ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันเชิงวงรีของไวเออร์สตรัส (Weierstrass elliptic functions)คือฟังก์ชันเชิงวงรีที่มีรูปแบบที่เรียบง่ายเป็นพิเศษ ชื่อของฟังก์ชันนี้ตั้งตามชื่อของคาร์ล ไวเออร์สตรัสฟังก์ชันกลุ่มนี้เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชัน ℘และมักใช้สัญลักษณ์ ℘ ซึ่งเป็นอักษรพิเศษเฉพาะตัวฟังก์ชัน℘มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีฟังก์ชันเชิงวงรี กล่าวคือ ฟังก์ชันเมโรเมอร์ ฟิก (meromorphic functions)ที่เป็นคาบสองเท่าฟังก์ชัน ℘ พร้อมกับอนุพันธ์ของมัน สามารถใช้ในการกำหนดพารามิเตอร์ของเส้นโค้งเชิงวงรีและสร้างฟิลด์ของฟังก์ชันเชิงวงรีโดยสัมพันธ์กับโครงข่ายคาบที่กำหนด

สัญลักษณ์สำหรับฟังก์ชัน Weierstrass${\displaystyle \wp }$

ลูกบาศก์ในรูปแบบโดยที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่มีไม่สามารถกำหนดพารามิเตอร์เชิงตรรกะได้ [ ^{1 ] อย่างไรก็ตาม}ยังคงมีความต้องการที่จะหาวิธีกำหนดพารามิเตอร์ให้กับ มัน${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}}$${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$

สำหรับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส กำลังสอง เช่นวงกลมหน่วยจะมีการกำหนดพารามิเตอร์ (ที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ) โดยใช้ฟังก์ชันไซน์และอนุพันธ์ของมันคือฟังก์ชันโคไซน์: เนื่องจากความเป็นคาบของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์จึงเลือกให้เป็นโดเมน ดังนั้นฟังก์ชันจึงเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ${\displaystyle K=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}}$$${\displaystyle \psi :\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to K,\quad t\mapsto (\sin t,\cos t).}$$${\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถกำหนดพารามิเตอร์ของโดยใช้ฟังก์ชันคาบสองเท่าและอนุพันธ์ของมัน กล่าวคือผ่านทางการกำหนดพารามิเตอร์นี้มีโดเมนซึ่งเทียบเท่ากับทอรัส ในเชิงโทโพโล ยี^{[ 2 ]}${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \wp }$${\displaystyle (x,y)=(\wp (z),\wp '(z))}$${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

มีการเปรียบเทียบอีกประการหนึ่งกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ พิจารณาฟังก์ชันอินทิกรัล สามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยการแทนที่และ: นั่นหมายความว่าดังนั้นฟังก์ชันไซน์จึงเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันอินทิกรัล^{[ 3 ]}$${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dy}{\sqrt {1-y^{2}}}}.}$$${\displaystyle y=\sin t}$${\displaystyle s=\arcsin x}$$${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{s}dt=s=\arcsin x.}$$${\displaystyle a^{-1}(x)=\sin x}$

ฟังก์ชันเชิงวงรีเป็นฟังก์ชันผกผันของปริพันธ์เชิงวงรีโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้: จากนั้นการขยายของ ไปยังระนาบเชิงซ้อนจะเท่ากับฟังก์ชัน - ^{[ 4 ]}ความสามารถในการผกผันนี้ใช้ในการวิเคราะห์เชิงซ้อนเพื่อให้คำตอบสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้น บางสมการ ที่สอดคล้องกับคุณสมบัติของ Painlevé กล่าว คือ สมการเหล่านั้นที่ยอมรับขั้ว เป็นจุดเอกฐาน ที่เคลื่อนที่ได้เพียงอย่างเดียว^{[ 5 ]}$${\displaystyle u(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.}$$${\displaystyle u^{-1}}$${\displaystyle \wp }$

ให้ และ เป็น จำนวนเชิงซ้อนสอง จำนวน ที่เป็นอิสระเชิงเส้นบนและให้เป็นโครงข่ายคาบที่สร้างขึ้นโดยจำนวนเหล่านั้น จากนั้นฟังก์ชัน จะถูกกำหนดดังนี้: ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \Lambda :=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2}):=\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).}$

อนุกรมนี้ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอ ในระดับท้องถิ่น ใน ทอ รัส เชิงซ้อน${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

โดยทั่วไปมักใช้และในระนาบครึ่งบนเป็นตัวสร้างของแลตทิซ การหารด้วยจะแปลง แลตทิซ ให้เป็นแลตทิซที่มี อย่างสมมาตรเนื่องจากสามารถแทนที่ ด้วย ได้โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เราจึงสามารถสมมติได้และจากนั้นกำหนดด้วยนิยามนั้น เราจะได้ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$${\textstyle \omega _{1}}$${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau }$${\textstyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$${\displaystyle -\tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$${\displaystyle \wp (z,\tau ):=\wp (z,1,\tau )}$${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{1}^{-2}\wp (z/\omega _{1},\omega _{2}/\omega _{1})}$

• ${\displaystyle \wp }$เป็นฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกที่มีขั้วอันดับ 2 ในแต่ละคาบใน${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Lambda }$
• ${\displaystyle \wp }$เป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์ในแง่ที่ว่า:

${\displaystyle \wp (\lambda z,\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-2}\wp (z,\omega _{1},\omega _{2}).}$

• ${\displaystyle \wp }$เป็นฟังก์ชันคู่ นั่นหมายความว่าสำหรับทุกค่าซึ่งสามารถมองได้ดังนี้:${\displaystyle \wp (z)=\wp (-z)}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \Lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (-z)&={\frac {1}{(-z)^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(-z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z+\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)=\wp (z).\end{aligned}}}$

ความเท่าเทียมกันข้อรองสุดท้ายเป็นจริงเพราะ. เนื่องจากผลรวมลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ การจัดเรียงใหม่นี้จึงไม่เปลี่ยนแปลงลิมิต${\displaystyle \{-\lambda :\lambda \in \Lambda \}=\Lambda }$

• อนุพันธ์ของกำหนดโดย: ^{[ 6 ]}${\displaystyle \wp }$$${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}.}$$
• ${\displaystyle \wp }$และเป็นแบบคาบสองเท่า โดย มีคาบและ^{[ 6 ]}ซึ่งหมายความว่า: เป็นผลให้และสำหรับทุก${\displaystyle \wp '}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (z+\omega _{1})&=\wp (z)=\wp (z+\omega _{2}),\ {\textrm {and}}\\[3mu]\wp '(z+\omega _{1})&=\wp '(z)=\wp '(z+\omega _{2}).\end{aligned}}}$$${\displaystyle \wp (z+\lambda )=\wp (z)}$${\displaystyle \wp '(z+\lambda )=\wp '(z)}$${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$

ให้. จากนั้นสำหรับฟังก์ชัน - จะมี การขยายลอเรนต์ดังต่อไปนี้ โดยที่ สำหรับเรียกว่าอนุกรมไอเซนสไตน์^{[ 6 ]}${\displaystyle r:=\min\{{|\lambda }|:0\neq \lambda \in \Lambda \}}$${\displaystyle 0<|z|<r}$${\displaystyle \wp }$$${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)G_{2n+2}z^{2n}}$$$${\displaystyle G_{n}=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-n}}$$${\displaystyle n\geq 3}$

กำหนดและจากนั้นฟังก์ชัน - จะสอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์^{[ 6 ]} ความสัมพันธ์นี้สามารถตรวจสอบได้โดยการสร้างการรวมเชิงเส้นของกำลังของและเพื่อกำจัดขั้วที่ซึ่งจะให้ฟังก์ชันเชิงวงรีทั้งหมดที่ต้องคงที่ตามทฤษฎีบทของ Liouville ^{[ 6 ]}${\displaystyle g_{2}=60G_{4}}$${\displaystyle g_{3}=140G_{6}}$${\displaystyle \wp }$$${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}.}$$${\displaystyle \wp }$${\displaystyle \wp '}$${\displaystyle z=0}$

สัมประสิทธิ์ของสมการเชิงอนุพันธ์ข้างต้นและเรียกว่าค่าคงที่เนื่องจากขึ้นอยู่กับแลตทิซจึงสามารถมองได้ว่าเป็นฟังก์ชันใน และ${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$

การขยายอนุกรมแสดงให้เห็นว่าและ เป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์ของดีกรีและนั่นคือ^{[ 7 ]}สำหรับ${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$${\displaystyle -4}$${\displaystyle -6}$$${\displaystyle g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$$$${\displaystyle g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$$${\displaystyle \lambda \neq 0}$

ถ้า เลือก และในลักษณะที่และสามารถตีความได้ว่าเป็นฟังก์ชันบนระนาบ ครึ่งบน${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)>0}$${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$

ให้. มี: ^{[ 8 ]} นั่นหมายความว่าg ₂และg ₃จะถูกปรับขนาดโดยการทำเช่นนี้เท่านั้น กำหนด และ ในฐานะฟังก์ชันของและเรียกว่ารูปแบบมอดูลาร์${\displaystyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$$${\displaystyle g_{2}(1,\tau )=\omega _{1}^{4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2}),}$$$${\displaystyle g_{3}(1,\tau )=\omega _{1}^{6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2}).}$$$${\displaystyle g_{2}(\tau ):=g_{2}(1,\tau )}$$$${\displaystyle g_{3}(\tau ):=g_{3}(1,\tau ).}$$${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$

อนุกรมฟูริเยร์สำหรับและจะแสดงดังต่อไปนี้: [ ^{9 ] โดย} ที่ คือฟังก์ชันตัวหารและคือนาม${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$$${\displaystyle g_{2}(\tau )={\frac {4}{3}}\pi ^{4}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]}$$$${\displaystyle g_{3}(\tau )={\frac {8}{27}}\pi ^{6}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]}$$$${\displaystyle \sigma _{m}(k):=\sum _{d\mid {k}}d^{m}}$$${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

ตัวแยกแยะแบบโมดูลาร์ ถูกกำหนดให้เป็นตัวแยกแยะของพหุนามลักษณะเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ดังต่อไปนี้: ตัวแยกแยะเป็นรูปแบบโมดูลาร์ที่มีน้ำหนักนั่นคือ ภายใต้การกระทำของกลุ่มโมดูลาร์มันจะแปลง เป็นโดย ที่^{[ 10 ]}${\displaystyle \Delta }$$${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$$$${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.}$$${\displaystyle 12}$$${\displaystyle \Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )}$$${\displaystyle a,b,d,c\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle ad-bc=1}$

^โปรดทราบว่าฟังก์ชัน Dedekind etaอยู่ที่ไหน^{[ 11} ]${\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}}$${\displaystyle \eta }$

สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของโปรดดูที่ฟังก์ชันเทาของรามานุจัน ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle e_{1}}$และมักใช้เพื่อแสดงค่าของฟังก์ชันที่ครึ่งรอบ พวกมันแตกต่างกันเป็นคู่ๆ และขึ้นอยู่กับแลตทิซเท่านั้นไม่ใช่ตัวสร้าง^{[ 12 ]}${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$${\displaystyle \wp }$$${\displaystyle e_{1}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right)}$$$${\displaystyle e_{2}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right)}$$$${\displaystyle e_{3}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)}$$${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle e_{1}}$และเป็นรากของพหุนามกำลังสามและมีความสัมพันธ์กันโดยสมการ: เนื่องจากรากเหล่านั้นแตกต่างกัน ค่าดิสครีมิแนนต์จึงไม่เป็นศูนย์บนระนาบครึ่งบน^{[ 13 ]}ตอนนี้เราสามารถเขียนสมการเชิงอนุพันธ์ใหม่ได้: นั่นหมายความว่าครึ่งคาบเป็นศูนย์ของ ${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$${\displaystyle 4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$$${\displaystyle e_{1}+e_{2}+e_{3}=0.}$$${\displaystyle \Delta }$$${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4(\wp (z)-e_{1})(\wp (z)-e_{2})(\wp (z)-e_{3}).}$$${\displaystyle \wp '}$

ตัวแปรคงที่และสามารถแสดงได้ในรูปของค่าคงที่เหล่านี้ในลักษณะต่อไปนี้: ^{[ 14 ]}และเกี่ยวข้องกับ ฟังก์ชัน แลมบ์ดาโมดูลาร์ : ${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$$${\displaystyle g_{2}=-4(e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3})}$$$${\displaystyle g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}}$$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$$${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}},\quad \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}.}$$

สำหรับการคำนวณเชิงตัวเลข มักจะสะดวกที่จะคำนวณฟังก์ชันวงรีของไวเออร์สตรัสในรูปของฟังก์ชันวงรีของจาโคบี

ความสัมพันธ์พื้นฐานคือ: ^{[ 15 ]} โดยที่และคือรากทั้งสามที่อธิบายไว้ข้างต้น และโดยที่โมดูลัสkของฟังก์ชัน Jacobi เท่ากับ และอาร์กิวเมนต์w ของฟังก์ชันเหล่านั้น เท่ากับ $${\displaystyle \wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{2}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {dn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{1}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {cn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}}$$${\displaystyle e_{1},e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$$${\displaystyle k={\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}}$$$${\displaystyle w=z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}.}$$

ฟังก์ชันนี้สามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันเธต้าของจาโคบี : โดยที่คือโนม และคืออัตราส่วนของคาบ[ ^{16 ] ซึ่ง}ยังให้ขั้นตอนวิธีที่รวดเร็วมากสำหรับการคำนวณ ${\displaystyle \wp (z,\tau )=\wp (z,1,\omega _{2}/\omega _{1})}$$${\displaystyle \wp (z,\tau )=\left(\pi \theta _{2}(0,q)\theta _{3}(0,q){\frac {\theta _{4}(\pi z,q)}{\theta _{1}(\pi z,q)}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\left(\theta _{2}^{4}(0,q)+\theta _{3}^{4}(0,q)\right)}$$${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle (\tau \in \mathbb {H} )}$${\displaystyle \wp (z,\tau )}$

พิจารณาการฝังเส้นโค้งลูกบาศก์ลงในระนาบเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟ

${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}\cup \{O\}\subset \mathbb {C} ^{2}\cup \mathbb {P} _{1}(\mathbb {C} )=\mathbb {P} _{2}(\mathbb {C} ).}$

โดยที่จุดอยู่บนเส้นที่อนันต์สำหรับลูกบาศก์นี้ไม่มีการกำหนดพารามิเตอร์เชิงตรรกะ ถ้า[ ^{1 ]}ในกรณีนี้เรียกว่าเส้นโค้งวงรี อย่างไรก็ตาม มีการกำหนดพารามิเตอร์ใน^{พิกัด}เอกพันธุ์ที่ใช้ฟังก์ชัน - และอนุพันธ์ของมัน: ^{[ 17 ]}${\displaystyle O}$${\displaystyle \mathbb {P} _{1}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \Delta \neq 0}$${\displaystyle \wp }$${\displaystyle \wp '}$

${\displaystyle \varphi (\wp ,\wp '):\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} },\quad z\mapsto {\begin{cases}\left[\wp (z):\wp '(z):1\right]&z\notin \Lambda \\\left[0:1:0\right]\quad &z\in \Lambda \end{cases}}}$

ตอนนี้แผนที่นี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง และกำหนดพารามิเตอร์ให้ กับ เส้นโค้งวงรี${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$เป็นกลุ่มอาเบเลียนและปริภูมิเชิงทอพอโลยีซึ่งมีทอพอโลยีผลหารเป็นส่วนประกอบ

สามารถแสดงได้ว่าลูกบาศก์ไวเออร์สตรัสทุกตัวถูกกำหนดในลักษณะดังกล่าว กล่าวคือ สำหรับทุกคู่ที่มีจะมีแลตทิซอยู่ตัวหนึ่งเช่นนั้น ${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$

${\displaystyle g_{2}=g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$และ. ^{[ 18 ]}${\displaystyle g_{3}=g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$

ข้อความที่ระบุว่าเส้นโค้งวงรีบนสามารถกำหนดพารามิเตอร์บน ได้ นั้น เรียกว่าทฤษฎีบทมอดูลาลิตี้นี่เป็นทฤษฎีบทที่สำคัญในทฤษฎีจำนวนมันเป็นส่วนหนึ่งของ การพิสูจน์ ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยแอ นดรูว์ ไวลส์ (1995)${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ทฤษฎีบทการบวกระบุว่า^{[ 19 ]}ถ้าและไม่ได้อยู่ในแล้ว สิ่งนี้ระบุว่าจุดและอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ซึ่งเป็นรูปแบบทางเรขาคณิตของกฎกลุ่มของเส้นโค้งวงรี ${\displaystyle z,w,}$${\displaystyle z+w}$${\displaystyle \Lambda }$$${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&\wp (z)&\wp '(z)\\1&\wp (w)&\wp '(w)\\1&\wp (z+w)&-\wp '(z+w)\end{bmatrix}}=0.}$$${\displaystyle P=(\wp (z),\wp '(z)),}$${\displaystyle Q=(\wp (w),\wp '(w)),}$${\displaystyle R=(\wp (z+w),-\wp '(z+w))}$

สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้^{[ 20 ]}โดยพิจารณาค่าคงที่เช่นนั้น จากนั้นฟังก์ชันเชิงวงรี จะมีขั้วอันดับสามที่ศูนย์ และด้วยเหตุนี้จึงมีศูนย์สามตัวที่ผลรวมเป็นของศูนย์สองตัวคือและดังนั้นศูนย์ตัวที่สามจึงสอดคล้องกับ ${\displaystyle A,B}$$${\displaystyle \wp '(z)=A\wp (z)+B,\quad \wp '(w)=A\wp (w)+B.}$$$${\displaystyle \wp '(\zeta )-A\wp (\zeta )-B}$$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle z}$${\displaystyle w}$${\displaystyle -z-w}$

ทฤษฎีบทการบวกสามารถเขียนในรูปแบบอื่นได้ดังนี้: ^{[ 21 ]}${\displaystyle z,w,z-w,z+w\not \in \Lambda }$$${\displaystyle \wp (z+w)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(z)-\wp '(w)}{\wp (z)-\wp (w)}}\right]^{2}-\wp (z)-\wp (w).}$$

รวมถึงสูตรการทำซ้ำ: ^{[ 21 ]}$${\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right]^{2}-2\wp (z).}$$

สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้จากทฤษฎีบทการบวกที่แสดงไว้ข้างต้น จุดและอยู่บนเส้นตรงเดียวกันและอยู่บนเส้นโค้งความชันของเส้นตรงนั้นคือ ดังนั้น, , และทั้งหมดเป็นไปตามสมการกำลังสาม โดยที่เป็นค่าคงที่ ซึ่งจะได้เป็น ดังนั้น ซึ่งให้สูตรที่ต้องการ ${\displaystyle P=(\wp (u),\wp '(u)),Q=(\wp (v),\wp '(v)),}$${\displaystyle R=(\wp (u+v),-\wp '(u+v))}$${\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}}$$${\displaystyle m={\frac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}={\frac {\wp '(u)-\wp '(v)}{\wp (u)-\wp (v)}}.}$$${\displaystyle x=x_{P}=\wp (u)}$${\displaystyle x=x_{Q}=\wp (v)}$${\displaystyle x=x_{R}=\wp (u+v)}$$${\displaystyle (mx+q)^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3},}$$${\displaystyle q}$$${\displaystyle 4x^{3}-m^{2}x^{2}-(2mq+g_{2})x-g_{3}-q^{2}=0.}$$${\displaystyle x_{P}+x_{Q}+x_{R}={\frac {m^{2}}{4}}}$${\displaystyle \wp (u+v)+\wp (u)+\wp (v)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(u)-\wp '(v)}{\wp (u)-\wp (v)}}\right]^{2}.}$

การพิสูจน์โดยตรงมีดังนี้^{[ 22 ]}ฟังก์ชันเชิงวงรีใดๆสามารถแสดงได้ดังนี้: โดยที่คือฟังก์ชันซิกมาของไวเออร์สตรัสและคือศูนย์และขั้วตามลำดับในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคาบ พิจารณาฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันของเราจะได้ คูณทั้งสองข้างด้วยและให้เราจะได้ดังนั้น ${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(u)=c\prod _{i=1}^{n}{\frac {\sigma (u-a_{i})}{\sigma (u-b_{i})}}\quad c\in \mathbb {C} }$$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle a_{i},b_{i}}$${\displaystyle \wp (u)-\wp (v)}$${\displaystyle u}$$${\displaystyle \wp (u)-\wp (v)=c{\frac {\sigma (u+v)\sigma (u-v)}{\sigma (u)^{2}}}.}$$${\displaystyle u^{2}}$${\displaystyle u\to 0}$${\displaystyle 1=-c\sigma (v)^{2}}$${\displaystyle c=-{\frac {1}{\sigma (v)^{2}}}\implies \wp (u)-\wp (v)=-{\frac {\sigma (u+v)\sigma (u-v)}{\sigma (u)^{2}\sigma (v)^{2}}}.}$

ตามนิยามของฟังก์ชันซีตาของไวเออร์สตรัส : ดังนั้นเราจึงทำการหาอนุพันธ์เชิงลอการิทึมของทั้งสองข้างเทียบกับ เพื่อให้ได้: อีกครั้งตามนิยามดังนั้นโดยการหาอนุพันธ์อีกครั้งทั้งสองข้างและจัดเรียงพจน์ใหม่ เราจะได้ เมื่อทราบว่ามีสมการเชิงอนุพันธ์ดังต่อไปนี้และเมื่อจัดเรียงพจน์ใหม่ เราจะได้สูตรที่ต้องการ ${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln \sigma (z)=\zeta (z)}$${\displaystyle u}$$${\displaystyle {\frac {\wp '(u)}{\wp (u)-\wp (v)}}=\zeta (u+v)-2\zeta (u)-\zeta (u-v)}$$${\displaystyle \zeta '(z)=-\wp (z)}$$${\displaystyle -\wp (u+v)=-\wp (u)+{\frac {1}{2}}{\frac {\wp ''(v)[\wp (u)-\wp (v)]-\wp '(u)[\wp '(u)-\wp '(v)]}{[\wp (u)-\wp (v)]^{2}}}}$$${\displaystyle \wp ''}$${\displaystyle 2\wp ''=12\wp ^{2}-g_{2}}$$${\displaystyle \wp (u+v)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(u)-\wp '(v)}{\wp (u)-\wp (v)}}\right]^{2}-\wp (u)-\wp (v).}$$

ฟังก์ชันเชิงวงรีของไวเออร์สตรัสโดยทั่วไปจะเขียนด้วยตัวอักษรเขียนหวัดตัวเล็กแบบพิเศษ ℘ ซึ่งเป็นสัญลักษณ์ที่ไวเออร์สตรัสคิดค้นขึ้นเองในการบรรยายของเขาในปี ค.ศ. 1862–1863 ^{[เชิงอรรถ 1 ]}ไม่ควรสับสนกับตัวอักษรเขียนหวัดทางคณิตศาสตร์ทั่วไป P: 𝒫 และ 𝓅

ในด้านการคำนวณ ตัวอักษร ℘ สามารถใช้งานได้\wpในTeXในUnicodeรหัสจุดคือU+2118 ℘ SCRIPT CAPITAL Pโดยมีชื่อเรียกที่ถูกต้องกว่าคือweierstrass elliptic function ^{[เชิงอรรถ 2 ]}ในHTMLสามารถใช้การหลีกเลี่ยงได้โดยใช้ ℘หรือ℘

• ฟังก์ชันไวเออร์สตรัส
• ฟังก์ชันวงรีของจาโคบี
• ฟังก์ชันวงรีเลมนิสเคท

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันวงรีของไวเออร์สตรัส

• "ฟังก์ชันวงรีไวเออร์สตรัส" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ฟังก์ชันเชิงวงรีของไวเออร์สตรัสบน Mathworld
• บทที่ 23 ฟังก์ชันเชิงวงรีและเชิงโมดูลาร์ของไวเออร์สตรัสใน DLMF ( ห้องสมุดฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ดิจิทัล ) โดย WP Reinhardt และ PL Walker
• ฟังก์ชัน P ของ Weierstrass และอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ถูกเขียนด้วยภาษา C โดย David Dumas