พื้นที่ฮิลเบิร์ตที่ถูกดัดแปลง

ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์พื้นที่ฮิลเบิร์ตแบบปรับแต่ง ( Gelfand triple , พื้นที่ฮิลเบิร์ตแบบซ้อน กัน , พื้นที่ฮิลเบิร์ตแบบมีอุปกรณ์ ) คือโครงสร้างที่สามารถขยายพื้นที่ฮิลเบิร์ตให้เป็นพื้นที่ที่ใหญ่กว่าซึ่งมีวัตถุเพิ่มเติมที่ไม่ได้อยู่ในพื้นที่ฮิลเบิร์ต แต่เป็นสิ่งที่เราต้องการจะนึกถึงควบคู่ไปกับพื้นที่ฮิลเบิร์ต ตัวอย่างเช่น ในการอธิบายทางกลศาสตร์ควอนตัมของอนุภาคที่ไม่สัมพัทธภาพโดยใช้พื้นที่ฮิลเบิร์ตของฟังก์ชันที่สามารถอินทิเกรตกำลังสองได้บนเส้นจำนวนจริง สถานะเฉพาะของตัวดำเนินการตำแหน่งและโมเมนตัมไม่ได้อยู่ในพื้นที่ฮิลเบิร์ต แต่อยู่ในพื้นที่ฮิลเบิร์ตแบบปรับแต่งที่กำหนดไว้อย่างเหมาะสม โดยทั่วไป คำว่า "ปรับแต่ง" หมายความว่าพื้นที่ฮิลเบิร์ตได้รับการปรับแต่งให้ทำได้มากกว่าที่ทำได้ตามปกติ ในลักษณะเดียวกับการปรับแต่งเรือ^{[ 1 ]}

โครงสร้างนี้ได้รับการออกแบบมาเพื่อเชื่อมโยง ลักษณะ การกระจายตัวและ การหาปริพันธ์ กำลังสองของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันพื้นที่ดังกล่าวได้รับการแนะนำเพื่อศึกษาทฤษฎีสเปกตรัม โดยนำ ' สถานะผูกพัน ' ( เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ) และ ' สเปกตรัมต่อเนื่อง ' มารวมไว้ในที่เดียวกัน

โดยใช้แนวคิดนี้ ทฤษฎีบทสเปกตรัมเวอร์ชันสำหรับตัวดำเนินการที่ไม่จำกัดบนปริภูมิฮิลเบิร์ตสามารถกำหนดได้^{[ 2 ]} "ปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบมีโครงสร้างเป็นที่รู้จักกันดีว่าเป็นโครงสร้างที่ให้ความหมายทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมแก่การกำหนดกลศาสตร์ควอนตัมของดิแรก " ^{[ 3 ]}

ฟังก์ชันดังกล่าว เป็นฟังก์ชันเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ บนเส้นจำนวนจริงRแต่ไม่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้สำหรับการวัดแบบปกติ ( เลเบส ) บนRการพิจารณาฟังก์ชันนี้อย่างถูกต้องว่าเป็นฟังก์ชันเฉพาะจำเป็นต้องมีวิธีที่จะก้าวออกไปนอกขอบเขตที่เข้มงวดของ ทฤษฎี ปริภูมิฮิลเบิร์ตสิ่งนี้ได้รับการจัดหาโดยกลไกของการกระจายและ ทฤษฎี ฟังก์ชันเฉพาะแบบทั่วไปได้รับการพัฒนาขึ้นในช่วงหลายปีหลังปี 1950 ^{[ 4 ]}$${\displaystyle x\mapsto e^{ix},}$$$${\displaystyle -i{\frac {d}{dx}}}$$

ปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบมีโครงสร้างคือคู่( H , Φ)โดยที่Hเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต และΦเป็นปริภูมิย่อยหนาแน่น โดยที่Φถูกกำหนด โครงสร้าง ปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยีซึ่งแผนที่การรวม มีความต่อเนื่อง^{[ 5 ] [ 6 ]}เมื่อระบุHกับปริภูมิคู่H ^* แล้ว ตัวผกผันของiคือแผนที่ $${\displaystyle i:\Phi \to H,}$$$${\displaystyle i^{*}:H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}$$

การจับคู่แบบทวิภาคระหว่างΦและΦ ^*นั้นเข้ากันได้กับผลคูณภายในบนHในแง่ที่ว่า: เมื่อใดก็ตามที่และในกรณีของปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อน เราใช้ผลคูณภายในแบบเฮอร์มิเชียน ซึ่งจะเป็นเชิงเส้นเชิงซ้อนในu (ตามธรรมเนียมทางคณิตศาสตร์) หรือv (ตามธรรมเนียมทางฟิสิกส์) และเป็นเชิงเส้นคู่ควบ (เชิงซ้อนแบบแอนติเชิงเส้น) ในตัวแปรอื่น $${\displaystyle \langle u,v\rangle _{\Phi \times \Phi ^{*}}=(u,v)_{H}}$$${\displaystyle u\in \Phi \subset H}$${\displaystyle v\in H=H^{*}\subset \Phi ^{*}}$

กลุ่มตัวเลขสามหลักนี้มักถูกเรียกว่า กลุ่มตัวเลขสามหลักเกลฟานด์ (ตั้งชื่อตามอิสราเอล เกลฟานด์ ) และถูกเรียกว่า พื้นที่จุดหมุน (pivot space) ${\displaystyle (\พี ,\,\,H,\,\,\พี ^{*})}$${\displaystyle H}$

โปรดทราบว่าถึงแม้ΦจะสมสัณฐานกับΦ ^* (ผ่านการแสดงแทนแบบรีซ ) แต่ถ้าหากΦเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตในตัวของมันเอง ความสมสัณฐานนี้จะไม่เหมือนกับการประกอบกันของอินคลูชันiกับแอดจอยต์i * ของมัน$${\displaystyle i^{*}i:\Phi \subset H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}$$

แนวคิดของปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบปรับแต่ง (rigged Hilbert space) วางแนวคิดนี้ไว้ในกรอบการทำงานเชิงฟังก์ชันวิเคราะห์แบบนามธรรม ในทางรูปธรรม ปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบปรับแต่งประกอบด้วยปริภูมิฮิลเบิร์ตHพร้อมกับปริภูมิย่อยΦซึ่งมีโทโพโลยีที่ละเอียดกว่านั่นคือโทโพโลยีที่การรวมตามธรรมชาติ มีความต่อเนื่องไม่จำเป็นต้องสมมติว่าΦมีความหนาแน่นในHสำหรับบรรทัดฐานฮิลเบิร์ต เราพิจารณาการรวมของปริภูมิคู่H ^*ในΦ ^* ปริภูมิ หลังนี้เป็นปริภูมิคู่ของΦในโทโพโลยี 'ฟังก์ชันทดสอบ' และถูกสร้างขึ้นเป็นปริภูมิของการกระจายหรือฟังก์ชันทั่วไปบางประเภท และฟังก์ชันเชิงเส้นบนปริภูมิย่อยΦของประเภท สำหรับvในHจะถูกแสดงอย่างถูกต้องเป็นการกระจาย (เนื่องจากเราสมมติว่าΦมีความหนาแน่น) $${\displaystyle \Phi \subseteq H}$$$${\displaystyle \phi \mapsto \langle v,\phi \rangle }$$

โดยการใช้ทฤษฎีบทการแสดงแทนของรีซเราสามารถระบุH ^*ให้เป็นHได้ ดังนั้น นิยามของปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบมีโครงสร้าง จึง อยู่ในรูปของแซนด์วิช: $${\displaystyle \Phi \subseteq H\subseteq \Phi ^{*}.}$$

ตัวอย่างที่สำคัญที่สุดคือตัวอย่างที่Φเป็นปริภูมิเชิงนิวเคลียร์ข้อความนี้เป็นการแสดงออกเชิงนามธรรมของแนวคิดที่ว่าΦประกอบด้วยฟังก์ชันทดสอบ และΦ*ประกอบด้วยการแจกแจง ที่สอดคล้อง กัน

ตัวอย่างของปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบนับได้นิวเคลียร์และปริภูมิคู่ของมันคือปริภูมิชวาร์ตซ์และปริภูมิของการกระจายแบบเทมเปอร์ตามลำดับ ซึ่งเป็นการปรับแต่งปริภูมิฮิลเบิร์ตของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้ ดังนั้น ปริภูมิฮิลเบิร์ตที่ปรับแต่งแล้วจึงกำหนดโดย^{[ 7 ]} อีกตัวอย่างหนึ่งกำหนดโดยปริภูมิโซโบเลฟ : ที่นี่ (ในกรณีที่ง่ายที่สุดของปริภูมิโซโบเลฟบน) โดย ที่${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi ^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$$${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )\subset L^{2}(\mathbb {R} )\subset {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ).}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi =H^{s}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi ^{*}=H^{-s}(\mathbb {R} ^{n}),}$$${\displaystyle s>0}$

• ทฤษฎีบทการผกผันฟูริเยร์
• การแปลงฟูริเยร์ § การแจกแจงแบบเทมเปอร์
• ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเอง § ทฤษฎีบทสเปกตรัม