โมเมนตัม
แรงส่งของลูกคิวบิลเลียดจะถูกถ่ายทอดไปยังลูกบิลเลียดที่เรียงไว้หลังจากการชนกัน
สัญลักษณ์ทั่วไป	พีพี​
หน่วย SI	กก.⋅ม⋅วินาที−1
หน่วยอื่นๆ	สลัก ⋅ ฟุต/วินาที
อนุรักษ์ไว้ ?	ใช่
มิติ	${\displaystyle {\mathsf {M}}{\mathsf {L}}{\mathsf {T}}^{-1}}$

ในกลศาสตร์นิวตันโมเมนตัม (พหูพจน์: โมเมนตัม หรือโมเมนตัมต่างๆ;โดยเฉพาะอย่างยิ่งโมเมนตัมเชิงเส้นหรือโมเมนตัมการเคลื่อนที่ ) คือผลคูณของมวลและความเร็วของวัตถุ โมเมนตัมเป็นปริมาณเวกเตอร์ที่มีทั้งขนาดและทิศทาง ถ้าmคือมวลของวัตถุ และv คือความเร็วของวัตถุ (ซึ่งเป็นปริมาณเวกเตอร์เช่นกัน) แล้ว โมเมนตัม pของวัตถุ(มาจากภาษาละตินpellere "ผลัก, ขับ") คือ: ในระบบหน่วยสากล (SI) หน่วยวัดของโมเมนตัมคือกิโลกรัมเมตรต่อวินาที (kg⋅m/s) ซึ่งมีมิติเทียบเท่ากับนิวตัน-วินาที ${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} .}$

กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันกล่าวว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมของวัตถุเท่ากับแรง สุทธิ ที่กระทำต่อวัตถุนั้น โมเมนตัมขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิงแต่ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย ใดๆ โมเมนตัมเป็น ปริมาณ อนุรักษ์หมายความว่า หากระบบปิดไม่ได้รับผลกระทบจากแรงภายนอก โมเมนตัมรวมของระบบจะไม่เปลี่ยนแปลง โมเมนตัมยังได้รับการอนุรักษ์ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ (ด้วยสูตรที่ดัดแปลง) และในรูปแบบที่ดัดแปลงในกลศาสตร์ไฟฟ้ากลศาสตร์ควอนตัม ทฤษฎีสนามควอนตัม และทฤษฎีสัมพัทธ ภาพทั่วไป โมเมนตัม เป็นการแสดงออกถึงสมมาตรพื้นฐานอย่างหนึ่งของอวกาศและเวลา นั่นคือสมมาตรการเลื่อน

การกำหนดสูตรขั้นสูงของกลศาสตร์คลาสสิก กลศาสตร์ลากรางจ์และกลศาสตร์แฮมิลตันช่วยให้สามารถเลือกใช้ระบบพิกัดที่รวมเอาสมมาตรและข้อจำกัดต่างๆ ไว้ได้ ในระบบเหล่านี้ ปริมาณที่อนุรักษ์ไว้คือโมเมนตัมทั่วไปซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะแตกต่างจาก โมเมนตัม จลน์ที่นิยามไว้ข้างต้น แนวคิดของโมเมนตัมทั่วไปถูกนำไปใช้ในกลศาสตร์ควอนตัม โดยที่มันกลายเป็นตัวดำเนินการบนฟังก์ชันคลื่น ตัวดำเนินการโมเมนตัมและตำแหน่งมีความสัมพันธ์กันโดยหลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก

ในระบบต่อเนื่อง เช่นสนามแม่เหล็กไฟฟ้าพลศาสตร์ของไหลและวัตถุที่เปลี่ยนรูปได้ความหนาแน่นของโมเมนตัมสามารถนิยามได้ว่าเป็นโมเมนตัมต่อปริมาตร ( ปริมาณเฉพาะปริมาตร ) และกล่าวได้ว่าสอดคล้องกับกฎการอนุรักษ์ กฎการอนุรักษ์ โมเมนตัมในรูป แบบต่อเนื่องนำไปสู่สมการต่างๆ เช่นสมการนาเวียร์-สโตกส์สำหรับของไหล หรือสมการโมเมนตัมของโคชีสำหรับของแข็งหรือของไหลที่เปลี่ยนรูปได้

โมเมนตัมเป็นปริมาณเวกเตอร์ กล่าวคือ มีทั้งขนาดและทิศทาง เนื่องจากโมเมนตัมมีทิศทาง จึงสามารถใช้ทำนายทิศทางและความเร็วของการเคลื่อนที่ของวัตถุหลังจากชนกันได้ ด้านล่างนี้เป็นคำอธิบายคุณสมบัติพื้นฐานของโมเมนตัมในมิติเดียว สมการเวกเตอร์เกือบจะเหมือนกับสมการสเกลาร์ (ดูมิติหลายมิติ )

โมเมนตัมของอนุภาคโดยทั่วไปจะแสดงด้วยตัวอักษรp ซึ่งเป็นผลคูณของปริมาณสองอย่าง คือ มวลของอนุภาค(แทนด้วยตัวอักษรm ) และความเร็ว ( v ) ของอนุภาค: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle p=mv.}$$

หน่วยของโมเมนตัมคือผลคูณของหน่วยของมวลและความเร็ว ในระบบหน่วย SIถ้ามวลมีหน่วยเป็นกิโลกรัมและความเร็วมีหน่วยเป็นเมตรต่อวินาที โมเมนตัมจะมีหน่วยเป็นกิโลกรัมเมตรต่อวินาที (kg⋅m/s) ในระบบหน่วย cgsถ้ามวลมีหน่วยเป็นกรัมและความเร็วมีหน่วยเป็นเซนติเมตรต่อวินาที โมเมนตัมจะมีหน่วยเป็นกรัมเซนติเมตรต่อวินาที (g⋅cm/s)

โมเมนตัมเป็นปริมาณเวกเตอร์ จึงมีทั้งขนาดและทิศทาง ตัวอย่างเช่น เครื่องบินจำลองมวล 1 กิโลกรัม บินไปทางทิศเหนือด้วยความเร็ว 1 เมตร/วินาที ในการบินตรงและระดับ จะมีโมเมนตัม 1 กิโลกรัม⋅เมตร/วินาที ไปทางทิศเหนือ โดยวัดจากพื้นดิน

โมเมนตัมของระบบอนุภาคคือผลรวมเวกเตอร์ของโมเมนตัมของอนุภาคเหล่านั้น ถ้าอนุภาคสองตัวมีมวล_m₁ และ m₂ และความเร็ว_v₁และv₂ตามลำดับ_{โมเมนตัม}รวมคือ โมเมนตัมของอนุภาคมากกว่าสองตัวสามารถบวกกันได้โดยทั่วไปดังนี้ _:$${\displaystyle {\begin{aligned}p&=p_{1}+p_{2}\\&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\,.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle p=\sum _{i}m_{i}v_{i}.}$$

ระบบของอนุภาคจะมีจุดศูนย์กลางมวลซึ่งเป็นจุดที่กำหนดโดยผลรวมถ่วงน้ำหนักของตำแหน่งของอนุภาคเหล่านั้น: $${\displaystyle r_{\text{cm}}={\frac {m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+\cdots }{m_{1}+m_{2}+\cdots }}={\frac {\sum _{i}m_{i}r_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}.}$$

ถ้าอนุภาคอย่างน้อยหนึ่งตัวกำลังเคลื่อนที่ จุดศูนย์กลางมวลของระบบโดยทั่วไปก็จะเคลื่อนที่ไปด้วย (เว้นแต่ระบบจะหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวลอย่างเดียว) ถ้ามวลรวมของอนุภาคคือและจุดศูนย์กลางมวลกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วv _cmโมเมนตัมของระบบคือ: ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle p=mv_{\text{cm}}.}$$

สิ่งนี้เรียกว่ากฎข้อแรกของออยเลอร์^{[ 2 ] [ 3 ]}

ถ้าแรงลัพธ์Fที่กระทำต่ออนุภาคมีค่าคงที่ และกระทำในช่วงเวลาΔtโมเมนตัมของอนุภาคจะเปลี่ยนแปลงไปเป็นปริมาณ เท่าใด$${\displaystyle \Delta p=F\Delta t\,.}$$

ในรูปแบบเชิงอนุพันธ์ นี่คือกฎข้อที่สองของนิวตันอัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมของอนุภาคเท่ากับแรงทันทีFที่กระทำต่ออนุภาค^{[ 1 ]}$${\displaystyle F={\frac {{\text{d}}p}{{\text{d}}t}}.}$$

_{ถ้าแรงลัพธ์ ที่}กระทำต่ออนุภาคเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาF ( t )การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม (หรือแรงดลJ ) ระหว่าง_เวลาt1และt2คือ $${\displaystyle \Delta p=J=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F(t)\,{\text{d}}t\,.}$$

แรงดลจะวัดในหน่วยอนุพันธ์คือนิวตันวินาที (1 N⋅s = 1 kg⋅m/s) หรือไดน์วินาที (1 dyne⋅s = 1 g⋅cm/s)

ภายใต้สมมติฐานว่ามวลm คงที่ การเขียนเช่นนี้จึงเทียบเท่ากับการเขียนว่า

$${\displaystyle F={\frac {{\text{d}}(mv)}{{\text{d}}t}}=m{\frac {{\text{d}}v{\vphantom {(mv)}}}{{\text{d}}t}}=ma,}$$

ดังนั้นแรงสุทธิจึงเท่ากับมวลของอนุภาคคูณด้วยความเร่ง^{[ 1 ]}

ตัวอย่าง : เครื่องบินจำลองมวล 1 กิโลกรัม เร่งความเร็วจากหยุดนิ่งไปถึง 6 เมตร/วินาที ในทิศเหนือ ในเวลา 2 วินาที แรงลัพธ์ที่ต้องใช้ในการทำให้เกิดความเร่งนี้คือ 3  นิวตันในทิศเหนือ การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมคือ 6 กิโลกรัม⋅เมตร/วินาที ในทิศเหนือ อัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมคือ 3 (กิโลกรัม⋅เมตร/วินาที)/วินาที ในทิศเหนือ ซึ่งมีค่าเท่ากับ 3 นิวตัน

ในระบบปิด (ระบบที่ไม่แลกเปลี่ยนสสารกับสิ่งแวดล้อมและไม่ถูกกระทำโดยแรงภายนอก) โมเมนตัมรวมจะคงที่ ข้อเท็จจริงนี้เรียกว่ากฎการอนุรักษ์โมเมนตัมซึ่งเป็นไปตามกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน [ ^{4 ] [ 5 ] สมมติ}ว่าอนุภาคสองตัวมีปฏิสัมพันธ์กัน ดังที่อธิบายไว้ในกฎข้อที่สาม แรงระหว่างอนุภาคทั้งสองมีขนาดเท่ากันแต่ทิศทางตรงกันข้าม ถ้าอนุภาคมีหมายเลข 1 และ 2 กฎข้อที่สองระบุว่าF ₁ = ⁠d p _​​1/d tและF ₂ = ⁠​d p _​​2/d tดังนั้น​

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}p_{1}}{{\text{d}}t}}=-{\frac {{\text{d}}p_{2}}{{\text{d}}t}},}$$ โดยเครื่องหมายลบแสดงว่าแรงทั้งสองต้านกัน หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ

$${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(p_{1}+p_{2}\right)=0.}$$

ถ้าความเร็วของอนุภาคก่อนการปฏิสัมพันธ์คือv _A1และv _B1และหลังจากนั้นคือv _A2และv _B2แล้ว

$${\displaystyle m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}=m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}.}$$

กฎนี้ใช้ได้ไม่ว่าแรงระหว่างอนุภาคจะซับซ้อนแค่ไหนก็ตาม ในทำนองเดียวกัน หากมีอนุภาคหลายตัว โมเมนตัมที่แลกเปลี่ยนระหว่างอนุภาคแต่ละคู่จะรวมกันเป็นศูนย์ ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมทั้งหมดจึงเป็นศูนย์ การอนุรักษ์โมเมนตัมรวมของอนุภาคที่มีปฏิสัมพันธ์กันจำนวนหนึ่งสามารถแสดงได้ดังนี้^{[ 4 ]}$${\displaystyle m_{A}v_{A}+m_{B}v_{B}+m_{C}v_{C}+\ldots ={\text{ค่าคงที่}}.}$$

กฎการอนุรักษ์นี้ใช้ได้กับปฏิสัมพันธ์ทั้งหมด รวมถึงการชน (ทั้งแบบยืดหยุ่นและไม่ยืดหยุ่น ) และการแยกตัวที่เกิดจากแรงระเบิด^{[ 4 ]}นอกจากนี้ยังสามารถขยายไปสู่สถานการณ์ที่กฎของนิวตันใช้ไม่ได้ เช่น ใน สถานการณ์ สัมพัทธภาพและสถานการณ์ที่เกี่ยวข้องกับไฟฟ้าพลศาสตร์^{[ 6 ]}

โมเมนตัมเป็นปริมาณที่วัดได้ และการวัดนั้นขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิงตัวอย่างเช่น ถ้าเครื่องบินมวล 1,000  กิโลกรัม บินผ่านอากาศด้วยความเร็ว 50  เมตร/วินาที โมเมนตัมของมันคือ50,000 กิโลกรัม·เมตร/วินาที²แต่ถ้าเครื่องบินบินสวนลมด้วยความเร็ว 5  เมตร/วินาที² ความเร็วสัมพัทธ์กับพื้นผิวโลกของมันจะเหลือเพียง 45  เมตร/วินาที² และโมเมนตัมจะลดลงเหลือ45,000 กิโลกรัม·เมตร/วินาที²การคำนวณทั้งสองแบบนั้นถูกต้องเท่ากัน ในทั้งสองกรอบอ้างอิง การเปลี่ยนแปลงใดๆ ในโมเมนตัมจะสอดคล้องกับกฎทางฟิสิกส์ที่เกี่ยวข้อง

สมมติว่าxคือตำแหน่งในกรอบอ้างอิงเฉื่อย จากมุมมองของกรอบอ้างอิงอื่นที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่uเทียบกับกรอบอ้างอิงแรก ตำแหน่ง (แทนด้วยพิกัดที่มีเครื่องหมายไพรม์) จะเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาดังนี้

$${\displaystyle x'=x-ut\,.}$$

นี่เรียกว่าการแปลงแบบกาลิเลียน

ถ้าอนุภาคเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว⁠d x/d t= vในกรอบอ้างอิงแรก ในกรอบอ้างอิงที่สอง มันกำลังเคลื่อนที่ด้วย ความเร็ว

$${\displaystyle v'={\frac {{\text{d}}x'}{{\text{d}}t}}=vu\,.}$$

เนื่องจากuไม่เปลี่ยนแปลง กรอบอ้างอิงที่สองจึงเป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อยเช่นกัน และความเร่งจึงเท่ากัน:

$${\displaystyle a'={\frac {{\text{d}}v'}{{\text{d}}t}}=a\,.}$$

ดังนั้น โมเมนตัมจึงได้รับการอนุรักษ์ในกรอบอ้างอิงทั้งสอง นอกจากนี้ ตราบใดที่แรงมีรูปแบบเดียวกันในกรอบอ้างอิงทั้งสอง กฎข้อที่สองของนิวตันจะไม่เปลี่ยนแปลง แรงต่างๆ เช่น แรงโน้มถ่วงของนิวตัน ซึ่งขึ้นอยู่กับระยะทางสเกลาร์ระหว่างวัตถุเท่านั้น เป็นไปตามเกณฑ์นี้ ความเป็นอิสระจากกรอบอ้างอิงนี้เรียกว่า สัมพัทธภาพของนิวตันหรือ ความไม่แปรเปลี่ยน ของกาลิเลียน^{[ 7 ]}

การเปลี่ยนกรอบอ้างอิงมักช่วยให้การคำนวณการเคลื่อนที่ง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น ในการชนกันของอนุภาคสองตัว สามารถเลือกกรอบอ้างอิงที่อนุภาคหนึ่งเริ่มต้นจากหยุดนิ่งได้ อีกกรอบอ้างอิงที่ใช้กันทั่วไปคือกรอบอ้างอิงศูนย์กลางมวลซึ่งเคลื่อนที่ไปพร้อมกับศูนย์กลางมวล ในกรอบอ้างอิงนี้ โมเมนตัมรวมเป็นศูนย์

หากอนุภาคสองอนุภาคซึ่งแต่ละอนุภาคมีโมเมนตัมที่ทราบแล้วชนกันและรวมตัวกัน กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมสามารถใช้เพื่อกำหนดโมเมนตัมของวัตถุที่รวมตัวกันได้ หากผลลัพธ์ของการชนคืออนุภาคทั้งสองแยกออกจากกัน กฎดังกล่าวจะไม่เพียงพอที่จะกำหนดโมเมนตัมของแต่ละอนุภาค หากทราบโมเมนตัมของอนุภาคหนึ่งหลังการชน กฎดังกล่าวสามารถใช้เพื่อกำหนดโมเมนตัมของอนุภาคอื่นได้ หรือหาก ทราบ พลังงานจลน์ รวม หลังการชน กฎดังกล่าวสามารถใช้เพื่อกำหนดโมเมนตัมของแต่ละอนุภาคหลังการชนได้^{[ 8 ]}โดยปกติพลังงานจลน์จะไม่ถูกอนุรักษ์ หากพลังงานจลน์ถูกอนุรักษ์ การชนนั้นเรียกว่าการชนแบบยืดหยุ่นหากไม่เป็นเช่นนั้น จะเรียกว่าการชนแบบ ไม่ ยืดหยุ่น

การชนแบบยืดหยุ่นคือการชนที่ไม่มีพลังงานจลน์ถูกเปลี่ยนเป็นความร้อนหรือพลังงานรูปแบบอื่น การชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์สามารถเกิดขึ้นได้เมื่อวัตถุไม่สัมผัสกัน เช่น ในการกระเจิงของอะตอมหรือนิวเคลียร์ที่แรงผลักทางไฟฟ้าทำให้วัตถุอยู่ห่างกันการเคลื่อนที่แบบสลิงช็อตของดาวเทียมรอบดาวเคราะห์ก็สามารถมองได้ว่าเป็นการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ การชนกันระหว่างลูกบิลเลียดสองลูกเป็นตัวอย่างที่ดีของ การชนแบบยืดหยุ่น เกือบสมบูรณ์ เนื่องจากความแข็งแกร่ง สูงของลูกบิลเลียด แต่เมื่อวัตถุสัมผัสกันก็จะมีการสูญเสียพลังงานอยู่ บ้างเสมอ ^{[ 9 ]}

การชนแบบตรงหน้าอย่างยืดหยุ่นระหว่างวัตถุสองชิ้นสามารถแสดงได้ด้วยความเร็วในมิติเดียวตามแนวเส้นตรงที่ผ่านวัตถุทั้งสอง ถ้าความเร็วเป็นv _A1และv _B1ก่อนการชน และv _A2และv _B2หลังการชน สมการที่แสดงถึงการอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานจลน์คือ:

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}&=m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}\\{\tfrac {1}{2}}m_{A}v_{A1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{B}v_{B1}^{2}&={\tfrac {1}{2}}m_{A}v_{A2}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{B}v_{B2}^{2}\,.\end{aligned}}}$$

การเปลี่ยนกรอบอ้างอิงสามารถทำให้การวิเคราะห์การชนง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น สมมติว่ามีวัตถุสองชิ้นที่มีมวลเท่ากันmชิ้นหนึ่งอยู่นิ่งและอีกชิ้นหนึ่งกำลังเคลื่อนที่เข้าหาอีกชิ้นหนึ่งด้วยความเร็วv (ดังแสดงในรูป) จุดศูนย์กลางมวลกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว⁠วี/2และวัตถุทั้งสองกำลังเคลื่อนที่เข้าหาด้วยความเร็วสูงวี/2เนื่องจาก สมมาตรหลังจากชนกันแล้ว ทั้งสองจะต้องเคลื่อนที่ออกจากจุดศูนย์กลางมวลด้วยความเร็วเท่ากัน เมื่อบวกความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลเข้ากับทั้งสอง เราจะพบว่าวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่นั้นหยุดนิ่งแล้ว และอีกวัตถุหนึ่งกำลังเคลื่อนที่ออกไปด้วยความเร็ว vวัตถุทั้งสองได้แลกเปลี่ยนความเร็วกันแล้ว ไม่ว่าความเร็วของวัตถุจะเป็นเท่าใด การเปลี่ยนไปใช้กรอบอ้างอิงของจุดศูนย์กลางมวลจะนำเราไปสู่ข้อสรุปเดียวกัน ดังนั้น ความเร็วสุดท้ายจึงกำหนดโดย ^{[ 4 ​​]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{A2}&=v_{B1}\\v_{B2}&=v_{A1}\,.\end{aligned}}}$$

โดยทั่วไป เมื่อทราบความเร็วเริ่มต้นแล้ว ความเร็วสุดท้ายจะกำหนดโดย^{[ 10 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{A2}&=\left({\frac {m_{A}-m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{A1}+\left({\frac {2m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{B1}\\v_{B2}&=\left({\frac {m_{B}-m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{B1}+\left({\frac {2m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{A1}\,.\end{aligned}}}$$

หากวัตถุหนึ่งมีมวลมากกว่าอีกวัตถุหนึ่งมาก ความเร็วของวัตถุนั้นจะเปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อยจากการชน ในขณะที่ความเร็วของวัตถุอีกวัตถุหนึ่งจะเปลี่ยนแปลงไปอย่างมาก

ในการชนแบบไม่ยืดหยุ่น พลังงานจลน์บางส่วนของวัตถุที่ชนกันจะถูกแปลงเป็นพลังงานรูปแบบอื่น (เช่น^{ความร้อนหรือเสียง) ตัวอย่างเช่น การชนกันของยานพาหนะ [} 11 ] ซึ่งผลของการ^{สูญเสีย}พลังงานจลน์สามารถเห็นได้จากความเสียหายของยานพาหนะ อิเล็กตรอนสูญเสียพลังงานบางส่วนให้กับอะตอม (เช่นในการทดลอง Franck–Hertz ) ^{[ 12 ]}และเครื่องเร่งอนุภาคซึ่งพลังงานจลน์ถูกแปลงเป็นมวลในรูปของอนุภาคใหม่

ในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ (เช่น แมลงชนกระจกรถ) วัตถุทั้งสองจะมีทิศทางการเคลื่อนที่เหมือนเดิมหลังจากนั้น การชนแบบไม่ยืดหยุ่นตรงหน้าของวัตถุสองชิ้นสามารถแสดงได้ด้วยความเร็วในมิติเดียว ตามแนวเส้นตรงที่ลากผ่านวัตถุทั้งสอง ถ้าความเร็วก่อนการชนคือv _A1และv _B1แล้วในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วv ₂หลังจากชนกัน สมการที่แสดงถึงการอนุรักษ์โมเมนตัมคือ:

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}&=\left(m_{A}+m_{B}\right)v_{2}\,.\end{aligned}}}$$

ถ้าวัตถุหนึ่งอยู่นิ่งตั้งแต่แรก (เช่น) สมการการอนุรักษ์โมเมนตัมจะเป็นดังนี้ ${\displaystyle v_{B1}=0}$

$${\displaystyle m_{A}v_{A1}=\left(m_{A}+m_{B}\right)v_{2}\,,}$$

ดังนั้น

$${\displaystyle v_{2}={\frac {m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}v_{A1}\,.}$$

ในสถานการณ์ที่แตกต่างออกไป หากกรอบอ้างอิงเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสุดท้ายที่ทำให้วัตถุจะหยุดนิ่งด้วยการชนแบบไม่ยืดหยุ่นอย่างสมบูรณ์ และพลังงานจลน์ทั้งหมด 100% จะถูกแปลงเป็นพลังงานรูปแบบอื่น ในกรณีนี้ ความเร็วเริ่มต้นของวัตถุจะต้องไม่เป็นศูนย์ หรือวัตถุจะต้องไม่มีมวล ${\displaystyle v_{2}=0}$

การวัดความไม่ยืดหยุ่นของการชนอย่างหนึ่งคือสัมประสิทธิ์การคืนตัวC _Rซึ่งกำหนดเป็นอัตราส่วนของความเร็วสัมพัทธ์ของการแยกตัวต่อความเร็วสัมพัทธ์ของการเข้าใกล้ ในการนำการวัดนี้ไปใช้กับลูกบอลที่กระดอนจากพื้นผิวแข็ง สามารถวัดได้ง่ายโดยใช้สูตรต่อไปนี้: ^{[ 13 ]}

$${\displaystyle C_{\text{R}}={\sqrt {\frac {\text{bounce height}}{\text{drop height}}}}\,.}$$

สมการโมเมนตัมและพลังงานยังใช้ได้กับการเคลื่อนที่ของวัตถุที่เริ่มต้นพร้อมกันแล้วแยกออกจากกัน ตัวอย่างเช่นการระเบิดเป็นผลมาจากปฏิกิริยาลูกโซ่ที่เปลี่ยนพลังงานศักยภาพที่เก็บไว้ในรูปเคมี กลไก หรือนิวเคลียร์ให้กลายเป็นพลังงานจลน์ พลังงานเสียง และรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าจรวดยังใช้หลักการอนุรักษ์โมเมนตัมด้วย กล่าวคือ เชื้อเพลิงถูกผลักออกไปด้านนอก ทำให้ได้รับโมเมนตัม และโมเมนตัมที่เท่ากันและตรงข้ามกันจะถูกส่งไปยังจรวด^{[ 14 ]}

การเคลื่อนที่จริงมีทั้งทิศทางและความเร็ว และต้องแสดงด้วยเวกเตอร์ในระบบพิกัดที่มี แกน x , y , zความเร็วจะมีส่วนประกอบv _xใน ทิศทาง x , v _yใน ทิศทาง y , v _zใน ทิศทาง zเวกเตอร์จะแสดงด้วยสัญลักษณ์ตัวหนา: ^{[ 15 ]}

$${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right).}$$

ในทำนองเดียวกัน โมเมนตัมเป็นปริมาณเวกเตอร์และแสดงด้วยสัญลักษณ์ตัวหนา:

$${\displaystyle \mathbf {p} =\left(p_{x},p_{y},p_{z}\right).}$$

สมการในหัวข้อก่อนหน้านี้ สามารถใช้งานได้ในรูปแบบเวกเตอร์ หากแทนที่ ค่าสเกลาร์ pและv ด้วยเวกเตอร์ pและvแต่ละสมการเวกเตอร์จะแทนสมการสเกลาร์สามสมการ ตัวอย่างเช่น

$${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$$

แสดงถึงสมการสามสมการ: ^{[ 15 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=mv_{x}\\p_{y}&=mv_{y}\\p_{z}&=mv_{z}.\end{aligned}}}$$

สมการพลังงานจลน์เป็นข้อยกเว้นของกฎการแทนที่ข้างต้น สมการเหล่านี้ยังคงเป็นสมการหนึ่งมิติ แต่ค่าสเกลาร์แต่ละค่าแสดงถึงขนาดของเวกเตอร์เช่น

$${\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\,.}$$

สมการเวกเตอร์แต่ละสมการแสดงถึงสมการสเกลาร์สามสมการ บ่อยครั้งที่สามารถเลือกพิกัดได้เพื่อให้ต้องการเพียงสององค์ประกอบเท่านั้น ดังเช่นในรูป แต่ละองค์ประกอบสามารถหาได้แยกกันและนำผลลัพธ์มารวมกันเพื่อสร้างผลลัพธ์เวกเตอร์^{[ 15 ]}

สามารถใช้โครงสร้างง่ายๆ ที่เกี่ยวข้องกับกรอบศูนย์กลางมวลเพื่อแสดงให้เห็นว่าหากทรงกลมยืดหยุ่นที่อยู่กับที่ถูกชนโดยทรงกลมที่เคลื่อนที่ ทั้งสองจะแยกออกไปในมุมฉากหลังจากการชน (ดังในรูป) ^{[ 16 ]}

แนวคิดเรื่องโมเมนตัมมีบทบาทพื้นฐานในการอธิบายพฤติกรรมของวัตถุที่มีมวลแปรผัน เช่นจรวดที่ปล่อยเชื้อเพลิงหรือดาวฤกษ์ที่ดูดกลืนก๊าซ ในการวิเคราะห์วัตถุดังกล่าว เราจะพิจารณามวลของวัตถุเป็นฟังก์ชันที่แปรผันตามเวลา: m ( t ) ดังนั้น โมเมนตัมของวัตถุ ณ เวลาtคือp ( t ) = m ( t ) v ( t )จากนั้นเราอาจลองอ้างอิงกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันโดยกล่าวว่า แรงภายนอกFที่กระทำต่อวัตถุมีความสัมพันธ์กับโมเมนตัมp ( t )โดยF = ⁠ดีพี/d tแต่สิ่งนี้ไม่ถูกต้อง เช่นเดียวกับนิพจน์ที่เกี่ยวข้องซึ่งพบได้จากการใช้กฎผลคูณกับd ( m v )/d t: ^{[ 17 ]}​

$${\displaystyle F=m(t){\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}+v(t){\frac {{\text{d}}m}{{\text{d}}t}}.{\text{(incorrect)}}}$$

สมการนี้ไม่ได้อธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุที่มีมวลแปรผันได้อย่างถูกต้อง สมการที่ถูกต้องคือ

$${\displaystyle F=m(t){\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}-u{\frac {{\text{d}}m}{{\text{d}}t}},}$$

โดยที่uคือความเร็วของมวลที่ถูกขับออก/สะสม เมื่อมองจากกรอบ อ้างอิงของวัตถุ^{[ 17 ]}ซึ่งแตกต่างจากvซึ่งเป็นความเร็วของวัตถุเองเมื่อมองจากกรอบอ้างอิงเฉื่อย

สมการนี้ได้มาจากการติดตามทั้งโมเมนตัมของวัตถุและโมเมนตัมของมวลที่ถูกขับออก/สะสม ( d m ) เมื่อพิจารณาร่วมกัน วัตถุและมวล ( d m ) จะประกอบกันเป็นระบบปิดซึ่งโมเมนตัมรวมจะถูกอนุรักษ์ไว้

$${\displaystyle P(t+{\text{d}}t)=(m-{\text{d}}m)(v+{\text{d}}v)+{\text{d}}m(v-u)=mv+m{\text{d}}v-u{\text{d}}m=P(t)+m{\text{d}}v-u{\text{d}}m}$$

กฎของนิวตันอาจใช้ได้ยากกับการเคลื่อนที่หลายประเภท เนื่องจากการเคลื่อนที่ถูกจำกัดด้วยข้อจำกัดตัวอย่างเช่น ลูกปัดบนลูกคิดถูกจำกัดให้เคลื่อนที่ไปตามเส้นลวด และลูกตุ้มถูกจำกัดให้แกว่งที่ระยะห่างคงที่จากจุดหมุน ข้อจำกัดดังกล่าวจำนวนมากสามารถรวมเข้าด้วยกันได้โดยการเปลี่ยนพิกัดคาร์ทีเซียน ปกติ เป็นชุดพิกัดทั่วไปซึ่งอาจมีจำนวนน้อยกว่า^{[ 18 ]}วิธีการทางคณิตศาสตร์ที่ละเอียดขึ้นได้รับการพัฒนาขึ้นเพื่อแก้ปัญหากลศาสตร์ในพิกัดทั่วไป วิธีการเหล่านี้แนะนำโมเมนตัมทั่วไปหรือที่รู้จักกันในชื่อโมเมนตัมเชิงแคนอนิกหรือโมเมนตัมคู่ควบซึ่งขยายแนวคิดของทั้งโมเมนตัมเชิงเส้นและโมเมนตัมเชิงมุมเพื่อแยกความแตกต่างจากโมเมนตัมทั่วไป ผลคูณของมวลและความเร็วจึงถูกเรียกว่าโมเมนตัมเชิงกลโมเมนตัมจลน์หรือโมเมนตัมจลน์^{[ 6 ] [ 19 ] [ 20 ]} วิธี การหลักสองวิธีมีอธิบายไว้ด้านล่าง

ในกลศาสตร์ลากรางจ์ลากรางจ์ถูกนิยามว่าเป็นผลต่างระหว่างพลังงานจลน์Tและพลังงานศักย์V :

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V\,.}$$

ถ้าพิกัดทั่วไปแสดงเป็นเวกเตอร์q = ( q ₁ , q ₂ , ... , q _N )และการหาอนุพันธ์เทียบกับเวลาแสดงด้วยจุดเหนือตัวแปร สมการการเคลื่อนที่ (ที่รู้จักกันในชื่อสมการ Lagrange หรือEuler–Lagrange ) จะเป็นชุดของ สมการ Nสมการ: ^{[ 21 ]}

$${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{j}}}=0\,.}$$

ถ้าพิกัดq _iไม่ใช่พิกัดคาร์ทีเซียน ส่วนประกอบโมเมนตัมทั่วไปp _i ที่เกี่ยวข้อง ไม่จำเป็นต้องมีมิติของโมเมนตัมเชิงเส้น แม้ว่าq _iจะเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนp _iก็จะไม่เหมือนกับโมเมนตัมเชิงกลหากศักยภาพขึ้นอยู่กับความเร็ว^{[ 6 ] บางแหล่ง ข้อมูล}แสดงโมเมนตัมจลน์ด้วยสัญลักษณ์Π [ ^{22 ]}

ในกรอบทางคณิตศาสตร์นี้ โมเมนตัมทั่วไปจะสัมพันธ์กับพิกัดทั่วไป โดยส่วนประกอบต่างๆ ของโมเมนตัมทั่วไปจะถูกกำหนดดังนี้

$${\displaystyle p_{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\,.}$$

แต่ละองค์ประกอบp _jกล่าวได้ว่าเป็นโมเมนตัม คู่ควบสำหรับพิกัดq _j

หากพิกัดq _i ที่กำหนด ไม่ปรากฏใน Lagrangian (แม้ว่าอนุพันธ์เทียบกับเวลาอาจปรากฏ) แล้วp _jจะคงที่ นี่คือการวางนัยทั่วไปของการอนุรักษ์โมเมนตัม^{[ 6 ]}

แม้ว่าพิกัดทั่วไปจะเป็นเพียงพิกัดเชิงพื้นที่ธรรมดา แต่โมเมนตัมคู่ควบไม่จำเป็นต้องเป็นพิกัดโมเมนตัมธรรมดาเสมอไป ตัวอย่างสามารถพบได้ในส่วนเกี่ยวกับแม่เหล็กไฟฟ้า

ในกลศาสตร์แฮมิลตันลากรางเจียน (ฟังก์ชันของพิกัดทั่วไปและอนุพันธ์ของพิกัดเหล่านั้น) จะถูกแทนที่ด้วยแฮมิลตันเนียน ซึ่งเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไปและโมเมนตัม แฮมิลตันเนียนถูกนิยามดังนี้

$${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t\right)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}\left(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t\right)\,,}$$

โดยที่โมเมนตัมได้มาจากการอนุพันธ์ของลากรางเจียนดังข้างต้น สมการการเคลื่อนที่ของแฮมิลโทเนียนคือ^{[ 23 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q}}_{i}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\\-{\dot {p}}_{i}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}\\-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}&={\frac {{\text{d}}{\mathcal {H}}}{{\text{d}}t}}\,.\end{aligned}}}$$

เช่นเดียวกับในกลศาสตร์ลากรางจ์ หากพิกัดทั่วไปไม่ปรากฏในแฮมิลโทเนียน ส่วนประกอบโมเมนตัมคู่ควบของมันจะถูกอนุรักษ์ไว้^{[ 24 ]}

การอนุรักษ์โมเมนตัมเป็นผลทางคณิตศาสตร์ของความเป็นเนื้อเดียวกัน ( สมมาตรการเลื่อน) ของพื้นที่ (ตำแหน่งในพื้นที่เป็น ปริมาณ คู่ควบเชิงแคนอนิกของโมเมนตัม) กล่าวคือ การอนุรักษ์โมเมนตัมเป็นผลจากข้อเท็จจริงที่ว่ากฎของฟิสิกส์ไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่ง นี่เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของ Noether ^{[ 25 ]}สำหรับระบบที่ไม่มีสมมาตรนี้ อาจไม่สามารถกำหนดการอนุรักษ์โมเมนตัมได้ ตัวอย่างที่การอนุรักษ์โมเมนตัมใช้ไม่ได้ ได้แก่ปริภูมิเวลาโค้งในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป^{[ 26 ]}หรือผลึกเวลาในฟิสิกส์สสารควบแน่น^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]}

ในสาขาต่างๆ เช่นพลศาสตร์ของไหลและกลศาสตร์ของแข็งการติดตามการเคลื่อนที่ของอะตอมหรือโมเลกุลแต่ละตัวนั้นเป็นไปไม่ได้ จึงต้องประมาณวัสดุโดยใช้ตัวกลางต่อเนื่องโดยที่ในแต่ละจุดจะมีอนุภาคหรืออนุภาคของไหลซึ่งมีคุณสมบัติเฉลี่ยของอะตอมในบริเวณเล็กๆ ใกล้เคียง โดยเฉพาะอย่างยิ่งจะมีค่าความหนาแน่นρและความเร็วvที่ขึ้นอยู่กับเวลาtและตำแหน่ง^rโมเมนตัมต่อหน่วยปริมาตรคือρv ^[ 31 ^]

พิจารณาคอลัมน์น้ำที่อยู่ในสภาวะสมดุลอุทกสถิตแรงทั้งหมดที่กระทำต่อน้ำอยู่ในสมดุลและน้ำอยู่นิ่ง บนหยดน้ำใดๆ ก็ตามจะมีแรงสองแรงที่สมดุลกัน แรงแรกคือแรงโน้มถ่วง ซึ่งกระทำโดยตรงต่ออะตอมและโมเลกุลแต่ละตัวภายใน แรงโน้มถ่วงต่อหน่วยปริมาตรคือρg โดยที่ g คือความเร่งโน้มถ่วงแรงที่สองคือผลรวมของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อพื้นผิวโดยน้ำโดยรอบ แรงจากด้านล่างมากกว่าแรงจากด้านบนในปริมาณที่เพียงพอที่จะสมดุลกับแรงโน้มถ่วง แรงปกติต่อหน่วยพื้นที่คือความดันpแรงเฉลี่ยต่อหน่วยปริมาตรภายในหยดน้ำคือความชันของความดัน ดังนั้นสมการสมดุลของแรงคือ^{[ 32 ]}

$${\displaystyle -\nabla p+\rho \mathbf {g} =0\,.}$$

หากแรงไม่สมดุล หยดน้ำจะเร่งความเร็ว การเร่งความเร็วนี้ไม่ใช่เพียงแค่ค่าอนุพันธ์ย่อยเท่านั้น∂ v/∂ tเนื่องจากของเหลวในปริมาตรที่กำหนดจะเปลี่ยนแปลงตามเวลา ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้ค่าอนุพันธ์ของวัสดุ แทน: ^{[ 33 ]}

$${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\equiv {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\,.}$$

เมื่อนำไปใช้กับปริมาณทางกายภาพใดๆ อนุพันธ์เชิงวัสดุจะรวมถึงอัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดหนึ่ง และการเปลี่ยนแปลงอันเนื่องมาจากการพาความร้อนขณะที่ของเหลวเคลื่อนที่ผ่านจุดนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมต่อหน่วยปริมาตรเท่ากับρดีวี/ดีทีนี่เท่ากับแรงสุทธิที่กระทำต่อหยดน้ำ

แรงที่สามารถเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของหยดน้ำ ได้แก่ ความแตกต่างของความดันและแรงโน้มถ่วง ดังที่กล่าวมาแล้วข้างต้น นอกจากนี้ แรงที่พื้นผิวยังสามารถทำให้หยดน้ำเสียรูปได้ ในกรณีที่ง่ายที่สุดแรงเฉือนτที่เกิดจากแรงขนานกับพื้นผิวของหยดน้ำ จะเป็นสัดส่วนกับอัตราการเสียรูปหรืออัตราความเครียด แรงเฉือนดังกล่าวเกิดขึ้นหากของเหลวมีความแตกต่างของความเร็ว เนื่องจากของเหลวเคลื่อนที่เร็วกว่าในด้านหนึ่งมากกว่าอีกด้านหนึ่ง หากความเร็วใน ทิศทาง xแปรผันตามzแรงสัมผัสในทิศทางxต่อหน่วยพื้นที่ตั้งฉากกับ ทิศทาง zคือ

$${\displaystyle \sigma _{zx}=-\mu {\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\,,}$$

โดยที่μคือความหนืดนอกจากนี้ยังเป็นฟลักซ์หรือการไหลต่อหน่วยพื้นที่ของ โมเมนตัม xผ่านพื้นผิว^{[ 34 ]}

เมื่อรวมผลกระทบของความหนืดแล้ว สมการสมดุลโมเมนตัมสำหรับการไหลที่ไม่สามารถอัดได้ของของไหลแบบนิวตันมีดังนี้

$${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-{\boldsymbol {\nabla }}p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\rho \mathbf {g} .\,}$$

สมการเหล่านี้เรียกว่าสมการนาเวียร์-สโตกส์^{[ 35 ]}

สมการสมดุลโมเมนตัมสามารถขยายไปใช้กับวัสดุทั่วไปได้มากขึ้น รวมถึงของแข็ง สำหรับแต่ละพื้นผิวที่มีเวกเตอร์ตั้งฉากในทิศทางiและแรงในทิศทางjจะมีส่วนประกอบของความเค้นσ _{i j}ส่วนประกอบทั้งเก้าประกอบกันเป็นเทนเซอร์ความเค้นของโคชีσซึ่งรวมถึงทั้งความดันและแรงเฉือน การอนุรักษ์โมเมนตัมในระดับท้องถิ่นแสดงโดยสมการโมเมนตัมของโคชี :

$${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} \,,}$$

โดยที่fคือแรงภายนอก^{[ 36 ]}

สมการโมเมนตัมของโคชีสามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้อย่างกว้างขวางกับการเปลี่ยนแปลงรูปร่างของของแข็งและของเหลว ความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและอัตราการเปลี่ยนแปลงรูปร่างขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของวัสดุ (ดูประเภทของความหนืด )

การรบกวนในตัวกลางก่อให้เกิดการสั่นหรือคลื่นซึ่งแพร่กระจายออกไปจากแหล่งกำเนิด ในของเหลว การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของความดันpมักสามารถอธิบายได้ด้วยสมการคลื่นเสียง :

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}p\,,}$$

โดยที่cคือความเร็วเสียงในของแข็ง สมการที่คล้ายกันสามารถหาได้สำหรับการแพร่กระจายของความดัน ( คลื่น P ) และแรงเฉือน ( คลื่น S ) ^{[ 37 ]}

ฟลักซ์ หรือการขนส่งต่อหน่วยพื้นที่ขององค์ประกอบโมเมนตัมρ v _jโดยความเร็วv _iเท่ากับρ v _j v _jในการประมาณเชิงเส้นที่นำไปสู่สมการอะคูสติกข้างต้น ค่าเฉลี่ยของฟลักซ์นี้ในช่วงเวลาหนึ่งจะเป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม ผลกระทบที่ไม่เป็นเชิงเส้นสามารถทำให้เกิดค่าเฉลี่ยที่ไม่เป็นศูนย์ได้^{[ 38 ]}เป็นไปได้ที่ฟลักซ์โมเมนตัมจะเกิดขึ้นแม้ว่าคลื่นเองจะไม่มีโมเมนตัมเฉลี่ยก็ตาม^{[ 39 ]}

ในสมการของแม็กซ์เวลล์แรงระหว่างอนุภาคจะถูกส่งผ่านโดยสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก แรงแม่เหล็กไฟฟ้า ( แรงลอเรนซ์ ) ที่กระทำต่ออนุภาคที่มีประจุq อัน เนื่องมาจากการรวมกันของสนามไฟฟ้าEและสนามแม่เหล็กBคือ

$${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} ).}$$

(ในหน่วย SI ) ^{[ 40 ] : 2} มีศักย์ไฟฟ้าφ ( r , t )และศักย์เวกเตอร์แม่เหล็กA ( r , t ) ^{[ 22 ]} ในระบอบที่ไม่ใช่สัมพัทธภาพ โมเมนตัมทั่วไปของมัน คือ

$${\displaystyle \mathbf {P} =m\mathbf {\mathbf {v} } +q\mathbf {A} ,}$$

ในขณะที่ในกลศาสตร์สัมพัทธภาพ สิ่งนี้จะกลายเป็น

$${\displaystyle \mathbf {P} =\gamma m\mathbf {\mathbf {v} } +q\mathbf {A} .}$$

ปริมาณV = q Aบางครั้งเรียกว่าโมเมนตัมศักย์^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]}มันคือโมเมนตัมอันเนื่องมาจากปฏิสัมพันธ์ของอนุภาคกับสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ชื่อนี้เป็นการเปรียบเทียบกับพลังงานศักย์U = q φซึ่งเป็นพลังงานอันเนื่องมาจากปฏิสัมพันธ์ของอนุภาคกับสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ปริมาณเหล่านี้ประกอบกันเป็นเวกเตอร์สี่มิติ ดังนั้นการเปรียบเทียบจึงสอดคล้องกัน นอกจากนี้ แนวคิดของโมเมนตัมศักย์ยังมีความสำคัญในการอธิบายสิ่งที่เรียกว่าโมเมนตัมที่ซ่อนอยู่ของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า^{[ 44 ]}

ในกลศาสตร์นิวตัน กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมสามารถอนุมานได้จากกฎการกระทำและปฏิกิริยาซึ่งระบุว่าแรงทุกแรงจะมีแรงกระทำที่เท่ากันและตรงข้ามกัน ในบางสถานการณ์ อนุภาคที่มีประจุเคลื่อนที่สามารถออกแรงกระทำต่อกันในทิศทางที่ไม่ตรงข้ามกันได้^{[ 45 ]}อย่างไรก็ตาม โมเมนตัมรวมของอนุภาคและสนามแม่เหล็กไฟฟ้าจะถูกอนุรักษ์ไว้

แรงลอเรนซ์ส่งโมเมนตัมให้กับอนุภาค ดังนั้นตามกฎข้อที่สองของนิวตัน อนุภาคจะต้องส่งโมเมนตัมให้กับสนามแม่เหล็กไฟฟ้า^{[ 46 ]}

ในสภาวะสุญญากาศ โมเมนตัมต่อหน่วยปริมาตรคือ

$${\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {1}{\mu _{0}c^{2}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,,}$$

โดยที่μ ₀คือค่าการซึมผ่านของสุญญากาศและcคือความเร็วแสงความหนาแน่นของโมเมนตัมเป็นสัดส่วนกับเวกเตอร์ Poynting Sซึ่งให้ค่าอัตราการถ่ายโอนพลังงานต่อหน่วยพื้นที่ในทิศทาง: ^{[ 46 ] [ 47 ]}

$${\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {\mathbf {S} }{c^{2}}}\,.}$$

ถ้าโมเมนตัมจะถูกอนุรักษ์ไว้ในปริมาตรVเหนือบริเวณQการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมของสสารผ่านแรงลอเรนซ์จะต้องสมดุลกับการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าและการไหลออกของโมเมนตัม ถ้าP _mechคือโมเมนตัมของอนุภาคทั้งหมดในQและอนุภาคเหล่านั้นถูกมองว่าเป็นมวลต่อเนื่อง กฎข้อที่สองของนิวตันจะให้ผลลัพธ์ดังนี้

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}\mathbf {P} _{\text{mech}}}{{\text{d}}t}}=\iiint \limits _{Q}\left(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \right){\text{d}}V\,.}$$

โมเมนตัมแม่เหล็กไฟฟ้าคือ

$${\displaystyle \mathbf {P} _{\text{field}}={\frac {1}{\mu _{0}c^{2}}}\iiint \limits _{Q}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,dV\,,}$$

และสมการสำหรับการอนุรักษ์โมเมนตัมแต่ละองค์ประกอบiคือ

$${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(\mathbf {P} _{\text{mech}}+\mathbf {P} _{\text{field}}\right)_{i}=\iint \limits _{\sigma }\left(\sum \limits _{j}T_{ij}n_{j}\right){\text{d}}\Sigma \,.}$$

เทอมทางด้านขวาคือปริพันธ์เหนือพื้นที่ผิวΣของพื้นผิวσซึ่งแสดงถึงการไหลของโมเมนตัมเข้าและออกจากปริมาตร และn _jคือส่วนประกอบของเวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิวของSปริมาณT _{i j}เรียกว่าเทนเซอร์ความเค้นของแม็กซ์เวลล์ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้^{[ 46 ]}

$${\displaystyle T_{ij}\equiv \epsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right)\,.}$$

ผลลัพธ์ข้างต้นได้จาก สมการแม็กซ์เวลล์ระดับ จุลภาคซึ่งใช้ได้กับแรงแม่เหล็กไฟฟ้าในสุญญากาศ (หรือในระดับเล็กมากในตัวกลาง) การกำหนดความหนาแน่นของโมเมนตัมในตัวกลางนั้นยากกว่า เพราะการแบ่งระหว่างแรงแม่เหล็กไฟฟ้าและแรงกลนั้นเป็นไปโดยพลการ ดังนั้นจึงมีการปรับเปลี่ยนนิยามของความหนาแน่นของโมเมนตัมแม่เหล็กไฟฟ้าเป็น

$${\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {E} \times \mathbf {H} ={\frac {\mathbf {S} }{c^{2}}}\,,}$$

โดยที่สนาม H มีความสัมพันธ์กับสนาม B และการทำให้เป็นแม่เหล็กMโดย

$${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {H} +\mathbf {M} \right)\,.}$$

เทนเซอร์ความเครียดแม่เหล็กไฟฟ้าขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของสื่อ^{[ 46 ]}

ในกลศาสตร์ควอนตัมโมเมนตัมถูกนิยามว่าเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองบนฟังก์ชันคลื่นหลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก กำหนดขีดจำกัดว่าสามารถทราบโมเมนตัมและตำแหน่งของระบบที่สังเกตได้ระบบเดียวได้อย่างแม่นยำเพียงใดในคราวเดียว ในกลศาสตร์ควอนตัม ตำแหน่งและโมเมนตัมเป็นตัวแปรคู่ควบ

สำหรับอนุภาคเดี่ยวที่อธิบายในฐานตำแหน่ง ตัวดำเนินการโมเมนตัมสามารถเขียนได้ดังนี้

$${\displaystyle \mathbf {p} ={\hbar \over i}\nabla =-i\hbar \nabla \,,}$$

โดยที่∇คือ ตัวดำเนินการ เกรเดียนต์ , ħคือค่าคงที่ของพลังค์แบบลดทอนและiคือหน่วยจินตนาการนี่คือรูปแบบที่พบได้ทั่วไปของตัวดำเนินการโมเมนตัม แม้ว่าตัวดำเนินการโมเมนตัมในฐานอื่นๆ อาจมีรูปแบบอื่นๆ ก็ได้ ตัวอย่างเช่น ในปริภูมิโมเมนตัมตัวดำเนินการโมเมนตัมจะถูกแทนด้วยสมการค่า ลักษณะเฉพาะ

$${\displaystyle \mathbf {p} \psi (p)=p\psi (p)\,,}$$

โดยที่ตัวดำเนินการpที่กระทำต่อฟังก์ชันคลื่นψ ( p )จะให้ผลลัพธ์เป็นฟังก์ชันคลื่นนั้นคูณด้วยค่าไอเกนpในลักษณะที่คล้ายคลึงกับวิธีที่ตัวดำเนินการตำแหน่งที่กระทำต่อฟังก์ชันคลื่นψ ( x )จะให้ผลลัพธ์เป็นฟังก์ชันคลื่นนั้นคูณด้วยค่าไอเกน x

สำหรับวัตถุที่มีมวลและไม่มีมวล โมเมนตัมเชิงสัมพัทธภาพจะสัมพันธ์กับค่าคงที่เฟสβโดย^{[ 48 ]}

$${\displaystyle p=\hbar \beta }$$

รังสีแม่เหล็กไฟฟ้า (รวมถึงแสงที่มองเห็นได้แสงอัลตราไวโอเลตและคลื่นวิทยุ ) ถูกส่งผ่านโดยโฟตอนแม้ว่าโฟตอน (ลักษณะอนุภาคของแสง) จะไม่มีมวล แต่ก็ยังคงมีโมเมนตัมอยู่ ซึ่งนำไปสู่การใช้งานต่างๆ เช่นใบเรือพลังงานแสงอาทิตย์การคำนวณโมเมนตัมของแสงภายใน ตัวกลางได อิเล็กทริกค่อนข้างเป็นที่ถกเถียงกัน (ดูข้อโต้แย้งของ Abraham–Minkowski ) ^{[ 49 ] [ 50 ]}

ฟิสิกส์แบบนิวตันถือว่าเวลาและอวกาศสัมบูรณ์มีอยู่ภายนอกผู้สังเกตการณ์ใดๆ ซึ่งทำให้เกิดความไม่แปรเปลี่ยนแบบกาลิเลียน นอกจากนี้ ยังส่งผลให้มีการทำนายว่าความเร็วของแสงสามารถเปลี่ยนแปลงได้จากกรอบอ้างอิงหนึ่งไปยังอีกกรอบอ้างอิงหนึ่ง ซึ่งขัดแย้งกับสิ่งที่สังเกตได้ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษไอน์สไตน์ยังคงใช้สมมติฐานว่าสมการการเคลื่อนที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิง แต่ถือว่าความเร็วของแสงcไม่แปรเปลี่ยน ส่งผลให้ตำแหน่งและเวลาในสองกรอบอ้างอิงมีความสัมพันธ์กันโดยการแปลงลอเรนซ์แทนที่จะเป็นการแปลงกาลิเลียน^{[ 51 ]}

ยกตัวอย่างเช่น พิจารณาเฟรมอ้างอิงหนึ่งที่เคลื่อนที่สัมพันธ์กับอีกเฟรมหนึ่งด้วยความเร็วvใน ทิศทาง xการแปลงแบบกาลิเลียนจะให้พิกัดของเฟรมที่เคลื่อนที่ดังนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=t\\x'&=x-vt\end{aligned}}}$$

ในขณะที่การแปลงลอเรนซ์ให้^{[ 52 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\,\end{aligned}}}$$

โดยที่γคือตัวประกอบลอเรนซ์ :

$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.}$$

กฎข้อที่สองของนิวตัน เมื่อมวลคงที่ จะไม่คงที่ภายใต้การแปลงลอเรนซ์ อย่างไรก็ตาม สามารถทำให้คงที่ได้โดยการทำให้มวลเฉื่อยmของวัตถุเป็นฟังก์ชันของความเร็ว:

$${\displaystyle m=\gamma m_{0}\,;}$$

m ₀ คือ มวลคงที่^ของวัตถุ[ ^{53 ]}

โมเมนตัมที่ปรับเปลี่ยนแล้ว

$${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma m_{0}\mathbf {v} \,,}$$

เป็นไปตามกฎข้อที่สองของนิวตัน:

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\,.}$$

ในขอบเขตของกลศาสตร์คลาสสิก โมเมนตัมเชิงสัมพัทธภาพจะใกล้เคียงกับโมเมนตัมแบบนิวตันมาก กล่าวคือ ที่ความเร็วต่ำγ m ₀ vจะมีค่าประมาณเท่ากับm ₀ vซึ่งเป็นนิพจน์โมเมนตัมแบบนิวตัน

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ปริมาณทางกายภาพจะถูกแสดงในรูปของเวกเตอร์สี่มิติซึ่งรวมถึงเวลาเป็นพิกัดที่สี่พร้อมกับพิกัดเชิงพื้นที่สามพิกัด เวกเตอร์เหล่านี้โดยทั่วไปจะแสดงด้วยตัวอักษรตัวใหญ่ เช่นRสำหรับตำแหน่ง การแสดงออกของ โมเมนตัม สี่มิติขึ้นอยู่กับวิธีการแสดงพิกัด เวลาอาจแสดงในหน่วยปกติหรือคูณด้วยความเร็วแสงเพื่อให้ส่วนประกอบทั้งหมดของเวกเตอร์สี่มิติมีมิติของความยาว หากใช้การปรับขนาดแบบหลัง ช่วงเวลาที่เหมาะสม τ จะถูกกำหนดโดย^{[ 54 ]}

$${\displaystyle c^{2}{\text{d}}\tau ^{2}=c^{2}{\text{d}}t^{2}-{\text{d}}x^{2}-{\text{d}}y^{2}-{\text{d}}z^{2}\,,}$$

ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงลอเรนซ์ (ในนิพจน์นี้และในส่วนต่อไปนี้จะใช้สัญลักษณ์เมตริก(+ − − −) ผู้เขียนแต่ละคนใช้ข้อกำหนดที่แตกต่างกัน) ในทางคณิตศาสตร์ ความไม่เปลี่ยนแปลงนี้สามารถรับประกันได้สองวิธี: โดยการปฏิบัติต่อเวกเตอร์สี่มิติเป็น เวกเตอร์ยุคลิดและคูณเวลาด้วย√ −1หรือโดยการทำให้เวลาเป็นปริมาณจริงและฝังเวกเตอร์ในปริภูมิMinkowski ^{[ 55 ]}ในปริภูมิ Minkowski ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สี่มิติสองตัวU = ( U ₀ , U ₁ , U ₂ , U ₃ )และV = ( V ₀ , V ₁ , V ₂ , V ₃ )ถูกกำหนดดังนี้

$${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {V} =U_{0}V_{0}-U_{1}V_{1}-U_{2}V_{2}-U_{3}V_{3}\,.}$$

ในระบบพิกัดทั้งหมด ความเร็วสี่มิติเชิงสัมพัทธภาพ ( แบบผกผัน ) ถูกกำหนดโดย

$${\displaystyle \mathbf {U} \equiv {\frac {{\text{d}}\mathbf {R} }{{\text{d}}\tau }}=\gamma {\frac {{\text{d}}\mathbf {R} }{{\text{d}}t}}\,,}$$

และ โมเมนตัมสี่มิติ (คอนทราเวเรียนต์) คือ

$${\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} \,,}$$

โดยที่m ₀คือมวลไม่แปรเปลี่ยน ถ้าR = ( c t , x , y , z ) (ในปริภูมิ Minkowski) แล้ว

$${\displaystyle \mathbf {P} =\gamma m_{0}\left(c,\mathbf {v} \right)=(mc,\mathbf {p} )\,.}$$

โดยใช้ สมดุลระหว่างมวลและพลังงานของไอน์สไตน์E = m c 2 สามารถ^{เขียน}ใหม่ได้ดังนี้

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)\,.}$$

ดังนั้น การอนุรักษ์โมเมนตัมสี่มิติจึงคงรูปภายใต้การแปลงลอเรนซ์ และหมายถึงการอนุรักษ์ทั้งมวลและพลังงานด้วย

ขนาดของเวกเตอร์โมเมนตัมสี่มิติเท่ากับm ₀ c :

$${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}=\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =\gamma ^{2}m_{0}^{2}\left(c^{2}-v^{2}\right)=(m_{0}c)^{2}\,,}$$

และคงที่ในทุกกรอบอ้างอิง

ความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานและโมเมนตัมเชิงสัมพัทธภาพยังคงใช้ได้แม้กระทั่งกับอนุภาคไร้มวล เช่น โฟตอน โดยการกำหนดให้m ₀ = 0จะได้ว่า

$${\displaystyle E=pc\,.}$$

ในเกม "บิลเลียด" แบบสัมพัทธภาพ หากอนุภาคที่อยู่กับที่ถูกอนุภาคที่เคลื่อนที่ชนในการชนแบบยืดหยุ่น เส้นทางที่ทั้งสองสร้างขึ้นหลังจากนั้นจะทำมุมแหลม ซึ่งแตกต่างจากกรณีที่ไม่ใช่สัมพัทธภาพที่พวกมันเคลื่อนที่ในมุมฉาก^{[ 56 ]}

โมเมนตัมสี่มิติของคลื่นระนาบสามารถเชื่อมโยงกับเวกเตอร์สี่มิติของคลื่นได้^{[ 57 ]}

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)=\hbar \mathbf {K} =\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)}$$

สำหรับอนุภาค ความสัมพันธ์ระหว่างส่วนประกอบเชิงเวลาE = ħ ωคือความสัมพันธ์ของพลังค์-ไอน์สไตน์และความสัมพันธ์ระหว่างส่วนประกอบเชิงพื้นที่p = ħ kอธิบายถึงคลื่นสสารเดอ บรอย ล์

ในราวปี ค.ศ. 530 จอห์น ฟิโลโพนัสได้พัฒนาแนวคิดเรื่องโมเมนตัมในหนังสือ On Physicsซึ่งเป็นคำอธิบายประกอบหนังสือ Physicsของอริสโตเติลอริสโตเติลอ้างว่าทุกสิ่งที่เคลื่อนที่ต้องมีสิ่งใดสิ่งหนึ่งคอยผลักดันให้เคลื่อนที่ต่อไป ตัวอย่างเช่น ลูกบอลที่ถูกขว้างต้องเคลื่อนที่ต่อไปด้วยการเคลื่อนที่ของอากาศ ฟิโลโพนัสชี้ให้เห็นถึงความไร้สาระในคำกล่าวอ้างของอริสโตเติลที่ว่าการเคลื่อนที่ของวัตถุได้รับการส่งเสริมโดยอากาศเดียวกันกับที่ต้านทานการเคลื่อนที่ของมัน เขาเสนอว่าแรงผลักดันถูกส่งต่อให้กับวัตถุในขณะที่ขว้างมัน^{[ 58 ]}

ในปี ค.ศ. 1020 อิบนุ ซีนา (หรือที่รู้จักกันใน ชื่อ ภาษาละตินว่าอวิเซนนา) ได้อ่านงานของฟิโลโปนัสและตีพิมพ์ทฤษฎีการเคลื่อนที่ของตนเองในหนังสือ The Book of Healingเขาเห็นด้วยว่าแรงผลักดันนั้นเกิดขึ้นกับวัตถุที่ถูกขว้างโดยผู้ขว้าง แต่ต่างจากฟิโลโปนัสที่เชื่อว่ามันเป็นคุณสมบัติชั่วคราวที่จะลดลงแม้ในสุญญากาศ เขาเห็นว่ามันเป็นคุณสมบัติที่คงอยู่และต้องการแรงภายนอก เช่นแรงต้านอากาศเพื่อทำให้มันสลายไป^{[ 59 ] [ 60 ] [ 61 ]}

ในศตวรรษที่ 13 และ 14 ปีเตอร์ โอลิวีและฌอง บูริแดนได้อ่านและปรับปรุงงานของฟิโลโพนัส และอาจรวมถึงงานของอิบนุ ซินาด้วย^{[ 61 ]}บูริแดน ซึ่งในราวปี ค.ศ. 1350 ได้รับแต่งตั้งเป็นอธิการบดีของมหาวิทยาลัยปารีส ได้กล่าวถึงแรงส่งที่แปรผันตรงกับน้ำหนักคูณด้วยความเร็ว ยิ่งไปกว่านั้น ทฤษฎีของบูริแดนแตกต่างจากของบรรพบุรุษของเขาตรงที่เขาไม่ถือว่าแรงส่งจะสลายไปเอง โดยยืนยันว่าวัตถุจะถูกหยุดโดยแรงต้านอากาศและแรงโน้มถ่วงซึ่งอาจต้านแรงส่งของมัน^{[ 62 ] [ 63 ]}

ในหนังสือหลักการปรัชญา ( Principia Philosophiae ) จากปี 1644 นักปรัชญาชาวฝรั่งเศสเรเน่ เดส์การ์ตได้นิยาม "ปริมาณการเคลื่อนที่" ( ภาษาละติน : quantitas motus ) ว่าเป็นผลคูณของขนาดและความเร็ว^{[ 64 ]}และอ้างว่าปริมาณการเคลื่อนที่ทั้งหมดในจักรวาลนั้นคงที่^{[ 64 ] [ 65 ]}

ถ้า x มีขนาดเป็นสองเท่าของ y และเคลื่อนที่ด้วยความเร็วครึ่งหนึ่งของ y แล้ว ปริมาณการเคลื่อนที่ในแต่ละวัตถุจะเท่ากัน

[พระเจ้า] ทรงสร้างสสารพร้อมกับการเคลื่อนที่ของมัน... เพียงแค่ปล่อยให้สิ่งต่างๆ ดำเนินไปตามธรรมชาติ พระองค์ก็ทรงรักษาระดับการเคลื่อนที่เท่าเดิม... เหมือนที่พระองค์ทรงสร้างไว้ตั้งแต่แรก

ไม่ควรตีความข้อความนี้ว่าเป็นคำแถลงของกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม สมัยใหม่ เนื่องจากเดส์การ์ตไม่มีแนวคิดเรื่องมวลที่แตกต่างจากน้ำหนักและขนาด (แนวคิดเรื่องมวลที่แตกต่างจากน้ำหนักนั้นถูกนำเสนอโดยนิวตันในปี ค.ศ. 1686) ^{[ 66 ]}ที่สำคัญกว่านั้น เขาเชื่อว่าความเร็วต่างหากที่ได้รับการอนุรักษ์ ไม่ใช่อัตราเร็ว ดังนั้นสำหรับเดส์การ์ต หากวัตถุที่เคลื่อนที่กระเด้งออกจากพื้นผิว เปลี่ยนทิศทางแต่ไม่เปลี่ยนความเร็ว ปริมาณการเคลื่อนที่ของวัตถุนั้นจะไม่มีการเปลี่ยนแปลง^{[ 67 ] [ 68 ] [ 69 ]}กาลิเลโอในหนังสือวิทยาศาสตร์ใหม่สองเล่ม ของเขา (ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1638) ใช้คำภาษาอิตาลี ว่า impetoเพื่ออธิบายปริมาณการเคลื่อนที่ของเดส์การ์ตในทำนองเดียวกัน

ในช่วงทศวรรษ 1600 คริสเตียน ฮุยเกนส์สรุปได้ค่อนข้างเร็วว่ากฎของเดส์การ์ตสำหรับการชนแบบยืดหยุ่นของวัตถุสองชิ้นนั้นต้องผิด และเขาก็ได้กำหนดกฎที่ถูกต้องขึ้นมา^{[ 70 ]}ขั้นตอนสำคัญคือการที่เขายอมรับความไม่แปรเปลี่ยนแบบกาลิเลียนของปัญหา^{[ 71 ]}มุมมองของเขาใช้เวลาหลายปีกว่าจะเผยแพร่ออกไป เขาได้ส่งต่อมุมมองเหล่านั้นด้วยตนเองให้กับวิลเลียม บราวน์เคอร์และคริสโตเฟอร์ เรนในลอนดอนในปี 1661 ^{[ 72 ]}สิ่งที่สปิโนซาเขียนถึงเฮนรี โอลเดนเบิร์กเกี่ยวกับเรื่องนี้ในปี 1666 ระหว่างสงครามแองโกล-ดัตช์ครั้งที่สองนั้นถูกเก็บรักษาไว้เป็นความลับ^{[ 73 ]}ฮุยเกนส์ได้ทำงานเกี่ยวกับเรื่องนี้ในต้นฉบับDe motu corporum ex percussioneในช่วงปี 1652–1656 สงครามสิ้นสุดลงในปี 1667 และฮุยเกนส์ประกาศผลการวิจัยของเขาต่อราชสมาคมในปี 1668 เขาได้ตีพิมพ์ผลการวิจัยดังกล่าวในวารสาร Journal des sçavansในปี 1669 ^{[ 74 ]}

ในปี ค.ศ. 1670 จอห์น วอลลิสในMechanica sive De Motu, Tractatus Geometricusได้กล่าวถึงกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมว่า "สถานะเริ่มต้นของวัตถุ ไม่ว่าจะเป็นการหยุดนิ่งหรือการเคลื่อนที่ จะคงอยู่" และ "ถ้าแรงมากกว่าแรงต้าน การเคลื่อนที่ก็จะเกิดขึ้น" ^{[ 75 ]}วอลลิสใช้โมเมนตัมแทนปริมาณของการเคลื่อนที่ และvisแทนแรง

ในปี ค.ศ. 1686 ก็อตฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซในบทความเรื่องอภิปรัชญาได้โต้แย้งกับการสร้างหลักการอนุรักษ์ "ปริมาณการเคลื่อนที่" ของเดส์การ์ต โดยใช้ตัวอย่างการปล่อยบล็อกที่มีขนาดต่างกันและระยะทางต่างกัน เขาชี้ให้เห็นว่าแรงยังคงอนุรักษ์อยู่ แต่ปริมาณการเคลื่อนที่ ซึ่งตีความว่าเป็นผลคูณของขนาดและความเร็วของวัตถุนั้น ไม่ได้รับการอนุรักษ์^{[ 76 ]}

ในปี ค.ศ. 1687 ไอแซค นิวตันในหนังสือ Philosophiæ Naturalis Principia Mathematicaเช่นเดียวกับวอลลิส ได้แสดงให้เห็นถึงการค้นหาคำที่คล้ายคลึงกันเพื่อใช้อธิบายโมเมนตัมทางคณิตศาสตร์ คำนิยามที่ 2 ของเขาได้นิยามquantitas motusซึ่งหมายถึง "ปริมาณของการเคลื่อนที่" ว่า "เกิดจากความเร็วและปริมาณของสสารร่วมกัน" ซึ่งระบุว่าเป็นโมเมนตัม^{[ 77 ]}ดังนั้นเมื่อเขากล่าวถึงmutatio motusซึ่งหมายถึง "การเปลี่ยนแปลงของการเคลื่อนที่" ในกฎข้อที่ 2 ว่าเป็นสัดส่วนกับแรงที่กระทำ โดยทั่วไปแล้วเขามักจะหมายถึงโมเมนตัม ไม่ใช่การเคลื่อนที่^{[ 78 ]}

ในปี ค.ศ. 1721 จอห์น เจนนิงส์ได้ตีพิมพ์หนังสือMiscellaneaซึ่งเป็นที่มาของโมเมนตัมในความหมายทางคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน ห้าปีก่อนที่นิวตันจะตีพิมพ์หนังสือ Principia Mathematica ฉบับสมบูรณ์โมเมนตัมMหรือ"ปริมาณการเคลื่อนที่" ถูกนิยามให้กับนักเรียนว่าเป็น "รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า" ซึ่งเป็นผลคูณของQและVโดยที่Qคือ "ปริมาณของสสาร" และVคือ "ความเร็ว"ส/ที⁠ . ^{[ 79 ]}

ในปี ค.ศ. 1728 สารานุกรมระบุว่า:

โมเมนตัมแรงขับหรือปริมาณการเคลื่อนที่ของวัตถุใดๆ คือผลคูณของความเร็ว (หรือระยะทางที่เคลื่อนที่ได้ในช่วงเวลาที่กำหนด ดูการเคลื่อนที่ ) กับมวลของวัตถุนั้น

ลองค้นหาคำว่า "momentum"ใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับMomentumใน Wikimedia Commons
• การอนุรักษ์โมเมนตัม (เก็บถาวรเมื่อ 2011-10-26 ที่Wayback Machine – บทหนึ่งจากตำราเรียนออนไลน์)