ในสาขาคณิตศาสตร์ทฤษฎีการแทน (representation theory ) แนวคิดเรื่องน้ำหนักของพีชคณิตAบนฟิลด์Fเป็นการขยายความของแนวคิดเรื่องค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalues ) โดยน้ำหนักเหล่านี้เป็น ฟังก์ชัน โฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตจากAไปยังFหรือเทียบเท่ากับการแทน แบบหนึ่งมิติ ของAบนFมันเป็นสิ่งที่เทียบเคียงได้กับ ลักษณะการคูณ (multiplicative character)ของกลุ่ม ในทางพีชคณิต อย่างไรก็ตาม ความสำคัญของแนวคิดนี้มาจากการประยุกต์ใช้กับการแทนของพีชคณิตลี (Lie algebras)และด้วยเหตุนี้จึงรวมถึงการแทนของ กลุ่ม พีชคณิตและกลุ่มลี ด้วย ในบริบทนี้น้ำหนักของการแทนเป็นการขยายความของแนวคิดเรื่องค่าลักษณะเฉพาะและปริภูมิค่าลักษณะ เฉพาะที่สอดคล้องกัน เรียกว่าปริภูมิน้ำหนัก (weight space )

กำหนดให้เซตSของเมทริกซ์เหนือฟิลด์เดียวกัน ซึ่งแต่ละเมทริกซ์สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้และเมทริก ซ์สองเมทริกซ์ใดๆ สลับกันได้ จะทำให้สามารถทำให้ เมทริกซ์ ทแยงมุมของทุกองค์ประกอบในS พร้อมกันได้ เสมอ^{[หมายเหตุ 1 ]}หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับเซตS ใดๆ ของ การแปลงเชิงเส้นกึ่งง่ายที่สลับกันได้ของปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดVจะมีฐานของVที่ประกอบด้วย${\displaystyle n\times n}$เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะพร้อมกันขององค์ประกอบทั้งหมดของS เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะร่วม v ∈ Vแต่ละตัวจะกำหนดฟังก์ชันเชิงเส้นบนพีชคณิตย่อยUของ End( V ) ที่สร้างขึ้นโดยเซตของเอนโดมอร์ฟิซึมSฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดให้เป็นแผนที่ที่เชื่อมโยงค่าลักษณะเฉพาะของแต่ละองค์ประกอบของUกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะvแผนที่นี้ยังเป็นแบบทวีคูณ และส่งเอกลักษณ์ไปยัง 1 ดังนั้นจึงเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมพีชคณิตจากUไปยังฟิลด์ฐาน "ค่าลักษณะเฉพาะทั่วไป" นี้เป็นต้นแบบสำหรับแนวคิดของน้ำหนัก

แนวคิดนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดของอักขระการคูณในทฤษฎีกลุ่มซึ่งเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมχจากกลุ่มGไปยังกลุ่มการคูณของฟิลด์Fดังนั้นχ : G → F ^×จะสอดคล้องกับχ ( e ) = 1 (โดยที่eคือสมาชิกเอกลักษณ์ของG ) และ

${\displaystyle \chi (gh)=\chi (g)\chi (h)}$สำหรับgและhทั้งหมดในG

อันที่จริง หากG กระทำต่อปริภูมิเวกเตอร์VเหนือFปริภูมิไอเกนร่วมแต่ละปริภูมิสำหรับทุกองค์ประกอบของGหากมีอยู่ จะกำหนดลักษณะการคูณบนG : ค่าไอเกนในปริภูมิไอเกนร่วมนี้ของแต่ละองค์ประกอบของกลุ่ม

แนวคิดเรื่องลักษณะการคูณสามารถขยายไปยังพีชคณิตA ใดๆ บนFได้ โดยการแทนที่χ : G → F ^×ด้วยแผนที่เชิงเส้นχ : A → Fที่มี:

${\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b)}$

สำหรับทุกค่าaและbในAถ้าพีชคณิตA กระทำต่อปริภูมิเวกเตอร์VเหนือFไปยังปริภูมิไอเกนพร้อมกันใดๆ สิ่งนี้จะสอดคล้องกับโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตจากAไปยังF ซึ่งกำหนด ค่าไอเกนให้ กับแต่ละองค์ประกอบของA

ถ้าAเป็นพีชคณิตลี (พีชคณิตที่ไม่เชื่อมโยงกันซึ่งมีวงเล็บทวิเชิงเส้นและสมมาตรที่สอดคล้องกับเอกลักษณ์ของจาโคบี ) แล้วแทนที่จะต้องการคุณสมบัติการคูณของอักขระ เราต้องการให้มันแมปวงเล็บลีใดๆ ไปยังตัวสลับที่ สอดคล้องกัน แต่เนื่องจากFเป็นแบบสลับที่ได้นั่นหมายความว่าการแมปนี้ต้องเป็นศูนย์บนวงเล็บลี: χ ([ a , b ]) = 0 น้ำหนักบนพีชคณิตลีgเหนือฟิลด์Fคือการแมปเชิงเส้น λ: g → Fโดยที่ λ([ x , y ]) = 0 สำหรับทุกx , yในgน้ำหนักใดๆ บนพีชคณิตลีgจะเป็นศูนย์บนพีชคณิตอนุพันธ์ [ g , g ] และด้วยเหตุนี้จึงลดลงเหลือน้ำหนักบนพีชคณิตลีอาเบเลียนg /[ g , g ] ดังนั้น น้ำหนักจึงมีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับพีชคณิตลีแบบอาเบเลียน ซึ่งน้ำหนักจะลดทอนลงเหลือเพียงแนวคิดง่ายๆ ของค่าลักษณะเฉพาะทั่วไปสำหรับปริภูมิของการแปลงเชิงเส้นที่สลับกันได้

ถ้าGเป็นกลุ่มลี (Lie group)หรือกลุ่มพีชคณิต (algebraic group ) แล้ว อักขระการคูณ θ: G → F ^×จะเหนี่ยวนำน้ำหนักχ = dθ: g → Fบนพีชคณิตลี (Lie algebra) ของมันโดยการหาอนุพันธ์ (สำหรับกลุ่มลี นี่คือการหาอนุพันธ์ที่องค์ประกอบเอกลักษณ์ของGและกรณีของกลุ่มพีชคณิตเป็นนามธรรมโดยใช้แนวคิดของการอนุพันธ์)

ให้เป็นพีชคณิตลีแบบกึ่งง่าย เชิงซ้อน และเป็นพีชคณิตย่อยคาร์ตันของในส่วนนี้ เราจะอธิบายแนวคิดที่จำเป็นในการกำหนด "ทฤษฎีบทน้ำหนักสูงสุด" ซึ่งจำแนกการแสดงแทนแบบมิติจำกัดของ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราจะอธิบายแนวคิดของ "องค์ประกอบจำนวนเต็มเด่น" การแสดงแทนเหล่านั้นได้อธิบายไว้ในบทความที่เชื่อมโยงไว้ด้านบนแล้ว ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ให้เป็นการแทนของพีชคณิตลีบนปริภูมิเวกเตอร์Vเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะ 0 สมมติว่าเป็นและให้เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นบนโดยที่เป็นพีชคณิตย่อยคาร์ตันของแล้ว${\displaystyle \sigma :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \lambda :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ปริภูมิของน้ำหนักของVที่มีน้ำหนักλคือปริภูมิย่อยที่กำหนดโดย ${\displaystyle V_{\lambda }}$

${\displaystyle V_{\lambda }:=\{v\in V:\forall H\in {\mathfrak {h}},\,(\sigma (H))(v)=\lambda (H)v\}}$.

น้ำหนักของการแสดงแทนV (โดยทั่วไปมักเรียกการแสดงแทนนี้โดยย่อว่าปริภูมิเวกเตอร์V ที่องค์ประกอบของพีชคณิตลีทำหน้าที่อยู่ แทนที่จะใช้คำว่าแผนที่) คือฟังก์ชันเชิงเส้น λ ที่ทำให้ปริภูมิของน้ำหนักที่สอดคล้องกันมีค่าไม่เป็นศูนย์ องค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ในปริภูมิของน้ำหนักเรียกว่าเวกเตอร์น้ำหนักกล่าวคือ เวกเตอร์น้ำหนักเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะพร้อมกันสำหรับการกระทำขององค์ประกอบของโดยมีค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันกำหนดโดย λ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

ถ้าVคือผลรวมโดยตรงของพื้นที่น้ำหนักของมัน

${\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}V_{\lambda }}$

แล้วVเรียกว่า aโมดูลน้ำหนัก ;ซึ่งสอดคล้องกับการมีฐานเวกเตอร์ลักษณะ(ฐานของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะพร้อมกัน) สำหรับองค์ประกอบทั้งหมดที่แสดงของพีชคณิต กล่าวคือ มีเมทริกซ์ที่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้พร้อมกัน (ดูเมทริกซ์ทแยงมุม)

ถ้าGเป็นกลุ่มลีที่มีพีชคณิตลีทุกการแทนแบบมิติจำกัดของGจะเหนี่ยวนำให้เกิดการแทนของน้ำหนักของการแทนของGก็คือน้ำหนักของการแทนของ ที่เกี่ยวข้องนั่นเองมีความแตกต่างเล็กน้อยระหว่างน้ำหนักของการแทนกลุ่มและการแทนพีชคณิตลี ซึ่งก็คือเงื่อนไขความสมบูรณ์ในสองกรณีนี้แตกต่างกัน ดูรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง (เงื่อนไขความสมบูรณ์จะเข้มงวดกว่าในกรณีของกลุ่ม ซึ่งสะท้อนให้เห็นว่าไม่ใช่ทุกการแทนของพีชคณิตลีจะมาจากแทนของกลุ่ม) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

สำหรับการแสดงแทนแบบผกผัน ของ พื้นที่ที่การแสดงแทนนั้นกระทำคือพีชคณิตลีเอง ดังนั้น น้ำหนักที่ไม่เป็นศูนย์เรียกว่ารากปริภูมิของน้ำหนักเรียกว่าปริภูมิรากและเวกเตอร์น้ำหนักซึ่งเป็นองค์ประกอบของเรียกว่าเวกเตอร์รากโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันเชิงเส้นบนพีชคณิตย่อยคาร์ตันเรียกว่าราก ถ้าและมีค่าที่ไม่เป็นศูนย์ในเช่นนั้น ${\displaystyle \mathrm {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \alpha \neq 0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [H,X]=\alpha (H)X}$

สำหรับทุกสิ่งในนั้นกลุ่มของรากก่อให้เกิดระบบ ราก${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

จากมุมมองของทฤษฎีการแทนค่า ความสำคัญของรากและเวกเตอร์รากคือผลลัพธ์พื้นฐานแต่สำคัญดังต่อไปนี้: ถ้าเป็นการแทนค่าของ, vคือเวกเตอร์น้ำหนักที่มีน้ำหนักและXคือเวกเตอร์รากที่มีรากแล้ว ${\displaystyle \sigma :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \sigma (H)(\sigma (X)(v))=[(\lambda +\alpha )(H)](\sigma (X)(v))}$

สำหรับทุกHในนั่นคือ เป็นได้ทั้งเวกเตอร์ศูนย์หรือเวกเตอร์น้ำหนักที่มีน้ำหนักดังนั้น การกระทำของจะแปลงปริภูมิของน้ำหนักที่มีน้ำหนักไปยังปริภูมิของน้ำหนักที่มีน้ำหนัก ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \sigma (X)(v)}$${\displaystyle \แลมบ์ดา +\อัลฟา }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \แลมบ์ดา +\อัลฟา }$

ตัวอย่างเช่น ถ้าหรือทำให้ซับซ้อนขึ้น เวกเตอร์รากจะครอบคลุมพีชคณิตและมีน้ำหนัก, , และตามลำดับ พีชคณิตย่อยของคาร์ตันถูกครอบคลุมโดยและการกระทำของจะจำแนกพื้นที่น้ำหนัก การกระทำของจะแมปพื้นที่น้ำหนักที่มีน้ำหนักไปยังพื้นที่น้ำหนักที่มีน้ำหนักและการกระทำของจะแมปพื้นที่น้ำหนักที่มีน้ำหนักไปยังพื้นที่น้ำหนักที่มีน้ำหนักและการกระทำของจะแมปพื้นที่น้ำหนักไปยังตัวมันเอง ในการแสดงแทนพื้นฐานที่มีน้ำหนักและพื้นที่น้ำหนักจะแมปไปยังศูนย์ และไปยังในขณะที่จะแมปไปยังศูนย์ และไปยังและจะแมปแต่ละพื้นที่น้ำหนักไปยังตัวมันเอง ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}__{\mathbb {C} }(2)}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle {H,X,Y}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda +1}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda -1}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \pm {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle V_{\pm {\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle H}$

ให้เป็นปริภูมิย่อยจริงของที่สร้างขึ้นโดยรากของโดยที่เป็นปริภูมิของฟังก์ชันเชิงเส้นและ เป็นปริภูมิคู่ของ สำหรับการคำนวณ เป็นเรื่องสะดวกที่จะเลือกผลคูณภายในที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้กลุ่มเวล์ นั่นคือ ภายใต้การสะท้อนเกี่ยวกับระนาบไฮเปอร์ที่ตั้งฉากกับราก จากนั้นเราสามารถใช้ผลคูณภายในนี้เพื่อระบุกับปริภูมิย่อยของด้วยการระบุนี้โครูทที่เกี่ยวข้องกับรากจะกำหนดเป็น ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle \lambda :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle H_{\alpha }=2{\frac {\alpha }{(\alpha ,\alpha )}}}$

โดยที่หมายถึงผลคูณภายในของเวกเตอร์นอกจากผลคูณภายในนี้แล้ว ยังนิยมใช้สัญลักษณ์วงเล็บเหลี่ยมในการอภิปรายเกี่ยวกับระบบรากโดยวงเล็บเหลี่ยมกำหนดไว้ดังนี้วงเล็บเหลี่ยมในที่นี้ไม่ใช่ผลคูณภายใน เนื่องจากไม่สมมาตร และเป็นเชิงเส้นเฉพาะในอาร์กิวเมนต์แรกเท่านั้น ไม่ควรสับสนสัญลักษณ์วงเล็บเหลี่ยมกับผลคูณภายใน${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \alpha ,\beta .}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \langle \lambda ,\alpha \rangle \equiv (\lambda ,H_{\alpha }).}$${\displaystyle (\cdot ,\cdot ).}$

ต่อไปนี้เราจะกำหนดนิยามของความเป็นจำนวนเต็มสองแบบที่แตกต่างกันสำหรับองค์ประกอบของแรงจูงใจในการกำหนดนิยามเหล่านี้เรียบง่าย: น้ำหนักของการแสดงแทนแบบมิติจำกัดของเป็นไปตามเงื่อนไขความเป็นจำนวนเต็มข้อแรก ในขณะที่ถ้าGเป็นกลุ่มที่มีพีชคณิตลีน้ำหนักของการแสดงแทนแบบมิติจำกัดของGจะเป็นไปตามเงื่อนไขความเป็นจำนวนเต็มข้อที่สอง ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

องค์ประกอบหนึ่งๆเรียกว่าเป็นจำนวนเต็มเชิงพีชคณิตถ้า ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$

${\displaystyle (\lambda ,H_{\alpha })=2{\frac {(\lambda ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\in \mathbb {Z} }$

สำหรับรากทั้งหมดแรงจูงใจสำหรับเงื่อนไขนี้คือโครูทสามารถระบุได้ด้วย องค์ประกอบ Hในฐานมาตรฐานสำหรับ -ซับอัลจีบ ราของ^{[ 1 ]}จากผลลัพธ์พื้นฐานสำหรับค่าลักษณะเฉพาะของในการแสดงแทนมิติจำกัดใดๆ ต้องเป็นจำนวนเต็ม เราสรุปได้ว่า ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น น้ำหนักของการแสดงแทนมิติจำกัดใดๆ ของเป็นจำนวนเต็มเชิงพีชคณิต^{[ 2 ]}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle H_{\alpha }}$${\displaystyle {X,Y,H}}$${\displaystyle sl(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle sl(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle H_{\alpha }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

น้ำหนักพื้นฐาน ถูกกำหนดโดยคุณสมบัติที่ว่ามันเป็นฐานคู่ของเซตของรากร่วมที่เกี่ยวข้องกับรากเชิงเดี่ยวนั่นคือ น้ำหนักพื้นฐานถูกกำหนดโดยเงื่อนไข ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$

${\displaystyle 2{\frac {(\omega _{i},\alpha _{j})}{(\alpha _{j},\alpha _{j})}}=\delta _{i,j}}$

รากที่เรียบง่ายอยู่ ที่ไหน องค์ประกอบจะเป็นจำนวนเต็มเชิงพีชคณิตก็ต่อเมื่อเป็นการรวมจำนวนเต็มของน้ำหนักพื้นฐาน^{[ 3 ]}เซตของน้ำหนักจำนวนเต็มทั้งหมดเป็นแลตทิซในที่เรียกว่าแลตทิซน้ำหนักสำหรับซึ่ง แสดงด้วย${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle P({\mathfrak {g}})}$

รูปแสดงตัวอย่างของพีชคณิตลี (Lie algebra) ซึ่งระบบรากคือระบบราก มีรากเชิงเดี่ยวสองราก คือและน้ำหนักพื้นฐานตัวแรกควรตั้งฉากกับและควรฉายภาพตั้งฉากกับครึ่งหนึ่งของและในทำนองเดียวกันสำหรับ ดังนั้น แลตทิซน้ำหนักจึงเป็นแลตทิซสามเหลี่ยม ${\displaystyle sl(3,\mathbb {C} )}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle \gamma _{1}}$${\displaystyle \gamma _{2}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \gamma _{2}}$${\displaystyle \gamma _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$

สมมติว่าพีชคณิตลีเป็นพีชคณิตลีของกลุ่มลีGจากนั้นเราจะกล่าวว่าเป็นจำนวนเต็มเชิงวิเคราะห์ ( G-integral ) ถ้าสำหรับแต่ละtในที่เรามีเหตุผลในการกำหนดนิยามนี้คือ ถ้าการแสดงแทนของเกิดขึ้นจากการแสดงแทนของGน้ำหนักของการแสดงแทนจะเป็นG -integral ^{[ 4 ]}สำหรับGกึ่งง่าย เซตของ น้ำหนัก G -integral ทั้งหมดเป็นซับแลตทิซP ( G ) ⊂ P ( ) ถ้าGเชื่อมต่ออย่างง่าย P ( G ) = P ( ) ถ้าGไม่เชื่อมต่ออย่างง่าย แลตทิซP ( G ) จะ ^เล็กกว่าP ( ) และผลหาร ของพวกมัน จะสมมาตรกับกลุ่มพื้นฐานของG [ ^{5 ]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \exp(t)=1\in G}$${\displaystyle (\lambda ,t)\in 2\pi i\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ต่อไปนี้เราจะนำเสนอการเรียงลำดับบางส่วนบนเซตของน้ำหนัก ซึ่งจะใช้ในการกำหนดทฤษฎีบทของน้ำหนักสูงสุดที่อธิบายการแทนของโปรด จำไว้ว่าRคือเซตของราก ตอนนี้เราจะกำหนดเซตของรากบวก${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle R^{+}}$

พิจารณาองค์ประกอบสองตัวคือ และของ เราสนใจในกรณีที่และเป็นจำนวนเต็มเป็นหลัก แต่สมมติฐานนี้ไม่จำเป็นต่อคำจำกัดความที่เรากำลังจะนำเสนอ จากนั้นเราจะกล่าวว่าสูงกว่าซึ่งเราเขียนเป็นถ้าสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของรากบวกที่มีสัมประสิทธิ์จริงที่ไม่เป็นลบ^{[ 6 ]}ซึ่งหมายความว่าโดยประมาณแล้ว "สูงกว่า" หมายถึงในทิศทางของรากบวก เรากล่าวในทำนองเดียวกันว่าต่ำกว่าซึ่งเราเขียนเป็น ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu \succeq \lambda }$${\displaystyle \mu -\lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda \preceq \mu }$

นี่เป็นเพียง ลำดับ บางส่วน เท่านั้น อาจเกิดขึ้นได้ง่ายๆ ว่าค่าหนึ่งไม่สูงกว่าหรือต่ำกว่าอีกค่าหนึ่ง ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$

องค์ประกอบจำนวนเต็มจะเด่นก็ต่อเมื่อสำหรับแต่ละรากบวกหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ จะเด่นก็ต่อเมื่อเป็น ผลรวมจำนวน เต็มที่ไม่เป็นลบของน้ำหนักพื้นฐาน ในกรณีนี้ องค์ประกอบจำนวนเต็มเด่นจะอยู่ในภาคส่วน 60 องศา แนวคิดของการเด่นไม่เหมือนกับการมีค่ามากกว่าศูนย์ โปรดสังเกตว่าพื้นที่สีเทาในภาพด้านขวาคือภาคส่วน 120 องศา ซึ่งครอบคลุมภาคส่วน 60 องศาที่สอดคล้องกับองค์ประกอบจำนวนเต็มเด่นอย่างเคร่งครัด ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle (\lambda ,\gamma )\geq 0}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A_{2}}$

เซตของ λ ทั้งหมด (ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม) ที่ทำให้สำหรับรากบวกทั้งหมดเรียกว่าห้องเวล์พื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับเซตของรากบวกที่กำหนดให้ ${\displaystyle (\lambda ,\gamma )\geq 0}$${\displaystyle \gamma }$

น้ำหนักของตัวแทนของจะเรียกว่าน้ำหนักสูงสุดถ้าน้ำหนักอื่นๆ ทั้งหมดของมีค่าต่ำกว่า ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \lambda }$

ทฤษฎีที่จำแนกการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ในมิติจำกัดของนั้นทำได้โดยใช้ "ทฤษฎีบทที่มีน้ำหนักสูงสุด" ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่า^{[ 7 ]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

(1) ตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ (มิติจำกัด) ทุกตัวมีน้ำหนักสูงสุด

(2) น้ำหนักสูงสุดมักจะเป็นองค์ประกอบที่โดดเด่นและเป็นจำนวนเต็มพีชคณิต

(3) ตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้สองแบบที่มีน้ำหนักสูงสุดเท่ากันจะสมมาตรกัน และ

(4) องค์ประกอบเด่นทุกตัวที่เป็นจำนวนเต็มพีชคณิตคือน้ำหนักสูงสุดของการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้

ประเด็นสุดท้ายเป็นประเด็นที่ยากที่สุด คือ การสร้างตัวแทนโดยใช้โมดูลเวอร์มา

การแสดงผล (ไม่จำเป็นต้องมีมิติจำกัด) Vของเรียกว่าโมดูลน้ำหนักสูงสุดถ้ามันถูกสร้างขึ้นโดยเวกเตอร์น้ำหนักv ∈ Vที่ถูกทำลายโดยการกระทำของปริภูมิรากบวก ทั้งหมด ในทุกโมดูลที่ไม่สามารถลดทอนได้ซึ่งมีน้ำหนักสูงสุด จำเป็นต้องเป็นโมดูลน้ำหนักสูงสุด แต่ในกรณีมิติอนันต์ โมดูลน้ำหนักสูงสุดไม่จำเป็นต้องไม่สามารถลดทอนได้ สำหรับแต่ละ—ไม่จำเป็นต้องเป็นโมดูลเด่นหรือโมดูลจำนวนเต็ม—จะมี โมดูล น้ำหนักสูงสุดแบบง่ายที่ ไม่ซ้ำกัน (จนถึงไอโซมอร์ฟิซึม) ซึ่งมีน้ำหนักสูงสุด λ ซึ่งเขียนแทนด้วยL (λ) แต่โมดูลนี้มีมิติอนันต์ เว้นแต่ λ จะเป็นโมดูลเด่นหรือโมดูลจำนวนเต็ม สามารถแสดงได้ว่าแต่ละโมดูลน้ำหนักสูงสุดที่มีน้ำหนักสูงสุด λ เป็นผลหารของโมดูลเวอร์มาM (λ) นี่เป็นเพียงการกล่าวซ้ำคุณสมบัติความเป็นสากลในคำจำกัดความของโมดูลเวอร์มา ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

โมดูลที่มีน้ำหนักสูงสุด ในมิติจำกัดทุกโมดูลไม่สามารถลดทอนได้^{[ 8 ]}

• การจำแนกประเภทการแสดงแทนแบบมิติจำกัดของพีชคณิตลี
• ทฤษฎีการแทนของกลุ่ม Lie กระชับที่เชื่อมต่อกัน
• ประเภทน้ำหนักสูงสุด
• ระบบราก