ในฟิสิกส์และเรขาคณิตมีปริภูมิเวกเตอร์ สองปริภูมิที่เกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิด โดยปกติจะเป็นสามมิติแต่โดยทั่วไปแล้วจะเป็นมิติจำกัดใดๆ ก็ได้ ปริภูมิตำแหน่ง (หรือปริภูมิจริงหรือปริภูมิพิกัด ) คือเซตของเวกเตอร์ตำแหน่ง r ทั้งหมด ในปริภูมิยุคลิดและมีมิติของความยาวเวกเตอร์ตำแหน่งกำหนดจุดในอวกาศ (ถ้าเวกเตอร์ตำแหน่งของอนุภาคจุดเปลี่ยนแปลงตามเวลา มันจะลากเส้นทาง ซึ่งก็คือวิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาค) ปริภูมิโมเมนตัมคือเซตของเวกเตอร์โมเมนตัม p ทั้งหมดที่ระบบทางกายภาพสามารถมีได้ เวกเตอร์โมเมนตัมของอนุภาคสอดคล้องกับการ เคลื่อนที่ ของมัน โดยมีมิติของมวล⋅ความยาว⋅เวลา⁻¹

ในทางคณิตศาสตร์ ความเป็นคู่กันระหว่างตำแหน่งและโมเมนตัมเป็นตัวอย่างหนึ่งของความเป็นคู่กันของปอนทรียาจิน (Pontryagin duality ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าฟังก์ชัน หนึ่ง ถูกกำหนดในปริภูมิตำแหน่งf ( r ) แล้วการแปลงฟูริเยร์ ของฟังก์ชันนั้น จะได้ฟังก์ชันในปริภูมิโมเมนตัมφ ( p ) ในทางกลับกัน การแปลงฟูริเยร์ผกผันของฟังก์ชันในปริภูมิโมเมนตัมจะเป็นฟังก์ชันในปริภูมิตำแหน่ง

ปริมาณและแนวคิดเหล่านี้อยู่เหนือขอบเขตของฟิสิกส์คลาสสิกและฟิสิกส์ควอนตัมทั้งหมด และระบบทางกายภาพสามารถอธิบายได้โดยใช้ตำแหน่งของอนุภาคที่เป็นองค์ประกอบ หรือโมเมนตัมของอนุภาคเหล่านั้น ซึ่งทั้งสองรูปแบบให้ข้อมูลเดียวกันเกี่ยวกับระบบที่กำลังพิจารณา ปริมาณอีกอย่างหนึ่งที่มีประโยชน์ในการกำหนดในบริบทของคลื่นคือ เวกเตอร์คลื่นk (หรือเรียกง่ายๆ ว่า " เวกเตอร์ k ") มีมิติเป็นส่วนกลับของความยาวทำให้มันเป็นอนาล็อกของความถี่เชิงมุมωซึ่งมีมิติเป็นส่วนกลับของเวลา เซต ของเวกเตอร์คลื่นทั้งหมดคือปริภูมิ kโดยปกติแล้ว เวกเตอร์ตำแหน่งrจะเข้าใจง่ายและเรียบง่ายกว่าเวกเตอร์คลื่นkแม้ว่าในทางกลับกันก็อาจเป็นจริงได้เช่นกัน เช่นในฟิสิกส์ ของของแข็ง

กลศาสตร์ควอนตัมให้ตัวอย่างพื้นฐานสองประการของความเป็นคู่ระหว่างตำแหน่งและโมเมนตัม ได้แก่หลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก Δ x Δ p ≥ ħ /2 ซึ่งระบุว่าตำแหน่งและโมเมนตัมไม่สามารถทราบได้พร้อมกันด้วยความแม่นยำตามอำเภอใจ และความสัมพันธ์ของเดอ บรอยล์p = ħ kซึ่งระบุว่าโมเมนตัมและเวกเตอร์คลื่นของอนุภาคอิสระเป็นสัดส่วนซึ่งกันและกัน^{[ 1 ] [ 2 ]}ในบริบทนี้ เมื่อไม่มีความกำกวม คำว่า " โมเมนตัม " และ "เวกเตอร์คลื่น" จะใช้แทนกันได้ อย่างไรก็ตาม ความสัมพันธ์ของเดอ บรอยล์ไม่เป็นจริงในผลึก^{[ 3 ]}

ใน กลศาสตร์ลากรางจ์ส่วนใหญ่แล้วลากรางจ์L ( q , d q / dt , t ) จะอยู่ในปริภูมิการกำหนดค่าโดยที่q = ( q ₁ , q ₂ ,..., q _n ) คือn - tupleของพิกัดทั่วไป สมการการเคลื่อนที่ของ ออยเลอร์-ลากรางจ์คือ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,,\quad {\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {dq_{i}}{dt}}\,.}$$

(จุดเหนือตัวอักษรหนึ่งจุดแสดงถึงอนุพันธ์เทียบกับเวลา หนึ่งค่า ) เมื่อนำนิยามของโมเมนตัมเชิงแคนอนิกมาใช้สำหรับแต่ละพิกัดทั่วไป สมการ ออยเลอร์-ลากรางจ์จะมีรูปแบบดังนี้ $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\,,}$$$${\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,.}$$

ลากรางเจียนสามารถแสดงในปริภูมิโมเมนตัมได้เช่นกัน^{[ 4 ]} L ′( p , d p / dt , t ) โดยที่p = ( p ₁ , p ₂ , ..., p _n ) เป็นn -tuple ของโมเมนตัมทั่วไปการแปลงเลอจองเดอร์จะดำเนินการเพื่อเปลี่ยนตัวแปรในอนุพันธ์รวมของลากรางเจียนในปริภูมิพิกัดทั่วไป โดยที่นิยามของโมเมนตัมทั่วไปและสมการออยเลอร์-ลากรางจ์ได้เข้ามาแทนที่อนุพันธ์ย่อยของLกฎผลคูณสำหรับอนุพันธ์^{[ nb 1 ]}อนุญาตให้แลกเปลี่ยนอนุพันธ์ในพิกัดทั่วไปและความเร็วกับอนุพันธ์ในโมเมนตัมทั่วไปและอนุพันธ์เวลาของพวกมัน ซึ่งหลังจากแทนที่แล้วจะทำให้ง่ายขึ้นและจัดเรียงใหม่เป็น $${\displaystyle dL=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}dq_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}d{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt=\sum _{i=1}^{n}({\dot {p}}_{i}dq_{i}+p_{i}d{\dot {q}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,,}$$$${\displaystyle {\dot {p}}_{i}dq_{i}=d(q_{i}{\dot {p}}_{i})-q_{i}d{\dot {p}}_{i}}$$$${\displaystyle p_{i}d{\dot {q}}_{i}=d({\dot {q}}_{i}p_{i})-{\dot {q}}_{i}dp_{i}}$$$${\displaystyle d\left[L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\right]=-\sum _{i=1}^{n}({\dot {q}}_{i}dp_{i}+q_{i}d{\dot {p}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,.}$$

ตอนนี้ ผลรวมเชิงอนุพันธ์ของลากรางเจียนปริภูมิโมเมนตัมL ′ คือ ดังนั้น เมื่อเปรียบเทียบผลอนุพันธ์ของลากรางเจียน โมเมนตัม และอนุพันธ์เทียบกับเวลา ลากรางเจียนปริภูมิโมเมนตัมL ′ และพิกัดทั่วไปที่ได้จากL ′ คือ ตามลำดับ $${\displaystyle dL'=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}dp_{i}+{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}d{\dot {p}}_{i}\right)+{\frac {\partial L'}{\partial t}}dt}$$$${\displaystyle L'=L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\,,\quad -{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,,\quad -q_{i}={\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}\,.}$$

เมื่อรวมสมการสองสมการสุดท้ายเข้าด้วยกัน จะได้สมการออยเลอร์-ลากรางจ์ในปริภูมิโมเมนตัม $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,.}$$

ข้อดีของการแปลงเลอจองเดอร์คือ ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันใหม่และฟังก์ชันเก่า รวมถึงตัวแปรต่างๆ จะได้มาในกระบวนการ ทั้งรูปแบบพิกัดและรูปแบบโมเมนตัมของสมการนั้นเทียบเท่ากันและมีข้อมูลเดียวกันเกี่ยวกับพลวัตของระบบ รูปแบบนี้อาจมีประโยชน์มากกว่าเมื่อโมเมนตัมหรือโมเมนตัมเชิงมุมเข้ามาเกี่ยวข้องในลากรางจ์

ในกลศาสตร์แฮมิลตันต่างจากกลศาสตร์ลากรางจ์ที่ใช้พิกัดทั้งหมดหรือโมเมนตัมเพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง สมการการเคลื่อนที่ของแฮมิลตันจะให้ความสำคัญกับทั้งพิกัดและโมเมนตัมอย่างเท่าเทียมกัน สำหรับระบบที่มีแฮมิลตันH ( q , p , t ) สมการจะเป็นดังนี้ $${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\,.}$$

ในกลศาสตร์ควอนตัมอนุภาคจะถูกอธิบายด้วยสถานะควอนตัมสถานะควอนตัมนี้สามารถแสดงได้ด้วยการซ้อนทับของสถานะพื้นฐานโดยหลักการแล้ว เราสามารถเลือกชุดของสถานะพื้นฐานได้อย่างอิสระ ตราบใดที่มันครอบคลุมปริภูมิสถานะหากเราเลือกฟังก์ชันเฉพาะ (ทั่วไป)ของตัวดำเนินการตำแหน่งเป็นชุดของฟังก์ชันพื้นฐาน เราจะพูดถึงสถานะว่าเป็นฟังก์ชันคลื่นψ ( r )ในปริภูมิตำแหน่ง สม การชโรดิงเกอร์ที่คุ้นเคยในแง่ของตำแหน่งrเป็นตัวอย่างของกลศาสตร์ควอนตัมในการแสดงตำแหน่ง^{[ 5 ]}

โดยการเลือกฟังก์ชันเฉพาะของตัวดำเนินการที่แตกต่างกันเป็นชุดฟังก์ชันพื้นฐาน เราสามารถได้มาซึ่งการแสดงแทนที่แตกต่างกันหลายแบบของสถานะเดียวกัน หากเลือกฟังก์ชันเฉพาะของตัวดำเนินการโมเมนตัมเป็นชุดฟังก์ชันพื้นฐาน ฟังก์ชันคลื่นที่ได้จะเรียกว่าฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิโมเมนตัม^{[ 5 ]}${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$

ลักษณะเด่นของกลศาสตร์ควอนตัมคือปริภูมิเฟสสามารถมีได้หลายประเภท ได้แก่ ตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่อง โรเตอร์ และตัวแปรแบบต่อเนื่อง ตารางด้านล่างสรุปความสัมพันธ์บางอย่างที่เกี่ยวข้องกับปริภูมิเฟสทั้งสามประเภท^{[ 6 ]}

การแสดงโมเมนตัมของฟังก์ชันคลื่นและความสัมพันธ์ของเดอ บรอยล์มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีบทการผกผันฟูริเยร์และแนวคิดของโดเมนความถี่เนื่องจากอนุภาคอิสระมีความถี่เชิงพื้นที่ เป็นสัดส่วนกับโมเมนตัมการอธิบายอนุภาคเป็นผลรวมของส่วนประกอบความถี่จึงเทียบเท่ากับการอธิบายเป็นการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันคลื่นที่ " ดีพอ " ในปริภูมิโมเมนตัม^{[ 2 ]}${\displaystyle k=|\mathbf {k} |=2\pi /\lambda }$${\displaystyle p=|\mathbf {p} |=\hbar k}$

สมมติว่าเรามี ฟังก์ชันคลื่นสามมิติในปริภูมิตำแหน่งψ ( r )แล้วเราสามารถเขียนฟังก์ชันเหล่านี้เป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักของฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากψj ( r )ได้ หรือในกรณีต่อเนื่อง ในรูปของปริพันธ์ เห็นได้ชัดว่าถ้าเรากำหนดเซตของฟังก์ชันเช่น เซตของฟังก์ชันเฉพาะของตัวดำเนินการโมเมนตัม ฟังก์ชันนั้น_จะเก็บข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็นในการสร้างψ ( r ) ขึ้นมาใหม่ และดังนั้นจึงเป็นคำอธิบายทางเลือก สำหรับ สถานะ$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{j}\phi _{j}\psi _{j}(\mathbf {r} )}$$$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbf {k} {\text{-space}}}\phi (\mathbf {k} )\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} }$$${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$${\displaystyle \psi }$

ในการแสดงพิกัด ตัวดำเนินการโมเมนตัมกำหนดโดย^{[ 7 ]} (ดูแคลคูลัสเมทริกซ์สำหรับสัญลักษณ์ตัวส่วน) พร้อมโดเมน ที่เหมาะสม ฟังก์ชันเฉพาะคือ และค่าเฉพาะħ kดังนั้น และเราเห็นว่าการแสดงโมเมนตัมเกี่ยวข้องกับการแสดงตำแหน่งโดยการแปลงฟูริเยร์^{[ 8 ]}$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}}$$$${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {k} {\text{-space}}}\phi (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} }$$

ในทางกลับกัน ฟังก์ชันคลื่นสามมิติในปริภูมิโมเมนตัมสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมถ่วงน้ำหนักของฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉาก หรือ ในรูปปริพันธ์ ${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$${\displaystyle \phi _{j}(\mathbf {k} )}$$${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )=\sum _{j}\psi _{j}\phi _{j}(\mathbf {k} ),}$$$${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )=\int _{\mathbf {r} {\text{-space}}}\psi (\mathbf {r} )\phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} .}$$

ในการแสดงโมเมนตัมตัวดำเนินการตำแหน่งจะได้รับจาก^{[ 9 ]} พร้อมด้วยฟังก์ชันเฉพาะ และค่าเฉพาะrดังนั้นการแยกส่วนที่คล้ายกันของสามารถทำได้ในแง่ของฟังก์ชันเฉพาะของตัวดำเนินการนี้ ซึ่งกลายเป็นการแปลงฟูริเยร์ผกผัน^{[ 8 ]}$${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}=i{\frac {\partial }{\partial \mathbf {k} }}}$$$${\displaystyle \phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} )={\frac {1}{\left({\sqrt {2\pi }}\right)^{3}}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$$${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {r} {\text{-space}}}\psi (\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} .}$$

ตัวดำเนินการตำแหน่งและตัวดำเนินการโมเมนตัมนั้นสมมูลกันในเชิง เอกภาพ โดยตัวดำเนินการเอกภาพนั้นกำหนดไว้อย่างชัดเจนโดยการแปลงฟูริเยร์ นั่นคือการหมุนหนึ่งในสี่รอบในปริภูมิเฟส ซึ่งสร้างขึ้นโดยแฮมิลโทเนียนของออสซิลเลเตอร์ ดังนั้นจึงมีสเปกตรัม เดียวกัน ในภาษาฟิสิกส์ การกระทำ pต่อฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิโมเมนตัมนั้นเหมือนกับ การกระทำ rต่อฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิตำแหน่ง (ภายใต้ภาพของการแปลงฟูริเยร์)

สำหรับอิเล็กตรอน (หรืออนุภาค อื่น ๆ ) ในผลึก ค่าk ของมัน มักจะสัมพันธ์กับโมเมนตัมของผลึกไม่ใช่โมเมนตัมปกติ ดังนั้นkและpจึงไม่ได้เป็นสัดส่วนกัน โดยตรง แต่มีบทบาทที่แตกต่างกัน ดูทฤษฎีการรบกวน k·pเป็นตัวอย่าง โมเมนตัมของผลึกเปรียบเสมือนซองคลื่นที่อธิบายว่าคลื่นเปลี่ยนแปลงอย่างไรจากหน่วยเซลล์ หนึ่ง ไปยังอีกหน่วยเซลล์หนึ่ง แต่ไม่ได้ให้ข้อมูลใด ๆ เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของคลื่นภายในแต่ละหน่วยเซลล์

เมื่อkเกี่ยวข้องกับโมเมนตัมของผลึกแทนที่จะเป็นโมเมนตัมที่แท้จริง แนวคิดของk -space ยังคงมีความหมายและมีประโยชน์อย่างยิ่ง แต่ก็แตกต่างจากk -space ที่ไม่ใช่ผลึกที่กล่าวถึงข้างต้นในหลายแง่มุม ตัวอย่างเช่น ในk -space ของผลึก จะมีเซตของจุดอนันต์ที่เรียกว่าแลตทิซผกผันซึ่ง "เทียบเท่า" กับk = 0 (นี่คล้ายคลึงกับการเกิดเอเลียส ) ในทำนองเดียวกัน " โซนบริลลูอินแรก " เป็นปริมาตรจำกัดของk -space ซึ่งk ทุกค่าที่เป็นไปได้ "เทียบเท่า" กับจุดเพียงจุดเดียวในบริเวณนี้

• ปริภูมิเฟส
• พื้นที่ผกผัน
• พื้นที่การกำหนดค่า
• การแปลงฟูริเยร์เศษส่วน