ในทฤษฎีจำนวนรูปแบบคัสป์ (cusp form) คือ รูปแบบมอดูลาร์ชนิดหนึ่งที่มีสัมประสิทธิ์คงที่เป็นศูนย์ในการขยายอนุกรมฟูริเย ร์

_{รูปแบบคัสป์ (} cusp form) ในกรณีของรูปแบบมอดูลาร์ (modular forms) สำหรับกลุ่มมอดูลาร์ (modular group) จะมีลักษณะเฉพาะ คือ ค่าสัมประสิทธิ์คงที่a₀ใน การขยาย อนุกรมฟูริเยร์ (ดูการขยายq ) มีค่าเป็นศูนย์

${\displaystyle \sum a_{n}q^{n}.}$

การขยายฟูริเยร์นี้เกิดขึ้นเนื่องจากการกระทำของกลุ่มโมดูลาร์บนระนาบครึ่งบนผ่านการแปลง

${\displaystyle z\mapsto z+1.}$

สำหรับกลุ่มอื่นๆ อาจมีการแปลผ่านหลายหน่วย ซึ่งในกรณีนี้การขยายอนุกรมฟูริเยร์จะอยู่ในรูปของพารามิเตอร์ที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม ในทุกกรณี ลิมิตเมื่อq → 0 คือลิมิตในระนาบครึ่งบนเมื่อส่วนจินตนาการของz → ∞ การหาผลหารโดยกลุ่มมอดูลาร์ ลิมิตนี้สอดคล้องกับจุดยอดแหลมของเส้นโค้งมอดูลาร์ (ในแง่ของจุดที่เพิ่มเข้ามาสำหรับการทำให้กระชับ ) ดังนั้น นิยามจึงเท่ากับกล่าวว่า รูปแบบจุดยอดแหลมคือรูปแบบมอดูลาร์ที่หายไปที่จุดยอดแหลม ในกรณีของกลุ่มอื่นๆ อาจมีจุดยอดแหลมหลายจุด และนิยามจะกลายเป็นรูปแบบมอดูลาร์ที่หายไปที่ จุดยอดแหลม ทั้งหมดซึ่งอาจเกี่ยวข้องกับการขยายอนุกรมหลายครั้ง

โดยหลักการแล้ว มิติของปริภูมิของรูปแบบคัสป์สามารถคำนวณได้ผ่านทฤษฎีบทรีมันน์-รอชตัวอย่างเช่นฟังก์ชันเทาของรามานุจันτ ( n ) เกิดขึ้นเป็นลำดับของสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของรูปแบบคัสป์ที่มีน้ำหนัก 12 สำหรับกลุ่มมอดูลาร์ โดยที่_a1 =  1 ปริภูมิของรูปแบบดังกล่าวมีมิติ 1 ซึ่งหมายความว่านิยามนี้เป็นไปได้ และนั่นอธิบายการกระทำของตัวดำเนินการเฮคเคบนปริภูมิโดยการคูณสเกลาร์ (การพิสูจน์เอกลักษณ์ของรามานุจันโดยมอร์เดลล์) โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันคือดิสคริมิแนนต์มอดูลาร์

${\displaystyle \Delta (z,q),}$

ซึ่งแสดงถึง (จนถึงค่าคงที่มาตรฐาน ) ดิสคริมิแนนต์ของลูกบาศก์ทางด้านขวาของสมการไวเออร์สตรัสของเส้นโค้งวงรีและกำลังที่ 24 ของฟังก์ชันอีตาของเดเดคินด์ สัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ที่นี่เขียน และเรียกว่า ' ฟังก์ชันเทาของรามานุจัน ' โดยมีการทำให้เป็นมาตรฐานτ (1) = 1 $${\displaystyle \tau (n)}$$

ข้อเท็จจริงที่ว่าฟอร์มคัสป์สลายตัวที่จุดคัสป์ แทนที่จะเป็นเพียงโฮโลมอร์ฟิกที่นั่นเช่นเดียวกับฟอร์มมอดูลาร์ ทั่วไป หมายความว่ามีผลคูณภายในที่ไม่เปลี่ยนแปลงบนฟอร์มคัสป์ที่มีน้ำหนักซึ่งกำหนดโดย ความเป็นคัสป์คือสิ่งที่จำเป็นเพื่อให้ปริพันธ์นี้มีค่าจำกัด ${\displaystyle k}$$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{k}=\int _{\Gamma \setminus {\mathcal {H}}}f(z){\overline {g(z)}}y^{k}{\frac {dx\,dy}{y^{2}}}.}$$

โดยทั่วไปแล้ว อินทิกรัลจะยังคงมีค่าจำกัดหากเป็นรูปแบบคัสป์ และเป็นรูปแบบมอดูลาร์ โดยทั้งคู่มีน้ำหนักเมื่อเทียบกับผลคูณภายในนี้ จะมีการแยกส่วนเชิงตั้งฉาก โดยที่คือปริภูมิของรูปแบบมอดูลาร์ คือปริภูมิของรูปแบบคัสป์ และคือปริภูมิของอนุกรมไอเซนสไตน์โดยทั้งหมดมีน้ำหนัก ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle M_{k}(\Gamma )=E_{k}(\Gamma )\oplus S_{k}(\Gamma )}$$${\displaystyle M_{k}(\แกมมา )}$${\displaystyle S_{k}(\แกมมา )}$${\displaystyle E_{k}(\แกมมา )}$${\displaystyle k}$

ในภาพรวมของรูปแบบออโตมอร์ฟิก รูปแบบคัสป์เป็นส่วนเติมเต็มของ อนุกรม ไอเซนสไตน์ในสเปกตรัมแบบไม่ต่อเนื่อง / สเปกตรัมแบบต่อเนื่องหรือการแสดงอนุกรมแบบไม่ต่อเนื่อง / การแสดงแบบเหนี่ยวนำซึ่งเป็นความแตกต่างทั่วไปในส่วนต่างๆ ของทฤษฎีสเปกตรัมกล่าวคือ อนุกรมไอเซนสไตน์สามารถ 'ออกแบบ' ให้มีค่าที่กำหนดไว้ที่คัสป์ได้ มีทฤษฎีทั่วไปขนาดใหญ่ ซึ่งขึ้นอยู่กับทฤษฎีที่ค่อนข้างซับซ้อนของกลุ่มย่อยพาราโบลิก และการแสดงคัสป์ที่สอดคล้อง กัน

พิจารณากลุ่มย่อยพาราโบลิกมาตรฐานของกลุ่มรีดักทีฟบางกลุ่ม(เหนือวงแหวนอะเดล ) รูปแบบออโตมอร์ฟิกบนเรียกว่ารูปแบบคัสปิดัล ถ้าสำหรับกลุ่มย่อยพาราโบลิกทั้งหมดที่เรามีโดยที่คือกลุ่มย่อยพาราโบลิกขั้นต่ำมาตรฐาน สัญลักษณ์สำหรับถูกกำหนดเป็น ${\displaystyle P=MU}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {A} }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle U(\mathbb {A} )M(k)\backslash G}$${\displaystyle P'}$${\displaystyle P_{0}\subset P'\subsetneq P}$${\displaystyle \phi _{P'}=0}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle \phi _{P}}$${\displaystyle P=MU}$${\displaystyle \phi _{P}(g)=\int _{U(k)\backslash U(\mathbb {A} )}\phi (ug)du}$