ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันทั่วไปคือวัตถุที่ขยายแนวคิดของฟังก์ชันบนจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน มีทฤษฎีที่ได้รับการยอมรับมากกว่าหนึ่งทฤษฎี ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีการแจกแจงฟังก์ชันทั่วไปมีประโยชน์อย่างยิ่งในการจัดการกับฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องให้เหมือนกับฟังก์ชันเรียบและการอธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพแบบไม่ต่อเนื่อง เช่นประจุจุดมีการนำไปประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวาง โดยเฉพาะในฟิสิกส์และวิศวกรรมแรงจูงใจที่สำคัญคือข้อกำหนดทางเทคนิคของทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยและ การ แสดง กลุ่ม

ลักษณะทั่วไปของแนวทางบางอย่างคือ การสร้างขึ้นบน พื้นฐานของลักษณะ การดำเนินการของฟังก์ชันเชิงตัวเลขในชีวิตประจำวัน ประวัติศาสตร์ในช่วงแรกเชื่อมโยงกับแนวคิดบางอย่างเกี่ยวกับแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการและการพัฒนาในปัจจุบันบางส่วนมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการ วิเคราะห์เชิงพีชคณิตของมิคิโอ ซาโตะ

ในคณิตศาสตร์ของศตวรรษที่สิบเก้า แง่มุมต่างๆ ของทฤษฎีฟังก์ชันทั่วไปปรากฏขึ้น ตัวอย่างเช่น ในนิยามของฟังก์ชันกรีนในการแปลงลา ปลาส และใน ทฤษฎี อนุกรมตรีโกณมิติของรีมันน์ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้สิ่งเหล่านี้เป็นแง่มุมที่แยกออกจากกันของคณิตศาสตร์วิเคราะห์ในเวลานั้น

การใช้การแปลงลาปลาสอย่างเข้มข้นในงานวิศวกรรมนำไปสู่ การใช้ เชิงอนุมานของวิธีการเชิงสัญลักษณ์ที่เรียกว่าแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการเนื่องจากมีการให้เหตุผลโดยใช้ชุดอนุกรมลู่เข้าวิธีการเหล่านี้จึงเป็นที่น่าสงสัยจากมุมมองของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์พวกมันเป็นตัวอย่างทั่วไปของการประยุกต์ใช้วิธีการฟังก์ชันทั่วไปในภายหลัง หนังสือที่มีอิทธิพลต่อแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการคือหนังสือElectromagnetic TheoryของOliver Heavisideในปี 1899

เมื่อ มีการนำเสนอ อินทิกรัลของเลเบส (Lebesgue integral)เป็นครั้งแรก แนวคิดเรื่องฟังก์ชันทั่วไป (generalized function) จึงกลายเป็นหัวใจสำคัญของคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันที่หาอินทิกรัลได้ในทฤษฎีของเลเบส เทียบเท่ากับฟังก์ชันอื่น ๆ ซึ่งมีค่าเหมือนกันเกือบทุกจุดนั่นหมายความว่าค่าของฟังก์ชัน ณ แต่ละจุด (ในแง่หนึ่ง) ไม่ใช่คุณสมบัติที่สำคัญที่สุด ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันมีการกำหนดสูตรที่ชัดเจนของ คุณสมบัติ ที่สำคัญของฟังก์ชันที่หาอินทิกรัลได้ นั่นคือ วิธีที่ฟังก์ชันนั้นกำหนดฟังก์ชันเชิงเส้น (linear functional)บนฟังก์ชันอื่น ๆ ซึ่งทำให้สามารถกำหนดนิยามของอนุพันธ์อ่อน (weak derivative ) ได้

ในช่วงปลายทศวรรษ 1920 และ 1930 ได้มีการดำเนินการขั้นพื้นฐานเพิ่มเติมอีกขั้นหนึ่งพอล ดิแรกได้กำหนดฟังก์ชันเดลต้าของดิแรก อย่างชัดเจน (ซึ่งเป็นแง่มุมหนึ่งของรูปแบบทางวิทยาศาสตร์ ของเขา ) โดยมีวัตถุประสงค์เพื่อพิจารณาการวัดซึ่งคิดว่าเป็นความหนาแน่น (เช่นความหนาแน่นของประจุ ) เหมือนกับฟังก์ชันที่แท้จริงเซอร์เกย์ โซโบเลฟซึ่งทำงานในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ได้กำหนดทฤษฎีที่เข้มงวดเป็นครั้งแรกของฟังก์ชันทั่วไปเพื่อกำหนดคำตอบแบบอ่อนของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (กล่าวคือ คำตอบที่เป็นฟังก์ชันทั่วไป แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันธรรมดา) ^{[ 1 ]}คนอื่นๆ ที่เสนอทฤษฎีที่เกี่ยวข้องในเวลานั้น ได้แก่ซาโลมอน บอคเนอร์และเคิร์ต ฟรีดริชส์ งานของโซโบเลฟได้รับการขยายโดยลอเรนต์ ชวาร์ตซ์^{[ 2 ]}

การพัฒนาที่ชัดเจนที่สุดคือทฤษฎีการกระจายที่พัฒนาโดยLaurent Schwartzซึ่งทำงานอย่างเป็นระบบเกี่ยวกับหลักการทวิภาคสำหรับปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยีคู่แข่งหลักในคณิตศาสตร์ประยุกต์คือ ทฤษฎี โมลลิไฟเออร์ซึ่งใช้ลำดับของการประมาณค่าเรียบ (คำอธิบายของ ' James Lighthill ') ^{[ 3 ]}

ทฤษฎีนี้ประสบความสำเร็จอย่างมากและยังคงใช้กันอย่างแพร่หลาย แต่มีข้อเสียหลักคือโดยทั่วไปแล้วการคูณการแจกแจงไม่สามารถทำได้: ซึ่งแตกต่างจากปริภูมิฟังก์ชัน แบบคลาสสิกส่วนใหญ่ พวกมันไม่ได้ก่อตัวเป็นพีชคณิตตัวอย่างเช่น การยกกำลังสองฟังก์ชันเดลต้าของดิแรกนั้น ไม่มีความหมาย งานของชวาร์ตซ์ในช่วงประมาณปี 1954 แสดงให้เห็นว่านี่เป็นปัญหาที่แท้จริง

มีการเสนอวิธีแก้ปัญหาการคูณไว้บ้างแล้ว วิธีหนึ่งอิงตามคำจำกัดความง่ายๆ ของ Yu. V. Egorov ^{[ 4 ]} (ดูบทความของเขาในหนังสือของ Demidov ในรายการหนังสือด้านล่างด้วย) ซึ่งอนุญาตให้ดำเนินการใดๆ บนและระหว่างฟังก์ชันทั่วไปได้

วิธีแก้ ปัญหาอีกวิธีหนึ่งที่อนุญาตให้มีการคูณนั้นเสนอโดยการกำหนดสูตรอินทิกรัลเส้นทางของกลศาสตร์ควอนตัมเนื่องจากจำเป็นต้องเทียบเท่ากับ ทฤษฎี ชโรดิงเกอร์ของกลศาสตร์ควอนตัมซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงพิกัด คุณสมบัตินี้จึงต้องมีร่วมกันโดยอินทิกรัลเส้นทาง ซึ่งจะแก้ไขผลคูณทั้งหมดของฟังก์ชันทั่วไปดังที่แสดงโดยH. Kleinertและ A. Chervyakov ^{[ 5 ]}ผลลัพธ์ที่ได้เทียบเท่ากับสิ่งที่สามารถหาได้จาก การทำให้เป็นระเบียบเชิงมิติ^{[ 6 ]}

มีการเสนอโครงสร้างพีชคณิตของฟังก์ชันทั่วไปหลายแบบ รวมถึงแบบที่เสนอโดย Yu. M. Shirokov ^{[ 7 ]}และแบบที่เสนอโดย E. Rosinger, Y. Egorov และ R. Robinson ในกรณีแรก การคูณจะถูกกำหนดด้วยการปรับค่าฟังก์ชันทั่วไปบางอย่าง ในกรณีที่สอง พีชคณิตจะถูกสร้างขึ้นเป็นการคูณของการกระจายทั้งสองกรณีจะกล่าวถึงต่อไป

พีชคณิตของฟังก์ชันทั่วไปสามารถสร้างขึ้นได้ด้วยกระบวนการที่เหมาะสมของการฉายภาพฟังก์ชันไปยังส่วนเรียบ และส่วนเอกลักษณ์ ผลคูณของฟังก์ชันทั่วไปและปรากฏเป็น ${\displaystyle F=F(x)}$${\displaystyle F_{\rm {smooth}}}$${\displaystyle F_{\rm {singular}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle FG~=~F_{\rm {smooth}}~G_{\rm {smooth}}~+~F_{\rm {smooth}}~G_{\rm {singular}}~+F_{\rm {singular}}~G_{\rm {smooth}}.}$

1

กฎดังกล่าวใช้ได้ทั้งกับพื้นที่ของฟังก์ชันหลักและพื้นที่ของตัวดำเนินการที่กระทำกับพื้นที่ของฟังก์ชันหลัก ความเป็นสมาคมของการคูณเกิดขึ้น และฟังก์ชัน signum ถูกกำหนดในลักษณะที่ว่ากำลังสองของมันมีค่าเท่ากับหนึ่งทุกที่ (รวมถึงจุดกำเนิดของพิกัด) โปรดทราบว่าผลคูณของส่วนเอกฐานไม่ปรากฏในด้านขวาของ ( 1 ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง รูปแบบดังกล่าวรวมถึงทฤษฎีทั่วไปของฟังก์ชันทั่วไป (โดยไม่มีผลคูณ) เป็นกรณีพิเศษ อย่างไรก็ตาม พีชคณิตที่ได้นั้นไม่สามารถสลับที่ได้: ฟังก์ชันทั่วไป signum และ delta สลับที่กัน^{[ 7 ]}มีการเสนอแนะการประยุกต์ใช้พีชคณิตเพียงเล็กน้อย^{[ 8 ] [ 9 ]}${\displaystyle \delta (x)^{2}=0}$

ปัญหาการคูณของฟังก์ชันการแจกแจงซึ่งเป็นข้อจำกัดของทฤษฎีการแจกแจงของชวาร์ตซ์ จะกลายเป็นปัญหาที่ร้ายแรงสำหรับปัญหา ที่ไม่เป็นเชิงเส้น

ปัจจุบันมีการใช้วิธีการต่างๆ หลายวิธี วิธีที่ง่ายที่สุดนั้นอิงตามคำจำกัดความของฟังก์ชันทั่วไปที่กำหนดโดย Yu. V. Egorov ^{[ 4 ]}อีกวิธีหนึ่งในการสร้างพีชคณิตเชิงอนุพันธ์แบบเชื่อมโยง นั้นอิงตามการสร้างของ J.-F. Colombeau: ดูพีชคณิต Colombeauสิ่งเหล่านี้คือปริภูมิแฟกเตอร์

${\displaystyle G=M/N}$

ของเครือข่ายฟังก์ชัน "ปานกลาง" ที่มีโมดูลัส "เล็กน้อย" โดยที่ "ความปานกลาง" และ "เล็กน้อย" หมายถึงการเติบโตเมื่อเทียบกับดัชนีของกลุ่มฟังก์ชันนั้น

ตัวอย่างง่ายๆ ได้มาจากการใช้มาตราส่วนพหุนามบนN จากนั้นสำหรับพีชคณิตกึ่งบรรทัดฐานใดๆ (E,P) ปริภูมิแฟกเตอร์จะเป็น ${\displaystyle s=\{a_{m}:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,n\mapsto n^{m};~m\in \mathbb {Z} \}}$

${\displaystyle G_{s}(E,P)={\frac {\{f\in E^{\mathbb {N} }\mid \forall p\in P,\exists m\in \mathbb {Z} :p(f_{n})=o(n^{m})\}}{\{f\in E^{\mathbb {N} }\mid \forall p\in P,\forall m\in \mathbb {Z} :p(f_{n})=o(n^{m})\}}}.}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับ ( E ,  P )=( C ,|.|) จะได้ จำนวนเชิงซ้อนทั่วไป (ของ Colombeau) (ซึ่งสามารถ "ใหญ่เป็นอนันต์" และ "เล็กเป็นอนันต์" ได้ และยังคงอนุญาตให้ใช้เลขคณิตที่เข้มงวดได้ คล้ายกับจำนวนที่ไม่เป็นมาตรฐาน มาก ) สำหรับ ( E ,  P ) = ( C ^∞ ( R ),{ p _k }) (โดยที่ p _kคือค่าสูงสุดของอนุพันธ์ทั้งหมดที่มีอันดับน้อยกว่าหรือเท่ากับkบนทรงกลมรัศมีk ) จะได้พีชคณิต แบบง่ายของ Colombeau

พีชคณิตนี้ "ประกอบด้วย" การแจกแจงT ทั้งหมด ของD'ผ่านทางการฉีด

j ( T ) = (φ _n ∗ T ) _n  +  N ,

โดยที่ ∗ คือ การดำเนินการ คอนโวลูชันและ

φ _n ( x ) = n φ( nx ).

การฉีดนี้ไม่เป็นไปตามแบบแผนในแง่ที่ว่ามันขึ้นอยู่กับการเลือกตัวปรับเรียบ φ ซึ่งควรจะเป็นC ^∞ของจำนวนเต็มหนึ่งตัวและมีอนุพันธ์ทั้งหมดที่ 0 เป็นศูนย์ เพื่อให้ได้การฉีดที่เป็นไปตามแบบแผน สามารถปรับเปลี่ยนชุดดัชนีให้เป็น N  ×  D ( R ) โดยใช้ตัวกรอง ที่เหมาะสม บน ฐาน D ( R ) (ฟังก์ชันของโมเมนต์ ที่เป็นศูนย์ จนถึงอันดับq )

ถ้า ( E , P ) เป็นชีฟ (ก่อน _ชีฟ ) ของพีชคณิตกึ่งบรรทัดฐานบนปริภูมิเชิงทอพอโลยีX บางอย่าง แล้วGs ( E ,  P ) ก็จะมีคุณสมบัตินี้ด้วย ซึ่งหมายความว่าแนวคิดของการจำกัดจะถูกกำหนดขึ้น ซึ่งช่วยให้สามารถกำหนดส่วนรองรับของฟังก์ชันทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับชีฟย่อยได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:

• สำหรับซับชีฟ {0} จะได้ค่าสนับสนุนตามปกติ (ส่วนเติมเต็มของเซตเปิดที่ใหญ่ที่สุดซึ่งฟังก์ชันเป็นศูนย์)
• สำหรับซับชีฟE (ที่ฝังตัวโดยใช้การฉีดแบบแคนอนิก (คงที่)) จะได้สิ่งที่เรียกว่าส่วนรองรับเอกฐานกล่าวคือ โดยคร่าวๆ แล้วคือส่วนปิดของเซตที่ฟังก์ชันทั่วไปไม่ใช่ฟังก์ชันเรียบ (สำหรับE  =  C ^∞ )

เนื่องจาก การแปลงฟูริเยร์นั้น(นิยามได้ดี) สำหรับฟังก์ชันทั่วไปที่มีขอบเขตจำกัด (แบบแยกส่วน) จึงสามารถใช้โครงสร้างเดียวกันกับที่ใช้กับฟังก์ชันการแจกแจง และกำหนดเซตหน้าคลื่นของลาร์ส ฮอร์มันเดอร์สำหรับฟังก์ชันทั่วไปได้เช่นกัน

สิ่งนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งในการวิเคราะห์การแพร่กระจายของจุดเอกฐาน

ทฤษฎีเหล่านี้ได้แก่: ทฤษฎี ผลหารการสังเคราะห์ของJan Mikusinskiซึ่งอิงตามฟิลด์เศษส่วนของ พีชคณิต การสังเคราะห์ที่เป็นโดเมนจำนวนเต็มและทฤษฎีไฮเปอร์ฟังก์ชันซึ่ง (ในแนวคิดเริ่มต้น) อิงตามค่าขอบเขตของฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์และปัจจุบันใช้ทฤษฎี ชีฟ

บรูฮัตได้นำเสนอฟังก์ชันทดสอบประเภทหนึ่ง ซึ่งก็คือฟังก์ชันชวาร์ตซ์-บรูฮัตบนกลุ่มกระชับเฉพาะที่ ประเภท หนึ่ง ซึ่งก้าวข้ามขอบเขตของแมนิโฟลด์ที่เป็นโดเมนของฟังก์ชัน ทั่วไป การประยุกต์ใช้ส่วนใหญ่จะอยู่ในทฤษฎีจำนวนโดยเฉพาะอย่างยิ่งกับกลุ่มพีชคณิตอะดีลิกอองเดร เวลได้เขียนวิทยานิพนธ์ของเทตขึ้นใหม่ในภาษาดังกล่าว โดยอธิบายลักษณะเฉพาะของการกระจายซีตาบนกลุ่มไอเดิลและยังนำไปประยุกต์ใช้กับสูตรที่ชัดเจนของฟังก์ชัน Lอีก ด้วย

อีกแนวทางหนึ่งที่ทฤษฎีนี้ได้รับการขยายออกไปคือ การใช้ส่วนตัดทั่วไป ของ บันเดิลเวกเตอร์เรียบซึ่งเป็นไปตามแบบแผนของชวาร์ตซ์ โดยสร้างวัตถุที่เป็นคู่กันกับวัตถุทดสอบ นั่นคือ ส่วนตัดเรียบของบันเดิลที่มีส่วนรองรับแบบกะทัดรัดทฤษฎีที่ได้รับการพัฒนามากที่สุดคือกระแสเดอแรมซึ่งเป็นคู่กันกับรูปแบบเชิงอนุพันธ์กระแสเหล่านี้มีลักษณะทางโฮโมโลยี ในลักษณะเดียวกับที่รูปแบบเชิงอนุพันธ์ก่อให้เกิดโคโฮโมโลยีของเดอแรม สามารถนำมาใช้ในการกำหนด ทฤษฎีบทของสโตกส์แบบทั่วไปได้

• พื้นที่เบปโป-เลวี
• ฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac
• ฟังก์ชันไอเกนทั่วไป
• การแจกแจง (คณิตศาสตร์)
• การทำงานเกินปกติ
• ลาปลาเซียนของตัวบ่งชี้
• พื้นที่ฮิลเบิร์ตที่ถูกดัดแปลง
• ขีดจำกัดของการกระจาย
• พื้นที่ทั่วไป
• การกระจายตัวแบบอัลตร้า

• ชวาร์ตษ์, แอล. (1950) ธีโอรี เดส์ แจกแจงฉบับที่ 1. ปารีส: เฮอร์มันน์โอซีแอลซี 889264730 .เล่ม 2. OCLC 889391733 
• Beurling, A. (1961). ว่าด้วยเรื่องกึ่งวิเคราะห์และการกระจายทั่วไป (การบรรยายแบบหลายกราฟ). สถาบันภาคฤดูร้อน มหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด. OCLC  679033904 .
• เจลฟานด์, อิซราลʹ มอยเซวิช ; วิเลนคิน, นอม ยาโคฟเลวิช (1964) ฟังก์ชั่ นทั่วไปฉบับที่  ฉัน– VI. สำนักพิมพ์วิชาการ. โอซีแอลซี 728079644 .
• Hörmander, L. (2015) [1990]. การวิเคราะห์ตัวดำเนินการอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้น (ฉบับที่ 2). Springer. ISBN 978-3-642-61497-2.
• H. Komatsu, บทนำสู่ทฤษฎีการแจกแจง, ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง, Iwanami Shoten, โตเกียว, 1983.
• Colombeau, J.-F. (2000) [1983]. ฟังก์ชันทั่วไปใหม่และการคูณการแจกแจง . Elsevier. ISBN 978-0-08-087195-0.
• วลาดีมีรอฟ VS; ดรอจซินอฟ, ยู. น.; ซาฟยาลอฟ บีไอ (2012) [1988] ทฤษฎีบททอเบอเรียนสำหรับฟังก์ชันทั่วไป สปริงเกอร์. ไอเอสบีเอ็น 978-94-009-2831-2.
• Oberguggenberger, M. (1992). การคูณการแจกแจงและการประยุกต์ใช้กับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย Longman. ISBN 978-0-582-08733-0. OCLC  682138968 .
• โมริโมโตะ, เอ็ม. (1993). บทนำเกี่ยวกับไฮเปอร์ฟังก์ชันของซาโตะ . สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน. ISBN 978-0-8218-8767-7.
• Demidov, AS (2001). ฟังก์ชันทั่วไปในฟิสิกส์คณิตศาสตร์: แนวคิดหลักและหลักการ . Nova Science. ISBN 9781560729051.
• Grosser, M.; Kunzinger, M.; Oberguggenberger, Michael; Steinbauer, R. (2013) [2001]. ทฤษฎีเรขาคณิตของฟังก์ชันทั่วไปพร้อมการประยุกต์ใช้กับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป Springer. ISBN 978-94-015-9845-3.
• Estrada, R.; Kanwal, R. (2012). แนวทางเชิงการกระจายตัวสู่ทฤษฎีเชิงอะซิมโทติกส์ ทฤษฎีและการประยุกต์ใช้ (ฉบับที่ 2). Birkhäuser Boston. ISBN 978-0-8176-8130-2.
• Vladimirov, VS (2002). วิธีการของทฤษฎีฟังก์ชันทั่วไป . Taylor & Francis. ISBN 978-0-415-27356-5.
• ไคลเนิร์ต, เอช. (2009). อินทิกรัลเส้นทางในกลศาสตร์ควอนตัม สถิติ ฟิสิกส์พอลิเมอร์ และตลาดการเงิน (ฉบับที่ 5). เวิลด์ ไซเอนซ์. ISBN 9789814273572.( ดูออนไลน์ได้ที่นี่เก็บถาวรเมื่อวันที่ 15 มิถุนายน 2008 ที่Wayback Machine ) ดูบทที่ 11 สำหรับผลคูณของฟังก์ชันทั่วไป
• Pilipovi, S.; Stankovic, B.; Vindas, J. (2012). พฤติกรรมเชิงอะซิมโทติกของฟังก์ชันทั่วไป . World Scientific. ISBN 9789814366847.