ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันไวเออร์สตรัสเป็นฟังก์ชันพิเศษของตัวแปรเชิงซ้อนซึ่งเป็นฟังก์ชันเสริมของฟังก์ชันวงรีไวเออร์สตรัสตั้งชื่อตามคาร์ล ไวเออร์ส ตรัส ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันซิกมา ซีตา และโคเซแคนต์นั้นคล้ายคลึงกับความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันไซน์ โคแทนเจนต์ และโคเซแคนต์กำลังสอง กล่าวคือ อนุพันธ์ลอการิทึมของไซน์คือโคแทนเจนต์ ซึ่งอนุพันธ์ของโคแทนเจนต์คือลบโคเซแคนต์กำลังสอง^{[ 1 ]}${\displaystyle \wp }$

ฟังก์ชันซิกมาของไวเออร์สตรัสที่ เกี่ยวข้องกับ โครงตาข่าย สองมิติถูกนิยามให้เป็นผลคูณ ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}&=z\prod _{w\in \Lambda ^{*}}\left(1-{\frac {z}{w}}\right)\exp \left({\frac {z}{w}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{2}\right)\\[5mu]&=z\prod _{\begin{smallmatrix}m,n=-\infty \\\{m,n\}\neq 0\end{smallmatrix}}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}\right)\exp {\left({\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}\right)^{2}\right)}\end{aligned}}}$

โดยที่หมายถึงและ คือคู่คาบพื้นฐาน${\displaystyle \Lambda ^{*}}$${\displaystyle \แลมบ์ดา -\{0\}}$${\displaystyle (\โอเมก้า _{1},\โอเมก้า _{2})}$

ด้วยการปรับเปลี่ยนทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบของไวเออร์สตรัส อย่างระมัดระวัง โดยคำนึงถึงความสัมพันธ์กับฟังก์ชันไซน์ด้วยทำให้ได้นิยาม ผลคูณอนันต์ อีกแบบหนึ่งที่อาจจัดการได้ง่ายกว่า

${\displaystyle \operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}={\frac {\omega _{i}}{\pi }}\exp {\left({\frac {\eta _{i}z^{2}}{\omega _{i}}}\right)}\sin {\left({\frac {\pi z}{\omega _{i}}}\right)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\sin ^{2}{\left(\pi z/\omega _{i}\right)}}{\sin ^{2}{\left(n\pi \omega _{j}/\omega _{i}\right)}}}\right)}$

สำหรับค่า ใดๆ ที่เราใช้สัญลักษณ์(ดูฟังก์ชันซีตาด้านล่าง) นอกจากนี้ยังเป็นฟังก์ชัน "กึ่งคาบ"ที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \{i,j\}\in \{1,2,3\}}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle \eta _{i}=\zeta (\omega _{i}/2;\Lambda )}$

${\displaystyle \sigma (z+2\omega _{i})=-e^{2\eta _{i}(z+\omega _{i})}\sigma (z)}$

ฟังก์ชันซิกมาสามารถใช้แทนฟังก์ชันเชิงวงรีได้ เมื่อทราบค่าศูนย์และค่าขั้วที่อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานของคาบ: ${\displaystyle f(z+\omega _{i})=f(z)\quad i\in \{1,\ldots ,n\}}$

${\displaystyle f(z)=c\prod _{j=1}^{n}{\frac {\sigma (z-a_{j})}{\sigma (z-b_{j})}}}$

โดยที่เป็นค่าคงที่ใน และเป็นศูนย์ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน และเป็นขั้ว ${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle a_{j}}$${\displaystyle b_{j}}$

ฟังก์ชันซีตาของไวเออร์สตรัสส์ถูกกำหนดโดยผลรวม

${\displaystyle \operatorname {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {\sigma '(z;\Lambda )}{\sigma (z;\Lambda )}}={\frac {1}{z}}+\sum _{w\in \Lambda ^{*}}\left({\frac {1}{zw}}+{\frac {1}{w}}+{\frac {z}{w^{2}}}\right)}$

ฟังก์ชันซีตาของไวเออร์สตรัสคืออนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชันซิกมา ฟังก์ชันซีตาสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

${\displaystyle \operatorname {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{2k+2}(\Lambda )z^{2k+1}}$

อนุกรม ไอเซนสไตน์ที่มีน้ำหนัก 2k +  2 อยู่ที่ไหน${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {G}__{2k+2}}$

อนุพันธ์ของฟังก์ชันซีตาคือโดยที่คือฟังก์ชันเชิงวงรีของไวเออร์สตรัส ${\displaystyle -\wp (z)}$${\displaystyle \wp (z)}$

ฟังก์ชันซีตาของไวเออร์สตรัสไม่ควรสับสนกับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ในทฤษฎีจำนวน

ฟังก์ชันอีตาของไวเออร์สตรัสส์ถูกกำหนดให้เป็น

${\displaystyle \eta (w;\Lambda )=\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda ),{\mbox{ สำหรับใดๆ }}z\in \mathbb {C} }$และw ใดๆ ในโครงตาข่าย${\displaystyle \Lambda }$

ฟังก์ชันนี้ได้รับการกำหนดไว้อย่างชัดเจน กล่าวคือขึ้นอยู่กับเวกเตอร์แลตติสw เท่านั้น ฟังก์ชันอีตาของไวเออร์สตรัสไม่ควรสับสนกับฟังก์ชันอีตาของเดเดคินด์หรือฟังก์ชันอีตาของดิริชเลต์ ${\displaystyle \zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )}$

ฟังก์ชัน p ของไวเออร์สตรัสมีความสัมพันธ์กับฟังก์ชันซีตาโดย

${\displaystyle \operatorname {\wp } {(z;\Lambda )}=-\operatorname {\zeta '} {(z;\Lambda )},{\mbox{ for any }}z\in \mathbb {C} }$

ฟังก์ชัน ℘ ของไวเออร์สตรัสเป็นฟังก์ชันเชิงวงรีคู่ที่มีอันดับ N=2 โดยมีขั้วคู่ที่แต่ละจุดบนโครงตาข่ายและไม่มีขั้วอื่นใดอีก

พิจารณาสถานการณ์ที่คาบหนึ่งเป็นจำนวนจริง ซึ่งเราสามารถปรับขนาดให้เป็นและอีกคาบหนึ่งถูกหาค่าลิมิตของเพื่อให้ฟังก์ชันเป็นเพียงคาบเดียวเท่านั้น ค่าคงที่ที่สอดคล้องกันจะมีดิสครีมิแนน ต์เท่ากับ จากนั้นเราจะได้และจากนิยามผลคูณอนันต์ข้างต้นจึงได้ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \โอเมก้า _{1}=2\pi }$${\displaystyle \omega _{2}\rightarrow i\infty }$${\displaystyle \{g_{2},g_{3}\}=\left\{{\tfrac {1}{12}},{\tfrac {1}{216}}\right\}}$${\displaystyle \Delta =0}$${\displaystyle \eta _{1}={\tfrac {\pi }{12}}}$

${\displaystyle \operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}=2e^{z^{2}/24}\sin {\left({\tfrac {z}{2}}\right)}}$

การสรุปทั่วไปสำหรับฟังก์ชันที่คล้ายไซน์อื่นๆ บนโครงข่ายแบบคาบคู่แบบอื่นๆ คือ

${\displaystyle f(z)={\frac {\pi }{\omega _{1}}}e^{-(4\eta _{1}/\omega _{1})z^{2}}\operatorname {\sigma } {(2z;\Lambda )}}$