ในฟิสิกส์และวิทยาศาสตร์วัสดุเฟอร์โรอิเล็กทริซิตี้คือคุณสมบัติของวัสดุบางชนิดที่แสดงการโพลาไรเซชันทางไฟฟ้าโดยธรรมชาติ ซึ่งเป็นการจัดเรียงทางไฟฟ้าภายในที่เกิดขึ้นเองตามธรรมชาติโดยไม่มีแหล่งกำเนิดภายนอก การโพลาไรเซชันนี้สามารถกลับทิศทางได้เมื่อมีการใช้สนามไฟฟ้า ภายนอก ^{[ 1 ] [ 2 ]}

วัสดุเฟอร์โรอิเล็กทริกทั้งหมดเป็นวัสดุเพียโซอิเล็กทริก (ซึ่งจะสร้างประจุไฟฟ้าเมื่อได้รับแรงทางกล) และไพโรอิเล็กทริก (ซึ่งจะสร้างประจุเมื่อได้รับความร้อนหรือความเย็น) คุณลักษณะที่โดดเด่นของวัสดุเหล่านี้คือ การเปลี่ยนแปลงขั้วไฟฟ้าตามธรรมชาติสามารถย้อนกลับได้

คำว่า ferroelectricity ถูกบัญญัติขึ้นโดยเปรียบเทียบกับferromagnetismซึ่งเป็นวัสดุที่แสดงโมเมนต์แม่เหล็ก ถาวร Ferromagnetism ได้รับการยอมรับอย่างดีแล้วเมื่อ ferroelectricity ถูกสังเกตครั้งแรกในปี 1920 ในเกลือ Rochelleโดยนักฟิสิกส์ชาวอเมริกันJoseph Valasek [ ^{3 ] คำนำ}หน้า ferro (หมายถึงเหล็ก) ถูกนำมาใช้แม้ว่าวัสดุ ferroelectric ส่วนใหญ่จะไม่มีเหล็กก็ตาม

วัสดุที่มีคุณสมบัติทั้งเฟอร์โรอิเล็กทริกและเฟอร์โรแมกเนติกเรียกว่ามัลติเฟอร์โรอิก ส์ และเป็นที่น่าสนใจเป็นพิเศษเนื่องจากเป็นการรวมคุณสมบัติการเรียงตัวทางไฟฟ้าและแม่เหล็กเข้าไว้ในระบบเดียวกัน

เมื่อวัสดุส่วนใหญ่ถูกโพลาไรซ์ด้วยไฟฟ้าโพลาไรเซชันที่เหนี่ยวนำPจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับสนามไฟฟ้าภายนอกที่ใช้E เกือบทั้งหมด ดังนั้นโพลาไรเซชันจึงเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น นี่เรียกว่าโพลาไรเซชันไดอิเล็กทริกเชิงเส้น (ดูรูป) วัสดุบางชนิดที่เรียกว่าวัสดุพาราอิเล็กทริก^{[ 4 ]}แสดงโพลาไรเซชันแบบไม่เชิงเส้นที่เพิ่มขึ้น (ดูรูป) ค่าสภาพยอม ทางไฟฟ้า ซึ่งสอดคล้องกับความชันของเส้นโค้งโพลาไรเซชัน ไม่คงที่เหมือนในไดอิเล็กทริกเชิงเส้น แต่เป็นฟังก์ชันของสนามไฟฟ้าภายนอก

นอกจากจะเป็นวัสดุที่ไม่เป็นเชิงเส้นแล้ว วัสดุเฟอร์โรอิเล็กทริกยังแสดงให้เห็นถึงการโพลาไรเซชันที่ไม่เป็นศูนย์โดยธรรมชาติ (หลังจากการเหนี่ยวนำดูรูปประกอบ) แม้ว่าสนามไฟฟ้าที่ใช้Eจะเป็นศูนย์ก็ตาม คุณลักษณะเด่นของวัสดุเฟอร์โรอิเล็กทริกคือ การโพลาไรเซชันโดยธรรมชาติสามารถกลับทิศทางได้ด้วยสนามไฟฟ้าที่ใช้ที่มีความแรงเหมาะสมในทิศทางตรงกันข้าม ดังนั้น การโพลาไรเซชันจึงขึ้นอยู่กับไม่เพียงแต่สนามไฟฟ้าในปัจจุบันเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับประวัติของสนามไฟฟ้าด้วย ทำให้เกิดวงจรฮิสเทอ รีซิส วัสดุเหล่านี้ถูกเรียกว่าเฟอร์โรอิเล็กทริกโดยเปรียบเทียบกับ วัสดุ เฟอร์โรแมกเนติกซึ่งมีการทำให้เป็นแม่เหล็ก โดยธรรมชาติ และแสดงวงจรฮิสเทอรีซิสที่คล้ายกัน

โดยทั่วไป วัสดุจะแสดงคุณสมบัติเฟอร์โรอิเล็กทริกเฉพาะที่อุณหภูมิต่ำกว่าอุณหภูมิการเปลี่ยนเฟสที่กำหนด ซึ่งเรียกว่าอุณหภูมิคูรี ( TC _{) และจะเป็นพาราอิเล็กทริกเหนืออุณหภูมินี้: การโพลาไรเซชันแบบธรรมชาติจะหายไป และผลึกเฟอร์โรอิเล็กทริกจะเปลี่ยนเป็นสถานะพาราอิเล็กทริก เฟอร์โร อิ}เล็กทริกหลายชนิดสูญเสียคุณสมบัติไพโรอิเล็กทริกเหนือTCอย่างสมบูรณ์ เนื่องจากเฟสพาราอิเล็กทริกมีโครงสร้างผลึกแบบสมมาตรศูนย์กลาง^{[ 5 ]}

คุณสมบัติที่ไม่เป็นเชิงเส้นของวัสดุเฟอร์โรอิเล็กทริกสามารถนำมาใช้สร้างตัวเก็บประจุที่มีความจุปรับได้ โดยทั่วไปตัวเก็บประจุเฟอร์โรอิเล็กทริกประกอบด้วยขั้วไฟฟ้าคู่หนึ่งประกบชั้นของวัสดุเฟอร์โรอิเล็กทริก ค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าของเฟอร์โรอิเล็กทริกไม่เพียงแต่ปรับได้เท่านั้น แต่โดยทั่วไปยังมีค่าสูงมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่ออยู่ใกล้กับอุณหภูมิการเปลี่ยนเฟส ด้วยเหตุนี้ ตัวเก็บประจุเฟอร์โรอิเล็กทริกจึงมีขนาดเล็กกว่าตัวเก็บประจุไดอิเล็กทริก (ปรับค่าไม่ได้) ที่มีความจุใกล้เคียงกัน

การโพลาไรเซชันโดยธรรมชาติของวัสดุเฟอร์โรอิเล็กทริกบ่งบอกถึง ปรากฏการณ์ ฮิสเทอรีซิสซึ่งสามารถใช้เป็นฟังก์ชันหน่วยความจำได้ และตัวเก็บประจุเฟอร์โรอิเล็กทริกก็ถูกนำมาใช้ในการสร้างRAM เฟอร์โรอิเล็กทริก^{[ 6 ]}สำหรับคอมพิวเตอร์และ การ์ด RFIDในการใช้งานเหล่านี้ มักจะใช้ฟิล์มบางของวัสดุเฟอร์โรอิเล็กทริก เนื่องจากช่วยให้สามารถสร้างสนามที่จำเป็นในการสลับโพลาไรเซชันได้ด้วยแรงดันไฟฟ้าปานกลาง อย่างไรก็ตาม เมื่อใช้ฟิล์มบาง จำเป็นต้องให้ความสนใจอย่างมากกับส่วนต่อประสาน ขั้วไฟฟ้า และคุณภาพของตัวอย่างเพื่อให้เครื่องทำงานได้อย่างน่าเชื่อถือ^{[ 7 ]}

วัสดุเฟอร์โรอิเล็กทริกจำเป็นต้องมีคุณสมบัติเป็นเพียโซอิเล็กทริกและไพโรอิเล็กทริกด้วย เนื่องจากข้อจำกัดด้านสมมาตร คุณสมบัติที่รวมกันของ หน่วยความจำ เพี ยโซอิเล็กทริกและไพโรอิเล็กทริกทำให้ตัวเก็บประจุเฟอร์โรอิเล็กทริกมีประโยชน์มาก เช่น ในการใช้งานด้านเซ็นเซอร์ ตัวเก็บประจุเฟอร์โรอิเล็กทริกถูกใช้ในเครื่องอัลตราซาวนด์ทางการแพทย์ (ตัวเก็บประจุจะสร้างและรับสัญญาณอัลตราซาวนด์ที่ใช้ในการสร้างภาพอวัยวะภายใน) กล้องอินฟราเรดคุณภาพสูง (ภาพอินฟราเรดจะถูกฉายลงบนอาร์เรย์สองมิติของตัวเก็บประจุเฟอร์โรอิเล็กทริกที่สามารถตรวจจับความแตกต่างของอุณหภูมิได้เล็กน้อยถึงระดับล้านส่วนขององศาเซลเซียส) เซ็นเซอร์ตรวจจับไฟไหม้ โซนาร์ เซ็นเซอร์ตรวจจับการสั่นสะเทือน และแม้แต่หัวฉีดน้ำมันเชื้อเพลิงในเครื่องยนต์ดีเซล

แนวคิดอีกประการหนึ่งที่ได้รับความสนใจเมื่อเร็ว ๆ นี้คือจุดเชื่อมต่ออุโมงค์เฟอร์โรอิเล็กทริก ( FTJ ) ซึ่งมีหน้าสัมผัสที่สร้างขึ้นจากฟิล์มเฟอร์โรอิเล็กทริกที่มีความหนาระดับนาโนเมตรวางอยู่ระหว่างอิเล็กโทรดโลหะ^{[ 8 ]}ความหนาของชั้นเฟอร์โรอิเล็กทริกนั้นเล็กพอที่จะทำให้อิเล็กตรอนสามารถทะลุผ่านได้ ผลกระทบจากปรากฏการณ์เพียโซอิเล็กทริกและอินเตอร์เฟซ รวมถึงสนามดีโพลาไรเซชัน อาจนำไปสู่ผลการสวิตช์ความต้านทานไฟฟ้าขนาดใหญ่ (GER)

อีกหนึ่งการประยุกต์ใช้ที่กำลังเติบโตคือมัลติเฟอร์โรอิกส์ซึ่งนักวิจัยกำลังมองหาวิธีการเชื่อมโยงการเรียงตัวของแม่เหล็กและเฟอร์โรอิเล็กทริกภายในวัสดุหรือโครงสร้างเฮเทอโร มีบทวิจารณ์ล่าสุดหลายฉบับเกี่ยวกับหัวข้อนี้^{[ 9 ]}

คุณสมบัติ เร่งปฏิกิริยาของเฟอร์โรอิเล็กทริกได้รับการศึกษามาตั้งแต่ปี พ.ศ. 2495 เมื่อ Parravano สังเกตเห็นความผิดปกติในอัตราการออกซิเดชันของ CO บนโซเดียมและโพแทสเซียมไนโอเบตเฟอร์โรอิเล็กทริกใกล้กับอุณหภูมิคูรีของวัสดุเหล่านี้^{[ 10 ]}ส่วนประกอบตั้งฉากกับพื้นผิวของโพลาไรเซชันเฟอร์โรอิเล็กทริกสามารถเติมประจุที่ขึ้นอยู่กับโพลาไรเซชันลงบนพื้นผิวของวัสดุเฟอร์โรอิเล็ก ทริก ทำให้เคมีของวัสดุเปลี่ยนแปลงไป ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}ซึ่งเปิดโอกาสให้สามารถเร่งปฏิกิริยาได้เกินขอบเขตของ หลักการ Sabatier ^{[ 14 ]}หลักการ Sabatier ระบุว่าปฏิสัมพันธ์ระหว่างพื้นผิวกับสารดูดซับต้องมีปริมาณที่เหมาะสม ไม่มากเกินไปจนเฉื่อยต่อสารตั้งต้น และไม่มากเกินไปจนเป็นพิษต่อพื้นผิวและป้องกันการหลุดออกของผลิตภัณฑ์: เป็นสถานการณ์ที่ประนีประนอม^{[ 15 ]}ชุดของปฏิสัมพันธ์ที่เหมาะสมนี้มักเรียกว่า "ยอดภูเขาไฟ" ในแผนภูมิภูเขาไฟกิจกรรม^{[ 16 ]}ในทางกลับกัน เคมีที่ขึ้นอยู่กับการโพลาไรเซชันของเฟอร์โรอิเล็กทริกสามารถเสนอความเป็นไปได้ในการเปลี่ยนปฏิสัมพันธ์ระหว่างพื้นผิวกับสารดูดซับจากการดูดซับ ที่แข็งแกร่ง ไปสู่การคายประจุ ที่แข็งแกร่ง ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องมีการประนีประนอมระหว่างการคายประจุและการดูดซับอีกต่อไป^{[ 14 ]}การโพลาไรเซชันของเฟอร์โรอิเล็กทริกยังสามารถทำหน้าที่เป็นตัวเก็บเกี่ยวพลังงานได้ อีกด้วย ^{[ 17 ]}การโพลาไรเซชันสามารถช่วยแยกคู่อิเล็กตรอน-โฮล ที่เกิดจากแสง ซึ่งนำไปสู่การเร่งปฏิกิริยาด้วยแสงที่เพิ่มขึ้น^{[ 18 ]}นอกจากนี้ เนื่องจาก ผลของ ไพโรอิเล็กทริกและเพียโซอิเล็กทริกภายใต้อุณหภูมิที่เปลี่ยนแปลง (วงจรความร้อน/ความเย็น) ^{[ 19 ] [ 20 ]}หรือสภาวะความเครียด (การสั่นสะเทือน) ที่เปลี่ยนแปลง^{[ 21 ]} ประจุพิเศษสามารถปรากฏบนพื้นผิวและขับเคลื่อน ปฏิกิริยาทางเคมี (ไฟฟ้า)ต่างๆ ไปข้างหน้าได้

การถ่ายภาพด้วยโฟโตเฟอร์โรอิเล็กทริกเป็นเทคนิคในการบันทึกข้อมูลทางแสงบนชิ้นส่วนของวัสดุเฟอร์โรอิเล็กทริก ภาพที่ได้จะไม่ระเหยและสามารถลบออกได้แบบเลือกได้^{[ 22 ]}

ไดโพลไฟฟ้าภายในของวัสดุเฟอร์โรอิเล็กทริกนั้นเชื่อมต่อกับโครงสร้างผลึกของวัสดุ ดังนั้นสิ่งใดก็ตามที่เปลี่ยนแปลงโครงสร้างผลึกจะทำให้ความแรงของไดโพลเปลี่ยนแปลงไปด้วย (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ การเปลี่ยนแปลงของโพลาไรเซชันแบบธรรมชาติ) การเปลี่ยนแปลงของโพลาไรเซชันแบบธรรมชาติส่งผลให้เกิดการเปลี่ยนแปลงของประจุบนพื้นผิว ซึ่งสามารถทำให้เกิดกระแสไฟฟ้าไหลในกรณีของตัวเก็บประจุเฟอร์โรอิเล็กทริกได้ แม้ว่าจะไม่มีแรงดันไฟฟ้าภายนอกต่อคร่อมตัวเก็บประจุก็ตาม สิ่งกระตุ้นสองอย่างที่จะเปลี่ยนแปลงมิติของโครงสร้างผลึกของวัสดุคือ แรงและอุณหภูมิ การเกิดประจุบนพื้นผิวเพื่อตอบสนองต่อการใช้แรงภายนอกกับวัสดุเรียกว่าเพียโซอิเล็กทริกการเปลี่ยนแปลงของโพลาไรเซชันแบบธรรมชาติของวัสดุเพื่อตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิเรียกว่า ไพโร อิเล็กทริก

โดยทั่วไป มีกลุ่มอวกาศ 230 กลุ่ม ซึ่งในจำนวนนี้ มี คลาสผลึก 32 คลาส ที่พบได้ในผลึก มีคลาสที่ไม่สมมาตรศูนย์กลาง 21 คลาส ซึ่งในจำนวนนี้ 20 คลาสเป็นเพียโซอิเล็กทริก ในบรรดาคลาสเพียโซอิเล็กทริก 10 คลาสมีการโพลาไรเซชันทางไฟฟ้าแบบเกิดขึ้นเองซึ่งแปรผันตามอุณหภูมิ ดังนั้นจึงเป็นไพโรอิเล็กทริก เฟอร์โรอิเล็กทริกเป็นส่วนย่อยของไพโรอิเล็กทริก ซึ่งทำให้เกิดการโพลาไรเซชันทางอิเล็กทรอนิกส์แบบเกิดขึ้นเองในวัสดุ^{[ 23 ]}

การเปลี่ยนสถานะเฟอร์โรอิเล็กทริกมักถูกจำแนกเป็นแบบการเคลื่อนที่ (เช่น BaTiO₃ ₎หรือแบบมีระเบียบแต่ไม่มีระเบียบ (เช่น NaNO₂ ₎แม้ว่าการเปลี่ยนสถานะมักจะแสดงองค์ประกอบของพฤติกรรมทั้งสองแบบก็ตาม ในแบเรียมไททาเนตซึ่งเป็นเฟอร์โรอิเล็กทริกแบบการเคลื่อนที่ทั่วไป การเปลี่ยนสถานะสามารถเข้าใจได้ในแง่ของหายนะของการโพลาไรเซชัน ซึ่งหากไอออนถูกเคลื่อนย้ายออกจากตำแหน่งสมดุลเล็กน้อย แรงจากสนามไฟฟ้า เฉพาะที่ เนื่องจากไอออนในผลึกจะเพิ่มขึ้นเร็วกว่าแรงคืน ตัวแบบยืดหยุ่น สิ่งนี้ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงที่ไม่สมมาตรในตำแหน่งสมดุลของไอออน และส่งผลให้เกิดโมเมนต์ไดโพลถาวร การเคลื่อนที่ของไอออนในแบเรียมไททาเนตเกี่ยวข้องกับตำแหน่งสัมพัทธ์ของไอออนไทเทเนียมภายในกรงออกตาเฮดรัลของออกซิเจน ในตะกั่วไททาเนต ซึ่งเป็นวัสดุเฟอร์โรอิเล็กทริกที่สำคัญอีกชนิดหนึ่ง แม้ว่าโครงสร้างจะค่อนข้างคล้ายกับแบเรียมไททาเนต แต่แรงผลักดันสำหรับเฟอร์โรอิเล็กทริกนั้นซับซ้อนกว่า โดยมีปฏิสัมพันธ์ระหว่างไอออนตะกั่วและออกซิเจนมีบทบาทสำคัญเช่นกัน ในวัสดุเฟอร์โรอิเล็กทริกแบบมีระเบียบแต่มีความไม่เป็นระเบียบนั้น จะมีโมเมนต์ไดโพลอยู่ในแต่ละหน่วยเซลล์ แต่ที่อุณหภูมิสูง โมเมนต์ไดโพลเหล่านั้นจะชี้ไปในทิศทางสุ่ม เมื่อลดอุณหภูมิลงและเกิดการเปลี่ยนเฟส โมเมนต์ไดโพลจะเรียงตัวกัน โดยทั้งหมดจะชี้ไปในทิศทางเดียวกันภายในโดเมน

วัสดุเฟอร์โรอิเล็กทริกที่สำคัญสำหรับการใช้งานคือตะกั่วเซอร์โคเนตไททาเนต (PZT) ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของสารละลายของแข็งที่เกิดขึ้นระหว่างตะกั่วไททาเนตเฟอร์โรอิเล็กทริกและ ตะกั่วเซอร์ โคเนตแอนติเฟอร์โรอิเล็กทริก มีการใช้ส่วนประกอบที่แตกต่างกันสำหรับการใช้งานที่แตกต่างกัน สำหรับการใช้งานด้านหน่วยความจำ จะนิยมใช้ PZT ที่มีส่วนประกอบใกล้เคียงกับตะกั่วไททาเนต ในขณะที่การใช้งานด้านเพียโซอิเล็กทริกจะใช้ประโยชน์จากค่าสัมประสิทธิ์เพียโซอิเล็กทริกที่แตกต่างกันซึ่งเกี่ยวข้องกับขอบเขตเฟสแบบมอร์โฟทรอปิกที่พบได้ใกล้กับส่วนประกอบ 50/50

ผลึก เฟอร์โรอิเล็กทริกมักแสดงอุณหภูมิการเปลี่ยนสถานะ หลายค่า และฮิสเทอรีซิสของโครงสร้างโดเมนเช่นเดียวกับ ผลึก เฟอร์โรแมกเนติก อย่างไรก็ตาม ธรรมชาติของการเปลี่ยนสถานะในผลึกเฟอร์โรอิเล็กทริกบางชนิดยังไม่เป็นที่เข้าใจอย่างถ่องแท้

^{ใน ปี}พ.ศ. 2517 RB Meyer ใช้ข้อโต้แย้งด้านสมมาตรเพื่อทำนายผลึกเหลวเฟอร์โรอิเล็กทริก [ ^{25 ]}และการทำนายนั้นสามารถตรวจสอบได้ทันทีโดยการสังเกตพฤติกรรมหลายอย่างที่เกี่ยวข้องกับเฟอร์โรอิเล็กทริกในเฟสผลึกเหลวสมิกติกที่เป็นไครัลและเอียง เทคโนโลยีนี้ทำให้สามารถสร้างจอภาพแบบแบนได้ Canon ดำเนินการผลิตจำนวนมากระหว่างปี พ.ศ. 2537 ถึง พ.ศ. 2542 ผลึกเหลวเฟอร์โรอิเล็กทริกถูกนำมาใช้ในการผลิตLCoS สะท้อน แสง

ในปี 2010 David Fieldพบว่าฟิล์มธรรมดาของสารเคมี เช่นไนตรัสออกไซด์หรือโพรเพน แสดงคุณสมบัติเฟอร์โรอิเล็กทริก^{[ 26 ]}วัสดุเฟอร์โรอิเล็กทริกประเภทใหม่นี้แสดงคุณสมบัติ " สปอน ต์อิเล็กทริก " และอาจมีการใช้งานที่หลากหลายในอุปกรณ์และนาโนเทคโนโลยี และยังส่งผลต่อลักษณะทางไฟฟ้าของฝุ่นในตัวกลางระหว่างดาวอีกด้วย

วัสดุเฟอร์โรอิเล็กทริกอื่นๆ ที่ใช้ ได้แก่ไตรกลีซีนซัลเฟตโพลีไวนิลิดีนฟลูออไรด์ (PVDF) และลิเธียมแทนทาเลต [ ^{27 ] สามารถ} สร้างชั้นโมโนเลเยอร์เฟอร์โร อิเล็กทริกที่มีความหนาเพียงอะตอมเดียวได้โดยใช้บิสมัท บริสุทธิ์ ^{[ 28 ]}

ควรเป็นไปได้ที่จะผลิตวัสดุที่รวมคุณสมบัติทั้งเฟอร์โรอิเล็กทริกและโลหะเข้าด้วยกันในอุณหภูมิห้อง^{[ 29 ]}จากการวิจัยที่ตีพิมพ์ในปี 2018 ในNature Communications [ ^{30 ]}นักวิทยาศาสตร์สามารถผลิตแผ่นวัสดุสองมิติที่มีทั้งคุณสมบัติเฟอร์โรอิเล็กทริก (มีโครงสร้างผลึกแบบมีขั้ว) และนำไฟฟ้า ^ได้

บทนำเกี่ยวกับทฤษฎีของแลนเดาสามารถพบได้ที่นี่^{[ 31 ]} ตามทฤษฎีของกินซ์เบิร์ก-แลนเดาพลังงานอิสระของวัสดุเฟอร์โรอิเล็กทริก ในกรณีที่ไม่มีสนามไฟฟ้าและแรงกดที่ใช้ สามารถเขียนได้เป็นการขยายอนุกรมเทย์เลอร์ในแง่ของพารามิเตอร์ลำดับPหากใช้การขยายลำดับที่หก (เช่น ลำดับที่ 8 และพจน์ที่สูงกว่าถูกตัดทอน) พลังงานอิสระจะได้รับดังนี้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta E=&\quad \,{\tfrac {1}{2}}\alpha _{0}(T-T_{0})(P_{x}^{2}+P_{y}^{2}+P_{z}^{2})\\[4pt]&+{\tfrac {1}{4}}\alpha _{11}(P_{x}^{4}+P_{y}^{4}+P_{z}^{4})\\[4pt]&+{\tfrac {1}{2}}\alpha _{12}(P_{x}^{2}P_{y}^{2}+P_{y}^{2}P_{z}^{2}+P_{z}^{2}P_{x}^{2})\\[4pt]&+{\tfrac {1}{6}}\alpha _{111}(P_{x}^{6}+P_{y}^{6}+P_{z}^{6})\\[4pt]&+{\tfrac {1}{2}}\alpha _{112}{\bigl [}P_{x}^{4}(P_{y}^{2}+P_{z}^{2})+P_{y}^{4}(P_{x}^{2}+P_{z}^{2})+P_{z}^{4}(P_{x}^{2}+P_{y}^{2}){\bigr ]}\\[4pt]&+{\tfrac {1}{2}}\alpha _{123}P_{x}^{2}P_{y}^{2}P_{z}^{2}\end{aligned}}}$$

โดยที่P _x , P _y , P _zคือส่วนประกอบของเวกเตอร์โพลาไรเซชันใน ทิศทาง x , y , zตามลำดับ และสัมประสิทธิ์α _i , α _ij , α _ijkต้องสอดคล้องกับสมมาตรของผลึก ในการศึกษาการก่อตัวของโดเมนและปรากฏการณ์อื่นๆ ในเฟอร์โรอิเล็กทริก สมการเหล่านี้มักถูกนำมาใช้ในบริบทของแบบจำลองสนามเฟสโดยทั่วไปแล้ว จะเกี่ยวข้องกับการเพิ่มเทอมเกรเดียนต์ เทอมไฟฟ้าสถิต และเทอมยืดหยุ่นเข้าไปในพลังงานอิสระ จากนั้นสมการจะถูกทำให้เป็นแบบไม่ต่อเนื่องบนกริดโดยใช้วิธีผลต่างจำกัดหรือวิธีองค์ประกอบจำกัดและแก้สมการภายใต้ข้อจำกัดของกฎของเกาส์และความยืดหยุ่นเชิงเส้น

ในวัสดุเฟอร์โรอิเล็กทริกที่รู้จักทั้งหมดα ₀ > 0และα ₁₁₁ > 0ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้สามารถหาได้จากการทดลองหรือจากการจำลองแบบ ab-initio สำหรับวัสดุเฟอร์โรอิเล็กทริกที่มีการเปลี่ยนเฟสอันดับหนึ่งα ₁₁ < 0ในขณะที่α ₁₁ > 0สำหรับการเปลี่ยนเฟสอันดับสอง

ค่า โพลาไร เซชันแบบเกิดขึ้นเองPsของวัสดุเฟอร์โรอิเล็กทริกสำหรับการเปลี่ยนเฟสจากลูกบาศก์เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส สามารถหาได้โดยพิจารณาจากนิพจน์ 1 มิติของพลังงานอิสระ ซึ่งมีดังนี้ _:

$${\displaystyle \Delta E={\tfrac {1}{2}}\alpha _{0}(T-T_{0})P_{x}^{2}+{\tfrac {1}{4}}\alpha _{11}P_{x}^{4}+{\tfrac {1}{6}}\alpha _{111}P_{x}^{6}}$$

พลังงานอิสระนี้มีรูปร่างเป็นศักย์แบบบ่อคู่ที่มีพลังงานอิสระต่ำสุดสองจุดที่P _x = P _sซึ่งเป็นโพลาไรเซชันแบบเกิดขึ้นเอง เราหาอนุพันธ์ของพลังงานอิสระและกำหนดให้เท่ากับศูนย์เพื่อหาค่าP _s :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Delta E}{\partial P_{x}}}&=\alpha _{0}(T-T_{0})P_{x}+\alpha _{11}P_{x}^{3}+\alpha _{111}P_{x}^{5}\\[4pt]\implies 0={\frac {\partial \Delta E}{\partial P_{x}}}&=P_{s}{\bigl [}\alpha _{0}(T-T_{0})+\alpha _{11}P_{s}^{2}+\alpha _{111}P_{s}^{4}{\bigr ]}\end{aligned}}}$$

เนื่องจาก คำตอบ P _s = 0ของสมการนี้สอดคล้องกับค่าพลังงานอิสระสูงสุดในเฟสเฟอร์โรอิเล็กทริก ดังนั้นคำตอบที่ต้องการสำหรับP _sจึงสอดคล้องกับการตั้งค่าตัวประกอบที่เหลือให้เป็นศูนย์: $${\displaystyle \alpha _{0}(T-T_{0})+\alpha _{11}P_{s}^{2}+\alpha _{111}P_{s}^{4}=0}$$

ซึ่งคำตอบคือ:

$${\displaystyle P_{s}^{2}={\frac {1}{2\alpha _{111}}}\left[-\alpha _{11}\pm {\sqrt {\alpha _{11}^{2}+4\alpha _{0}\alpha _{111}(T_{0}-T)}}\;\right]}$$

และเมื่อตัดคำตอบที่หาค่ารากที่สองของจำนวนลบออกไป (ไม่ว่าจะเป็นการเปลี่ยนเฟสอันดับที่หนึ่งหรืออันดับที่สอง) จะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

$${\displaystyle P_{s}=\pm {\sqrt {{\frac {1}{2\alpha _{111}}}\left[-\alpha _{11}+{\sqrt {\alpha _{11}^{2}+4\alpha _{0}\alpha _{111}(T_{0}-T)}}\;\right]}}}$$

ถ้าเช่นนั้นวิธีแก้ปัญหาสำหรับการโพลาไรเซชันแบบเกิดขึ้นเองจะลดลงเหลือ: ${\displaystyle \alpha _{11}=0}$

$${\displaystyle P_{s}=\pm {\sqrt[{4}]{\frac {\alpha _{0}(T_{0}-T)}{\alpha _{111}}}}}$$

วงจรฮิสเทอรีซิส ( P _xเทียบกับE _x ) สามารถหาได้จากการขยายพลังงานอิสระโดยการรวมเทอม−E _x P _xซึ่งสอดคล้องกับพลังงานเนื่องจากสนามไฟฟ้าภายนอกE _xที่มีปฏิสัมพันธ์กับโพลาไรเซชันP _xดังต่อไปนี้:

$${\displaystyle \Delta E={\tfrac {1}{2}}\alpha _{0}(T-T_{0})P_{x}^{2}+{\tfrac {1}{4}}\alpha _{11}P_{x}^{4}+{\tfrac {1}{6}}\alpha _{111}P_{x}^{6}-E_{x}P_{x}}$$

เราพบค่าโพลาไรเซชันที่เสถียรของP _xภายใต้อิทธิพลของสนามภายนอก ซึ่งในที่นี้เรียกว่าP _eโดยการกำหนดให้ค่าอนุพันธ์ของพลังงานเทียบกับP _xเท่ากับศูนย์อีกครั้ง: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Delta E}{\partial P_{x}}}&=\alpha _{0}(T-T_{0})P_{x}+\alpha _{11}P_{x}^{3}+\alpha _{111}P_{x}^{5}-E_{x}=0\\[4pt]E_{x}&=\alpha _{0}(T-T_{0})P_{e}+\alpha _{11}P_{e}^{3}+\alpha _{111}P_{e}^{5}\end{aligned}}}$$

เมื่อพล็อตค่าE _x (บนแกน X) เป็นฟังก์ชันของP _e (แต่บนแกน Y) จะได้เส้นโค้งรูปตัว S ซึ่งมีค่าหลายค่าใน P _eสำหรับบางค่าของE _xส่วนกลางของตัว 'S' สอดคล้องกับค่าพลังงานอิสระสูงสุดเฉพาะที่ (เนื่องจาก) การตัดส่วนนี้ออก และการเชื่อมต่อส่วนบนและส่วนล่างของเส้นโค้ง 'S' ด้วยเส้นแนวตั้งที่จุดไม่ต่อเนื่อง จะได้วงจรฮิสเทอรีซิสของการโพลาไรเซชันภายในเนื่องจากสนามไฟฟ้าภายนอก ${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}\Delta E}{\partial P_{x}^{2}}}<0}$

เฟอร์โรอิเล็กทริซิตี้แบบเลื่อนพบได้ทั่วไป แต่พบเฉพาะในชั้นเรียงซ้อนแวนเดอร์วาลส์แบบสองมิติ (2D) เท่านั้น โพลาไรเซชันไฟฟ้าแนวตั้งจะถูกสลับโดยการเลื่อนระหว่างชั้นในระนาบ^{[ 32 ]}

• AS Sidorkin (2006). โครงสร้างโดเมนในวัสดุเฟอร์โรอิเล็กทริกและวัสดุที่เกี่ยวข้องสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN 978-1-904602-14-9.
• Karin M Rabe ; Jean-Marc Triscone; Charles H Ahn (2007). ฟิสิกส์ของเฟอร์โรอิเล็กทริก: มุมมองสมัยใหม่ . Springer. ISBN 978-3-540-34591-6.
• Julio A. Gonzalo (2006). แนวทางการใช้สนามที่มีประสิทธิภาพในการเปลี่ยนเฟสและการประยุกต์ใช้กับวัสดุเฟอร์โรอิเล็กทริกบางกรณี World Scientific. ISBN 978-981-256-875-5.

• วัสดุเฟอร์โรอิเล็กทริกที่มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์