า โมดูล เอกฐานหากไม่มีน้ำหนักเด่นบนวงโคจรเชิงเส้นของ λ ในกรณีนี้ จะมีน้ำหนักอยู่ค่าหนึ่งที่ทำให้อยู่บนผนังของห้องเวล์พื้นฐาน (δ คือผลรวมของน้ำหนักพื้นฐาน ทั้งหมด ) ${\displaystyle M_{\lambda }}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}+\delta }$

โดยคำว่า homomorphism ของ GVM นั้น เราหมายถึง-homomorphism ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

สำหรับน้ำหนักสองค่าใดๆโฮโมมอร์ฟิซึม${\displaystyle \lambda ,\mu }$

${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\rightarrow M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$

อาจมีอยู่ได้ก็ต่อเมื่อและเชื่อมโยงกันด้วยการกระทำเชิงเส้นของกลุ่ม Weylของพีชคณิต Lie เท่านั้น ซึ่งเป็นผลมาจากทฤษฎีบท Harish-Chandraเกี่ยวกับอักขระกลางอนันต์ขนาดเล็กได้อย่าง ง่ายดาย${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle W}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ต่างจากกรณีของโมดูลเวอร์มา (ที่แท้จริง) โฮโมมอร์ฟิซึมของ GVM โดยทั่วไปจะไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และมิติ

${\displaystyle dim(Hom(M_{\mathfrak {p}}(\mu ),M_{\mathfrak {p}}(\lambda )))}$

ในบางกรณีอาจมีขนาดใหญ่กว่าหนึ่งได้

ถ้าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลเวอร์มา (ที่แท้จริง) หรือเป็นเคอร์เนลของการฉายภาพหรือแล้วจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมและ f ที่สามารถแยกตัวประกอบเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลเวอร์มาทั่วไปได้โฮโมมอร์ฟิซึมดังกล่าว (ซึ่งเป็นตัวประกอบของโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลเวอร์มา) เรียกว่า โฮโมมอร์ฟิซึมมาตรฐานอย่างไรก็ตาม โฮโมมอร์ฟิซึมมาตรฐานอาจเป็นศูนย์ในบางกรณี ${\displaystyle f:M_{\mu }\to M_{\lambda }}$${\displaystyle K_{\mu }}$${\displaystyle K_{\lambda }}$${\displaystyle M_{\mu }\to M_{\mathfrak {p}}(\mu )}$${\displaystyle M_{\lambda }\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$${\displaystyle K_{\mu }\ถึง K_{\lambda }}$${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$

สมมติว่ามีโฮโมมอร์ฟิซึมที่ไม่ธรรมดาของโมดูลเวอร์มาจริงให้เป็นเซตของรากง่าย α เหล่านั้นที่ปริภูมิรากลบของรากอยู่ใน(เช่นเดียวกับในส่วนคุณสมบัติ ) ทฤษฎีบทต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์โดยเลโปว์สกี : ^{[ 2 ]}${\displaystyle M_{\mu }\to M_{\lambda }}$${\displaystyle S\subset \Delta }$${\displaystyle -\alpha }$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

โฮโมมอร์ฟิซึมมาตรฐานเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อมีอยู่ซึ่งสมสัณฐานกับสับโมดูลของ( คือการสะท้อนราก ที่สอดคล้องกัน และคือการกระทำเชิงเส้น ) ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$${\displaystyle \alpha \in S}$${\displaystyle M_{\mu }}$${\displaystyle M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }}$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle \cdot }$

โครงสร้างของ GVM บนวงโคจรเชิงเส้นของน้ำหนักที่เด่นและเป็นจำนวนเต็มสามารถอธิบายได้อย่างชัดเจน ถ้า W คือกลุ่ม Weylของจะมีเซตย่อยขององค์ประกอบดังกล่าวอยู่ ซึ่งทำให้เด่น สามารถแสดงได้ว่าโดยที่คือกลุ่ม Weyl ของ(โดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่ขึ้นอยู่กับการเลือก) แผนที่เป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างและเซตของ GVM ที่มีน้ำหนักสูงสุดบนวงโคจรเชิงเส้นของให้ สมมติว่าและอยู่ในลำดับ Bruhat (มิฉะนั้น จะไม่มีโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูล Verma (ที่แท้จริง) และโฮโมมอร์ฟิซึมมาตรฐานจะไม่มีความหมาย ดูโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูล Verma ) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle W^{\mathfrak {p}}\subset W}$${\displaystyle w\in W^{\mathfrak {p}}\Leftrightarrow w({\tilde {\lambda }})}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle W^{\mathfrak {p}}\simeq W_{\mathfrak {p}}\backslash W}$${\displaystyle W_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle W^{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle w\in W^{\mathfrak {p}}\mapsto M_{\mathfrak {p}}(w\cdot {\tilde {\lambda }})}$${\displaystyle W^{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle \mu =w'\cdot {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle w\leq w'}$${\displaystyle M_{\mu }\to M_{\lambda }}$

ข้อความต่อไปนี้เป็นผลมาจากทฤษฎีบทข้างต้นและโครงสร้างของ: ${\displaystyle W^{\mathfrak {p}}}$

ทฤษฎีบท.ถ้าสำหรับรากบวก บางตัว และความยาว (ดูการเรียงลำดับของ Bruhat ) l(w')=l(w)+1 แล้วจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมมาตรฐานที่ไม่เป็นศูนย์อยู่ ${\displaystyle w'=s_{\gamma }w}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$

ทฤษฎีบท โฮโม มอ ร์ฟิซึมมาตรฐานเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อมีอยู่จริงที่ทำให้และ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$${\displaystyle w''\in W}$${\displaystyle w\leq w''\leq w'}$${\displaystyle w''\notin W^{\mathfrak {p}}}$

อย่างไรก็ตาม หากเป็นเพียงค่าเด่นแต่ไม่ใช่ค่าสมบูรณ์ อาจยังมีน้ำหนัก ที่เป็นค่าเด่นและ ค่าสมบูรณ์อยู่บนวงโคจรเชิงเส้นของมันได้${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

สถานการณ์จะยิ่งซับซ้อนมากขึ้นหาก GVM มีลักษณะเฉพาะตัว กล่าวคือ อยู่ที่และอยู่บนวงโคจรเชิงเส้นของบางสิ่งเช่นนั้น ซึ่งอยู่บนผนังของ ห้อง Weyl พื้นฐาน${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}+\delta }$

โฮโมมอร์ฟิซึมที่ไม่เป็นมาตรฐานเรียกว่า โฮโมมอร์ฟิซึม ที่ไม่เป็นมาตรฐาน อาจเกิดขึ้นได้ว่า โฮโมมอร์ฟิซึมมาตรฐานของ GVM เป็นศูนย์ แต่ยังคงมีโฮโมมอร์ฟิซึมที่ไม่เป็นมาตรฐานอยู่ ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$

• ฟิลด์ของทฤษฎีฟิลด์คอนฟอร์มอลเป็นส่วนหนึ่งของโมดูลเวอร์มาทั่วไปของพีชคณิตคอนฟอร์มอล^{[ 3 ]}

• โมดูลเวอร์มา
• เรขาคณิตพาราโบลา

• โค้ดสำหรับสร้างการแก้ปัญหา BGG ของโมดูลพีชคณิตลี และคำนวณโคฮอโมโลยีของมัน