เทนเซอร์ความยืดหยุ่น เป็น เทนเซอร์อันดับสี่ที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและความเครียดในวัสดุยืดหยุ่นเชิงเส้น^{[ 1 ] [ 2 ]}ชื่ออื่น ๆ ได้แก่เทนเซอร์โมดูลัสความยืดหยุ่นและเทนเซอร์ความแข็งเกร็งสัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไปได้แก่ และ${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$

สมการนิยามสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle T^{ij}=C^{ijkl}E_{kl}}$

โดยที่และคือส่วนประกอบของเทนเซอร์ความเค้นของ Cauchyและเทนเซอร์ความเครียดอนันต์และคือส่วนประกอบของเทนเซอร์ความยืดหยุ่น การรวมผลเหนือดัชนีที่ซ้ำกันนั้นเป็นสิ่งที่เข้าใจได้^{[หมายเหตุ 1 ]}ความสัมพันธ์นี้สามารถตีความได้ว่าเป็นการขยายกฎของ Hookeไปสู่ตัวกลาง 3 มิติ ${\displaystyle T^{ij}}$${\displaystyle E_{kl}}$${\displaystyle C^{ijkl}}$

เทนเซอร์อันดับสี่ทั่วไปใน 3 มิติมีส่วนประกอบอิสระ 3 ⁴ = 81 ส่วน แต่เทนเซอร์ความยืดหยุ่นมีส่วนประกอบอิสระอย่างมากที่สุด 21 ส่วน^{[ 3 ]}ข้อเท็จจริงนี้เป็นผลมาจากสมมาตรของเทนเซอร์ความเค้นและความเครียด ร่วมกับข้อกำหนดที่ว่าความเค้นเกิดจาก ศักยภาพ พลังงานยืดหยุ่นสำหรับ วัสดุ ไอโซโทรปิกเทนเซอร์ความยืดหยุ่นมีส่วนประกอบอิสระเพียงสองส่วน ซึ่งสามารถเลือกให้เป็นโมดูลัสปริมาตรและโมดูลัสเฉือนได้^{[ 3 ]}${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle F_{ijkl}}$

ความสัมพันธ์เชิงเส้นทั่วไปที่สุดระหว่างเทนเซอร์อันดับสองสองตัวคือ ${\displaystyle \mathbf {T} ,\mathbf {E} }$

${\displaystyle T^{ij}=C^{ijkl}E_{kl}}$

ส่วนประกอบของเท นเซอร์อันดับสี่อยู่ที่ไหน^{[ 1 ] [หมายเหตุ 1 ]}เทนเซอร์ความยืดหยุ่นถูกกำหนดไว้สำหรับกรณีที่และเป็นเทนเซอร์ความเค้นและความเครียดตามลำดับ ${\displaystyle C^{ijkl}}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \mathbf {E} }$

เทนเซอร์ความสอดคล้อง ถูกกำหนดจากความสัมพันธ์ผกผันระหว่างความเค้นและความเครียด: ${\displaystyle \mathbf {K} }$

${\displaystyle E^{ij}=K^{ijkl}T_{kl}}$

ทั้งสองมีความเกี่ยวข้องกันโดย

${\displaystyle K_{ijpq}C^{pqkl}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{i}^{k}\delta _{j}^{l}+\delta _{i}^{l}\delta _{j}^{k}\right)}$

เดลต้าโครเนกเกอร์อยู่ที่ไหน[ ^{4 ] [ 5 ] [ หมายเหตุ 2 ]}${\displaystyle \delta _{n}^{m}}$

เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น บทความนี้ถือว่านิยามของ นั้นได้มาจากความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและความเครียดของวัสดุยืดหยุ่นเชิงเส้น ในกรณีที่ความเครียดมีค่าน้อย ${\displaystyle \mathbf {C} }$

สำหรับวัสดุไอโซโทรปิกจะลดรูปเหลือเพียง ${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle C^{ijkl}=\lambda \!\left(X\right)g^{ij}g^{kl}+\mu \!\left(X\right)\left(g^{ik}g^{jl}+g^{il}g^{kj}\right)}$

โดยที่และเป็นฟังก์ชันสเกลาร์ของพิกัดวัสดุ และเป็นเทนเซอร์เมตริกในกรอบอ้างอิงของวัสดุ^{[ 6 ] [ 7 ]}ในฐานพิกัด คาร์ทีเซียนแบบตั้งฉากกัน ไม่มีการแยกแยะระหว่างดัชนีบนและล่าง และเทนเซอร์เมตริกสามารถแทนที่ด้วยเดลต้าโครเนกเกอร์ได้: ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {g} }$

${\displaystyle C_{ijkl}=\lambda \!\left(X\right)\delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \!\left(X\right)\left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{kj}\right)\quad {\text{[พิกัดคาร์ทีเซียน]}}}$

เมื่อแทนสมการแรกลงในความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและความเครียด และรวมผลลัพธ์จากดัชนีที่ซ้ำกัน จะได้

${\displaystyle T^{ij}=\lambda \!\left(X\right)\cdot \left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}+2\mu \!\left(X\right)E^{ij}}$

โดยที่ร่องรอยของอยู่ในรูปแบบนี้และสามารถระบุได้ว่าเป็นพารามิเตอร์ Lamé ตัวแรกและตัวที่สอง นิพจน์ที่เทียบเท่ากันคือ ${\displaystyle \mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \equiv E_{\,i}^{i}}$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle T^{ij}=K\!\left(X\right)\cdot \left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}+2\mu \!\left(X\right)\Sigma ^{ij}}$

ค่าโมดูลัสปริมาตรอยู่ ที่ไหนและ ${\displaystyle K=\แลมบ์ดา +(2/3)\mu }$

${\displaystyle \Sigma ^{ij}\equiv E^{ij}-(1/3)\left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}}$

คือส่วนประกอบของเทนเซอร์เฉือน ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$

เทนเซอร์ความยืดหยุ่นของผลึกทรงลูกบาศก์มีส่วนประกอบต่างๆ

${\displaystyle {\begin{aligned}C^{ijkl}&=\lambda g^{ij}g^{kl}+\mu \left(g^{ik}g^{jl}+g^{il}g^{kj}\right)\\&+\alpha \left(a^{i}a^{j}a^{k}a^{l}+b^{i}b^{j}b^{k}b^{l}+c^{i}c^{j}c^{k}c^{l}\right)\end{aligned}}}$

โดยที่, , และเป็นเวกเตอร์หน่วยที่สอดคล้องกับแกนทั้งสามที่ตั้งฉากกันของเซลล์หน่วยผลึก^{[ 8 ]}สัมประสิทธิ์, , และเป็นสเกลาร์ เนื่องจากไม่ขึ้นอยู่กับพิกัด จึงเป็นค่าคงที่ของวัสดุที่แท้จริง ดังนั้น ผลึกที่มีสมมาตรแบบลูกบาศก์จึงถูกอธิบายด้วยค่าคงที่ความยืดหยุ่นอิสระสามค่า^{[ 9 ]}${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \alpha }$

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนแบบตั้งฉากปกติ จะไม่มีการแยกความแตกต่างระหว่างดัชนีบนและล่าง และคือเดลต้าโครเนกเกอร์ ดังนั้นนิพจน์จึงลดรูปเหลือเพียง ${\displaystyle g^{ij}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{ijkl}&=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{kj}\right)\\&+\alpha \left(a_{i}a_{j}a_{k}a_{l}+b_{i}b_{j}b_{k}b_{l}+c_{i}c_{j}c_{k}c_{l}\right)\end{aligned}}}$

มีการแสดงออกที่คล้ายกันสำหรับส่วนประกอบของในคลาสสมมาตรผลึกอื่น ๆ^{[ 10 ]}จำนวนค่าคงที่ความยืดหยุ่นอิสระสำหรับหลาย ๆ คลาสเหล่านี้แสดงอยู่ในตารางที่ 1 ^{[ 9 ]}${\displaystyle \mathbf {C} }$

เทนเซอร์ความยืดหยุ่นมีสมมาตรหลายประการที่เป็นผลโดยตรงจากสมการนิยาม[ ^{11 ] [ 2 ] สมมาตร}ของเทนเซอร์ความเค้นและความเครียดบ่งชี้ว่า ${\displaystyle T^{ij}=C^{ijkl}E_{kl}}$

${\displaystyle C_{ijkl}=C_{jikl}\qquad {\text{และ}}\qquad C_{ijkl}=C_{ijlk},}$

โดยทั่วไป มักสันนิษฐานว่าความเครียดนั้นเกิดจากศักยภาพพลังงานยืดหยุ่นด้วยเช่นกัน: ${\displaystyle U}$

${\displaystyle T^{ij}={\frac {\partial U}{\partial E_{ij}}}}$

ซึ่งหมายความว่า

${\displaystyle C_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial E_{ij}\partial E_{kl}}}}$

ดังนั้น จึงต้องมีความสมมาตรภายใต้การสลับคู่ดัชนีแรกและคู่ดัชนีที่สอง: ${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle C_{ijkl}=C_{klij}}$

สมมาตรที่ระบุไว้ข้างต้นจะลดจำนวนส่วนประกอบอิสระจาก 81 เหลือ 21 หากวัสดุมีสมมาตรเพิ่มเติม จำนวนนี้จะลดลงอีก^{[ 9 ]}

ภายใต้การหมุน ส่วนประกอบต่างๆจะเปลี่ยนแปลงไปดังนี้ ${\displaystyle C^{ijkl}}$

${\displaystyle C'_{ijkl}=R_{ip}R_{jq}R_{kr}R_{ls}C^{pqrs}}$

โดยที่คือส่วนประกอบโคแวเรียนต์ในฐานที่หมุนแล้ว และ คือองค์ประกอบของเมทริกซ์การหมุน ที่สอดคล้องกัน กฎการแปลงที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับการแปลงเชิงเส้นอื่นๆ ด้วย ${\displaystyle C'_{ijkl}}$${\displaystyle R_{ij}}$

โดยทั่วไปแล้ว ส่วนประกอบต่างๆจะมีค่าที่แตกต่างกันภายใต้การเปลี่ยนฐานอย่างไรก็ตาม สำหรับการแปลงบางประเภท จะมีการรวมกันของส่วนประกอบเฉพาะที่เรียกว่าค่าคงที่ ซึ่งยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ค่าคงที่ถูกกำหนดโดยสัมพันธ์กับชุดของการแปลงที่กำหนด ซึ่งในเชิงรูปธรรมเรียกว่าการดำเนินการของกลุ่มตัวอย่างเช่น ค่าคงที่ที่สัมพันธ์กับกลุ่มของการแปลงเชิงตั้งฉากที่เหมาะสม เรียกว่าSO(3)คือปริมาณที่คงที่ภายใต้การหมุน 3 มิติใดๆ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle \mathbf {C} }$มีตัวแปรเชิงเส้นสองตัวและตัวแปรเชิงกำลังสองเจ็ดตัวเมื่อเทียบกับ SO(3) ^{[ 12 ]}ตัวแปรเชิงเส้นคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{1}&=C_{\,\,\,ij}^{ij}\\L_{2}&=C_{\,\,\,jj}^{ii}\end{aligned}}}$

และค่าคงที่กำลังสองคือ

${\displaystyle \left\{L_{1}^{2},\,L_{2}^{2},\,L_{1}L_{2},\,C_{ijkl}C^{ijkl},\,C_{iikl}C^{jjkl},\,C_{iikl}C^{jkjl},\,C_{kiil}C^{kjjl}\right\}}$

ปริมาณเหล่านี้เป็นอิสระเชิงเส้น กล่าวคือ ไม่มีปริมาณใดที่สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของปริมาณอื่นได้ นอกจากนี้ยังสมบูรณ์ในแง่ที่ว่าไม่มีตัวแปรเชิงเส้นหรือกำลังสองอิสระเพิ่มเติม^{[ 12 ]}

กลยุทธ์ทั่วไปในการวิเคราะห์เทนเซอร์คือการแยกเทนเซอร์ออกเป็นส่วนประกอบที่ง่ายกว่าซึ่งสามารถวิเคราะห์แยกกันได้ ตัวอย่างเช่น เทนเซอร์เกรเดียนต์การกระจัดสามารถแยกออกเป็นส่วนประกอบได้ดังนี้ ${\displaystyle \mathbf {W} =\mathbf {\nabla } \mathbf {\xi } }$

${\displaystyle \mathbf {W} ={\frac {1}{3}}\Theta \mathbf {g} +\mathbf {\Sigma } +\mathbf {R} }$

โดยที่เป็นเทนเซอร์อันดับ 0 (สเกลาร์) เท่ากับร่องรอยของ; เป็นสมมาตรและไม่มีร่องรอย; และเป็นปฏิสมมาตร^{[ 13 ]}ตามส่วนประกอบ ${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle \mathbf {W} }$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma ^{ij}\equiv W^{(ij)}&={\frac {1}{2}}\left(W^{ij}+W^{ji}\right)-{\frac {1}{3}}\left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {W} \right)g^{ij}\\R^{ij}\equiv W^{[ij]}&={\frac {1}{2}}\left(W^{ij}-W^{ji}\right)\end{aligned}}}$

ในที่นี้และในภายหลัง การทำให้สมมาตรและการทำให้ไม่สมมาตรจะถูกแทนด้วยและตามลำดับ การแยกส่วนนี้ไม่สามารถลดทอนได้ ในแง่ของการไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุน และเป็นเครื่องมือสำคัญในการพัฒนาแนวคิดของกลศาสตร์ต่อเนื่อง^{[ 11 ]}${\displaystyle (ij)}$${\displaystyle [ij]}$

เทนเซอร์ความยืดหยุ่นมีอันดับ 4 และการแยกส่วนประกอบมีความซับซ้อนและหลากหลายกว่าเทนเซอร์อันดับ 2 ^{[ 14 ]}ตัวอย่างบางส่วนมีอธิบายไว้ด้านล่าง

การแยกส่วนนี้ได้มาจากการทำให้สมมาตรและการทำให้ไม่สมมาตรของดัชนีสองตัวตรงกลาง:

${\displaystyle C^{ijkl}=M^{ijkl}+N^{ijkl}}$

ที่ไหน

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{ijkl}\equiv C^{i(jk)l}={\frac {1}{2}}\left(C^{ijkl}+C^{ikjl}\right)\\N^{ijkl}\equiv C^{i[jk]l}={\frac {1}{2}}\left(C^{ijkl}-C^{ikjl}\right)\end{aligned}}}$

ข้อเสียของการแยกส่วนนี้คือและไม่ปฏิบัติตามสมมาตรดั้งเดิมทั้งหมดของเนื่องจากไม่สมมาตรภายใต้การสลับดัชนีสองตัวแรก นอกจากนี้ยังไม่สามารถลดทอนไม่ได้ ดังนั้นจึงไม่คงที่ภายใต้การแปลงเชิงเส้น เช่น การหมุน^{[ 2 ]}${\displaystyle M^{ijkl}}$${\displaystyle N^{ijkl}}$${\displaystyle C^{ijkl}}$

สามารถสร้าง การแสดงผลแบบลดทอนไม่ได้โดยพิจารณาแนวคิดของเทนเซอร์สมมาตร โดยสมบูรณ์ ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การสลับดัชนีสองตัวใดๆ เทนเซอร์สมมาตรโดยสมบูรณ์สามารถสร้างขึ้นได้จาก การรวมผลลัพธ์ของ การเรียงสับเปลี่ยนดัชนี ทั้งหมด${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle 4!=24}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S^{ijkl}&={\frac {1}{4!}}\sum _{(i,j,k,l)\in S_{4}}C^{ijkl}\\&={\frac {1}{4!}}\left(C^{ijkl}+C^{jikl}+C^{ikjl}+\ldots \right)\end{aligned}}}$

โดยที่คือเซตของการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดของดัชนีทั้งสี่^{[ 2 ]}เนื่องมาจากสมมาตรของผลรวมนี้จึงลดลงเหลือ ${\displaystyle \mathbb {S} _{4}}$${\displaystyle C^{ijkl}}$

${\displaystyle S^{ijkl}={\frac {1}{3}}\left(C^{ijkl}+C^{iklj}+C^{iljk}\right)}$

ความแตกต่าง

${\displaystyle A^{ijkl}\equiv C^{ijkl}-S^{ijkl}={\frac {1}{3}}\left(2C^{ijkl}-C^{ilkj}-C^{iklj}\right)}$

เป็นเทนเซอร์อสมมาตร ( ไม่ใช่แอนติสมมาตร) การแยกส่วนสามารถแสดงได้ว่าเป็นเอกลักษณ์และไม่สามารถลดทอนได้เมื่อเทียบกับ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การดำเนินการสมมาตรเพิ่มเติมใดๆ บนหรือจะทำให้ไม่เปลี่ยนแปลงหรือประเมินค่าเป็นศูนย์ นอกจากนี้ยังไม่สามารถลดทอนได้เมื่อเทียบกับการแปลงเชิงเส้นใดๆ นั่นคือกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป^{[ 2 ] [ 15 ]}${\displaystyle C^{ijkl}=S^{ijkl}+A^{ijkl}}$${\displaystyle \mathbb {S} _{4}}$${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle G(3,\mathbb {R} )}$

อย่างไรก็ตาม การแยกส่วนนี้ไม่สามารถแยกย่อยไม่ได้เมื่อเทียบกับกลุ่มการหมุน SO(3) แต่จะแยกออกเป็นสามส่วนที่ไม่สามารถแยกย่อยได้ และแยกออกเป็นสองส่วน: ${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}C^{ijkl}&=S^{ijkl}+A^{ijkl}\\&=\left(^{(1)}\!S^{ijkl}+\,^{(2)}\!S^{ijkl}+\,^{(3)}\!S^{ijkl}\right)+\,\left(^{(1)}\!A^{ijkl}+^{(2)}\!A^{ijkl}\right)\end{aligned}}}$

ดู Itin (2020) ^{[ 15 ]}สำหรับการแสดงออกที่ชัดเจนในแง่ของส่วนประกอบของ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

การนำเสนอแบบนี้จะแยกพื้นที่ของเทนเซอร์ความยืดหยุ่นออกเป็นผลรวมโดยตรงของพื้นที่ย่อย:

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\left(^{(1)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(2)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(3)}\!{\mathcal {C}}\right)\oplus \,\left(^{(4)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(5)}\!{\mathcal {C}}\right)}$

ด้วยขนาด

${\displaystyle 21=(1\oplus 5\oplus 9)\oplus (1\oplus 5)}$

ปริภูมิย่อยเหล่านี้แต่ละอันมีลักษณะสมมาตรกับปริภูมิเทนเซอร์ฮาร์มอนิก [ ^{15 ] [ 16 ] ใน}ที่นี้คือปริภูมิของเทนเซอร์ 3 มิติ สมมาตรโดยสมบูรณ์ ไร้ร่องรอย ที่มีอันดับโดยเฉพาะอย่างยิ่งและสอดคล้องกับและสอดคล้องกับและสอดคล้องกับ ${\displaystyle \mathbb {H} _{n}(\mathbb {R} ^{3})}$${\displaystyle \mathbb {H} _{n}(\mathbb {R} ^{3})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle ^{(1)}\!{\mathcal {C}}}$${\displaystyle ^{(4)}\!{\mathcal {C}}}$${\displaystyle \mathbb {H} _{0}}$${\displaystyle ^{(2)}\!{\mathcal {C}}}$${\displaystyle ^{(5)}\!{\mathcal {C}}}$${\displaystyle \mathbb {H} _{2}}$${\displaystyle ^{(3)}\!{\mathcal {C}}}$${\displaystyle \mathbb {H} _{4}}$

• กลศาสตร์ต่อเนื่อง
• กลศาสตร์ของแข็ง
• สมการเชิงโครงสร้าง
• ความแข็งแรงของวัสดุ
• รายการคุณสมบัติของวัสดุ § คุณสมบัติเชิงกล
• ทฤษฎีการแทนของกลุ่มจำกัด
• สัญกรณ์วอยต์