พื้นที่โค้งมักหมายถึงเรขาคณิตเชิงพื้นที่ที่ไม่ "แบนราบ" ซึ่งพื้นที่แบนราบ จะมี ค่าความโค้งเป็นศูนย์ตามที่อธิบายโดยเรขาคณิตแบบยุคลิด [ ^{1 ] โดย}ทั่วไปแล้ว พื้นที่โค้งสามารถอธิบายได้ด้วยเรขาคณิตแบบรีมันน์แม้ว่าบางกรณีง่ายๆ จะสามารถอธิบายได้ด้วยวิธีอื่น

พื้นที่โค้งมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปโดยที่แรงโน้มถ่วงมักถูกมองว่าเป็น ปริภูมิ เวลาโค้ง^{[ 2 ]}เมตริกFriedmann–Lemaître–Robertson–Walkerเป็นเมตริกโค้งซึ่งเป็นพื้นฐานปัจจุบันสำหรับการอธิบายการขยายตัวของจักรวาลและรูปร่างของจักรวาลความจริงที่ว่าโฟตอนไม่มีมวลแต่ถูกบิดเบี้ยวด้วยแรงโน้มถ่วง หมายความว่าคำอธิบายจะต้องเป็นอย่างอื่นนอกเหนือจากมวลของโฟตอน ดังนั้น ความเชื่อที่ว่าวัตถุขนาดใหญ่ทำให้พื้นที่โค้งงอ และดังนั้นแสงที่เดินทางบนพื้นที่โค้งจะปรากฏว่าอยู่ภายใต้แรงโน้มถ่วง มันไม่ใช่ แต่มันอยู่ภายใต้ความโค้งของพื้นที่

ตัวอย่างที่คุ้นเคยมากของพื้นที่โค้งคือพื้นผิวของทรงกลม แม้ว่าในมุมมองที่คุ้นเคยของเรา ทรงกลมจะดูเหมือนสามมิติ แต่ถ้าวัตถุถูกจำกัดให้อยู่บนพื้นผิว มันจะมีเพียงสองมิติที่สามารถเคลื่อนที่ได้ พื้นผิวของทรงกลมสามารถอธิบายได้อย่างสมบูรณ์ด้วยสองมิติ เนื่องจากไม่ว่าพื้นผิวจะดูขรุขระเพียงใด มันก็ยังคงเป็นเพียงพื้นผิว ซึ่งเป็นขอบเขตภายนอกสองมิติของปริมาตร แม้แต่พื้นผิวโลกซึ่งมีความซับซ้อนแบบแฟรกทัล ก็ยังคงเป็นเพียงขอบเขตสองมิติตามด้านนอกของปริมาตร^{[ 3 ]}

ลักษณะเด่นอย่างหนึ่งของปริภูมิโค้งคือการเบี่ยงเบนจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสในปริภูมิโค้ง

${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}\neq dl^{2}}$.

ความสัมพันธ์แบบพีทาโกเรียนมักจะสามารถฟื้นคืนได้โดยการอธิบายพื้นที่ด้วยมิติพิเศษ สมมติว่าเรามีพื้นที่สามมิติที่ไม่ใช่แบบยุคลิดที่มีพิกัดเนื่องจากมันไม่แบนราบ ${\displaystyle \left(x',y',z'\right)}$

${\displaystyle dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}\neq dl'^{2}\,}$.

แต่ถ้าเราอธิบายพื้นที่สามมิติด้วย มิติ สี่มิติ ( ) เราสามารถเลือกพิกัดได้ดังนี้ ${\displaystyle x,y,z,w}$

${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dw^{2}=dl^{2}\,}$.

โปรด ทราบว่าพิกัดนี้ไม่เหมือนกับพิกัด${\displaystyle x}$${\displaystyle x'}$

เพื่อให้พิกัด 4 มิติที่เลือกใช้เป็นตัวบ่งชี้ที่ถูกต้องของพื้นที่ 3 มิติเดิม พิกัดเหล่านั้นจะต้องมีจำนวนองศาอิสระ เท่ากัน เนื่องจากพิกัดทั้งสี่มีองศาอิสระสี่องศา จึงต้องมีข้อจำกัดบางอย่าง เราสามารถเลือกข้อจำกัดที่ทำให้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นจริงในพื้นที่ 4 มิติใหม่ได้ นั่นคือ

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}={\textrm {คงที่}}\,}$.

ค่าคงที่สามารถเป็นค่าบวกหรือค่าลบก็ได้ เพื่อความสะดวก เราสามารถเลือกให้ค่าคงที่เท่ากับ 0.001 ได้

${\displaystyle \คัปปา ^{-1}R^{2}}$ซึ่งตอนนี้เป็นไปในทางบวกและ.${\displaystyle R^{2}\,}$${\displaystyle \kappa \equiv \pm 1}$

ตอนนี้เราสามารถใช้ข้อจำกัดนี้เพื่อกำจัดพิกัดที่สี่เทียมได้แล้วอนุพันธ์ของสมการข้อจำกัดคือ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle xdx+ydy+zdz+wdw=0\,}$นำไปสู่​​.${\displaystyle dw=-w^{-1}(xdx+ydy+zdz)\,}$

เมื่อแทนค่าลงในสมการเดิมจะได้ ${\displaystyle dw}$

${\displaystyle dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+{\frac {(xdx+ydy+zdz)^{2}}{\kappa ^{-1}R^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}}$.

รูปแบบนี้มักไม่น่าสนใจนัก ดังนั้นจึงมักใช้การแปลงพิกัด: , , . ด้วยการแปลงพิกัดนี้ ${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \phi }$${\displaystyle y=r\sin \theta \sin \phi }$${\displaystyle z=r\cos \theta }$

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

เรขาคณิตของปริภูมิ n มิติ สามารถอธิบายได้ด้วยเรขาคณิตแบบรีมันน์ปริภูมิที่เป็นเนื้อเดียวกันและสมมาตรสามารถอธิบายได้ด้วยเมตริก:

${\displaystyle dl^{2}=e^{-\lambda (r)}{dr^{2}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,}$.

สิ่งนี้จะลดรูปเป็นปริภูมิยุคลิดเมื่อ. แต่จะกล่าวได้ว่าปริภูมิหนึ่ง " แบนราบ " เมื่อเทนเซอร์เวล์มีส่วนประกอบเป็นศูนย์ทั้งหมด ในสามมิติ เงื่อนไขนี้จะเป็นจริงเมื่อเทนเซอร์ริชชี ( ) เท่ากับเมตริกคูณด้วยสเกลาร์ริชชี ( , ไม่ควรสับสนกับ R ในส่วนก่อนหน้า) นั่นคือ. การคำนวณส่วนประกอบเหล่านี้จากเมตริกให้ผลลัพธ์ว่า ${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle R_{ab}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R_{ab}=g_{ab}R}$

${\displaystyle \lambda =-{\frac {1}{2}}\ln \left(1-kr^{2}\right)}$ที่ไหน.${\displaystyle k\equiv {\frac {R}{2}}}$

ผลลัพธ์ที่ได้คือค่าเมตริก:

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-k{r^{2}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

โดยที่ค่าอาจเป็นศูนย์ ค่าบวก หรือค่าลบ และไม่จำกัดเฉพาะ ±1 ${\displaystyle k}$

พื้นที่ ไอโซโทรปิกและเอกรูปสามารถอธิบายได้ด้วยเมตริก:

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

ในกรณีที่ค่าคงที่ของความโค้ง ( ) มีค่ามากจนเป็นอนันต์ จะได้ ปริภูมิยูคลิดแบบแบนราบซึ่งโดยพื้นฐานแล้วก็เหมือนกับการตั้งค่าให้เป็นศูนย์ ถ้าไม่เป็นศูนย์ ปริภูมินั้นจะไม่ใช่ปริภูมิยูคลิด เมื่อใดที่ปริภูมิจะเรียกว่าปริภูมิปิดหรือปริภูมิวงรีเมื่อใดที่ปริภูมิจะเรียกว่าปริภูมิเปิดหรือปริภูมิไฮเปอร์โบลิก ${\displaystyle R}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa =+1}$${\displaystyle \kappa =-1}$

รูปสามเหลี่ยมที่อยู่บนพื้นผิวของพื้นที่เปิดจะมีผลรวมของมุมน้อยกว่า 180 องศา ส่วนรูปสามเหลี่ยมที่อยู่บนพื้นผิวของพื้นที่ปิดจะมีผลรวมของมุมมากกว่า 180 องศา อย่างไรก็ตาม ปริมาตรของรูปสามเหลี่ยมเหล่านั้นจะไม่เท่า กัน ${\displaystyle (4/3)\pi r^{3}}$

• พื้นที่ CAT( k )
• ความโค้งที่ไม่เป็นบวก

• หนังสือ The Feynman Lectures on Physics เล่มที่ 2 บทที่ 42: พื้นที่โค้ง
• Papastavridis, John G. (1999). "พื้นผิว n มิติ ทั่วไป(แบบรีมันน์)" . แคลคูลัสเทนเซอร์และพลศาสตร์เชิงวิเคราะห์ . โบคา ราตัน: สำนักพิมพ์ CRC. หน้า  211–218 . ISBN 0-8493-8514-8.

• Curved Spacesคือโปรแกรมจำลองจักรวาลที่เชื่อมต่อกันหลายจุด พัฒนาโดยJeffrey Weeks