คลื่นเฉือนระนาบ

การแพร่กระจายของคลื่น S ทรงกลมในตาราง 2 มิติ (แบบจำลองเชิงประจักษ์)

ในกลศาสตร์ของแข็งคลื่นS คลื่นทุติยภูมิหรือคลื่นเฉือน (บางครั้งเรียกว่าคลื่น S ยืดหยุ่น ) เป็น คลื่นยืดหยุ่นชนิดหนึ่งและเป็นหนึ่งในสองประเภทหลักของคลื่นยืดหยุ่นในเนื้อวัตถุโดยตั้งชื่อเช่นนี้เพราะเคลื่อนที่ผ่านเนื้อวัตถุ ซึ่งแตกต่างจากคลื่นผิวน้ำ^{[ 1 ]}

คลื่น S เป็นคลื่นตามขวางหมายความว่าทิศทางการเคลื่อนที่ของอนุภาคของคลื่น S นั้นตั้งฉากกับทิศทางการแพร่กระจายของคลื่น และแรงคืนตัวหลักมาจากแรงเฉือน^{[ 2 ]}ดังนั้น คลื่น S จึงไม่สามารถแพร่กระจายในของเหลว^{[ 3 ]} ที่มี ความหนืดเป็นศูนย์ (หรือต่ำมาก) ได้อย่างไรก็ตาม คลื่น S อาจแพร่กระจายในของเหลวที่มีความหนืดสูงได้^{[ 4 ] [ 5 ]}ในทำนองเดียวกัน คลื่น S ไม่สามารถเดินทางผ่านก๊าซได้

ชื่อคลื่นทุติยภูมิมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าคลื่นเหล่านี้เป็นคลื่นประเภทที่สองที่ตรวจพบโดยเครื่องตรวจวัด แผ่นดินไหว รองจาก คลื่นปฐมภูมิแบบ อัดตัวหรือคลื่น Pเนื่องจากคลื่น S เดินทางได้ช้ากว่าในของแข็ง ต่างจากคลื่น P คลื่น S ไม่สามารถเดินทางผ่าน แกน โลกชั้นนอก ที่เป็นของเหลวหลอมเหลวได้ และนี่ทำให้เกิด เขตเงาสำหรับคลื่น S ตรงข้ามกับจุดกำเนิด อย่างไรก็ตาม คลื่น S ยังคงสามารถแพร่กระจายผ่านแกนโลกชั้นในที่ เป็นของแข็งได้ : เมื่อคลื่น P กระทบกับขอบเขตของแกนโลกที่เป็นของเหลวหลอมเหลวและของแข็งในมุมเฉียง คลื่น S จะก่อตัวและแพร่กระจายในตัวกลางที่เป็นของแข็ง เมื่อคลื่น S เหล่านี้กระทบกับขอบเขตอีกครั้งในมุมเฉียง พวกมันจะสร้างคลื่น P ที่แพร่กระจายผ่านตัวกลางที่เป็นของเหลว คุณสมบัตินี้ช่วยให้นักแผ่นดินไหววิทยาสามารถกำหนดคุณสมบัติทางกายภาพบางอย่างของแกนโลกชั้นในได้^{[ 6 ]}

ในปี ค.ศ. 1830 นักคณิตศาสตร์Siméon Denis Poisson ได้นำเสนอ บทความ ("memoir") ต่อสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งฝรั่งเศส เกี่ยวกับทฤษฎีการแพร่กระจายของคลื่นยืดหยุ่นในของแข็ง ในบทความของเขา เขากล่าวว่าแผ่นดินไหวจะก่อให้เกิดคลื่นสองชนิดที่แตกต่างกัน คือคลื่นหนึ่งมีความเร็วค่าหนึ่ง และอีกคลื่นหนึ่งมีความเร็วอีกค่าหนึ่งที่ระยะห่างที่เพียงพอจากแหล่งกำเนิด เมื่อสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นคลื่นระนาบในบริเวณที่สนใจ คลื่นชนิดแรกประกอบด้วยการขยายตัวและการหดตัวในทิศทางตั้งฉากกับหน้าคลื่น (นั่นคือ ขนานกับทิศทางการเคลื่อนที่ของคลื่น) ในขณะที่คลื่นชนิดที่สองประกอบด้วยการเคลื่อนที่แบบยืดออกที่เกิดขึ้นในทิศทางขนานกับหน้าคลื่น (ตั้งฉากกับทิศทางการเคลื่อนที่) ^{[ 7 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {3}}}}$

เพื่อความเข้าใจง่ายในคำอธิบายนี้ ตัวกลางที่เป็นของแข็งจะถือว่าเป็นไอโซโทรปิกหากความเครียด (การเสียรูป) ที่เกิดขึ้น จากการตอบสนองต่อแรงเค้นมีค่าเท่ากันในทุกทิศทาง ให้ เป็น เวกเตอร์การกระจัดของอนุภาคในตัวกลางดังกล่าวจากตำแหน่ง "พัก" เนื่องจากการสั่นแบบยืดหยุ่น ซึ่งเข้าใจว่าเป็นฟังก์ชันของตำแหน่งพักและเวลาการเสียรูปของตัวกลาง ณ จุดนั้นสามารถอธิบายได้ด้วยเทนเซอร์ความเครียดซึ่งเป็นเมทริกซ์ 3×3 ที่มีองค์ประกอบเป็น ${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {x}}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {e}}}$$${\displaystyle e_{ij}={\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}$$

โดยที่หมายถึงอนุพันธ์ย่อยเทียบกับพิกัดตำแหน่ง เทนเซอร์ความเครียดมีความสัมพันธ์กับเทนเซอร์ความเค้น 3×3 โดยสมการ ${\displaystyle \partial _{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\tau }}}$$${\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}\sum _{k}e_{kk}+2\mu e_{ij}}$$

นี่คือค่าเดลต้าของโครเนกเกอร์ (1 ถ้า, 0 ถ้าไม่ใช่) และและคือพารามิเตอร์ของลาเม ( โดยที่ คือ โมดูลัสเฉือนของวัสดุ) ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า ${\displaystyle \delta _{ij}}$${\displaystyle i=j}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}\sum _{k}\partial _{k}u_{k}+\mu \left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}$$

จากกฎความเฉื่อยของนิวตันเราจะได้ว่า โดยที่คือความหนาแน่น (มวลต่อปริมาตร) ของตัวกลาง ณ จุดนั้น และหมายถึงอนุพันธ์ย่อยเทียบกับเวลา เมื่อรวมสมการสองสมการสุดท้ายเข้าด้วยกัน จะได้สมการคลื่นแผ่นดินไหวในตัวกลางเอกพันธุ์$${\displaystyle \rho \partial _{t}^{2}u_{i}=\sum _{j}\partial _{j}\tau _{ij}}$$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \partial _{t}}$$${\displaystyle \rho \partial _{t}^{2}u_{i}=\lambda \partial _{i}\sum _{k}\partial _{k}u_{k}+\mu \sum _{j}{\bigl (}\partial _{i}\partial _{j}u_{j}+\partial _{j}\partial _{j}u_{i}{\bigr )}}$$

โดยใช้ สัญลักษณ์ ตัวดำเนินการนาบลาของแคลคูลัสเวกเตอร์ , , พร้อมกับการประมาณค่าบางประการ สมการนี้สามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle \nabla =(\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3})}$$${\displaystyle \rho \partial _{t}^{2}{\boldsymbol {u}}=\left(\lambda +2\mu \right)\nabla \left(\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}\right)-\mu \nabla \times \left(\nabla \times {\boldsymbol {u}}\right)}$$

เมื่อนำสมการนี้ มาทำการ เคิร์ล และใช้เอกลักษณ์ของเวกเตอร์ จะได้$${\displaystyle \partial _{t}^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {u}})={\frac {\mu }{\rho }}\nabla ^{2}\left(\nabla \times {\boldsymbol {u}}\right)}$$

สูตรนี้คือสมการคลื่นที่ใช้กับปริมาณเวกเตอร์ซึ่งก็คือความเครียดเฉือนของวัสดุ คำตอบของสมการนี้ คือคลื่น S ซึ่งเป็นผลรวมเชิงเส้นของคลื่นระนาบไซน์ที่มีความยาวคลื่นและทิศทางการแพร่กระจายที่แตกต่างกัน แต่ทั้งหมดมีความเร็วเท่ากันสมมติว่าตัวกลางการแพร่กระจายเป็นแบบเชิงเส้น ยืดหยุ่น ไอโซโทรปิก และเป็นเนื้อเดียวกัน สมการนี้สามารถเขียนใหม่ได้เป็น^{[ 8 ]}โดยที่ωคือความถี่เชิงมุม และkคือเลขคลื่นดังนั้น ${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {u}}}$${\textstyle \beta ={\sqrt {\mu /\rho }}}$${\displaystyle \mu =\rho \beta ^{2}=\rho \omega ^{2}/k^{2}}$${\displaystyle \beta =\โอเมก้า /k}$

การหาไดเวอร์เจนซ์ของสมการคลื่นแผ่นดินไหวในตัวกลางเอกพันธุ์ แทนที่จะหาเคิร์ล จะได้สมการคลื่นที่อธิบายการแพร่กระจายของปริมาณซึ่งก็คือความเครียดอัดของวัสดุ คำตอบของสมการนี้ คือคลื่น P ซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่เร็วกว่า ${\displaystyle \nabla \cdot {\boldสัญลักษณ์ {u}}}$${\textstyle \alpha ={\sqrt {(\lambda +2\mu )/\rho }}}$

คลื่น SH สถานะคงที่ถูกกำหนดโดยสมการ Helmholtz ^{[ 9 ]} โดยที่kคือเลขคลื่น $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+k^{2}\right){\boldsymbol {u}}=0}$$

เช่นเดียวกับในตัวกลางยืดหยุ่น ใน วัสดุ วิสโคอีลาสติกความเร็วของคลื่นเฉือนจะถูกอธิบายด้วยความสัมพันธ์ที่คล้ายกันอย่างไรก็ตาม ในที่นี้คือโมดูลัสเฉือนที่ซับซ้อนและขึ้นอยู่กับความถี่ และคือความเร็วเฟสที่ขึ้นอยู่กับความถี่^{[ 8 ]}แนวทางทั่วไปในการอธิบายโมดูลัสเฉือนในวัสดุวิสโคอีลาสติกคือผ่านแบบจำลอง Voigtซึ่งระบุว่า: โดยที่คือความแข็งของวัสดุ และคือความหนืด^{[ 8 ]}${\displaystyle c(\omega )=\omega /k(\omega )={\sqrt {\mu (\omega )/\rho }}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle c(\omega )}$${\displaystyle \mu (\omega )=\mu _{0}+i\omega \eta }$${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle \eta }$

การตรวจวัดความยืดหยุ่นด้วยคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (MRE) เป็นวิธีการศึกษาคุณสมบัติของวัสดุชีวภาพในสิ่งมีชีวิตโดยการส่งคลื่นเฉือนที่ความถี่ที่ต้องการผ่านเนื้อเยื่ออินทรีย์ที่ต้องการ^{[ 10 ]}วิธีนี้ใช้ตัวสั่นเพื่อส่งคลื่นเฉือนเข้าไปในเนื้อเยื่อและใช้การถ่ายภาพด้วยคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเพื่อดูการตอบสนองในเนื้อเยื่อ^{[ 11 ]}จากนั้นจะวัดความเร็วคลื่นและความยาวคลื่นเพื่อกำหนดคุณสมบัติความยืดหยุ่น เช่นโมดูลัสเฉือน MRE ถูกนำมาใช้ในการศึกษาเนื้อเยื่อของมนุษย์หลายชนิด รวมถึงเนื้อเยื่อตับ สมอง และกระดูก^{[ 10 ]}

• ระบบเตือนภัยแผ่นดินไหวล่วงหน้า (ญี่ปุ่น)
• ลูกแกะโบกมือ
• คลื่นตามยาว
• คลื่นแห่งความรัก
• คลื่นเรย์ลี
• การแยกคลื่นเฉือน

• เชียเรอร์, ปีเตอร์ (1999). บทนำสู่วิทยาแผ่นดินไหว (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 0-521-66023-8.
• อากิ, เคอิติ ; ริชาร์ดส์, พอล จี. (2002) แผ่นดินไหววิทยาเชิงปริมาณ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2) หนังสือวิทยาศาสตร์มหาวิทยาลัย. ไอเอสบีเอ็น 0-935702-96-2.
• ฟาวเลอร์, ซีเอ็มอาร์ (1990). โลกที่เป็นของแข็ง . เคมบริดจ์ สหราชอาณาจักร: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 0-521-38590-3คลื่น S