ในทฤษฎีจำนวนและการวิเคราะห์เชิงซ้อน รูป แบบมอดูลาร์ (Modular Form) คือ ฟังก์ชันชนิดหนึ่งของ ตัวแปร จำนวนเชิงซ้อนที่มีสมมาตรสูงในลักษณะเฉพาะ คล้ายกับฟังก์ชันคาบของตัวแปรจริง รูปแบบมอดูลาร์จะซ้ำหรือแปลงรูปในลักษณะใดลักษณะหนึ่งเมื่ออาร์กิวเมนต์ของมันถูกแปลงด้วยการแปลงแบบเฉพาะ แตกต่างจากฟังก์ชันคาบธรรมดา สมมาตรของมันรวมถึงการแปลง เช่น การแทนที่จำนวนเชิงซ้อนzด้วย−1/ zและกฎการแปลงไม่ใช่สมมาตรที่แน่นอนของฟังก์ชัน แต่คล้ายกับกฎการแปลงของฟังก์ชันกึ่งคาบ (Quasiperiodic Function ) กล่าวคือ ฟังก์ชันจะรับตัวประกอบเพิ่มเติมขึ้นอยู่กับการแปลง รูปแบบมอดูลาร์ทำหน้าที่เป็นสะพานเชื่อมที่สำคัญระหว่างการวิเคราะห์เชิงซ้อนทฤษฎีจำนวนและเรขาคณิตรูปแบบมอดูลาร์ยังปรากฏในสาขาอื่นๆ เช่นโทโพโลยีเชิงพีชคณิตการจัดเรียงทรงกลมและทฤษฎีสตริง

กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น รูปแบบโมดูลาร์คือฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนระนาบครึ่งบนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน โดยประมาณ โดยสัมพันธ์กับการกระทำของกลุ่มโมดูลาร์และเงื่อนไขการเติบโต รูปแบบโมดูลาร์เป็นกรณีพิเศษของรูปแบบออโตมอร์ฟิกซึ่งเป็นฟังก์ชันที่กำหนดบนกลุ่มลีที่แปลงได้อย่างดีโดยสัมพันธ์กับการกระทำของกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่อง บางกลุ่ม โดย เป็นการขยายตัวอย่างของกลุ่มโมดูลาร์ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

คำว่ารูปแบบโมดูลาร์ในฐานะคำอธิบายที่เป็นระบบ มักจะถูกยกให้เป็นผลงานของErich Heckeความสำคัญของรูปแบบโมดูลาร์ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ได้รับการนำเสนออย่างขบขันในคำพูดที่อาจเป็นเรื่องเล่าปรัมปราที่อ้างถึงMartin Eichlerซึ่งอธิบายว่ารูปแบบโมดูลาร์เป็นการดำเนินการพื้นฐานลำดับที่ห้าในคณิตศาสตร์ ต่อจากการบวก การลบ การคูณ และการหาร^{[ 1 ]}

โดยทั่วไป^{[ 2 ]}เมื่อกำหนดกลุ่มย่อยที่มีดัชนีจำกัด (เรียกว่ากลุ่มเลขคณิต ) รูปแบบมอดูลาร์ของระดับและน้ำหนักจะเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกจากระนาบครึ่งบนที่สอดคล้องกับเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้: ${\displaystyle \Gamma <{\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle k}$${\displaystyle f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{z\in \mathbb {C} |\Im z>0\}}$

• เงื่อนไขออโตมอร์ฟี : สำหรับใดๆเรามี[ ^{หมายเหตุ 1 ]}และ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$${\displaystyle f(\gamma (z))=(cz+d)^{k}f(z)}$

• เงื่อนไขการเติบโต : สำหรับค่าใดๆฟังก์ชันจะมีค่าจำกัดสำหรับ${\displaystyle \gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle (cz+d)^{-k}f(\gamma (z))}$${\displaystyle {\text{im}}(z)\to \infty }$

นอกจากนี้ รูปทรงโมดูลาร์จะเรียกว่ารูปทรงคัสป์หากตรงตามเงื่อนไขการเติบโตต่อไปนี้:

• เงื่อนไขปลายแหลม : สำหรับค่าใดๆเราจะได้ค่าดังนี้${\displaystyle \gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle (cz+d)^{-k}f(\gamma (z))\to 0}$${\displaystyle {\text{im}}(z)\to \infty }$

โปรดทราบว่านี่คือเมทริกซ์ ${\displaystyle \gamma }$

${\textstyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} ),}$

ระบุด้วยฟังก์ชันการระบุฟังก์ชันด้วยเมทริกซ์ทำให้การประกอบฟังก์ชันเทียบเท่ากับการคูณเมทริกซ์ ${\textstyle \gamma (z)=(az+b)/(cz+d)}$

รูปแบบน้ำหนักแบบโมดูลาร์สำหรับกลุ่มโมดูลาร์${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,\ ad-bc=1\right\}}$

เป็นฟังก์ชันบนระนาบครึ่งบนที่ตรงตามเงื่อนไขสามข้อต่อไปนี้: ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}}$

1. ${\displaystyle f}$เป็นโฮโลมอร์ฟิกบน.${\displaystyle {\mathcal {H}}}$
2. สำหรับเมทริกซ์ใดๆ ในเรามี ${\displaystyle z\in {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )}$

   ${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$.

3. ${\displaystyle f}$มีขอบเขตจำกัดดังนี้${\displaystyle \operatorname {Im} (z)\to \infty }$

หมายเหตุ:

• โดยทั่วไป น้ำหนักจะเป็นจำนวนเต็มบวก${\displaystyle k}$
• สำหรับจำนวนคี่มีเพียงฟังก์ชันศูนย์เท่านั้นที่ตรงตามเงื่อนไขข้อที่สอง${\displaystyle k}$
• เงื่อนไขที่สามนั้นเขียนโดยใช้คำว่า"holomorphic at the cusp" ซึ่งเป็นศัพท์เฉพาะที่จะอธิบายต่อไป โดยชัดเจนแล้ว เงื่อนไขนี้หมายความว่ามีอยู่จริงบางค่าที่ทำให้ซึ่งหมายความว่าถูกจำกัดอยู่เหนือเส้นแนวนอนบางเส้น${\displaystyle f}$${\displaystyle M,D>0}$${\displaystyle \operatorname {Im} (z)>M\implies |f(z)|<D}$${\displaystyle f}$
• เงื่อนไขที่สองสำหรับ

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

อ่าน

${\displaystyle f\left(-{\frac {1}{z}}\right)=z^{k}f(z),\qquad f(z+1)=f(z)}$

ตามลำดับ เนื่องจากและสร้างกลุ่มดังนั้นเงื่อนไขที่สองข้างต้นจึงเทียบเท่ากับสมการทั้งสองนี้${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )}$

• เนื่องจากรูปแบบมอดูลาร์เป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบ1และดังนั้นจึงมีอนุกรมฟูริเยร์${\displaystyle f(z+1)=f(z)}$

รูปแบบมอดูลาร์สามารถนิยามได้อย่างเทียบเท่าว่าเป็นฟังก์ชันFจากเซตของแลตทิซในCไปยังเซตของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งตรงตามเงื่อนไขบางประการ:

1. ถ้าเราพิจารณาแลตทิซΛ = Z α + Z z ที่ สร้างขึ้นโดยค่าคงที่αและตัวแปรzแล้วF (Λ)จะเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ของz
2. ถ้าαเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ และα Λคือแลตทิซที่ได้จากการคูณแต่ละองค์ประกอบของΛด้วยαแล้วF ( α Λ) = α ^{− k} F (Λ)โดยที่kเป็นค่าคงที่ (โดยทั่วไปเป็นจำนวนเต็มบวก) ที่เรียกว่าน้ำหนักของรูปแบบ
3. ค่าสัมบูรณ์ของF (Λ) จะยังคงมีค่าจำกัดด้านบน ตราบใดที่ค่าสัมบูรณ์ขององค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ที่เล็กที่สุดในΛมีค่าจำกัดห่างจาก 0

แนวคิดหลักในการ พิสูจน์ ความเท่าเทียมกันของนิยามทั้งสองคือ ฟังก์ชันF ดังกล่าวถูกกำหนดโดยค่าของมันบนแลตทิซในรูปแบบ Z + Z τโดยที่τ ∈ Hเนื่องจากเงื่อนไขที่สอง

ซีรีส์ไอเซนสไตน์

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดจากมุมมองนี้คืออนุกรมไอเซนสไตน์ สำหรับจำนวนเต็มคู่ k > 2แต่ละตัวเรากำหนดG _k (Λ)ให้เป็นผลรวมของλ ^{− k} เหนือเวกเตอร์ λที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดของΛ :

${\displaystyle G_{k}(\Lambda )=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-k}.}$

ดังนั้นG _kจึงเป็นรูปแบบโมดูลาร์ของน้ำหนักkสำหรับΛ = Z + Z τ เรามี

${\displaystyle G_{k}(\Lambda )=G_{k}(\tau )=\sum _{(0,0)\neq (m,n)\in \mathbf {Z} ^{2}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{k}}},}$

และ

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{k}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&=\tau ^{k}G_{k}(\tau ),\\G_{k}(\tau +1)&=G_{k}(\tau ).\end{aligned}}}$

เงื่อนไขk > 2จำเป็นสำหรับการลู่เข้าสำหรับk ที่เป็นเลขคี่ จะมีการหักล้างกันระหว่างλ ^{− k}และ(− λ ) ^{− k}ดังนั้นอนุกรมดังกล่าวจึงเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์

II. ฟังก์ชันทีตาของแลตทิซเอกโมดูลาร์คู่

แลตทิซเอกมิติคู่LในR ⁿคือแลตทิซที่สร้างขึ้นจาก เวกเตอร์ nตัวที่ประกอบเป็นคอลัมน์ของเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 และเป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่ากำลังสองของความยาวของแต่ละเวกเตอร์ในLเป็นจำนวนเต็มคู่ เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันทีตา

${\displaystyle \vartheta _{L}(z)=\sum _{\lambda \in L}e^{\pi i\Vert \lambda \Vert ^{2}z}}$

ลู่เข้าเมื่อ Im(z) > 0 และเป็นผลสืบเนื่องมาจากสูตรการรวมแบบปัวซงสามารถแสดงได้ว่าเป็นรูปแบบมอดูลาร์ที่มีน้ำหนักn /2การสร้างแลตทิซแบบยูนิมอดูลาร์นั้นไม่ใช่เรื่องง่าย แต่มีวิธีหนึ่งดังนี้: ให้nเป็นจำนวนเต็มที่หารด้วย 8 ลงตัว และพิจารณาเวกเตอร์ v ทั้งหมด^ใน Rn โดยที่vมีพิกัดเป็นจำนวนเต็ม ไม่ว่าจะเป็นเลขคู่ทั้งหมดหรือเลขคี่ทั้งหมด และผลรวมของพิกัดของvเป็นจำนวนเต็มคู่ เราเรียกแลตทิซนี้ว่า_{Ln เมื่อ} n = 8นี่คือแลตทิซที่สร้างขึ้นโดยรากในระบบรากที่เรียกว่าE8เนื่องจากมีเพียงรูปแบบมอดูลาร์เดียวที่มีน้ำหนัก 8 จนถึงการคูณด้วยสเกลาร์

${\displaystyle \vartheta _{L_{8}\times L_{8}}(z)=\vartheta _{L_{16}}(z),}$

แม้ว่าแลตทิซL ₈ × L ₈และL ₁₆จะไม่เหมือนกัน ก็ตาม จอห์น มิลเนอร์ สังเกตว่า ทอรัส 16 มิติที่ได้จากการหารR ¹⁶ด้วยแลตทิซทั้งสองนี้ จึงเป็นตัวอย่างของแมนิโฟลด์รีมันน์แบบกะทัดรัด ซึ่งมีสเปกตรัมเหมือน กัน แต่ไม่มีสมมาตร (ดูHearing the shape of a drum )

III. ตัวแยกแยะแบบโมดูลาร์

ฟังก์ชันDedekind etaถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle \eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}),\qquad q=e^{2\pi iz}.}$

โดยที่qคือกำลังสองของโนมจากนั้นตัวแยกแยะแบบโมดูลาร์ ที่ทำให้เป็นมาตรฐาน

${\displaystyle \Delta (z)=\eta (z)^{24}=q\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})^{24}}$

เป็นรูปทรงคัสป์ที่มีน้ำหนัก 12 การมีอยู่ของ 24 เกี่ยวข้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าแลตทิซของลีชมี 24 มิติข้อสันนิษฐานที่มีชื่อเสียงของรามานุจันกล่าวว่า เมื่อΔ( z )ถูกขยายเป็นอนุกรมกำลังใน q สัมประสิทธิ์ของqp สำหรับจำนวนเฉพาะp ^ใด ๆ จะมีค่าสัมบูรณ์≤ 2p 11/2 ^สิ่งนี้ได้รับการยืนยันโดยงานของไอช์เลอร์ชิมูระคูกะอิฮาระและปิแอร์ เดลิญซึ่งเป็นผลมาจากการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของไวล์ โดยเดลิญ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าบ่งชี้ถึงข้อสันนิษฐานของรามานุจัน

ตัวอย่างที่สองและสามให้เบาะแสบางอย่างเกี่ยวกับความเชื่อมโยงระหว่างรูปแบบมอดูลาร์กับคำถามคลาสสิกในทฤษฎีจำนวน เช่น การแทนจำนวนเต็มด้วยรูปแบบกำลังสองและฟังก์ชันการแบ่งส่วน ความเชื่อมโยงเชิงแนวคิดที่สำคัญระหว่างรูปแบบมอดูลาร์กับทฤษฎีจำนวนนั้นมาจากทฤษฎีตัวดำเนินการของเฮคเคซึ่งยังให้ความเชื่อมโยงระหว่างทฤษฎีรูปแบบมอดูลาร์กับทฤษฎีการแทนอีก ด้วย

ฟังก์ชันมอดูลาร์คือฟังก์ชันที่ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเทียบกับกลุ่มมอดูลาร์ แต่ไม่มีเงื่อนไขว่าต้องเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในระนาบครึ่งบน (และข้อกำหนดอื่นๆ) ในทางกลับกัน ฟังก์ชันมอดูลาร์สำหรับกลุ่มย่อยที่มีดัชนีจำกัดของกลุ่มมอดูลาร์คือฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบนระนาบครึ่งบนที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การกระทำของกลุ่มย่อยนั้นและเป็นฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกที่จุดยอดแหลม หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบนเส้นโค้งมอดูลาร์แบบกระชับที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มย่อยนั้น ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$

สำหรับกลุ่มมอดูลาร์แบบเต็ม ฟังก์ชันมอดูลาร์จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงของกลุ่มมอดูลาร์ และมีการขยายแบบเมโรเมอร์ฟิกที่จุดยอดแหลมในแง่ของ สิ่งนี้ หมายความว่าการขยาย q ของฟังก์ชัน นั้นมีพจน์กำลังลบเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น ${\displaystyle i\infty }$${\displaystyle q=\exp(2\pi iz)}$

เมื่อน้ำหนักkเป็นศูนย์ สามารถแสดงได้โดยใช้ทฤษฎีบทของ Liouvilleว่ารูปแบบมอดูลาร์เพียงอย่างเดียวคือฟังก์ชันคงที่ อย่างไรก็ตาม การผ่อนปรนข้อกำหนดที่ว่าf ต้องเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกนำไปสู่แนวคิดของฟังก์ชันมอดูลาร์ฟังก์ชันf  : H → Cเรียกว่ามอดูลาร์ถ้ามันมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• fเป็นเมโรเมอร์ฟิกในระนาบครึ่งบน เปิด H
• สำหรับเมทริกซ์ จำนวนเต็มทุกเมทริกซ์ ในกลุ่มมอดูลาร์Γ , .${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)}$
• เงื่อนไขที่สองบ่งชี้ว่าfเป็นฟังก์ชันคาบ และดังนั้นจึงมีอนุกรมฟูริเยร์เงื่อนไขที่สามคืออนุกรมนี้อยู่ในรูปแบบ

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}e^{2i\pi nz}.}$

โดยทั่วไปมักเขียนในรูปของ(กำลังสองของเขตปกครอง ) ดังนี้: ${\displaystyle q=\exp(2\pi iz)}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}q^{n}.}$

สิ่งนี้เรียกอีกอย่างว่าการขยายqของfสัมประสิทธิ์เหล่านี้เรียกว่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของfและจำนวนmเรียกว่าอันดับของขั้วของfที่i ∞เงื่อนไขนี้เรียกว่า "เมโรเมอร์ฟิกที่จุดยอดแหลม" หมายความว่ามีเพียงสัมประสิทธิ์ลบn จำนวนจำกัดเท่านั้น ที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น การขยาย qจึงมีขอบเขตล่าง รับประกันว่ามันเป็นเมโรเมอร์ฟิกที่q = 0 ^{[หมายเหตุ 2 ]}${\displaystyle a_{n}}$

สำหรับกลุ่มย่อยที่มีดัชนีจำกัด แนวคิดเดียวกันนี้แสดงออกมาโดยการกำหนดให้ต้องมีเมโรมอร์ฟิกที่จุดยอดแต่ละจุดของกลุ่มย่อย เงื่อนไขนี้ทำให้สามารถพิจารณาฟังก์ชันเป็นเมโรมอร์ฟิกบนเส้นโค้งโมดูลาร์แบบกระชับที่สอดคล้องกันได้^{[ 3 ]}

อีกวิธีหนึ่งในการอธิบายความหมายของฟังก์ชันมอดูลาร์คือการใช้เส้นโค้งวงรี : แลตทิซ Λ ทุกตัว กำหนดเส้นโค้งวงรีC /ΛบนC ; แลตทิซสองตัวกำหนด เส้นโค้งวงรี ที่สมมาตรกันได้ก็ต่อเมื่อเส้นโค้งหนึ่งได้มาจากอีกเส้นโค้งหนึ่งโดยการคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนα ที่ไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้น ฟังก์ชันมอดูลาร์จึงสามารถมองได้ว่าเป็นฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบนเซตของชั้นสมมาตรของเส้นโค้งวงรี ตัวอย่างเช่นj-invariant j ( z )ของเส้นโค้งวงรี ซึ่งถือว่าเป็นฟังก์ชันบนเซตของเส้นโค้งวงรีทั้งหมด เป็นฟังก์ชันมอดูลาร์ ในเชิงแนวคิดแล้ว ฟังก์ชันมอดูลาร์สามารถคิดได้ว่าเป็นฟังก์ชันบนปริภูมิโมดูลัสของชั้นสมมาตรของเส้นโค้งวงรีเชิงซ้อน

สำหรับกลุ่มมอดูลาร์ทั้งหมด รูปแบบมอดูลาร์f ‍ ที่ เป็นศูนย์ที่q = 0 (หรือเทียบเท่ากับa ₀ = 0หรือเขียนอีกแบบได้ว่าz = i ∞ ) เรียกว่ารูปแบบคัสป์ ( Spitzenformในภาษาเยอรมัน ) สำหรับกลุ่มย่อยที่มีดัชนีจำกัดของกลุ่มมอดูลาร์ รูปแบบคัสป์คือรูปแบบมอดูลาร์ที่เป็นศูนย์ที่ทุกจุดคัสป์ของกลุ่มย่อยนั้น

หน่วยโมดูลาร์คือฟังก์ชันโมดูลาร์ที่มีขั้วและศูนย์จำกัดอยู่ที่จุดยอด^{[ 4 ]}

สมการเชิงฟังก์ชัน กล่าวคือ พฤติกรรมของfเทียบกับสามารถผ่อนคลายได้โดยกำหนดให้ใช้ได้เฉพาะกับเมทริกซ์ในกลุ่มที่เล็กกว่าเท่านั้น ${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

รูปแบบโมดูลาร์สำหรับGที่มีน้ำหนักkคือฟังก์ชันบนHที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชันข้างต้นสำหรับเมทริกซ์ทั้งหมดในGซึ่งเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนHและที่จุดยอดแหลมทั้งหมดของGนอกจากนี้ รูปแบบโมดูลาร์ที่หายไปที่จุดยอดแหลมทั้งหมดเรียกว่ารูปแบบจุดยอดแหลมสำหรับG ปริภูมิเวกเตอร์ Cของรูปแบบโมดูลาร์และรูปแบบจุดยอดแหลมที่มีน้ำหนักkจะถูกแทนด้วยM _k ( G )และS _k ( G )ตามลำดับ ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบนG \ H ^∗เรียกว่าฟังก์ชันโมดูลาร์สำหรับGในกรณีที่G = Γ ₀ ( N ) พวกมันจะถูกเรียกว่ารูปแบบโมดูลาร์/จุดยอดแหลมและฟังก์ชันระดับN ด้วย สำหรับG = Γ(1) = SL(2, Z )สิ่งนี้จะให้คำจำกัดความที่กล่าวถึงข้างต้นกลับคืนมา

ให้Gเป็นกลุ่มย่อยของSL(2, Z )ที่มีดัชนี จำกัด กลุ่มG ดังกล่าว จะกระทำต่อHในลักษณะเดียวกับSL(2, Z )ปริภูมิเชิงทอพอโลยีผลหารG \ Hสามารถแสดงได้ว่าเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟโดยทั่วไปแล้วมันจะไม่กะทัดรัด แต่สามารถทำให้กะทัดรัดได้โดยการเพิ่มจุดจำนวนจำกัดที่เรียกว่าจุดยอดแหลม จุด เหล่านี้อยู่ที่ขอบของHกล่าวคือในQ ∪{∞} ^{[หมายเหตุ 3 ]}ซึ่งมีองค์ประกอบพาราโบลิกของG (เมทริกซ์ที่มีร่องรอย ±2) ที่ตรึงจุดนั้นไว้ สิ่งนี้ทำให้ได้ปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่กะทัดรัดG \ H ^∗ยิ่งไปกว่านั้น มันยังสามารถมีโครงสร้างของพื้นผิวรีมันน์ซึ่งทำให้สามารถพูดถึงฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกและเมโรเมอร์ฟิกได้

ตัวอย่างที่สำคัญคือ สำหรับจำนวนเต็มบวกN ใดๆ กลุ่มย่อยความสอดคล้องกลุ่มใดกลุ่มหนึ่ง

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{0}(N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}\\\Gamma (N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv b\equiv 0,a\equiv d\equiv 1{\pmod {N}}\right\}.\end{aligned}}}$

สำหรับG = Γ ₀ ( N ) หรือΓ( N )พื้นที่G \ HและG \ H ^∗จะถูกแทนด้วยY ₀ ( N ) และX ₀ ( N ) และY ( N ), X ( N ) ตามลำดับ

เรขาคณิตของG \ H ^∗สามารถเข้าใจได้โดยการศึกษาโดเมนพื้นฐานสำหรับGกล่าวคือ เซตย่อยD ⊂ Hโดยที่Dตัดกับวงโคจรแต่ละวงของ การกระทำ GบนHเพียงครั้งเดียว และการปิดของDพบกับวงโคจรทั้งหมด ตัวอย่างเช่นสามารถคำนวณจีนัสของG \ H ^{∗ ได้ [ 5 ]}

ทฤษฎีพื้นผิวรีมันน์สามารถนำไปใช้กับG \ H ^∗เพื่อให้ได้ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับรูปแบบและฟังก์ชันโมดูลาร์ ตัวอย่างเช่น พื้นที่M _k ( G )และS _k ( G )มีมิติจำกัด และสามารถคำนวณมิติของพื้นที่เหล่านี้ได้ด้วยทฤษฎีบทรีมันน์-รอช^ในแง่ของเรขาคณิตของ การกระทำ GบนH ^{[ 6} ] ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle \dim _{\mathbf {C} }M_{k}\left({\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )\right)={\begin{cases}\left\lfloor k/12\right\rfloor &k\equiv 2{\pmod {12}}\\\left\lfloor k/12\right\rfloor +1&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

โดยที่หมายถึงฟังก์ชันพื้นและเป็นจำนวนคู่ ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$${\displaystyle k}$

ฟังก์ชันโมดูลาร์ประกอบเป็นฟิลด์ของฟังก์ชันของพื้นผิวรีมันน์ และด้วยเหตุนี้จึงสร้างฟิลด์ที่มีระดับการเคลื่อนย้ายหนึ่ง (เหนือC ) หากฟังก์ชันโมดูลาร์fไม่ใช่ 0 โดยสมบูรณ์ ก็สามารถแสดงได้ว่าจำนวนศูนย์ของfเท่ากับจำนวนขั้วของfในการปิดของบริเวณพื้นฐานR _Γสำหรับกลุ่มย่อยความสอดคล้องΓ ₀ ( N )ฟิลด์ของฟังก์ชันโมดูลาร์บน^X 0 ₍ N )ถูกสร้างขึ้นโดยฟังก์ชันj ( z )และj ( Nz ) [ ^{7 ]}

รูปแบบโมดูลาร์ยังสามารถตีความในเชิงเรขาคณิตได้ว่าเป็นส่วนตัดของมัดเส้นบนเส้นโค้งโมดูลาร์หรือบนสแต็กโมดูลัสของเส้นโค้งวงรีในการตีความนี้ มัดเส้นที่เกี่ยวข้องคือมัดฮอดจ์ซึ่งมักใช้สัญลักษณ์ωและรูปแบบโมดูลาร์ที่มีน้ำหนักkคือส่วนตัดของω ^{⊗ k}ที่มีเงื่อนไขโฮโลมอร์ฟีที่เหมาะสม ณ จุดยอดแหลม

โดยไอโซมอร์ฟิซึมของ Kodaira–Spencerกำลังสองของบันเดิล Hodge จะถูกระบุว่าเป็นบันเดิลแคนอนิกเชิงลอการิทึมของเส้นโค้งมอดูลาร์ กล่าวคือ บัน เดิลแคนอนิกที่ บิดด้วยตัวหารแบบ คัส พิดั ล ใน เชิงสัญลักษณ์ บนเส้นโค้งมอดูลาร์แบบกระชับXที่มีตัวหารแบบคัสพิดัลDความสัมพันธ์นี้เขียนได้ดังนี้

$${\displaystyle \omega ^{\otimes 2}\cong K_{X}(D).}$$

แนวคิดก็คือ สำหรับฟอร์มมอดูลาร์fที่มีน้ำหนักสอง ฟอร์มหนึ่งf(z)dzจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การกระทำของกลุ่มมอดูลาร์ ที่จุดคัสป์จะให้ค่าอนุพันธ์ลอการิทึม ในขณะที่ฟอร์มคัสป์จะให้ค่าอนุพันธ์โฮโลมอร์ฟิก

มิติของพื้นที่ของรูปแบบโมดูลาร์สามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีบทRiemann–Roch ^{[ 8 ]}

การตีความนี้คล้ายคลึงกับบทบาทของพหุนามเอกพันธุ์บนปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟพหุนามดังกล่าวไม่ใช่ฟังก์ชันธรรมดาบนปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ เพราะมันเปลี่ยนแปลงไปตามตัวประกอบสเกลาร์เมื่อเวกเตอร์พื้นฐานถูกปรับขนาด ในทางเรขาคณิต มันถูกตีความว่าเป็นส่วนของมัดเส้นตรง รูปแบบมอดูลาร์มีพฤติกรรมคล้ายกัน ยกเว้นในกรณีที่น้ำหนักเป็นศูนย์ กฎการแปลงของมันป้องกันไม่ให้มันเป็นฟังก์ชันธรรมดาบนเส้นโค้งมอดูลาร์ แต่ทำให้สามารถตีความได้ว่าเป็นส่วนของกำลังของมัดฮอดจ์

สำหรับกลุ่มย่อยΓของSL(2, Z )วงแหวนของฟอร์มมอดูลาร์คือวงแหวนแบบแบ่งระดับที่สร้างขึ้นโดยฟอร์มมอดูลาร์ของΓกล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าM _k (Γ)คือปริภูมิเวกเตอร์ของฟอร์มมอดูลาร์ที่มีน้ำหนักk แล้ววงแหวนของฟอร์มมอดูลาร์ของΓก็คือวงแหวนแบบแบ่งระดับ${\displaystyle M(\Gamma )=\bigoplus _{k>0}M_{k}(\Gamma )}$

วงแหวนของรูปแบบมอดูลาร์ของกลุ่มย่อยคอนกรุเอนซ์ของSL(2, Z )ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดเนื่องจากผลลัพธ์ของPierre DeligneและMichael Rapoportวงแหวนของรูปแบบมอดูลาร์ดังกล่าวถูกสร้างขึ้นด้วยน้ำหนักไม่เกิน 6 และความสัมพันธ์ถูกสร้างขึ้นด้วยน้ำหนักไม่เกิน 12 เมื่อกลุ่มย่อยคอนกรุเอนซ์มีรูปแบบมอดูลาร์ที่มีน้ำหนักคี่ไม่เป็นศูนย์ และขอบเขตที่สอดคล้องกันคือ 5 และ 10 เมื่อไม่มีรูปแบบมอดูลาร์ที่มีน้ำหนักคี่ไม่เป็นศูนย์

โดยทั่วไปแล้ว จะมีสูตรสำหรับกำหนดขอบเขตของน้ำหนักของตัวสร้างของวงแหวนของรูปแบบมอดูลาร์และความสัมพันธ์ของมันสำหรับกลุ่มฟุค เซียนใด ๆ

รูปแบบใหม่เป็นปริภูมิย่อยของรูปแบบโมดูลาร์^{[ 9 ]}ของระดับคงที่ซึ่งไม่สามารถสร้างจากรูปแบบโมดูลาร์ของระดับที่ต่ำกว่าที่แบ่งได้รูปแบบอื่นๆ เรียกว่ารูปแบบเก่ารูปแบบเก่าเหล่านี้สามารถสร้างได้โดยใช้การสังเกตต่อไปนี้: ถ้าแล้วให้การรวมย้อนกลับของรูปแบบโมดูลาร์ ${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M\mid N}$${\displaystyle \Gamma _{1}(N)\subseteq \Gamma _{1}(M)}$${\displaystyle M_{k}(\Gamma _{1}(M))\subseteq M_{k}(\Gamma _{1}(N))}$

รูปแบบคัสป์ ( cusp form)คือรูปแบบมอดูลาร์ (modular form) ที่มีค่าเป็นศูนย์ที่จุดคัสป์ทั้งหมด สำหรับกลุ่มมอดูลาร์เต็ม (full modular group) ซึ่งมีจุดคัสป์เพียงจุดเดียว นี่เทียบเท่ากับการกล่าวว่าค่าสัมประสิทธิ์คงที่ในอนุกรมฟูริเยร์ของกลุ่มนั้นเป็นศูนย์

นอกจากความหมายแบบดั้งเดิมแล้ว คำว่า "ฟังก์ชันโมดูลาร์" ยังมีการใช้งานอื่นๆ อีกหลายอย่าง เช่น ในทฤษฎีการวัดแบบฮาร์ ฟังก์ชันโมดูลาร์คือฟังก์ชันΔ( g )ที่กำหนดโดยการกระทำของการผันแปร

รูปแบบมาสส์เป็นฟังก์ชันไอเกนเชิงวิเคราะห์จริง ของตัวดำเนินการลาปลาเซียนแต่ไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ส่วนโฮโลมอร์ฟิกของรูปแบบคลื่นมาสส์แบบอ่อนบางรูปแบบนั้นโดยพื้นฐานแล้วคือฟังก์ชันม็อกทีตา ของรามานุจัน กลุ่มที่ไม่ใช่กลุ่มย่อยของSL(2, Z )สามารถนำมาพิจารณาได้

รูปแบบมอดูลาร์ของฮิลเบิร์ตคือฟังก์ชันใน ตัวแปร nตัว โดยแต่ละตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อนในระนาบครึ่งบน ซึ่งสอดคล้องกับความสัมพันธ์มอดูลาร์สำหรับเมทริกซ์ 2×2 ที่มีสมาชิกอยู่ในฟิลด์จำนวนจริงทั้งหมด

รูปแบบมอดูลาร์ของซีเกลมีความสัมพันธ์กับกลุ่มซิมเพล็กติก ขนาดใหญ่ ในลักษณะเดียวกับที่รูปแบบมอดูลาร์แบบคลาสสิกมีความสัมพันธ์กับSL(2, R )กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีความสัมพันธ์กับวาไรตี้อาเบเลียนในความหมายเดียวกับที่รูปแบบมอดูลาร์แบบคลาสสิก (ซึ่งบางครั้งเรียกว่ารูปแบบมอดูลาร์เชิงวงรีเพื่อเน้นย้ำประเด็นนี้) มีความสัมพันธ์กับเส้นโค้งเชิงวงรี

รูปแบบจาโคบีเป็นการผสมผสานระหว่างรูปแบบมอดูลาร์และฟังก์ชันเชิงวงรี ตัวอย่างของฟังก์ชันดังกล่าวเป็นแบบคลาสสิกมาก เช่น ฟังก์ชันทีตาของจาโคบีและสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของรูปแบบมอดูลาร์ของซีเกลที่มีจีนัสสอง แต่การสังเกตว่ารูปแบบจาโคบีมีทฤษฎีทางเลขคณิตที่คล้ายคลึงกับทฤษฎีรูปแบบมอดูลาร์ทั่วไปนั้นเป็นเรื่องที่ค่อนข้างใหม่

รูปแบบอัตโนมัติขยายแนวคิดของรูปแบบโมดูลาร์ไปสู่กลุ่ม ลี ทั่วไป

อินทิก รัลมอดูลาร์ที่มีน้ำหนักkคือฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบนระนาบครึ่งบนที่มีการเติบโตปานกลางที่อนันต์ ซึ่งไม่สามารถเป็นมอดูลาร์ที่มีน้ำหนักkโดยฟังก์ชันตรรกยะได้

ปัจจัยอัตโนมัติ (Automorphic factors)คือฟังก์ชันของรูปแบบที่ใช้ในการวางนัยทั่วไปของความสัมพันธ์เชิงโมดูลาร์ที่กำหนดรูปแบบโมดูลาร์ ดังนั้น ${\displaystyle \varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}}$

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}f(z).}$

ฟังก์ชันนี้เรียกว่าเนเบนไทปัสของรูปแบบมอดูลาร์ ฟังก์ชันต่างๆ เช่นฟังก์ชันอีตาของเดเดคินด์ซึ่งเป็นรูปแบบมอดูลาร์ที่มีน้ำหนัก 1/2 อาจถูกครอบคลุมโดยทฤษฎีนี้ได้โดยการอนุญาตให้มีตัวประกอบอัตโนมัติ ${\displaystyle \varepsilon (a,b,c,d)}$

ทฤษฎีรูปแบบโมดูลาร์ได้รับการพัฒนาขึ้นในสี่ช่วงเวลา:

• ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีฟังก์ชันเชิงวงรีในช่วงต้นศตวรรษที่สิบเก้า
• โดยเฟลิกซ์ ไคลน์และคนอื่นๆ ในช่วงปลายศตวรรษที่สิบเก้า เมื่อแนวคิดเรื่องรูปแบบอัตโนมัติเริ่มเป็นที่เข้าใจ (สำหรับตัวแปรหนึ่งตัว)
• โดยเอริช เฮคเค่ประมาณปี 1925
• ในช่วงทศวรรษ 1960 ความต้องการของทฤษฎีจำนวนและการกำหนดทฤษฎีบทมอดูลาร์โดยเฉพาะ ทำให้เห็นได้อย่างชัดเจนว่ารูปแบบมอดูลาร์มีความเกี่ยวข้องอย่างลึกซึ้ง

ยูทากะ ทานิยามะและโกโร ชิมูระค้นพบความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างรูปแบบมอดูลาร์บางรูปแบบกับเส้นโค้งวงรีโรเบิร์ต แลงแลนด์สได้ต่อยอดแนวคิดนี้ในการสร้างโครงการแลงแลนด์ส อันกว้างขวางของเขา ซึ่งกลายเป็นหนึ่งในโครงการวิจัยที่มีผลกระทบและมีอิทธิพลมากที่สุดในคณิตศาสตร์

ในปี 1994 แอนดรูว์ ไวลส์ใช้รูปแบบมอดูลาร์เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ในปี 2001 เส้นโค้งวงรีทั้งหมดได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นมอดูลาร์เหนือจำนวนตรรกยะ ในปี 2013 เส้นโค้งวงรีได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นมอดูลาร์เหนือฟิลด์กำลัง สองจริง ในปี 2023 เส้นโค้งวงรีได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นมอดูลาร์เหนือฟิลด์กำลังสองจินตนาการประมาณครึ่งหนึ่ง รวมถึงฟิลด์ที่เกิดจากการรวมจำนวนตรรกยะกับรากที่สองของจำนวนเต็มลงไปจนถึง −5 ^{[ 10 ]}

• การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยไวลส์