คลื่นแห่งความรัก

ในกลศาสตร์ของแข็งคลื่น เลิฟ ( Love waves ) ซึ่งตั้งชื่อตามออกัสตัส เอ็ดเวิร์ด ฮอฟ เลิฟ (Augustus Edward Hough Love ) คือคลื่นผิวดิน ที่มีการโพ ลา ไรซ์ในแนวนอน คลื่นเลิฟเกิดจาก การแทรกสอด ของคลื่นเฉือน ( คลื่น S ) จำนวนมากที่ถูกนำทางโดยชั้นยืดหยุ่น ซึ่งเชื่อมติดกับครึ่งพื้นที่ยืดหยุ่นด้านหนึ่ง ขณะที่ติดกับสุญญากาศอีกด้านหนึ่ง ในทางแผ่นดินไหววิทยาคลื่นเลิฟ (หรือที่รู้จักกันในชื่อ คลื่นคิว ( Q waveหรือ Q waveในภาษาเยอรมัน) เป็นคลื่นแผ่นดินไหวบนพื้นผิวที่ทำให้เกิดการเคลื่อนตัวในแนวนอนของโลกในระหว่างเกิดแผ่นดินไหวออกัสตัส เอ็ดเวิร์ด ฮอฟ เลิฟ ได้ทำนายการมีอยู่ของคลื่นเลิฟทางคณิตศาสตร์ในปี 1911 คลื่นเลิฟเป็นคลื่นประเภทหนึ่งที่แตกต่างจากคลื่นแผ่นดินไหว ประเภทอื่น เช่นคลื่นพี (P wave)และคลื่นเอส (S wave ) (ทั้งสองเป็นคลื่นตัวกลาง ) หรือคลื่นเรย์ลี (Rayleigh wave ) (คลื่นผิวดินอีกประเภทหนึ่ง) คลื่นเลิฟเคลื่อนที่ด้วยความเร็วต่ำกว่าคลื่นพีหรือคลื่นเอส แต่เร็วกว่าคลื่นเรย์ลี คลื่นเหล่านี้จะสังเกตได้เฉพาะเมื่อมีชั้นความเร็วต่ำอยู่เหนือชั้น/ชั้นย่อยความเร็วสูงเท่านั้น

การเคลื่อนที่ของอนุภาคในคลื่นเลิฟ (Love wave) จะก่อให้เกิดเส้นแนวนอนตั้งฉากกับทิศทางการแพร่กระจาย (กล่าวคือ เป็นคลื่นตามขวาง ) เมื่อเคลื่อนที่ลึกเข้าไปในวัสดุ การเคลื่อนที่อาจลดลงจนถึง "จุดนิ่ง" (node) แล้วจึงเพิ่มขึ้นและลดลงสลับกันไปเมื่อตรวจสอบชั้นอนุภาคที่ลึกลงไป แอมพลิจูดหรือการเคลื่อนที่สูงสุดของอนุภาค มักจะลดลงอย่างรวดเร็วเมื่อความลึกเพิ่มขึ้น

เนื่องจากคลื่นเลิฟเดินทางบนพื้นผิวโลก ความแรง (หรือแอมพลิจูด) ของคลื่นจึงลดลงแบบทวีคูณตามความลึกของแผ่นดินไหว อย่างไรก็ตาม เนื่องจากคลื่นเหล่านี้จำกัดอยู่เฉพาะบนพื้นผิว แอมพลิจูดจึงลดลงตามสัดส่วนเท่านั้น โดยที่แทนระยะทางที่คลื่นเดินทางจากจุดเกิดแผ่นดินไหว ดังนั้นคลื่นพื้นผิวจึงลดลงช้ากว่าคลื่นภายในซึ่งเดินทางในสามมิติ แผ่นดินไหวขนาดใหญ่อาจสร้างคลื่นเลิฟที่เดินทางรอบโลกหลายรอบก่อนที่จะสลายไป ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r}}}}$${\displaystyle r}$

เนื่องจากคลื่นแห่งความรักสลายตัวช้ามาก จึงเป็นคลื่นที่สร้างความเสียหายมากที่สุดนอกพื้นที่ศูนย์กลางหรือจุดกำเนิดของแผ่นดินไหว และเป็นคลื่นที่คนส่วนใหญ่รู้สึกได้โดยตรงระหว่างเกิดแผ่นดินไหว

ในอดีต มักคิดกันว่าสัตว์ต่างๆ เช่น แมวและสุนัข สามารถทำนายแผ่นดินไหวได้ก่อนที่จะเกิดขึ้น อย่างไรก็ตาม พวกมันมีความไวต่อการสั่นสะเทือนของพื้นดินมากกว่ามนุษย์ และสามารถตรวจจับคลื่นตัวกลางที่ละเอียดกว่าซึ่งนำหน้าคลื่นเลิฟ เช่น คลื่นพีและคลื่นเอสได้^{[ 1 ]}

การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้นของ วัสดุ ยืดหยุ่นเชิงเส้นสามารถเขียนได้ดังนี้: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )=\rho ~{\ddot {\mathbf {u} }}}$

โดยที่เป็นเวกเตอร์การกระจัดและเป็นเทนเซอร์ความแข็ง คลื่นเลิฟเป็นคำตอบพิเศษ ( ) ที่สอดคล้องกับระบบสมการนี้ โดยทั่วไปเราจะใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ( ) เพื่ออธิบายคลื่นเลิฟ ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle {\mathsf {C}}}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle x,y,z}$

พิจารณาสื่อยืดหยุ่นเชิงเส้นไอโซโทรปิกซึ่งคุณสมบัติความยืดหยุ่นเป็นฟังก์ชันของพิกัดเท่านั้น กล่าวคือพารามิเตอร์ของ Lamé และ ความหนาแน่นมวลสามารถแสดงได้เป็นการกระจัดที่เกิดจากคลื่น Love เป็นฟังก์ชันของเวลา ( ) มีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle z}$${\displaystyle \lambda (z),\mu (z),\rho (z)}$${\displaystyle (u,v,w)}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle u(x,y,z,t)=0~,~~v(x,y,z,t)={\hat {v}}(x,z,t)~,~~w(x,y,z,t)=0\,.}$

ดังนั้น คลื่นเหล่านี้จึงเป็น คลื่น เฉือนแอนติเพลนที่ตั้งฉากกับระนาบ ฟังก์ชันสามารถแสดงได้ในรูปของการซ้อนทับของคลื่นฮาร์มอนิกที่มีเลขคลื่น ( ) และความถี่ ( ) ที่แปรผัน พิจารณาคลื่นฮาร์มอนิกเดี่ยว นั่นคือ ${\displaystyle (x,z)}$${\displaystyle {\hat {v}}(x,z,t)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\hat {v}}(x,z,t)=V(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]}$

โดยที่คือหน่วยจินตนาการนั่นคือความเค้นที่เกิดจากการเคลื่อนที่เหล่านี้คือ ${\displaystyle i}$${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle \sigma _{xx}=0~,~~\sigma _{yy}=0~,~~\sigma _{zz}=0~,~~\tau _{zx}=0~,~~\tau _{yz}=\mu (z)\,{\frac {dV}{dz}}\,\exp[i(kx-\omega t)]~,~~\tau _{xy}=ik\mu (z)V(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]\,.}$

ถ้าเราแทนค่าการกระจัดที่สมมติขึ้นลงในสมการการอนุรักษ์โมเมนตัม เราจะได้สมการที่ง่ายขึ้น

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[\mu (z)\,{\frac {dV}{dz}}\right]=[k^{2}\,\mu (z)-\omega ^{2}\,\rho (z)]\,V(k,z,\omega )\,.}$

เงื่อนไขขอบเขตสำหรับคลื่นเลิฟคือแรงดึงที่ผิวอิสระต้องเป็นศูนย์ ข้อกำหนดอีกประการหนึ่งคือ ส่วนประกอบของความเค้น ในตัวกลางแบบชั้นต้องต่อเนื่องที่รอยต่อของชั้นต่างๆ ในการแปลง สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองให้เป็นสมการอันดับหนึ่งสองสมการ เราจะแสดงส่วนประกอบของความเค้นนี้ในรูปแบบ ${\displaystyle (z=0)}$${\displaystyle \tau _{yz}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \tau _{yz}=T(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]}$

เพื่อให้ได้สมการอนุรักษ์โมเมนตัมอันดับแรก

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}{\begin{bmatrix}V\\T\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1/\mu (z)\\k^{2}\,\mu (z)-\omega ^{2}\,\rho (z)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V\\T\end{bmatrix}}\,.}$

สมการข้างต้นอธิบายถึง ปัญหา ค่าลักษณะเฉพาะซึ่ง สามารถหา ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะที่ เป็นคำตอบได้ด้วย วิธีการเชิงตัวเลขหลาย วิธี อีกวิธีหนึ่งที่นิยมใช้และมีประสิทธิภาพคือ วิธี เมทริกซ์ตัวแพร่ (หรือเรียกว่า วิธี เมทริกซ์ )

• คลื่นตามยาว
• เฉือนระนาบตรงข้าม