ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มคือเซตที่มีการดำเนินการซึ่งรวมสมาชิกสองตัวใดๆ ในเซตนั้นเข้าด้วยกันเพื่อสร้างสมาชิกตัวที่สามภายในเซตเดียวกัน โดยต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: การดำเนินการนั้นมีคุณสมบัติการสลับที่ได้ มีเอกลักษณ์ และสมาชิกทุกตัวในเซตมีตัวผกผันตัวอย่างเช่นจำนวนเต็มกับการดำเนินการบวกเป็นกลุ่มหนึ่ง

แนวคิดเรื่องกลุ่มได้รับการพัฒนาขึ้นเพื่อจัดการกับโครงสร้างทางคณิตศาสตร์หลายอย่าง เช่น ตัวเลข รูปทรงเรขาคณิตและรากพหุนาม ในรูปแบบที่เป็น เอกภาพ เนื่องจากแนวคิดเรื่องกลุ่มมีอยู่ทั่วไปในหลายสาขาทั้งในและนอกคณิตศาสตร์ ผู้เขียนบางคนจึงถือว่ากลุ่มเป็นหลักการจัดระเบียบหลักของคณิตศาสตร์ร่วมสมัย^{[ 1 ] [ 2 ]}

ในเรขาคณิตกลุ่มต่างๆ เกิดขึ้นเองตามธรรมชาติในการศึกษาความสมมาตรและการแปลงทางเรขาคณิต : ความสมมาตรของวัตถุหนึ่งๆ ก่อให้เกิดกลุ่ม เรียกว่ากลุ่มสมมาตรของวัตถุนั้น และการแปลงประเภทใดประเภทหนึ่งจะก่อให้เกิดกลุ่มทั่วไป กลุ่มลีปรากฏในกลุ่มสมมาตรในเรขาคณิต และในแบบจำลองมาตรฐานของฟิสิกส์อนุภาค ด้วย กลุ่มปวงกาเรเป็นกลุ่มลีที่ประกอบด้วยความสมมาตรของปริภูมิเวลาใน ทฤษฎีสั มพัทธภาพพิเศษกลุ่มจุดอธิบายความสมมาตรในเคมีโมเลกุล

แนวคิดเรื่องกลุ่มเกิดขึ้นจากการศึกษาเกี่ยวกับสมการพหุนามเอวาริสต์ กาโลอิสในช่วงทศวรรษ 1830 ได้นำเสนอคำว่ากลุ่ม (ภาษาฝรั่งเศส: groupe ) สำหรับกลุ่มสมมาตรของรากของสมการ ซึ่งปัจจุบันเรียกว่ากลุ่มกาโลอิสหลังจากได้รับการสนับสนุนจากสาขาอื่นๆ เช่นทฤษฎีจำนวนและเรขาคณิต แนวคิดเรื่องกลุ่มจึงได้รับการขยายความและได้รับการยอมรับอย่างมั่นคงราวปี 1870 ทฤษฎีกลุ่ม สมัยใหม่ ซึ่งเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่กำลังพัฒนาอย่างต่อเนื่อง ศึกษาเกี่ยวกับกลุ่มโดยตรง เพื่อสำรวจกลุ่ม นักคณิตศาสตร์ได้คิดค้นแนวคิดต่างๆ เพื่อแบ่งกลุ่มออกเป็นส่วนย่อยๆ ที่เข้าใจได้ง่ายขึ้น เช่นกลุ่มย่อยกลุ่มผลหารและกลุ่มเชิงเดี่ยวนอกเหนือจากคุณสมบัติเชิงนามธรรมแล้ว นักทฤษฎีกลุ่มยังศึกษาถึงวิธีการต่างๆ ที่สามารถแสดงกลุ่มออกมาได้อย่างเป็นรูปธรรม ทั้งจากมุมมองของทฤษฎีการแทน (นั่นคือ ผ่านการแทนกลุ่ม ) และทฤษฎีกลุ่มเชิงคำนวณ มีการพัฒนาทฤษฎีสำหรับกลุ่มจำกัดซึ่ง culminate ด้วยการจำแนกกลุ่มง่ายจำกัดซึ่งเสร็จสมบูรณ์ในปี 2547 ตั้งแต่กลางทศวรรษ 1980 ทฤษฎีกลุ่มเชิงเรขาคณิตซึ่งศึกษาเกี่ยว กับ กลุ่มที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดในฐานะวัตถุเชิงเรขาคณิต ได้กลายเป็นสาขาที่ได้รับความสนใจอย่างมากในทฤษฎีกลุ่ม

หนึ่งในกลุ่มที่คุ้นเคยกันดีคือเซตของจำนวนเต็ม พร้อมกับการบวก [ ^{3 ] สำหรับ}จำนวนเต็มสองจำนวนใดๆและผลรวมก็เป็นจำนวนเต็มเช่นกัน คุณสมบัติการปิดนี้บอกว่าเป็นการดำเนินการทวิภาคบน คุณสมบัติ ต่อ ไปนี้ของการบวก จำนวนเต็ม ทำหน้าที่เป็นแบบจำลองสำหรับ สัจพจน์กลุ่มในคำจำกัดความด้านล่าง^{[ 4 ]}$${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a+b}$${\displaystyle +}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• สำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด⁠ ⁠${\displaystyle a}$และ⁠ ⁠จะมี⁠ ⁠กล่าวคือ การบวกกับก่อน แล้วบวกผลลัพธ์กับ จะได้ผลลัพธ์สุดท้ายเหมือนกับการบวกกับผลรวมของและ  ⁠ ⁠คุณสมบัตินี้เรียกว่าสมาคม  ^{[ 4 ]}${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$
• ถ้าเป็นจำนวนเต็มใดๆ แล้วและ⁠ ⁠ศูนย์เรียกว่าองค์ประกอบเอกลักษณ์ ของการบวก เพราะการบวกศูนย์กับจำนวนเต็มใดๆ จะได้ผลลัพธ์ เป็นจำนวนเต็มเดิม^{[ 4 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle 0+a=a}$${\displaystyle a+0=a}$
• สำหรับจำนวนเต็มทุกตัวจะมี${\displaystyle a}$จำนวนเต็มเช่นนั้นและจำนวนเต็มเรียกว่าองค์ประกอบผกผันของจำนวนเต็มและใช้  สัญลักษณ์^{[ 4 ]}${\displaystyle b}$${\displaystyle a+b=0}$${\displaystyle b+a=0}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle -a}$

จำนวนเต็ม พร้อมด้วยการดำเนินการ⁠ ⁠${\displaystyle +}$ก่อให้เกิดวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่อยู่ในกลุ่มกว้างๆ ซึ่งมีโครงสร้างที่คล้ายคลึงกัน เพื่อให้เข้าใจโครงสร้างเหล่านี้ในฐานะกลุ่มได้อย่างเหมาะสม จึงได้มีการกำหนดนิยามต่อไปนี้

กลุ่มคือเซต พร้อมกับการดำเนินการแบบไบนารีบน⁠ ⁠ซึ่งในที่นี้ใช้สัญลักษณ์ " ⁠ ⁠ " ที่รวมองค์ประกอบ สองตัวใดๆ และของเพื่อสร้างองค์ประกอบของ⁠ ⁠ซึ่งใช้สัญลักษณ์⁠ ⁠โดยที่เงื่อนไขสามข้อต่อไปนี้ ซึ่งเรียกว่าสัจพจน์ของกลุ่มเป็นไปตามที่กำหนด: ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ a ]}${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle a\cdot b}$

ความสัมพันธ์

สำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle b}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle c}$ใน⁠ ⁠${\displaystyle G}$หนึ่งจะมี⁠ ⁠${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$ .

องค์ประกอบเอกลักษณ์

มีองค์ประกอบหนึ่งในนั้นซึ่งสำหรับทุก ๆใน⁠ ⁠จะมี⁠ ⁠และ⁠ ⁠${\displaystyle e}$${\displaystyle G}$${\displaystyle a}$${\displaystyle G}$${\displaystyle e\cdot a=a}$${\displaystyle a\cdot e=a}$

องค์ประกอบดังกล่าวมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว เรียกว่าองค์ประกอบเอกลักษณ์ (หรือบางครั้งเรียกว่าองค์ประกอบที่เป็นกลาง ) ของกลุ่ม${\displaystyle e}$

องค์ประกอบผกผัน

สำหรับแต่ละใน⁠ ⁠จะมีองค์ประกอบในที่ทำให้และ⁠ ⁠โดยที่คือองค์ประกอบเอกลักษณ์${\displaystyle a}$${\displaystyle G}$${\displaystyle b}$${\displaystyle G}$${\displaystyle a\cdot b=e}$${\displaystyle b\cdot a=e}$${\displaystyle e}$

สำหรับแต่ละ⁠ ⁠${\displaystyle a}$องค์ประกอบจะมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว เรียกว่าตัวผกผันของและโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์⁠ ⁠แทน${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{-1}}$

หมายเหตุ: ความเป็นเอกลักษณ์ของเอกลักษณ์และความเป็นเอกลักษณ์ขององค์ประกอบผกผันไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของสัจพจน์ แต่เป็นผลสืบเนื่องมาจากสัจพจน์ทั้งสามข้อ

ในทางทฤษฎี กลุ่มคือคู่ลำดับของเซตและโอเปอเรชันทวิภาคบนเซตนั้นซึ่งสอดคล้องกับสัจพจน์ของกลุ่มเซตนั้นเรียกว่าเซตพื้นฐานของกลุ่ม และโอเปอเรชันนั้นเรียกว่าโอเปอเรชันของกลุ่มหรือกฎของกลุ่ม

ดังนั้น กลุ่มและเซตที่อยู่ภายใต้กลุ่มจึงเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ ที่แตกต่างกันสองอย่าง เพื่อหลีกเลี่ยง สัญลักษณ์ที่ยุ่งยาก จึงมักใช้สัญลักษณ์เดียวกันเพื่อแทนทั้งสองอย่าง ซึ่งสะท้อนให้เห็นถึงวิธีคิดแบบไม่เป็นทางการด้วยเช่นกัน กล่าวคือ กลุ่มนั้นเหมือนกับเซต ยกเว้นแต่ว่ามันได้รับการเสริมด้วยโครงสร้างเพิ่มเติมที่เกิดจากการดำเนินการ

ตัวอย่างเช่น พิจารณาเซตของจำนวนจริง ซึ่งมีการดำเนินการบวกและการคูณ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคือเซตคือกลุ่ม และคือฟิลด์แต่โดยทั่วไปมักใช้สัญลักษณ์เพื่อแทนวัตถุทั้งสามนี้ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle a+b}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

กลุ่มการบวกของฟิลด์คือกลุ่มที่มีเซตพื้นฐานเป็นเซตของจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ และมีตัวดำเนินการคือ การบวก กลุ่มการคูณของฟิลด์คือกลุ่มที่มีเซตพื้นฐานเป็นเซตของจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์และมีตัวดำเนินการคือการคูณ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}}$

โดยทั่วไปแล้ว เราจะพูดถึงกลุ่มบวกเมื่อใดก็ตามที่การดำเนินการของกลุ่มถูกเขียนแทนด้วยการบวก ในกรณีนี้ สัญลักษณ์เอกลักษณ์มักจะใช้สัญลักษณ์⁠ ⁠${\displaystyle 0}$และสัญลักษณ์ผกผันของสมาชิกจะใช้สัญลักษณ์⁠ ⁠ ในทำนอง เดียวกัน เราจะพูดถึงกลุ่มคูณเมื่อใดก็ตามที่การดำเนินการของกลุ่มถูกเขียนแทนด้วยการคูณ ในกรณีนี้ สัญลักษณ์เอกลักษณ์มักจะใช้สัญลักษณ์⁠ ⁠และสัญลักษณ์ผกผันของสมาชิกจะใช้สัญลักษณ์⁠ ⁠ในกลุ่มคูณ สัญลักษณ์การดำเนินการมักจะถูกละเว้นไปโดยสิ้นเชิง ดังนั้นการดำเนินการจึงถูกแทนด้วยการวางติดกันแทนที่จะใช้สัญลักษณ์ ⁠ ⁠${\displaystyle x}$${\displaystyle -x}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{-1}}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle a\cdot b}$

นิยามของกลุ่มไม่จำเป็นต้องมีเงื่อนไขว่าสำหรับทุกสมาชิกและใน⁠ ⁠ถ้าเงื่อนไขเพิ่มเติมนี้เป็นจริง การดำเนินการนั้นจะเรียกว่าเป็นการสลับที่ได้และกลุ่มนั้นเรียกว่ากลุ่มอาเบเลียนโดยทั่วไปแล้ว สำหรับกลุ่มอาเบเลียน อาจใช้สัญลักษณ์การบวกหรือการคูณก็ได้ แต่สำหรับกลุ่มที่ไม่ใช่อาเบเลียน จะใช้เฉพาะสัญลักษณ์การคูณเท่านั้น ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle G}$

นอกจากนี้ ยังมีสัญลักษณ์อื่นๆ ที่ใช้กันทั่วไปสำหรับกลุ่มที่มีสมาชิกไม่ใช่ตัวเลข สำหรับกลุ่มที่มีสมาชิกเป็นฟังก์ชันการดำเนินการมักจะเป็นการประกอบฟังก์ชันและ${\displaystyle f\circ g}$อาจใช้สัญลักษณ์ id แทนเอกลักษณ์ ในกรณีเฉพาะเจาะจง เช่นกลุ่มการแปลงทางเรขาคณิตกลุ่มสมมาตรกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนและกลุ่มออโตมอร์ฟิซึม มักจะละ สัญลักษณ์ id ไว้ เช่นเดียวกับกลุ่มการคูณ นอกจากนี้ยังอาจพบสัญลักษณ์อื่นๆ อีกมากมาย ${\displaystyle \circ }$

องค์ประกอบของกลุ่มสมมาตรของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจุดยอด${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ถูกระบุด้วยสีหรือตัวเลข

${\displaystyle \mathrm {id} }$(คงไว้เช่นเดิม)

${\displaystyle r_{1}}$(หมุนตามเข็มนาฬิกา 90 องศา)

${\displaystyle r_{2}}$(หมุน 180 องศา)

${\displaystyle r_{3}}$(หมุนตามเข็มนาฬิกา 270°)

${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {v} }}$(การสะท้อนแนวตั้ง)

${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {h} }}$(ภาพสะท้อนแนวนอน)

${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {d} }}$(การสะท้อนแนวทแยง)

${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {c} }}$(การสะท้อนกลับแนวทแยง)

รูปทรงสองรูปในระนาบจะเท่ากันทุกประการถ้าสามารถเปลี่ยนรูปหนึ่งเป็นอีกรูปหนึ่งได้โดยใช้การหมุนการสะท้อนและการเลื่อน ผสมกัน รูปทรงใดๆ ก็เท่ากันทุกประการกับตัวมันเอง อย่างไรก็ตาม รูปทรงบางรูปเท่ากันทุกประการกับตัวมันเองได้มากกว่าหนึ่งวิธี และความเท่ากันทุกประการเพิ่มเติมเหล่านี้เรียกว่าสมมาตรสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีสมมาตร แปดแบบ ได้แก่: ^{[ 8 ]}

• การดำเนินการเอกลักษณ์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงสิ่งใด ๆ แสดงด้วยสัญลักษณ์;${\displaystyle \operatorname {id} }$
• การหมุนของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรอบจุดศูนย์กลางเป็นมุม 90°, 180° และ 270° ตามเข็มนาฬิกา โดยใช้สัญลักษณ์⁠ ⁠${\displaystyle r_{1}}$ , และ⁠ ⁠ตามลำดับ${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle r_{3}}$
• การสะท้อนเกี่ยวกับเส้นกลางแนวนอนและแนวตั้ง( และ) หรือ${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {v} }}$ผ่านเส้นทแยงมุมทั้งสอง ( และ)${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {h} }}$${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {d} }}$${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {c} }}$

สมมาตรเหล่านี้เป็นฟังก์ชัน แต่ละฟังก์ชันจะส่งจุดในสี่เหลี่ยมจัตุรัสไปยังจุดที่สอดคล้องกันภายใต้สมมาตร ตัวอย่างเช่นจะส่งจุดไปยังการหมุน 90° ตามเข็มนาฬิการอบจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัส และจะส่งจุดไปยังการสะท้อนข้ามเส้นกึ่งกลางแนวตั้งของสี่เหลี่ยมจัตุรัส การประกอบสมมาตรสองอย่างนี้เข้าด้วยกันจะให้สมมาตรอีกแบบหนึ่ง สมมาตรเหล่านี้กำหนดกลุ่มที่เรียกว่ากลุ่มไดเฮดรัลระดับสี่ ซึ่งเขียนแทนด้วย⁠ ⁠เซตพื้นฐานของกลุ่มคือเซตของสมมาตรข้างต้น และการดำเนินการของกลุ่มคือการประกอบฟังก์ชัน สมมาตรสองอย่างจะถูกรวมเข้าด้วยกันโดยการประกอบเป็นฟังก์ชัน กล่าวคือ ใช้สมมาตรแรกกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส และใช้สมมาตรที่สองกับผลลัพธ์ของการใช้ครั้งแรก ผลลัพธ์ของการดำเนินการครั้งแรกและครั้งที่สองจะเขียนในเชิงสัญลักษณ์จากขวาไปซ้ายเป็น("ใช้สมมาตรหลังจากดำเนินการสมมาตร⁠ ⁠ ") นี่คือสัญลักษณ์ปกติสำหรับการประกอบฟังก์ชัน^{[ 9 ]}${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {h} }}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b\circ a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$

ตารางCayleyแสดงรายการผลลัพธ์ขององค์ประกอบที่เป็นไปได้ทั้งหมด ตัวอย่างเช่น การหมุนตามเข็มนาฬิกา 270° ( ⁠ ⁠${\displaystyle r_{3}}$ ) แล้วสะท้อนในแนวนอน ( ⁠ ⁠${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {h} }}$ ) จะเหมือนกับการสะท้อนตามแนวทแยงมุม ( ⁠ ⁠${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {d} }}$ ) โดยใช้สัญลักษณ์ข้างต้นที่ไฮไลต์ด้วยสีน้ำเงินในตาราง Cayley: $${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}=f_{\mathrm {d} }.}$$

โต๊ะของ เคย์ลีย์${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

${\displaystyle \circ }$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {v} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {h} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {d} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {c} }}$
${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {v} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {h} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {d} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {c} }}$
${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {c} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {d} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {v} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {h} }}$
${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {h} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {v} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {c} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {d} }}$
${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {d} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {c} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {h} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {v} }}$
${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {v} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {v} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {d} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {h} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {c} }}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{3}}$
${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {h} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {h} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {c} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {v} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {d} }}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{1}}$
${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {d} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {d} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {h} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {c} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {v} }}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{2}}$
${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {c} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {c} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {v} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {d} }}$	${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {h} }}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$
องค์ประกอบ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {id} }$ , ⁠ ⁠${\displaystyle r_{1}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle r_{2}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle r_{3}}$ประกอบกันเป็นกลุ่มย่อยซึ่งตาราง Cayley ของกลุ่มย่อยนี้ถูกเน้นไว้ใน สีแดง (บริเวณด้านบนซ้าย) กลุ่มย่อย ด้านซ้ายและด้านขวา ของกลุ่มย่อยนี้ถูกเน้นไว้ในภาพ สีเขียว (ในแถวสุดท้าย) และ สีเหลือง (คอลัมน์สุดท้าย) ตามลำดับ ผลลัพธ์ขององค์ประกอบ⁠ ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}}$ซึ่งก็คือความสมมาตร⁠ ⁠${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {d} }}$จะถูกเน้นด้วยสีเหลือง สีน้ำเงิน (อยู่ต่ำกว่ากึ่งกลางโต๊ะ)

เมื่อพิจารณาสมมาตรชุดนี้และการดำเนินการที่อธิบายไว้แล้ว เราสามารถเข้าใจสัจพจน์ของกลุ่มได้ดังนี้:

• การดำเนินการแบบไบนารี : การประกอบเป็นการดำเนินการแบบไบนารี นั่นคือเป็นสมมาตรสำหรับสมมาตรสองอย่างใดๆและ⁠ ⁠ตัวอย่างเช่นนั่นคือ การหมุน 270° ตามเข็มนาฬิกาหลังจากสะท้อนในแนวนอนจะเท่ากับการสะท้อนตามแนวทแยงมุมตรงข้าม ( ⁠ ⁠ ) อันที่จริง การรวมกันของสมมาตรสองอย่างอื่นๆ ทุกแบบยังคงให้สมมาตร ซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยใช้ตารางเคย์ลีย์${\displaystyle a\circ b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$$${\displaystyle r_{3}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {c} }.}$$${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {c} }}$
• สัจพจน์การสลับที่ : สัจพจน์การสลับที่เกี่ยวข้องกับการประกอบสมมาตรมากกว่าสองแบบ: เริ่มต้นด้วยองค์ประกอบสามตัว⁠ ⁠${\displaystyle a}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle b}$และ⁠ ⁠${\displaystyle c}$ของ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$มีสองวิธีที่เป็นไปได้ในการใช้สมมาตรทั้งสามนี้ตามลำดับเพื่อกำหนดสมมาตรของสี่เหลี่ยมจัตุรัส วิธีหนึ่งคือการประกอบและเข้าด้วยกันเป็นสมมาตรเดียว จากนั้นประกอบสมมาตรนั้นกับ⁠ ⁠อีกวิธีหนึ่งคือการประกอบและ⁠ ⁠ เข้าด้วยกัน ก่อน จากนั้นประกอบสมมาตรที่ได้กับ⁠ ⁠สองวิธีนี้ต้องให้ผลลัพธ์เดียวกันเสมอ นั่นคือตัวอย่างเช่นสามารถตรวจสอบได้โดยใช้ตารางเคย์ลีย์:${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a}$$${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c).}$$${\displaystyle (f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}=f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})}$$${\displaystyle {\begin{aligned}(f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}&=r_{3}\circ r_{2}=r_{1}\\f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})&=f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {h} }=r_{1}.\end{aligned}}}$$
• องค์ประกอบเอกลักษณ์ : องค์ประกอบเอกลักษณ์คือ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {id} }$เนื่องจากไม่เปลี่ยนแปลงสมมาตรใดๆเมื่อนำมาประกอบกันไม่ว่าจะทางด้านซ้ายหรือด้านขวา${\displaystyle a}$
• องค์ประกอบผกผัน: สมมาตร แต่ละแบบมีองค์ประกอบผกผัน ได้แก่การสะท้อน การหมุน180 ${\displaystyle \mathrm {id} }$° และการหมุน 180° ซึ่งเป็นองค์ประกอบผกผันของตัวเอง เพราะการทำซ้ำสองครั้งจะทำให้รูปสี่เหลี่ยมกลับมาอยู่ในตำแหน่งเดิม การหมุน 360° และ 470° ต่างก็เป็นองค์ประกอบผกผันของกันและกันเพราะการหมุน 90° แล้วหมุน 270° (หรือในทางกลับกัน) จะได้การหมุน 360° ซึ่งทำให้รูปสี่เหลี่ยมไม่เปลี่ยนแปลง สามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ จากตาราง${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {h} }}$${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {v} }}$${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {d} }}$${\displaystyle f_{\คณิตศาสตร์ {c} }}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle r_{3}}$${\displaystyle r_{1}}$

ตรงกันข้ามกับกลุ่มจำนวนเต็มข้างต้นที่ลำดับของการดำเนินการไม่สำคัญ แต่ใน นั้นสำคัญเช่นแต่${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$กล่าวอีกนัยหนึ่งไม่ใช่กลุ่มสลับ ที่${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{1}=f_{\mathrm {c} }}$${\displaystyle r_{1}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {d} }}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

แนวคิดสมัยใหม่ของกลุ่มนามธรรมพัฒนามาจากสาขาคณิตศาสตร์หลายสาขา^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}แรงจูงใจดั้งเดิมของทฤษฎีกลุ่มคือการแสวงหาคำตอบของสมการพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่า 4 นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 19 ชื่อÉvariste Galoisได้ขยายงานก่อนหน้าของPaolo RuffiniและJoseph-Louis Lagrangeโดยให้เกณฑ์สำหรับความสามารถในการแก้ สม การพหุนามเฉพาะในแง่ของกลุ่มสมมาตรของราก (คำตอบ) องค์ประกอบของกลุ่ม Galois ดังกล่าว สอดคล้องกับการเรียงสับเปลี่ยนของรากบางอย่าง ในตอนแรก แนวคิดของ Galois ถูกปฏิเสธโดยคนร่วมสมัยของเขา และได้รับการตีพิมพ์หลังจากที่เขาเสียชีวิตแล้วเท่านั้น^{[ 13 ] [ 14 ]}กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนทั่วไปได้รับการศึกษาโดยเฉพาะโดยAugustin Louis Cauchy Arthur Cayleyได้ให้คำจำกัดความเชิงนามธรรมแรกของกลุ่มจำกัดไว้ในหนังสือ On the theory of groups, as depending on the symbolic equation${\displaystyle \theta ^{n}=1}$ ( 1854) ^{[ 15 ]}

เรขาคณิตเป็นสาขาที่สองที่ใช้กลุ่มอย่างเป็นระบบ โดยเฉพาะกลุ่มสมมาตรซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของโครงการ ErlangenของFelix Klein ในปี 1872 ^{[ 16 ]}หลังจากที่เรขาคณิตรูปแบบใหม่ เช่นเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกและเรขาคณิตเชิงฉายภาพ ได้เกิดขึ้น Klein ได้ใช้ทฤษฎีกลุ่มเพื่อจัดระเบียบเรขาคณิตเหล่านั้นให้เป็นระเบียบมากขึ้น ต่อมา Sophus Lieได้ก่อตั้งการศึกษาเกี่ยวกับกลุ่ม Lie ขึ้น ในปี 1884 เพื่อพัฒนาแนวคิดเหล่านี้ต่อไป^{[ 17 ]}

สาขาที่สามที่สนับสนุนทฤษฎีกลุ่มคือทฤษฎีจำนวนโครงสร้างกลุ่มอาเบเลียนบางอย่างถูกนำมาใช้โดยปริยายในงานทฤษฎีจำนวนของคาร์ล ฟรีดริช เกาส์เรื่อง Disquisitiones Arithmeticae (1798) และถูกนำมาใช้อย่างชัดเจนยิ่งขึ้นโดยเลโอโปลด์ โครเนกเกอร์ [ ^{18 ] ใน}ปี 1847 เอิร์นส์ คุมเมอร์ได้พยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยการพัฒนากลุ่มที่อธิบายการแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะ^{[ 19 ]}

การรวมแหล่งข้อมูลต่างๆ เหล่านี้เข้าเป็นทฤษฎีกลุ่มที่เป็นเอกภาพเริ่มต้นด้วยTraité des substitutions et des équations algébriquesของJordan (1870) ^{[ 20 ]} von Dyck (1882)ได้นำเสนอแนวคิดในการระบุกลุ่มโดยใช้ตัวสร้างและความสัมพันธ์ และยังเป็นคนแรกที่ให้คำจำกัดความเชิงสัจพจน์ของ "กลุ่มนามธรรม" ตามศัพท์เฉพาะในสมัยนั้น^{[ 21 ]}นับตั้งแต่ศตวรรษที่ 20 กลุ่มต่างๆ ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางจากผลงานบุกเบิกของFerdinand Georg FrobeniusและWilliam Burnsideซึ่งทำงานเกี่ยวกับทฤษฎีการแทนของกลุ่มจำกัดและเขียนหนังสือเล่มแรกเกี่ยวกับทฤษฎีกลุ่มในภาษาอังกฤษ: Theory of Groups of Finite Order [ ^{22 ] ทฤษฎี}การแทนแบบโมดูลาร์ของRichard BrauerและเอกสารของIssai Schur ^{[ 23 ]}ทฤษฎีกลุ่มลี และโดยทั่วไปแล้วกลุ่มกระชับเฉพาะที่ได้รับการศึกษาโดยเฮอร์มันน์ เวย์ล , เอลี คาร์ตันและคนอื่นๆ อีกมากมาย^{[ 24 ]}ทฤษฎีกลุ่มพีชคณิตซึ่ง เป็นคู่ขนานของทฤษฎี นี้ได้รับการพัฒนาขึ้นครั้งแรกโดยโคลด เชอวาลเลย์ (ตั้งแต่ปลายทศวรรษ 1930) และต่อมาโดยผลงานของอาร์มันด์ โบเรลและฌาคส์ ทิตส์^{[ 25 ]}

ปีการศึกษาทฤษฎีกลุ่มของ มหาวิทยาลัยชิคาโกในปี 1960–61 ได้รวบรวมนักทฤษฎีกลุ่ม เช่นDaniel Gorenstein , John G. ThompsonและWalter Feit เข้าด้วยกัน ซึ่งเป็นการวางรากฐานของการทำงานร่วมกันที่นำไปสู่การจำแนกกลุ่มง่ายจำกัด โดยได้รับข้อมูลจากนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ อีกมากมาย และขั้นตอนสุดท้ายดำเนินการโดยAschbacherและ Smith ในปี 2004 โครงการนี้มีขนาดใหญ่กว่าความพยายามทางคณิตศาสตร์ก่อนหน้านี้ ทั้งในแง่ของความยาวของการพิสูจน์และจำนวนนักวิจัย การวิจัยเกี่ยวกับการพิสูจน์การจำแนกประเภทนี้ยังคงดำเนินต่อไป^{[ 26 ]}ทฤษฎีกลุ่มยังคงเป็นสาขาคณิตศาสตร์ที่มีความเคลื่อนไหวสูง^{[ b ]}ซึ่งส่งผลกระทบต่อสาขาอื่นๆ อีกมากมาย ดังตัวอย่างด้านล่าง

ข้อเท็จจริงพื้นฐานเกี่ยวกับกลุ่มทั้งหมดที่สามารถได้รับโดยตรงจากสัจพจน์ ของกลุ่มมักจะรวมอยู่ในทฤษฎีกลุ่มพื้นฐาน^{[ 27 ]}ตัวอย่างเช่น การประยุกต์ใช้สัจพจน์การเชื่อมโยง ซ้ำๆแสดงให้เห็นว่าความไม่กำกวมของ สามารถขยายไปสู่ปัจจัยมากกว่าสามตัว (ตัวอย่างเช่นก็ไม่กำกวมเช่นกัน) เนื่องจากสิ่งนี้หมายความว่าวงเล็บสามารถแทรกได้ทุกที่ภายในชุดของพจน์ดังกล่าว วงเล็บจึงมักถูกละเว้น^{[ 28 ]}$${\displaystyle a\cdot b\cdot c=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$$${\displaystyle a\cdot b\cdot c\cdot d}$

สัจพจน์ของกลุ่มบ่งชี้ว่าองค์ประกอบเอกลักษณ์มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว กล่าวคือ มีองค์ประกอบเอกลักษณ์เพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น องค์ประกอบเอกลักษณ์สองตัวใดๆของกลุ่มจะเท่ากัน เพราะสัจพจน์ของกลุ่มบ่งชี้ว่าดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่จะพูดถึงองค์ประกอบเอกลักษณ์ของกลุ่ม^{[ 29 ]}${\displaystyle e}$${\displaystyle f}$${\displaystyle e=e\cdot f=f}$

สัจพจน์ของกลุ่มยังบ่งชี้ว่าตัวผกผันของแต่ละสมาชิกนั้นมีเพียงหนึ่งเดียว ให้สมาชิกของกลุ่มมีทั้งและเป็นตัวผกผัน แล้ว ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=b\cdot e&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element)}}\\&=b\cdot (a\cdot c)&&{\text{(}}c{\text{ and }}a{\text{ are inverses of each other)}}\\&=(b\cdot a)\cdot c&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot c&&{\text{(}}b{\text{ is an inverse of }}a{\text{)}}\\&=c&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element and }}b=c{\text{)}}\end{aligned}}}$

ดังนั้น จึงเป็นเรื่องปกติที่จะพูดถึงองค์ประกอบผกผัน^{[ 29 ]}

เมื่อกำหนดองค์ประกอบและของกลุ่มจะมีคำตอบเฉพาะในสมการนั่นคือ[ ^{c ] [ 30 ] เป็น}ผลให้สำหรับแต่ละในฟังก์ชันที่แมปแต่ละไป ยังเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เรียกว่าการคูณทางซ้ายด้วยหรือการเลื่อนทางซ้ายด้วย${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$${\displaystyle a\cdot x=b}$${\displaystyle a^{-1}\cdot b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\to G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a\cdot x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

ในทำนองเดียวกัน เมื่อกำหนดและในคำตอบเฉพาะของคือสำหรับแต่ละฟังก์ชันที่แมปแต่ละไป ยังคือการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงที่เรียกว่าการคูณทางขวาด้วยหรือการเลื่อนทางขวาด้วย${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\cdot a=b}$${\displaystyle b\cdot a^{-1}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle G\to G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\cdot a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

สัจพจน์ของกลุ่มสำหรับเอกลักษณ์และตัวผกผันอาจถูก "ทำให้อ่อนลง" เพื่อยืนยันเฉพาะการมีอยู่ของเอกลักษณ์ด้านซ้ายและตัวผกผันด้านซ้าย เท่านั้น จากสัจพจน์ด้านเดียว เหล่านี้ เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าเอกลักษณ์ด้านซ้ายก็เป็นเอกลักษณ์ด้านขวาด้วย และตัวผกผันด้านซ้ายก็เป็นตัวผกผันด้านขวาสำหรับองค์ประกอบเดียวกัน เนื่องจากสัจพจน์เหล่านี้กำหนดโครงสร้างที่เหมือนกันทุกประการกับกลุ่ม ดังนั้นโดยรวมแล้วสัจพจน์เหล่านี้จึงไม่อ่อนลง^{[ 31 ]}

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมมติว่ามีการเชื่อมโยงและการมีอยู่ของเอกลักษณ์ซ้าย(นั่นคือ⁠ ⁠ ) และตัวผกผันซ้ายสำหรับแต่ละองค์ประกอบ(นั่นคือ⁠ ⁠ ) จะได้ว่าตัวผกผันซ้ายทุกตัวยังเป็นตัวผกผันขวาขององค์ประกอบเดียวกันดังต่อไปนี้^{[ 31 ]} อันที่จริง มี ${\displaystyle e}$${\displaystyle e\cdot f=f}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}\cdot f=e}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot f^{-1}&=e\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left identity)}}\\&=((f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1})\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot ((f^{-1}\cdot f)\cdot f^{-1})&&{\text{(associativity)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot (e\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1}&&{\text{(left identity)}}\\&=e&&{\text{(left inverse)}}\end{aligned}}}$

ในทำนองเดียวกัน อัตลักษณ์ด้านซ้ายก็เป็นอัตลักษณ์ด้านขวาเช่นกัน: ^{[ 31 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot e&=f\cdot (f^{-1}\cdot f)&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f\cdot f^{-1})\cdot f&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot f&&{\text{(right inverse)}}\\&=f&&{\text{(left identity)}}\end{aligned}}}$

ผลลัพธ์เหล่านี้จะไม่เป็นจริงหากตัดสัจพจน์ข้อใดข้อหนึ่งออกไป (สัจพจน์การสลับที่ การมีอยู่ของเอกลักษณ์ซ้าย และการมีอยู่ของตัวผกผันซ้าย) ตัวอย่างเช่น สำหรับโครงสร้างที่มีนิยามที่หลวมกว่า (เช่นเซมิกรุป ) อาจพบว่าเอกลักษณ์ซ้ายไม่จำเป็นต้องเป็นเอกลักษณ์ขวาเสมอไป

สามารถได้ผลลัพธ์เดียวกันโดยเพียงแค่สมมติว่ามีเอกลักษณ์ทางขวาและตัวผกผันทางขวาอยู่

อย่างไรก็ตาม การสมมติเพียงว่ามี เอกลักษณ์ ซ้ายและ ตัวผกผัน ขวา (หรือในทางกลับกัน) นั้นไม่เพียงพอที่จะกำหนดกลุ่มได้ ตัวอย่างเช่น พิจารณาเซตที่มีตัวดำเนินการที่สอดคล้อง กับ และ⁠ ⁠โครงสร้างนี้มีเอกลักษณ์ซ้าย (นั่นคือ⁠ ⁠ ) และแต่ละองค์ประกอบมีตัวผกผันขวา (ซึ่งสำหรับทั้งสององค์ประกอบ) ยิ่งไปกว่านั้น การดำเนินการนี้มีคุณสมบัติการสลับที่ (เนื่องจากผลคูณขององค์ประกอบจำนวนใด ๆ จะเท่ากับองค์ประกอบขวาสุดในผลคูณนั้นเสมอ โดยไม่คำนึงถึงลำดับที่ใช้การดำเนินการเหล่านี้) อย่างไรก็ตามไม่ใช่กลุ่ม เนื่องจากขาดเอกลักษณ์ขวา ${\displaystyle G=\{e,f\}}$${\displaystyle \,\!\cdot }$${\displaystyle e\cdot e=f\cdot e=e}$${\displaystyle e\cdot f=f\cdot f=f}$${\displaystyle e}$${\displaystyle e}$${\displaystyle (G,\cdot )}$

เมื่อศึกษาเซต เราจะใช้แนวคิดต่างๆ เช่นเซตย่อยฟังก์ชัน และผลหารโดยความสัมพันธ์สมมูลเมื่อศึกษากลุ่ม เราจะใช้กลุ่มย่อย โฮโมมอ ร์ฟิซึมและกลุ่มผลหาร แทน ซึ่งเป็นแนวคิดที่นำมาเปรียบเทียบกับโครงสร้างของกลุ่ม^{[ d ]}

โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม^{[ e ]}คือฟังก์ชันที่เคารพโครงสร้างของกลุ่ม สามารถใช้เพื่อเชื่อมโยงสองกลุ่มเข้าด้วยกันได้โฮโมมอร์ฟิซึมจากกลุ่มหนึ่งไปยังอีกกลุ่มหนึ่งคือฟังก์ชันที่ ${\displaystyle (G,\cdot )}$${\displaystyle (H,*)}$${\displaystyle \varphi :G\to H}$

${\displaystyle \varphi (a\cdot b)=\varphi (a)*\varphi (b)}$สำหรับองค์ประกอบทั้งหมดและใน⁠ ⁠ .${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle G}$

เป็นเรื่องปกติที่จะต้องกำหนดให้เคารพเอกลักษณ์⁠ ⁠และผกผันสำหรับทุก ๆใน⁠ ⁠ ด้วยอย่างไรก็ตาม ไม่จำเป็นต้องรวมข้อกำหนดเพิ่มเติมเหล่านี้ไว้ในคำจำกัดความของโฮโมมอร์ฟิซึม เนื่องจากข้อกำหนดในการเคารพการดำเนินการของกลุ่มได้บ่งบอกไว้แล้ว^{[ 32 ]}${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi (1_{G})=1_{H}}$${\displaystyle \varphi (a^{-1})=\varphi (a)^{-1}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle G}$

โฮโมมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์ของกลุ่มคือโฮโมมอร์ฟิซึมที่แมปแต่ละสมาชิกของกลุ่มไปยังตัวมันเองโฮโมมอร์ฟิซึมผกผันของโฮโมมอร์ฟิซึมคือโฮโมมอร์ฟิซึมที่และ⁠ ⁠นั่นคือ โฮโมมอร์ฟิซึมที่สำหรับทุกในและโฮโมมอร์ฟิซึมที่สำหรับทุกใน ⁠ ⁠ ไอโซมอร์ฟิซึมคือโฮโมมอร์ฟิซึมที่มีโฮโมมอร์ฟิซึมผกผัน หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือเป็น โฮโมมอร์ฟิซึม แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงกลุ่มและเรียกว่าเป็นไอโซมอร์ฟิกกันถ้ามีไอโซมอร์ฟิซึม⁠ ⁠ อยู่ ในกรณีนี้สามารถหาได้จากโดยการเปลี่ยนชื่อสมาชิกตามฟังก์ชัน⁠ ⁠จากนั้นข้อความใดๆ ที่เป็นจริงสำหรับ ก็จะเป็นจริงสำหรับ⁠ ⁠เช่นกัน โดยมีเงื่อนไขว่าสมาชิกเฉพาะใดๆ ที่กล่าวถึงในข้อความนั้นจะต้องถูกเปลี่ยนชื่อด้วย ${\displaystyle G}$${\displaystyle \iota _{G}:G\to G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \varphi :G\to H}$${\displaystyle \psi :H\to G}$${\displaystyle \psi \circ \varphi =\iota _{G}}$${\displaystyle \varphi \circ \psi =\iota _{H}}$${\displaystyle \psi {\bigl (}\varphi (g){\bigr )}=g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \varphi {\bigl (}\psi (h){\bigr )}=h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \varphi :G\to H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

การรวบรวมกลุ่มทั้งหมดพร้อมกับโฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างกลุ่มเหล่านั้นก่อให้เกิด^หมวดหมู่ หมวด หมู่ของกลุ่ม^{[ 33} ]

โฮโมมอร์ ฟิซึม แบบฉีด สามารถแยกตัวประกอบได้ตามหลักการเป็นไอ โซมอร์ฟิซึมตามด้วยการรวม สำหรับ กลุ่มย่อยบางกลุ่มของโฮโมมอร์ฟิซึมแบบฉีดคือโมโนมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่ของกลุ่ม ${\displaystyle \phi :G'\to G}$${\displaystyle G'\;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H\hookrightarrow G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

โดยไม่เป็นทางการกลุ่มย่อยคือกลุ่มที่อยู่ภายในกลุ่มที่ใหญ่กว่ากล่าวคือมีเซตย่อยขององค์ประกอบของโดยมีการดำเนินการแบบเดียวกัน^{[ 34 ]}ในทางปฏิบัติ หมายความว่า องค์ประกอบเอกลักษณ์ของจะต้องอยู่ในและเมื่อใดก็ตามที่และอยู่ในทั้งคู่แล้วและก็อยู่ ใน เช่นกันดังนั้น องค์ประกอบของซึ่งมีการดำเนินการของกลุ่มบน ที่จำกัดไว้ที่ จึงก่อให้เกิดกลุ่ม ในกรณีนี้ แผนที่การรวมเป็นโฮโมมอร์ฟิซึม ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle h_{1}}$${\displaystyle h_{2}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle h_{1}\cdot h_{2}}$${\displaystyle h_{1}^{-1}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H\to G}$

ในตัวอย่างสมมาตรของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เอกลักษณ์และการหมุนประกอบกันเป็นกลุ่มย่อยซึ่งไฮ${\displaystyle R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}}$ไลต์ด้วยสีแดงในตาราง Cayley ของตัวอย่าง: การหมุนสองครั้งใดๆ ที่ประกอบกันยังคงเป็นการหมุน และการหมุนสามารถย้อนกลับได้โดย (กล่าวคือ เป็นการผกผันกับ) การหมุนเสริม 270° สำหรับ 90°, 180° สำหรับ 180° และ 90° สำหรับ 270° การทดสอบกลุ่มย่อยให้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเซตย่อยที่ไม่ว่างของกลุ่ม${\displaystyle H}$ที่จะเป็น${\displaystyle G}$กลุ่มย่อย: เพียงพอที่จะตรวจสอบว่าสำหรับองค์ประกอบทั้งหมดและในการ รู้ กลุ่มย่อยของกลุ่ม มีความสำคัญใน การทำความเข้าใจกลุ่มโดยรวม^{[ f ]}${\displaystyle g^{-1}\cdot h\in H}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle H}$

เมื่อกำหนดเซตย่อยใด ๆของกลุ่ม⁠ ⁠กลุ่มย่อยที่สร้างโดยประกอบด้วยผลคูณทั้งหมดขององค์ประกอบของและตัวผกผันขององค์ประกอบเหล่านั้น เป็นกลุ่มย่อยที่เล็กที่สุดของที่มี⁠ ⁠อยู่^{[ 35 ]}ในตัวอย่างของสมมาตรของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส กลุ่มย่อยที่สร้างโดยและประกอบด้วยองค์ประกอบสองตัวนี้ องค์ประกอบเอกลักษณ์⁠ ⁠และองค์ประกอบ⁠ ⁠อีกครั้ง นี่เป็นกลุ่มย่อย เพราะการรวมองค์ประกอบสองตัวใด ๆ จากสี่องค์ประกอบนี้หรือตัวผกผันขององค์ประกอบเหล่านั้น (ซึ่งในกรณีนี้คือองค์ประกอบเดียวกัน) จะได้องค์ประกอบของกลุ่มย่อยนี้ ${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$${\displaystyle \mathrm {id} }$${\displaystyle f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {v} }\cdot r_{2}}$

ในหลายสถานการณ์ เป็นที่พึงปรารถนาที่จะพิจารณาว่าสมาชิกกลุ่มสองตัวเหมือนกัน หากแตกต่างกันด้วยสมาชิกของกลุ่มย่อยที่กำหนด ตัวอย่างเช่น ในกลุ่มสมมาตรของสี่เหลี่ยมจัตุรัส เมื่อทำการสะท้อนแล้ว การหมุนเพียงอย่างเดียวไม่สามารถทำให้สี่เหลี่ยมจัตุรัสกลับไปยังตำแหน่งเดิมได้ ดังนั้นเราจึงสามารถคิดว่าตำแหน่งที่สะท้อนของสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดเท่ากัน และไม่เท่ากับตำแหน่งที่ไม่สะท้อน การดำเนินการหมุนไม่เกี่ยวข้องกับคำถามว่าได้ทำการสะท้อนหรือไม่ โคเซตถูกใช้เพื่อทำให้แนวคิดนี้เป็นทางการ: กลุ่มย่อยกำหนดโคเซตซ้ายและขวา ซึ่งสามารถคิดได้ว่าเป็นการเลื่อนของโดยสมาชิกกลุ่มใดๆ⁠ ⁠ในเชิงสัญลักษณ์ โคเซต ซ้ายและขวาของ⁠ ⁠ซึ่งมีสมาชิก⁠ ⁠คือ ${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle g}$${\displaystyle H}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle gH=\{g\cdot h\mid h\in H\}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle Hg=\{h\cdot g\mid h\in H\}}$ตามลำดับ^{[ 36 ]}

โคเซตซ้ายของกลุ่มย่อยใดๆก่อให้เกิดการแบ่งส่วนของ⁠ ⁠กล่าวคือการรวมกันของโคเซตซ้ายทั้งหมดเท่ากับและโคเซตซ้ายสองโคเซตจะเท่ากันหรือมีจุดตัดว่าง^{[ 37 ]}กรณีแรกเกิดขึ้นอย่างแม่นยำเมื่อ⁠ ⁠กล่าวคือ เมื่อองค์ประกอบทั้งสองแตกต่างกันด้วยองค์ประกอบของ⁠ ⁠ข้อพิจารณาที่คล้ายกันนี้ใช้กับโคเซตขวาของ⁠ ⁠โคเซตซ้ายของอาจจะเหมือนหรือไม่เหมือนกับโคเซตขวาของมันก็ได้ ถ้าเหมือนกัน (นั่นคือ ถ้าทั้งหมดในเป็นไปตาม⁠ ⁠ ) แล้วจะเรียกว่าเป็น กลุ่ม ย่อย ปกติ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g_{1}H=g_{2}H}$${\displaystyle g_{1}^{-1}\cdot g_{2}\in H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle gH=Hg}$${\displaystyle H}$

ในกลุ่มสมมาตรของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส พร้อมด้วยกลุ่มย่อยของการหมุน โคเซตด้านซ้ายจะเท่ากับถ้าเป็นสมาชิกของกลุ่ม นั้น เอง${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$หรือเท่ากับ(ไฮไลต์ด้วยสีเขียวในตารางเคย์ลีย์ของ) กลุ่มย่อยนี้เป็นกลุ่มย่อยปกติ เพราะ และเช่นเดียวกันสำหรับสมาชิกอื่นๆ ของกลุ่ม (อัน ที่จริงในกรณีของโค เซต ที่ เกิดจากการสะท้อนทั้งหมดจะเท่ากัน: )${\displaystyle R}$${\displaystyle gR}$${\displaystyle R}$${\displaystyle g}$${\displaystyle R}$${\displaystyle U=f_{\mathrm {c} }R=\{f_{\mathrm {c} },f_{\mathrm {d} },f_{\mathrm {v} },f_{\mathrm {h} }\}}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f_{\mathrm {c} }R=U=Rf_{\mathrm {c} }}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle f_{\mathrm {h} }R=f_{\mathrm {v} }R=f_{\mathrm {d} }R=f_{\mathrm {c} }R}$

สมมติว่าเป็นกลุ่มย่อยปกติของกลุ่ม⁠ ⁠และ แทนเซตของโคเซตของกลุ่มนั้น จากนั้นจะมีกฎกลุ่มที่ไม่ซ้ำกันบนซึ่งแผนที่ที่ส่งแต่ละองค์ประกอบไปยัง เป็นโฮโมมอร์ฟิซึม กล่าวคือ ผลคูณของโคเซตสองเซตและคือ⁠ ⁠โคเซตทำหน้าที่เป็นเอกลักษณ์ของ⁠ ⁠และอินเวอร์สของในกลุ่มผลหารคือ⁠ ⁠กลุ่ม⁠ ⁠อ่านว่า " ⁠ ⁠ modulo ⁠ ⁠ " ^{[ 38 ]}เรียกว่ากลุ่มผลหารหรือกลุ่มตัวประกอบกลุ่มผลหารสามารถกำหนดลักษณะได้ด้วยคุณสมบัติสากลอีก ทางหนึ่ง${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$$${\displaystyle G/N=\{gN\mid g\in G\}}$$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle G\to G/N}$${\displaystyle g}$${\displaystyle gN}$${\displaystyle gN}$${\displaystyle hN}$${\displaystyle (gh)N}$${\displaystyle eN=N}$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle gN}$${\displaystyle (gN)^{-1}=\left(g^{-1}\right)N}$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$

ตารางเคย์ลีย์ของกลุ่มผลหาร${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$

${\displaystyle \cdot }$	${\displaystyle R}$	${\displaystyle U}$
${\displaystyle R}$	${\displaystyle R}$	${\displaystyle U}$
${\displaystyle U}$	${\displaystyle U}$	${\displaystyle R}$

สมาชิกของกลุ่มผลหารคือและการดำเนินการกลุ่มบนผลหารแสดงอยู่ในตาราง ตัวอย่างเช่นทั้งกลุ่มย่อยและผลหารเป็นกลุ่มอาเบเลียน แต่ไม่ใช่บางครั้งกลุ่มสามารถสร้างขึ้นใหม่จากกลุ่มย่อยและผลหาร (รวมถึงข้อมูลเพิ่มเติมบางอย่าง) โดยการสร้างผลคูณกึ่งตรงตัวอย่างเช่น ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle U=f_{\mathrm {v} }R}$${\displaystyle U\cdot U=f_{\mathrm {v} }R\cdot f_{\mathrm {v} }R=(f_{\mathrm {v} }\cdot f_{\mathrm {v} })R=R}$${\displaystyle R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมข้อแรกบ่งชี้ว่าโฮโมมอร์ฟิ ซึม แบบทั่วถึง ใดๆ สามารถแยกตัวประกอบได้ตามหลักการเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมแบบผลหาร ตามด้วยไอโซมอร์ฟิซึม: ⁠ ⁠โฮโมมอร์ฟิซึมแบบทั่วถึงคือเอพิโมร์ฟิซึมในหมวดหมู่ของกลุ่ม ${\displaystyle \phi :G\to H}$${\displaystyle G\to G/\ker \phi \;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H}$

ทุกกลุ่มมีสมบัติสมมาตรกับผลหารของกลุ่มอิสระในหลายๆ ด้าน

ตัวอย่างเช่น กลุ่มไดเฮดรัลถูกสร้างขึ้นโดยการหมุนขวาและการสะท้อนในเส้นตรงแนวตั้ง (สมาชิกทุกตัวของเป็นผลคูณจำกัดของสำเนาของสิ่งเหล่านี้และตัวผกผันของพวกมัน) ดังนั้นจึงมีโฮโมมอร์ฟิซึมแบบทั่วถึง⁠ ⁠จากกลุ่มอิสระบนตัวสร้างสองตัวไปยังส่งไปยังและไปยัง⁠ ⁠สมาชิกในเรียกว่าความสัมพันธ์ตัวอย่างเช่น⁠ ⁠ในความเป็นจริง ปรากฏว่าเป็นกลุ่มย่อยปกติที่เล็กที่สุดของที่มีสมาชิกทั้งสามนี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความสัมพันธ์ทั้งหมดเป็นผลสืบเนื่องมาจากสมาชิกทั้งสามนี้ ผลหารของกลุ่มอิสระโดยกลุ่มย่อยปกตินี้แสดงด้วย⁠ ⁠นี่เรียกว่าการนำเสนอของโดยตัวสร้างและความสัมพันธ์ เนื่องจากทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมแรกสำหรับ⁠ ⁠ให้ผลลัพธ์เป็นไอโซมอร์ฟิซึม⁠ ⁠ ^{[ 39 ]}${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \langle r,f\rangle }$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle \ker \phi }$${\displaystyle r^{4},f^{2},(r\cdot f)^{2}}$${\displaystyle \ker \phi }$${\displaystyle \langle r,f\rangle }$${\displaystyle \langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle }$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle \to \mathrm {D} _{4}}$

การนำเสนอของกลุ่มสามารถใช้ในการสร้างกราฟ Cayleyซึ่งเป็นการแสดงภาพกราฟิกของกลุ่มแยกส่วนได้^{[ 40 ]}

ตัวอย่างและการประยุกต์ใช้ของกลุ่มมีอยู่มากมาย จุดเริ่มต้นคือกลุ่มของจำนวนเต็มที่มีการบวกเป็นตัวดำเนินการของกลุ่ม ซึ่งได้กล่าวถึงไปแล้วข้างต้น หากพิจารณาการคูณแทนการบวก จะได้กลุ่มการคูณกลุ่มเหล่านี้เป็นพื้นฐานสำหรับการสร้างที่สำคัญในพีชคณิต นามธรรม${\displaystyle \mathbb {Z} }$

กลุ่มยังถูกนำไปใช้ในสาขาคณิตศาสตร์อื่นๆ อีกมากมาย วัตถุทางคณิตศาสตร์มักถูกตรวจสอบโดยการเชื่อมโยงกลุ่มเข้ากับวัตถุเหล่านั้นและศึกษาคุณสมบัติของกลุ่มที่เกี่ยวข้อง ตัวอย่างเช่นอองรี ปวงกาเรได้วางรากฐานสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าโทโพโลยีเชิงพีชคณิตโดยการแนะนำกลุ่มพื้นฐาน^{[ 41 ]}ด้วยความเชื่อมโยงนี้คุณสมบัติทางโทโพโลยีเช่นความใกล้เคียงและความต่อเนื่องจึงถูกแปลงเป็นคุณสมบัติของกลุ่ม^{[ g ]}

สมาชิกของกลุ่มพื้นฐานในปริภูมิเชิงทอพอโล ยี คือชั้นสมมูลของวงวน โดยวงวนจะถือว่าสมมูลกันหากสามารถเปลี่ยนรูปวงวนหนึ่งไปเป็นอีกวงวนหนึ่งได้อย่างราบรื่นและการดำเนินการของกลุ่มคือ "การต่อเชื่อม" (การติดตามวงวนหนึ่งแล้วตามด้วยอีกวงวนหนึ่ง) ตัวอย่างเช่น ดังแสดงในรูป หากปริภูมิเชิงทอพอโลยีคือระนาบที่มีจุดหนึ่งถูกลบออกไป วงวนที่ไม่วนรอบจุดที่หายไป (สีน้ำเงิน) สามารถหดตัวอย่างราบรื่นไปยังจุดเดียวและเป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ของกลุ่มพื้นฐาน วงวนที่วนรอบจุดที่หายไปจำนวนครั้งไม่สามารถเปลี่ยนเป็นวงวนที่วนรอบจำนวนครั้ง (โดยที่⁠ ⁠ ) ได้ เพราะวงวนไม่สามารถเปลี่ยนรูปได้อย่างราบรื่นข้ามรู ดังนั้นแต่ละชั้นของวงวนจึงมีลักษณะเฉพาะด้วยจำนวนรอบที่วนรอบจุดที่หายไป กลุ่มที่ได้จะสมมูลกับจำนวนเต็มภายใต้การบวก ${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m\neq k}$

ในการประยุกต์ใช้ล่าสุด อิทธิพลยังกลับกันเพื่อกระตุ้นการสร้างทางเรขาคณิตโดยอาศัยพื้นฐานทางทฤษฎีกลุ่ม^{[ h ]}ในทำนองเดียวกันทฤษฎีกลุ่มทางเรขาคณิตใช้แนวคิดทางเรขาคณิต เช่น ในการศึกษากลุ่มไฮเปอร์โบลิก [ ^{42 ] สาขา}อื่นๆ ที่นำกลุ่มมาใช้อย่างสำคัญ ได้แก่เรขาคณิตเชิงพีชคณิตและทฤษฎีจำนวน^{[ 43 ]}

นอกเหนือจากการประยุกต์ใช้ทางทฤษฎีข้างต้นแล้ว ยังมีการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติของกลุ่มอีกมากมายการเข้ารหัสอาศัยการผสมผสานระหว่างแนวทางทฤษฎีกลุ่มเชิงนามธรรมกับ ความรู้ เชิงอั ลกอริทึม ที่ได้รับในทฤษฎีกลุ่มเชิงคำนวณโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อนำไปใช้กับกลุ่มจำกัด^{[ 44 ]}การประยุกต์ใช้ทฤษฎีกลุ่มไม่ได้จำกัดอยู่เฉพาะคณิตศาสตร์เท่านั้น วิทยาศาสตร์ เช่นฟิสิกส์เคมีและวิทยาการคอมพิวเตอร์ก็ได้รับประโยชน์จากแนวคิดนี้เช่น กัน

ระบบจำนวนหลายระบบ เช่น จำนวนเต็มและจำนวนตรรกยะมีโครงสร้างกลุ่มตามธรรมชาติ ในบางกรณี เช่น จำนวนตรรกยะ ทั้งการบวกและการคูณต่างก็ก่อให้เกิดโครงสร้างกลุ่ม ระบบจำนวนเหล่านี้เป็นพื้นฐานสำหรับโครงสร้างพีชคณิตทั่วไปที่เรียกว่าริงและฟิลด์แนวคิดพีชคณิตนามธรรมอื่นๆ เช่นโมดูลปริภูมิเวกเตอร์และพีชคณิตก็ก่อตัวเป็นกลุ่มเช่นกัน

กลุ่มของจำนวนเต็มภายใต้การบวก ซึ่งเขียนแทนด้วย⁠ ⁠ได้รับการอธิบายไว้ข้างต้นแล้ว จำนวนเต็มที่มีการดำเนินการคูณแทนการบวกจะไม่ก่อตัวเป็นกลุ่ม สัจพจน์การสลับที่และเอกลักษณ์เป็นไปตามเงื่อนไข แต่ไม่มีตัวผกผัน ตัวอย่างเช่นเป็นจำนวนเต็ม แต่คำตอบเดียวของสมการในกรณีนี้คือ⁠ ⁠ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะ แต่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ดังนั้น ไม่ใช่ทุกองค์ประกอบของจะมีตัวผกผัน (การคูณ) ^{[ i ]}${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,+\right)}$${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,\cdot \right)}$${\displaystyle a=2}$${\displaystyle a\cdot b=1}$${\displaystyle b={\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

ความปรารถนาที่จะค้นหาตัวผกผันการคูณนั้น ชี้ให้เห็นถึงความจำเป็นในการพิจารณาเศษส่วน$${\displaystyle {\frac {a}{b}}.}$$

เศษส่วนของจำนวนเต็ม (ที่ไม่ใช่ศูนย์) เรียกว่าจำนวนตรรกยะ^{[ j ]}เซตของเศษส่วนที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ทั้งหมดดังกล่าว มักจะใช้สัญลักษณ์⁠ ⁠ยังคงมีอุปสรรคเล็กน้อยสำหรับ⁠ ⁠ ซึ่ง เป็นจำนวนตรรกยะที่มีการคูณ ที่จะเป็นกลุ่ม: เนื่องจากศูนย์ไม่มีตัวผกผันการคูณ (กล่าวคือ ไม่มี ⁠ ⁠ ที่ทำให้⁠ ⁠ ) ดังนั้นจึงยังไม่ใช่กลุ่ม ${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\cdot 0=1}$${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)}$

อย่างไรก็ตาม เซตของจำนวนตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์ ทั้งหมด นั้นก่อตัวเป็นกลุ่มอาเบเลียนภายใต้การคูณ ซึ่งเขียนแทนด้วย⁠ ⁠ [ ^{k ] สัจพจน์}เกี่ยวกับการเชื่อมโยงและเอกลักษณ์ขององค์ประกอบนั้นได้มาจากคุณสมบัติของจำนวนเต็ม ข้อกำหนดการปิดยังคงเป็นจริงหลังจากลบศูนย์ออกไป เนื่องจากผลคูณของจำนวนตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์สองจำนวนจะไม่เป็นศูนย์ สุดท้าย ตัวผกผันของคือ⁠ ⁠ดังนั้นสัจพจน์ขององค์ประกอบผกผันจึงเป็นไปตามเงื่อนไข ${\displaystyle \mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\}=\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q\neq 0\right\}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }}$${\displaystyle a/b}$${\displaystyle b/a}$

จำนวนตรรกยะ (รวมถึงศูนย์) ยังก่อตัวเป็นกลุ่มภายใต้การบวก การผสมผสานการดำเนินการบวกและการคูณทำให้เกิดโครงสร้างที่ซับซ้อนมากขึ้นที่เรียกว่าวงแหวน และ – หากการหารด้วยจำนวนอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์เป็นไปได้ เช่นใน– ฟิลด์ ซึ่งมีบทบาทสำคัญในพีชคณิตนามธรรม ดังนั้น ข้อโต้แย้งเชิงทฤษฎีกลุ่มจึงเป็นพื้นฐานของทฤษฎีบางส่วนของสิ่งเหล่านั้น^{[ l ]}${\displaystyle \mathbb {Q} }$

เลขคณิตมอดูลาร์สำหรับมอดูลัส กำหนดให้สมาชิกสองตัวใดๆที่แตกต่างกันด้วยผล คูณของมอดูลัส จะเท่ากัน โดยใช้สัญลักษณ์⁠ ⁠ แทน จำนวนเต็มทุกตัวจะเท่ากับจำนวนเต็มตัวใดตัวหนึ่งตั้งแต่ถึง⁠ ⁠และการดำเนินการของเลขคณิตมอดูลาร์จะปรับเปลี่ยนเลขคณิตปกติโดยการแทนที่ผลลัพธ์ของการดำเนินการใดๆ ด้วยตัวแทน ที่เทียบเท่า กัน การบวกมอดูลาร์ ซึ่งกำหนดไว้ในลักษณะนี้สำหรับจำนวนเต็มตั้งแต่ถึง⁠ ⁠จะก่อให้เกิดกลุ่ม โดยใช้สัญลักษณ์หรือ ⁠ ⁠ โดยมีเป็นสมาชิกเอกลักษณ์ และเป็นสมาชิกผกผันของ⁠ ⁠${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{n}}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle n-a}$${\displaystyle a}$

ตัวอย่างที่คุ้นเคยคือการบวกชั่วโมงบนหน้าปัดนาฬิกาโดยเลือกใช้ 12 แทน 0 เป็นตัวแทนของเอกลักษณ์ ถ้าเข็มชั่วโมงชี้ไปและเดินหน้าไปหลายชั่วโมง มันจะไปหยุดอยู่ที่⁠ ⁠ดังแสดงในภาพประกอบ ซึ่งแสดงได้โดยการกล่าวว่า นั้นสอดคล้องกับ"โมดูลัส⁠ ⁠ " หรือในสัญลักษณ์คือ ${\displaystyle 9}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 9+4}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 12}$$${\displaystyle 9+4\equiv 1{\pmod {12}}.}$$

สำหรับจำนวนเฉพาะใดๆ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ยังมีกลุ่มการคูณของจำนวนเต็มมอดูล${\displaystyle p}$ ⁠ ⁠ อีก ด้วย ^{[ 45 ]}สมาชิกของมันสามารถแทนด้วย⁠ ⁠ การดำเนินการของกลุ่ม การคูณมอดูล⁠ ⁠จะแทนที่ผลคูณปกติด้วยตัวแทนของมันซึ่งก็คือเศษเหลือจากการหารด้วย⁠ ⁠ตัวอย่างเช่น สำหรับ⁠ ⁠สมาชิกกลุ่มทั้งสี่สามารถแทนด้วย⁠ ⁠ในกลุ่มนี้⁠ ⁠เนื่องจากผลคูณปกติเทียบเท่ากับ⁠ ⁠ : เมื่อหารด้วยจะได้เศษเหลือเป็น⁠ ⁠ความเป็นจำนวนเฉพาะของทำให้มั่นใจได้ว่าผลคูณปกติของตัวแทนสองตัวจะไม่หารด้วย⁠ ⁠ ลงตัว และดังนั้นผลคูณมอดูลจึงไม่ใช่ศูนย์^{[ m ]}เอกลักษณ์แสดงด้วย  ⁠ ⁠และคุณสมบัติการสลับที่ได้มาจากคุณสมบัติที่สอดคล้องกันของจำนวนเต็ม สุดท้าย สัจพจน์ขององค์ประกอบผกผันกำหนดว่า เมื่อกำหนดจำนวนเต็มที่หาร ด้วย ⁠ ⁠ไม่ลงตัวจะมีจำนวนเต็ม อยู่เช่นนั้น นั่นคือ เช่นนั้นหาร⁠ ⁠ ลงตัว สามารถหาตัวผกผัน ได้โดยใช้ เอกลักษณ์ของ Bézoutและข้อเท็จจริงที่ว่าตัวหารร่วมมากเท่ากับ  ⁠ ⁠ ^{[ 46 ]}ในกรณีข้างต้น ตัวผกผันขององค์ประกอบที่แสดงด้วยคือ องค์ประกอบที่แสดงด้วย⁠ ⁠และตัวผกผันขององค์ประกอบที่แสดงด้วย คือ องค์ประกอบที่แสดงด้วย  ⁠ ⁠เนื่องจาก⁠ ⁠ดังนั้นสัจพจน์ของกลุ่มทั้งหมดจึงเป็นไปตามเงื่อนไข ตัวอย่างนี้คล้ายกับข้างต้น คือ ประกอบด้วยองค์ประกอบในริงที่มีตัวผกผันการคูณ เท่านั้น ^{[ 47 ]}กลุ่มเหล่านี้ซึ่งแสดงด้วย⁠ ⁠มีความสำคัญต่อ การ เข้ารหัสแบบกุญแจสาธารณะ^{[ n ]}${\displaystyle 1}$${\displaystyle p-1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=5}$${\displaystyle 1,2,3,4}$${\displaystyle 4\cdot 4\equiv 1{\pmod {5}}}$${\displaystyle 16}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 5}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle p}$${\displaystyle b}$$${\displaystyle a\cdot b\equiv 1{\pmod {p}},}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle a\cdot b-1}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \gcd(a,p)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle p=5}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3\cdot 2=6\equiv 1{\pmod {5}}}$${\displaystyle \left(\mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\},\cdot \right)}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$