สมมาตรแบบคอนฟอร์มอลเป็นคุณสมบัติของปริภูมิเวลาที่ทำให้มุมต่างๆ ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงแม้ว่าระยะทางจะเปลี่ยนไปก็ตาม หากคุณยืด บีบ หรือบิดเบือนปริภูมิเวลา ความสัมพันธ์เชิงมุมเฉพาะที่ระหว่างเส้นหรือเส้นโค้งจะยังคงเหมือนเดิม แนวคิดนี้ขยายกลุ่มปวงกาเร ที่คุ้นเคย —ซึ่งอธิบายถึงการหมุน การเลื่อน และการเพิ่มความเร็ว—ไปสู่กลุ่มคอนฟอร์มอลที่ครอบคลุมมากขึ้น

สมมาตรแบบคอนฟอร์มอลครอบคลุมการแปลงคอนฟอร์มอลพิเศษและการขยายขนาดในสามมิติเชิงพื้นที่บวกหนึ่งมิติเชิงเวลา สมมาตรแบบคอนฟอร์มอลมี องศา อิสระ 15 องศาได้แก่ สิบองศาสำหรับกลุ่มปวงกาเร สี่องศาสำหรับการแปลงคอนฟอร์มอลพิเศษ และหนึ่งองศาสำหรับการขยายขนาด

แฮร์รี่ เบทแมนและอีเบเนเซอร์ คันนิงแฮมเป็นคนแรกที่ศึกษาสมมาตรคอนฟอร์มอลของสมการของแม็กซ์เวลล์พวกเขาเรียกการแสดงออกทั่วไปของสมมาตรคอนฟอร์มอลว่าการแปลงคลื่นทรง กลม ^{[ 1 ]}

พีชคณิตลีของกลุ่มคอนฟอร์มอลมีการแสดง แทนดังต่อไปนี้ : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&M_{\mu \nu }\equiv i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu })\,,\\&P_{\mu }\equiv -i\partial _{\mu }\,,\\&D\equiv -ix_{\mu }\partial ^{\mu }\,,\\&K_{\mu }\equiv i(x^{2}\partial _{\mu }-2x_{\mu }x_{\nu }\partial ^{\nu })\,,\end{aligned}}}$

ที่ไหน${\displaystyle M_{\mu \nu }}$ตัวสร้างลอเรน ซ์คืออะไร${\displaystyle P_{\mu }}$สร้างคำแปล${\displaystyle D}$สร้างการแปลงขนาด (หรือที่เรียกว่าการขยายหรือการขยายแบบต่างๆ) และ${\displaystyle K_{\mu }}$สร้าง การแปลงคอนฟอร์มอ ลพิเศษ

ความ สัมพันธ์ การสลับตำแหน่งมีดังนี้: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }\,,\\&[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }\,,\\&[K_{\mu },P_{\nu }]=2i(\eta _{\mu \nu }D-M_{\mu \nu })\,,\\&[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })\,,\\&[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\เอตา _{\โร \nu }P_{\mu })\,,\\&[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })\,,\end{ชิด}}}$

คอมมิวเทเตอร์ตัวอื่นหายไป ที่นี่${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$คือเทนเซอร์เมตริกมินคอฟสกี

นอกจากนี้${\displaystyle D}$เป็นปริมาณสเกลาร์และ${\displaystyle K_{\mu }}$เป็นเวกเตอร์โคแวเรียนต์ภายใต้การแปลงลอเรนซ์

การแปลงคอนฟอร์มอลพิเศษจะได้รับจาก^{[ 3 ]}

${\displaystyle x^{\mu }\to {\frac {x^{\mu }-a^{\mu }x^{2}}{1-2a\cdot x+a^{2}x^{2}}}}$

ที่ไหน${\displaystyle a^{\mu }}$เป็นพารามิเตอร์ที่อธิบายการแปลง การแปลงคอนฟอร์มอลแบบพิเศษนี้สามารถเขียนได้อีกแบบว่า${\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }}$, ที่ไหน

${\displaystyle {\frac {{x}'^{\mu }}{{x'}^{2}}}={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}-a^{\mu },}$

ซึ่งแสดงให้เห็นว่ามันประกอบด้วยการผกผัน ตามด้วยการเลื่อน ตามด้วยการผกผันครั้งที่สอง

ใน ปริภูมิเวลาสองมิติการแปลงของกลุ่มคอนฟอร์มอลคือการแปลงคอนฟอร์มอล ซึ่ง มีจำนวนอนันต์

ในมิติที่มากกว่าสองมิติ การแปลงคอนฟอร์มอลแบบ ยุคลิดจะแมปวงกลมไปยังวงกลม และไฮเปอร์สเฟียร์ไปยังไฮเปอร์สเฟียร์ โดยถือว่าเส้นตรงเป็นวงกลมเสื่อมสภาพ และระนาบไฮเปอร์เป็นไฮเปอร์เซอร์เคิลเสื่อมสภาพ

ใน มิติที่มากกว่าสอง มิติแบบลอเรน ซ์ การแปลงแบบคอนฟอร์มอลจะแมปรังสีศูนย์ไปยังรังสีศูนย์ และกรวยแสงไปยังกรวยแสง โดยที่ระนาบ ศูนย์ เป็นกรวยแสงที่เสื่อมสภาพ

นักฟิสิกส์ค้นพบว่าแบบจำลองโครงตาข่ายจำนวนมากกลายเป็นแบบไม่เปลี่ยนแปลงเชิงคอนฟอร์มัลในขีดจำกัดวิกฤต อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ของผลลัพธ์เหล่านี้เพิ่งปรากฏขึ้นในภายหลัง และใช้ได้เฉพาะในบางกรณีเท่านั้น

ในปี 2010 นักคณิตศาสตร์Stanislav Smirnovได้รับรางวัลFields Medal "สำหรับการพิสูจน์ความไม่แปรผันเชิงคอนฟอร์มอลของการแพร่กระจายและแบบจำลอง Ising ระนาบ ในฟิสิกส์เชิงสถิติ" ^{[ 6 ]}

ในปี 2020 นักคณิตศาสตร์Hugo Duminil-Copinและผู้ร่วมงานของเขาได้พิสูจน์ว่าความไม่แปรเปลี่ยนของการหมุนมีอยู่จริงที่ขอบเขตระหว่างเฟสในระบบทางกายภาพหลายระบบ^{[ 7 ] [ 8 ]}

• ทฤษฎีบทโคลแมน-แมนดูลา
• ทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอล
• กลุ่มคอนฟอร์มอล
• สมการการสังหารตามรูปร่าง
• แผนที่คอนฟอร์มอล
• กลุ่มการปรับมาตรฐาน
• ความไม่แปรผันตามมาตราส่วน
• พีชคณิตซูเปอร์คอนฟอร์มอล

• ดิ ฟรานเชสโก้, ฟิลิปเป้; มาติเยอ, ปิแอร์; เซเนชาล, เดวิด (1997) ทฤษฎีสนามคอนฟอร์มัล สื่อวิทยาศาสตร์และธุรกิจสปริงเกอร์ไอเอสบีเอ็น 978-0-387-94785-3.