ในทางวิทยาศาสตร์ฟิลด์หรือปริมาณฟิลด์[ ^{1 ] คือ}ปริมาณทางกายภาพ – ซึ่งแสดงโดยสเกลาร์เวกเตอร์สปินเนอร์หรือเทนเซอร์ – ที่มีค่าสำหรับแต่ละจุดในอวกาศและเวลา [ ^{2 ] [ 3 ] [ 4 ] ตัวอย่าง}ของฟิลด์สเกลาร์คือแผนที่สภาพอากาศของอุณหภูมิ พื้นผิว ซึ่งอธิบายโดยการกำหนดตัวเลขให้กับแต่ละจุดบนแผนที่ แผนที่ลมพื้นผิว [ ^{5 ]}ซึ่งกำหนดลูกศรให้กับแต่ละจุดบนแผนที่ที่อธิบายความเร็วและทิศทาง ลม ณ จุดนั้น เป็นตัวอย่างของฟิลด์เวกเตอร์เทนเซอร์ความเครียด^ซึ่งแสดงถึงการเสียรูปของสสารที่เกิดจากความเครียด เป็นตัวอย่างของฟิลด์เทนเซอร์ ทฤษฎีฟิลด์ ซึ่งเป็นคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของการเปลี่ยนแปลงค่าฟิลด์ในอวกาศ และ เวลา เป็นสิ่งที่พบเห็นได้ทั่วไปในฟิสิกส์ ตัวอย่างเช่นสนามไฟฟ้าเป็นสนามเวกเตอร์อีกสนามหนึ่ง ในขณะที่อิเล็กโทรไดนามิกส์สามารถกำหนดได้ในรูปของสนามเวกเตอร์สองสนามที่มีปฏิสัมพันธ์กันณ แต่ละจุดในปริภูมิเวลา หรือในรูปของสนามเทนเซอร์อันดับ 2 เดียว^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

ในกรอบสมัยใหม่ของทฤษฎีสนามควอนตัมแม้จะไม่ได้อ้างอิงถึงอนุภาคทดสอบ สนามก็ครอบครองพื้นที่ มีพลังงาน และการมีอยู่ของมันขัดขวาง "สุญญากาศที่แท้จริง" แบบคลาสสิก^{[ 9 ]}สิ่งนี้ทำให้เหล่านักฟิสิกส์พิจารณาว่าสนามแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นสิ่งที่มีอยู่จริง ทำให้แนวคิดเรื่องสนามเป็นกระบวนทัศน์ สนับสนุน โครงสร้างของฟิสิกส์สมัยใหม่ริชาร์ด ไฟน์แมนกล่าวว่า "ข้อเท็จจริงที่ว่าสนามแม่เหล็กไฟฟ้าสามารถมีโมเมนตัมและพลังงานได้ทำให้มันมีอยู่จริง และ [...] อนุภาคสร้างสนาม และสนามกระทำต่ออนุภาคอื่น และสนามมีคุณสมบัติที่คุ้นเคย เช่น ปริมาณพลังงานและโมเมนตัม เช่นเดียวกับที่อนุภาคสามารถมีได้" ^{[ 10 ]}ในทางปฏิบัติ ความแรงของสนามส่วนใหญ่จะลดลงตามระยะทาง จนในที่สุดก็ตรวจจับไม่ได้ ตัวอย่างเช่น ความแรงของสนามคลาสสิกที่เกี่ยวข้องหลายอย่าง เช่น สนามโน้มถ่วงในทฤษฎีแรงโน้มถ่วงของนิวตันหรือสนามไฟฟ้าสถิตในแม่เหล็กไฟฟ้าแบบคลาสสิก จะแปรผกผันกับกำลังสองของระยะทางจากแหล่งกำเนิด (กล่าวคือ เป็นไปตามกฎของเกาส์ )

ฟิลด์มี ลักษณะ อันดับเทนเซอร์ ที่สอดคล้องกัน ไม่ว่าจะกำหนดไว้ที่ใด กล่าวคือ ฟิลด์ไม่สามารถเป็นฟิลด์สเกลาร์ที่ใดที่หนึ่งและเป็นฟิลด์เวกเตอร์ที่อื่นได้ ตัวอย่างเช่นฟิลด์แรงโน้มถ่วงของนิวตัน เป็นฟิลด์เวกเตอร์ การระบุค่าของมัน ณ จุดหนึ่งในปริภูมิเวลาต้องใช้ตัวเลขสามตัว ซึ่งเป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์ฟิลด์แรงโน้มถ่วง ณ จุดนั้น ยิ่งไปกว่านั้น ภายในแต่ละประเภท (สเกลาร์ เวกเตอร์ เทนเซอร์) ฟิลด์สามารถเป็นได้ทั้งฟิลด์คลาสสิกหรือฟิลด์ควอนตัมขึ้นอยู่กับว่ามันถูกกำหนดลักษณะโดยตัวเลขหรือตัวดำเนินการควอนตัมตามลำดับ ในทฤษฎีนี้ การแสดงแทนฟิลด์ที่เทียบเท่ากันคืออนุภาคฟิลด์เช่นโบซอน^{[ 11 ]}

สำหรับไอแซค นิวตันกฎแรงโน้มถ่วงสากลของเขาเป็นเพียงการแสดงแรง โน้มถ่วง ที่กระทำระหว่างวัตถุมวลมากสองชิ้นใดๆ เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุจำนวนมากที่โต้ตอบกัน เช่น ดาวเคราะห์ในระบบสุริยะการจัดการกับแรงระหว่างวัตถุแต่ละคู่แยกกันจะกลายเป็นเรื่องยุ่งยากในการคำนวณอย่างรวดเร็ว ในศตวรรษที่สิบแปด มีการคิดค้นปริมาณใหม่ขึ้นมาเพื่อทำให้การคำนวณแรงโน้มถ่วงทั้งหมดเหล่านี้ง่ายขึ้น ปริมาณนี้คือสนามโน้มถ่วงซึ่งให้ค่าความเร่งโน้มถ่วงรวมที่วัตถุขนาดเล็กจะรู้สึกได้ ณ จุดใดจุดหนึ่งในอวกาศ สิ่งนี้ไม่ได้เปลี่ยนแปลงฟิสิกส์แต่อย่างใด ไม่สำคัญว่าแรงโน้มถ่วงทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุจะถูกคำนวณแยกกันแล้วนำมารวมกัน หรือว่าแรงทั้งหมดจะถูกนำมารวมกันเป็นสนามโน้มถ่วงก่อนแล้วจึงนำไปใช้กับวัตถุ^{[ 12 ]}แนวคิดของเขาในOpticksที่ว่าการสะท้อนและการหักเหของแสงเกิดขึ้นจากปฏิสัมพันธ์ทั่วทั้งพื้นผิว อาจกล่าวได้ว่าเป็นจุดเริ่มต้นของทฤษฎีสนามของแรงไฟฟ้า^{[ 13 ]}

การพัฒนาแนวคิดอิสระของสนามเริ่มต้นขึ้นอย่างแท้จริงในศตวรรษที่สิบเก้าด้วยการพัฒนาทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าในช่วงแรกAndré-Marie AmpèreและCharles-Augustin de Coulombสามารถจัดการได้ด้วยกฎแบบนิวตันที่แสดงถึงแรงระหว่างคู่ประจุไฟฟ้าหรือกระแสไฟฟ้า อย่างไรก็ตาม การใช้แนวทางสนามและแสดงกฎเหล่านี้ในแง่ของ สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กกลายเป็นธรรมชาติมากกว่าในปี 1845 Michael Faradayเป็นคนแรกที่บัญญัติศัพท์คำว่า "สนามแม่เหล็ก" ^{[ 14 ]}และ Lord Kelvin ได้ให้คำจำกัดความอย่างเป็นทางการสำหรับสนามในปี 1851 ^{[ 15 ]}

ลักษณะที่เป็นอิสระของสนามนั้นชัดเจนยิ่งขึ้นเมื่อเจมส์ คลาร์ก แม็กซ์เวลล์ค้นพบว่าคลื่นในสนามเหล่านี้เรียกว่าคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าแพร่กระจายด้วยความเร็วที่จำกัด ดังนั้นแรงที่กระทำต่อประจุและกระแสจึงไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งและความเร็วของประจุและกระแสอื่นๆ ในเวลาเดียวกันเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับตำแหน่งและความเร็วของพวกมันในอดีตด้วย^{[ 12 ]}

ในตอนแรก แม็กซ์เวลล์ไม่ได้ยอมรับแนวคิดสมัยใหม่ของสนามในฐานะปริมาณพื้นฐานที่สามารถดำรงอยู่ได้อย่างอิสระ แต่เขากลับสันนิษฐานว่าสนามแม่เหล็กไฟฟ้าแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงรูปร่างของตัวกลางพื้นฐานบางอย่าง— อีเธอร์เรืองแสง —คล้ายกับแรงตึงในเยื่อยาง หากเป็นเช่นนั้น ความเร็วของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่สังเกตได้ควรขึ้นอยู่กับความเร็วของผู้สังเกตเมื่อเทียบกับอีเธอร์ แม้จะพยายามอย่างมาก แต่ก็ไม่พบหลักฐานเชิงทดลองใดๆ เกี่ยวกับผลกระทบดังกล่าว สถานการณ์นี้ได้รับการแก้ไขโดยการนำเสนอทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษโดยอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ในปี 1905 ทฤษฎีนี้เปลี่ยนวิธีที่มุมมองของผู้สังเกตที่เคลื่อนที่สัมพันธ์กัน พวกเขามีความสัมพันธ์กันในลักษณะที่ความเร็วของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในทฤษฎีของแม็กซ์เวลล์จะเท่ากันสำหรับผู้สังเกตทุกคน การพัฒนาครั้งนี้ทำให้ไม่จำเป็นต้องมีตัวกลางพื้นหลังอีกต่อไป และเปิดทางให้นักฟิสิกส์เริ่มคิดเกี่ยวกับสนามในฐานะสิ่งที่เป็นอิสระอย่างแท้จริง^{[ 12 ]}

ในช่วงปลายทศวรรษ 1920 กฎใหม่ของกลศาสตร์ควอนตัมถูกนำไปใช้กับสนามแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นครั้งแรก ในปี 1927 พอล ดิแรกใช้สนามควอนตัมเพื่ออธิบายได้อย่างประสบความสำเร็จว่าการสลายตัวของอะตอม ไปสู่ สถานะควอนตัมที่ต่ำกว่านำไปสู่ การปล่อย โฟตอนออกมาเองซึ่งเป็นควอนตัมของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ไม่นานหลังจากนั้นก็มีการตระหนักรู้ (ตามผลงานของปาสกัวล จอร์แดน ยู จีนวิกเนอร์ เวอร์เนอ ร์ไฮเซนเบิร์กและโวล์ฟกัง พอลี ) ว่าอนุภาคทั้งหมด รวมถึงอิเล็กตรอนและโปรตอนสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นควอนตัมของสนามควอนตัมบางสนาม ยกระดับสนามให้มีสถานะเป็นวัตถุพื้นฐานที่สุดในธรรมชาติ^{[ 12 ]}อย่างไรก็ตามจอห์น วีลเลอร์และริชาร์ด ไฟน์แมนพิจารณาอย่างจริงจังถึงแนวคิดก่อนสนามของนิวตันเรื่องการกระทำจากระยะไกล (แม้ว่าพวกเขาจะละทิ้งมันไปเนื่องจากประโยชน์อย่างต่อเนื่องของแนวคิดสนามสำหรับการวิจัยในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ )

มีตัวอย่างของสนามคลาสสิก อยู่หลายประการ ทฤษฎีสนามคลาสสิกยังคงมีประโยชน์ในทุกที่ที่ไม่มีคุณสมบัติควอนตัม และสามารถเป็นหัวข้อการวิจัยที่น่าสนใจได้ความยืดหยุ่นของวัสดุพลศาสตร์ของไหลและสมการของแม็กซ์เวลล์เป็นตัวอย่างที่ชัดเจน

สนามทางกายภาพที่ง่ายที่สุดบางส่วนคือสนามแรงเวกเตอร์ ในอดีต การที่สนามได้รับการพิจารณาอย่างจริงจังเป็นครั้งแรกเกิดขึ้นจากการใช้เส้นแรงของฟาราเดย์ ในการอธิบายสนามไฟฟ้า จากนั้น สนามโน้มถ่วงก็ได้รับการอธิบายในทำนองเดียวกัน

แรงโน้มถ่วงแบบนิวตัน

ทฤษฎีสนามแบบคลาสสิกที่อธิบายแรงโน้มถ่วงคือแรงโน้มถ่วงแบบนิวตันซึ่งอธิบายแรงโน้มถ่วงว่าเป็นปฏิสัมพันธ์ระหว่างมวล สอง ก้อน

วัตถุใดๆ ที่มีมวลMจะเกี่ยวข้องกับสนามโน้มถ่วงgซึ่งอธิบายถึงอิทธิพลของวัตถุนั้นต่อวัตถุอื่นๆ ที่มีมวล สนามโน้มถ่วงของMที่จุดrในอวกาศจะสอดคล้องกับอัตราส่วนระหว่างแรงFที่M กระทำต่อ มวลทดสอบขนาด เล็กหรือเล็กน้อยmที่ตำแหน่งrและมวลทดสอบนั้นเอง: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}.}$

การกำหนดให้mมีค่าน้อยกว่าM มาก จะทำให้การมีอยู่ของmมีผลกระทบต่อพฤติกรรมของM น้อยมากจน แทบ ไม่มีนัยสำคัญ

ตาม กฎแรง โน้มถ่วงสากลของนิวตัน F ( r ) กำหนดโดย^{[ 16 ]}

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$

ที่ไหน${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$เป็นเวกเตอร์หน่วยที่วางตัวตามแนวเส้นที่เชื่อมMและmและชี้จากMไปยังmดังนั้นสนามโน้มถ่วงของMคือ^{[ 16 ]}

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$

การสังเกตเชิงทดลองที่แสดงให้เห็นว่ามวลเฉื่อยและมวลโน้มถ่วงเท่ากันด้วยความแม่นยำในระดับที่ไม่เคยมีมาก่อนนำไปสู่ข้อสรุปที่ว่าความเข้มของสนามโน้มถ่วงเท่ากับความเร่งที่อนุภาคได้รับ นี่คือจุดเริ่มต้นของหลักการสมดุลซึ่งนำไปสู่ ทฤษฎีสัมพัทธ ภาพทั่วไป

เนื่องจากแรงโน้มถ่วงFเป็นแรงอนุรักษ์ดังนั้นสนามโน้มถ่วงgจึงสามารถเขียนใหม่ได้ในรูปของเกรเดียนต์ของฟังก์ชันสเกลาร์ ซึ่งก็คือศักย์โน้มถ่วง Φ( r ) ดังนี้:

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla \Phi (\mathbf {r} )}$

แม่เหล็กไฟฟ้า

ไมเคิล ฟาราเดย์ตระหนักถึงความสำคัญของสนามในฐานะปริมาณทางกายภาพเป็นครั้งแรกในระหว่างการวิจัยเรื่องแม่เหล็กเขาพบว่า สนาม ไฟฟ้าและ สนาม แม่เหล็กไม่เพียงแต่เป็นสนามของแรงที่กำหนดการเคลื่อนที่ของอนุภาคเท่านั้น แต่ยังมีความเป็นจริงทางกายภาพที่เป็นอิสระเพราะมันนำพาพลังงานด้วย

แนวคิดเหล่านี้ในที่สุดก็นำไปสู่การสร้างทฤษฎีสนามรวมเป็นครั้งแรกในฟิสิกส์โดยเจมส์ คลาร์ก แม็กซ์เวลล์พร้อมกับการนำเสนอสมการสำหรับสนามแม่เหล็กไฟฟ้าสมการเหล่านี้ในรูปแบบที่ทันสมัยเรียกว่าสมการของแม็กซ์เวลล์

ไฟฟ้าสถิต

อนุภาคทดสอบที่มีประจุqจะได้รับแรงFซึ่งขึ้นอยู่กับประจุของมันเพียงอย่างเดียว เราสามารถอธิบายสนามไฟฟ้าE ได้ในทำนองเดียวกัน โดยที่F = q Eโดยใช้สิ่งนี้และกฎของคูลอมบ์เราจะทราบว่าสนามไฟฟ้าเนื่องจากอนุภาคที่มีประจุเพียงอนุภาคเดียวคือ

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$

สนามไฟฟ้าเป็นสนามอนุรักษ์ดังนั้นจึงสามารถอธิบายได้ด้วยศักย์สเกลาร์V ( r ):

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} )}$

แม่เหล็กสถิต

กระแสไฟฟ้าคงที่Iที่ไหลไปตามเส้นทางℓจะสร้างสนาม B ซึ่งออกแรงกระทำต่ออนุภาคประจุที่เคลื่อนที่อยู่ใกล้เคียง โดยแรงกระทำนี้จะมีปริมาณแตกต่างจากแรงสนามไฟฟ้าที่อธิบายไว้ข้างต้น แรงที่I กระทำ ต่อประจุq ที่อยู่ใกล้เคียง ซึ่งมีความเร็วvคือ

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ),}$

โดยที่B ( r ) คือสนามแม่เหล็กซึ่งกำหนดจากIโดยใช้กฎของ Biot–Savart :

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {Id{\boldสัญลักษณ์ {\ell }}\times {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}.}$

โดยทั่วไปแล้วสนามแม่เหล็กจะไม่เป็นสนามอนุรักษ์ ดังนั้นจึงไม่สามารถเขียนในรูปของศักย์สเกลาร์ได้ อย่างไรก็ตาม สามารถเขียนในรูปของศักย์เวกเตอร์A ( r ) ได้ดังนี้

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$

ไฟฟ้ากระแส

โดยทั่วไป ในกรณีที่มีทั้งความหนาแน่นประจุ ρ( r , t ) และความหนาแน่นกระแสJ ( r , t ) จะมีทั้งสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก และทั้งสองจะเปลี่ยนแปลงตามเวลา โดยกำหนดโดยสมการของแม็กซ์เวลล์ ซึ่ง ^เป็นชุดสมการเชิงอนุพันธ์ที่เชื่อมโยงEและBกับ ρ และJ โดยตรง ^{[ 19} ]

อีกทางเลือกหนึ่ง เราสามารถอธิบายระบบในแง่ของศักยภาพสเกลาร์และเวกเตอร์VและAชุดสมการอินทิกรัลที่เรียกว่าศักยภาพหน่วงช่วยให้สามารถคำนวณVและAจาก ρ และJได้^{[หมายเหตุ 1 ]}และจากนั้นสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กจะถูกกำหนดผ่านความสัมพันธ์^{[ 20 ]}

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldสัญลักษณ์ {\nabla }}V-{\frac {\บางส่วน \mathbf {A} }{\บางส่วน t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} .}$

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 สนามแม่เหล็กไฟฟ้าถูกเข้าใจว่าเป็นกลุ่มของสนามเวกเตอร์สองสนามในอวกาศ ปัจจุบันนี้ เราเข้าใจว่ามันคือสนามเทนเซอร์อันดับสองแบบไม่สมมาตรเพียงสนามเดียวในปริภูมิเวลา

แรงโน้มถ่วงในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

ทฤษฎีแรงโน้มถ่วงของไอน์สไตน์ หรือที่เรียกว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีสนาม โดยสนามหลักในที่นี้คือเมตริกเทนเซอร์ซึ่งเป็นสนามเทนเซอร์สมมาตรอันดับสองในปริภูมิเวลา ทฤษฎีนี้เข้ามาแทนที่กฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตัน

ปัจจุบันเชื่อกันว่ากลศาสตร์ควอนตัมควรเป็นพื้นฐานของปรากฏการณ์ทางกายภาพทั้งหมด ดังนั้นทฤษฎีสนามแบบคลาสสิกจึงควรอนุญาตให้มีการปรับเปลี่ยนในแง่ของกลศาสตร์ควอนตัมได้ อย่างน้อยก็ในทางทฤษฎี ความสำเร็จจะนำไปสู่ทฤษฎีสนามควอนตัม ที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่นการทำให้อิ เล็ก โทรไดนามิกส์แบบคลาสสิก เป็นควอนตัม จะให้ อิเล็กโทรไดนามิกส์ ควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ควอนตัมเป็นทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ที่ประสบความสำเร็จมากที่สุดข้อมูลการทดลอง ยืนยันการทำนายของทฤษฎีนี้ด้วยความแม่นยำ ที่สูงกว่า (ด้วยตัวเลขที่มีนัยสำคัญ มากกว่า ) เมื่อเทียบกับทฤษฎีอื่นๆ^{[ 23 ]} ทฤษฎีสนามควอนตัมพื้นฐานอีกสองทฤษฎีคือควอนตัมโครโมไดนามิกส์และทฤษฎีอิเล็กโทรวีค

ในควอนตัมโครโมไดนามิกส์ เส้นสนามสีจะเชื่อมต่อกันในระยะทางสั้นๆ โดยกลูออนซึ่งถูกโพลาไรซ์โดยสนามและเรียงตัวไปตามสนาม ผลกระทบนี้จะเพิ่มขึ้นในระยะทางสั้นๆ (ประมาณ 1 fmจากบริเวณใกล้เคียงควาร์ก) ทำให้แรงสีเพิ่มขึ้นในระยะทางสั้นๆกักขังควาร์กไว้ภายในแฮดรอนเนื่องจากเส้นสนามถูกดึงเข้าหากันอย่างแน่นหนาโดยกลูออน จึงไม่ "โค้ง" ออกไปด้านนอกมากเท่ากับสนามไฟฟ้าระหว่างประจุไฟฟ้า^{[ 24 ]}

ทฤษฎีสนามควอนตัมทั้งสามนี้สามารถอนุมานได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของแบบจำลองมาตรฐานของฟิสิกส์อนุภาค ทฤษฎีสั ม พัทธภาพ ทั่วไปซึ่งเป็นทฤษฎีสนามแรงโน้มถ่วงของไอน์สไตน์ ยังไม่สามารถหาค่าควอนตัมได้สำเร็จ อย่างไรก็ตามทฤษฎีสนามความร้อน ซึ่งเป็นส่วนขยาย ของทฤษฎีนี้ เกี่ยวข้องกับทฤษฎีสนามควอนตัมที่อุณหภูมิจำกัดซึ่งเป็นสิ่งที่แทบจะไม่ได้รับการพิจารณาในทฤษฎีสนามควอนตัมเลย

ในทฤษฎี BRSTเราจะศึกษาฟิลด์คี่ เช่นโกสต์ของ Faddeev–Popovมีการอธิบายฟิลด์คลาสสิกคี่หลายแบบ ทั้งบนแมนิโฟลด์แบบแบ่งระดับและซูเปอร์แมนิโฟลด์

เช่นเดียวกับที่กล่าวมาข้างต้นเกี่ยวกับสนามคลาสสิก เราสามารถเข้าถึงสนามควอนตัมที่เทียบเคียงได้จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ โดยใช้เทคนิคที่คล้ายคลึงกัน สมการที่ควบคุมสนามควอนตัมนั้นแท้จริงแล้วคือสมการอนุพันธ์ย่อย (โดยเฉพาะสมการคลื่นสัมพัทธภาพ (RWE)) ดังนั้นเราจึงสามารถกล่าวได้ว่า สนาม Yang–Mills , Dirac , Klein–GordonและSchrödingerเป็นคำตอบของสมการเหล่านั้น ปัญหาที่อาจเกิดขึ้นคือ RWE เหล่านี้อาจเกี่ยวข้องกับวัตถุทางคณิตศาสตร์ ที่ซับซ้อน ซึ่งมีคุณสมบัติทางพีชคณิตที่แปลกใหม่ (เช่นสปินเนอร์ไม่ใช่เทนเซอร์ดังนั้นอาจต้องใช้แคลคูลัสสำหรับสนามสปินเนอร์ ) แต่ในทางทฤษฎีแล้ว สิ่งเหล่านี้ ยังคงสามารถนำไปใช้กับวิธีการวิเคราะห์ได้หากมีการวางนัยทั่วไปทางคณิตศาสตร์ ที่เหมาะสม

ทฤษฎีสนามโดยทั่วไปหมายถึงการสร้างพลวัตของสนาม กล่าวคือ การระบุว่าสนามเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป หรือเมื่อเทียบกับตัวแปรทางกายภาพอิสระอื่นๆ ที่สนามขึ้นอยู่ โดยปกติแล้วจะทำได้โดยการเขียนลากรางจ์หรือแฮมิลโทเนียนของสนาม และถือว่ามันเป็น ระบบ กลศาสตร์คลาสสิกหรือ ควอนตัม ที่มีจำนวนองศาอิสระ อนันต์ ทฤษฎีสนามที่ได้จึงเรียกว่าทฤษฎีสนามคลาสสิกหรือทฤษฎีสนามควอนตัม

พลวัตของสนามแบบคลาสสิกมักจะระบุโดยความหนาแน่นของลากรางจ์ในรูปของส่วนประกอบของสนาม พลวัตดังกล่าวสามารถหาได้โดยใช้ หลักการของ การกระทำ

เป็นไปได้ที่จะสร้างสนามอย่างง่ายโดยไม่ต้องมีความรู้ทางฟิสิกส์มาก่อน โดยใช้เพียงคณิตศาสตร์จากแคลคูลัสหลายตัวแปรทฤษฎีศักย์และสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDEs) ตัวอย่างเช่น สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบสเกลาร์อาจพิจารณาปริมาณต่างๆ เช่น แอมพลิจูด ความหนาแน่น และสนามความดันสำหรับสมการคลื่นและพลศาสตร์ของไหลสนามอุณหภูมิ/ความเข้มข้นสำหรับสมการความร้อน / การแพร่กระจาย นอกเหนือจากฟิสิกส์โดยตรง (เช่น การวัดรังสีและกราฟิกคอมพิวเตอร์) ยังมีสนามแสง อีกด้วย ตัวอย่างทั้งหมดที่กล่าวมาข้างต้นเป็นสนามสเกลาร์ ในทำนองเดียวกันสำหรับเวกเตอร์ มีสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบเวกเตอร์สำหรับสนามการกระจัด ความเร็ว และการหมุนวนในพลศาสตร์ของไหล (ทางคณิตศาสตร์ประยุกต์) แต่ในที่นี้อาจจำเป็นต้องใช้แคลคูลัสเวกเตอร์เพิ่มเติม เนื่องจากเป็นแคลคูลัสสำหรับสนามเวกเตอร์ (เช่นเดียวกับปริมาณทั้งสามนี้ และปริมาณสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบเวกเตอร์โดยทั่วไป) โดยทั่วไปแล้ว ปัญหาในกลศาสตร์ต่อเนื่องอาจเกี่ยวข้องกับตัวอย่างเช่นความยืดหยุ่น เชิงทิศทาง (ซึ่งเป็นที่มาของคำว่าเทนเซอร์ที่มาจาก คำภาษา ละตินที่แปลว่าการยืด) การไหล ของของเหลวที่ซับซ้อนหรือการแพร่แบบไม่สมมาตรซึ่งถูกกำหนดให้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบเมทริกซ์-เทนเซอร์ และต้องใช้เมทริกซ์หรือฟิลด์เทนเซอร์ ดังนั้นจึงต้องใช้แคลคูลัสเมทริกซ์หรือแคลคูลัสเทนเซอร์ สเกลาร์ (และด้วยเหตุนี้ เวกเตอร์ เมทริกซ์ และเทนเซอร์) สามารถเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนได้ เนื่องจากทั้งสองเป็นฟิลด์ ใน ความหมายเชิงนามธรรม-พีชคณิต/ ทฤษฎีวงแหวน

โดยทั่วไปแล้ว สนามคลาสสิกจะถูกอธิบายโดยส่วนของมัดไฟเบอร์และพลวัตของพวกมันจะถูกกำหนดในแง่ของแมนิโฟลด์เจ็ท ( ทฤษฎีสนามคลาสสิกแบบโคแวเรียนต์ ) ^{[ 25 ]}

ในฟิสิกส์สมัยใหม่สาขาที่ได้รับการศึกษาบ่อยที่สุดคือสาขาที่สร้างแบบจำลองของแรงพื้นฐาน ทั้งสี่ ซึ่งในอนาคตอาจนำไปสู่ทฤษฎีสนามรวมได้

• "Fields". หลักการของวิทยาศาสตร์กายภาพ . เล่มที่ 25 (  ฉบับที่ 15). 1994. หน้า 815 –ผ่านทางEncyclopædia Britannica (Macropaedia).
• Landau, Lev D.และLifshitz, Evgeny M. (1971). ทฤษฎีสนามแบบคลาสสิก (ฉบับที่ 3). ลอนดอน: Pergamon. ISBN 0-08-016019-0. เล่ม 2 ของหลักสูตรฟิสิกส์ทฤษฎี .
• เจปเซน, แคธรีน (18 กรกฎาคม 2013). "พูดกันตรงๆ: ทุกอย่างล้วนประกอบด้วยสนาม" (PDF) . นิตยสาร Symmetry . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อวันที่ 4 มีนาคม 2016. สืบค้นเมื่อ9 มิถุนายน 2015 .

• ทฤษฎีสนามอนุภาคและพอลิเมอร์