ในทางฟิสิกส์การชนแบบยืดหยุ่นคือ กระบวนการ ชนกันระหว่างวัตถุ สองชิ้น โดยที่พลังงานจลน์ รวมของวัตถุทั้งสองยังคงเท่าเดิมทั้งก่อนและหลังการชน ในการชนแบบยืดหยุ่นที่สมบูรณ์แบบ จะไม่มีการเปลี่ยนพลังงานจลน์สุทธิไปเป็นพลังงานรูปแบบอื่น เช่นความร้อนเสียงหรือพลังงานศักยภาพ

ในการชนกันของวัตถุขนาดเล็ก พลังงานจลน์จะถูกแปลงเป็นพลังงานศักยภาพก่อน ซึ่งเกี่ยวข้องกับแรงผลักหรือแรงดึงดูดระหว่างอนุภาค (เมื่ออนุภาคเคลื่อนที่สวนทางกับแรงนี้ กล่าวคือ มุมระหว่างแรงและความเร็วสัมพัทธ์เป็นมุมป้าน) จากนั้นพลังงานศักยภาพนี้จะถูกแปลงกลับเป็นพลังงานจลน์อีกครั้ง (เมื่ออนุภาคเคลื่อนที่ไปตามแรงนี้ กล่าวคือ มุมระหว่างแรงและความเร็วสัมพัทธ์เป็นมุมแหลม)

การชนกันของอะตอมเป็นการชนแบบยืดหยุ่น ตัวอย่างเช่น การ กระเจิง ย้อนกลับของรัทเทอร์ฟอร์ด

กรณีพิเศษที่มีประโยชน์ของการชนแบบยืดหยุ่นคือเมื่อวัตถุทั้งสองมีมวลเท่ากัน ในกรณีนี้พวกมันจะแลกเปลี่ยนโมเมนตัมกัน เท่านั้น

โมเลกุล—ซึ่งแตกต่างจากอะตอม —ของแก๊สหรือของเหลวแทบจะไม่เกิดการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์แบบ เพราะพลังงานจลน์จะถูกแลกเปลี่ยนระหว่างการเคลื่อนที่เชิงเส้นและการเคลื่อนที่ ภายในของโมเลกุล ในแต่ละการชน ในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง การชนครึ่งหนึ่งจะเป็นการชนแบบไม่ยืดหยุ่น (คู่โมเลกุลมีพลังงานจลน์ในการเคลื่อนที่เชิงเส้นน้อยลงหลังการชนกว่าก่อนการชน) และอีกครึ่งหนึ่งอาจอธิบายได้ว่าเป็น "การชนแบบยืดหยุ่นยิ่งยวด" (มี พลังงานจลน์ มากขึ้นหลังการชนกว่าก่อนการชน) โดยเฉลี่ยแล้ว การชนของโมเลกุลสามารถถือได้ว่าเป็นการชนแบบยืดหยุ่นตราบใดที่การแผ่รังสีของวัตถุดำมีน้อยมากหรือไม่เล็ดลอดออกมา

ในกรณีของวัตถุขนาดใหญ่ การชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์แบบเป็นอุดมคติที่ไม่สามารถเกิดขึ้นได้จริงอย่างสมบูรณ์ แต่สามารถประมาณได้จากปฏิสัมพันธ์ของวัตถุต่างๆ เช่นลูก บิลเลียด

เมื่อพิจารณาถึงพลังงานพลังงานการหมุน ที่อาจเกิด ขึ้นก่อนหรือหลังการชนก็อาจมีบทบาทเช่นกัน

ในการชนกันใดๆ ที่ไม่มีแรงภายนอกมา กระทำ โมเมนตัมจะถูกอนุรักษ์ แต่ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์ก็จะถูกอนุรักษ์เช่นกัน^{[ 1 ]}พิจารณาอนุภาค A และ B ที่มีมวลm _A , m _Bและความเร็วv _A1 , v _B1ก่อนการชน และv _A2 , v _B2หลังการชน การอนุรักษ์โมเมนตัมก่อนและหลังการชนแสดงได้ดังนี้: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}\ =\ m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}.}$$

ในการชนแบบยืดหยุ่นพลังงานจลน์จะถูกอนุรักษ์และสามารถแสดงได้ดังนี้: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m_{A}v_{A1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{B}v_{B1}^{2}\ =\ {\tfrac {1}{2}}m_{A}v_{A2}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{B}v_{B2}^{2}.}$$

สมการเหล่านี้สามารถแก้ไขได้โดยตรงเพื่อหาค่าเมื่อทราบค่า: ^{[ 2 ]}${\displaystyle v_{A2},v_{B2}}$${\displaystyle v_{A1},v_{B1}}$

$${\displaystyle {\begin{array}{ccc}v_{A2}&=&{\dfrac {m_{A}-m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}v_{A1}+{\dfrac {2m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}v_{B1}\\[.5em]v_{B2}&=&{\dfrac {2m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}v_{A1}+{\dfrac {m_{B}-m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}v_{B1}.\end{array}}}$$

ถ้ามวลทั้งสองเท่ากัน เราจะมีคำตอบที่ง่ายมาก: ซึ่งสอดคล้องกับการที่วัตถุแลกเปลี่ยนความเร็วเริ่มต้นซึ่งกันและกัน^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{A2}&=v_{B1}\\v_{B2}&=v_{A1}.\end{aligned}}}$$

ดังที่คาดไว้ คำตอบจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเพิ่มค่าคงที่ให้กับความเร็วทั้งหมด ( ทฤษฎีสัมพัทธภาพแบบกาลิเลโอ ) ซึ่งก็เหมือนกับการใช้กรอบอ้างอิงที่มีความเร็วในการเคลื่อนที่คงที่ อันที่จริง ในการหาอนุพันธ์ของสมการ เราอาจเปลี่ยนกรอบอ้างอิงก่อนเพื่อให้ความเร็วที่ทราบค่าหนึ่งเป็นศูนย์ กำหนดความเร็วที่ไม่ทราบค่าในกรอบอ้างอิงใหม่ แล้วแปลงกลับไปยังกรอบอ้างอิงเดิม

ก่อนการชน

ลูกบอล A: มวล = 3 กิโลกรัม, ความเร็ว = 4 เมตร/วินาที

ลูกบอล B: มวล = 5 กก., ความเร็ว = -4 ม./วินาที

หลังจากการชน

ลูกบอล A: ความเร็ว = −6 ม./วินาที

ลูกบอล B: ความเร็ว = 2 เมตร/วินาที

อีกสถานการณ์หนึ่ง:

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงกรณีที่มวลเท่ากัน ${\displaystyle m_{A}=m_{B}}$

ในกรณีจำกัดที่มีขนาดใหญ่กว่ามากเช่น ไม้ปิงปองกระทบลูกปิงปองหรือรถ SUV ชนถังขยะ มวลที่หนักกว่าแทบจะไม่เปลี่ยนแปลงความเร็ว ในขณะที่มวลที่เบากว่าจะกระเด็นออกไปโดยเปลี่ยนทิศทางความเร็วบวกกับความเร็วประมาณสองเท่าของมวลที่หนักกว่า^{[ 3 ]}${\displaystyle m_{A}}$${\displaystyle m_{B}}$

ในกรณีที่ค่า มีขนาดใหญ่ค่าของจะมีขนาดเล็กหากมวลใกล้เคียงกัน กล่าวคือ การชนอนุภาคที่เบากว่ามากจะไม่ทำให้ความเร็วเปลี่ยนแปลงมากนัก ในขณะที่การชนอนุภาคที่หนักกว่ามากจะทำให้อนุภาคที่เร็วพุ่งกลับด้วยความเร็วสูง นี่คือเหตุผลที่ตัวลดความเร็วของนิวตรอน (ตัวกลางที่ลดความเร็วของนิวตรอนเร็วทำให้มันกลายเป็นนิวตรอนความร้อนที่สามารถทำให้เกิดปฏิกิริยาลูกโซ่ ได้) เป็นวัสดุที่เต็มไปด้วยอะตอมที่มีนิวเคลียสเบาซึ่งไม่ดูด ซับ นิวตรอนได้ง่าย กล่าวคือ นิวเคลียสที่เบาที่สุดมีมวลประมาณเท่ากับนิวตรอน${\displaystyle v_{A1}}$${\displaystyle v_{A2}}$

เพื่อหาที่มาของสมการข้างต้นสำหรับการจัดเรียงสมการพลังงานจลน์และโมเมนตัมใหม่: ${\displaystyle v_{A2},v_{B2},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{A}(v_{A2}^{2}-v_{A1}^{2})&=m_{B}(v_{B1}^{2}-v_{B2}^{2})\\m_{A}(v_{A2}-v_{A1})&=m_{B}(v_{B1}-v_{B2})\end{aligned}}}$$

เมื่อหารทั้งสองข้างของสมการด้านบนด้วยทั้งสองข้างของสมการด้านล่าง แล้วนำไปใช้ จะได้: ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}-b^{2}}{(ab)}}=a+b,}$

$${\displaystyle v_{A2}+v_{A1}=v_{B1}+v_{B2}\quad \ลูกศรขวา \quad v_{A2}-v_{B2}=v_{B1}-v_{A1}}$$

กล่าวคือ ความเร็วสัมพัทธ์ของอนุภาคหนึ่งเทียบกับอีกอนุภาคหนึ่งจะกลับทิศทางเนื่องจากการชนกัน

สูตรข้างต้นได้มาจากการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสำหรับ โดยพิจารณาจาก ${\displaystyle v_{A2},v_{B2},}$

${\displaystyle m_{A},m_{B},v_{A1},v_{B1}}$

เป็นค่าคงที่:

$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcc}v_{A2}&-&v_{B2}&=&v_{B1}-v_{A1}\\m_{A}v_{A1}&+&m_{B}v_{B1}&=&m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}.\end{array}}\right.}$$ เมื่อกำหนดได้แล้วก็สามารถหาได้โดยใช้สมมาตร ${\displaystyle v_{A2}}$${\displaystyle v_{B2}}$

เมื่อพิจารณาจากจุดศูนย์กลางมวล ความเร็วของทั้งสองจะกลับทิศทางเนื่องจากการชนกัน กล่าวคือ อนุภาคหนักจะเคลื่อนที่ช้าๆ เข้าหาจุดศูนย์กลางมวล และกระเด้งกลับด้วยความเร็วต่ำเท่าเดิม ในขณะที่อนุภาคเบาจะเคลื่อนที่เร็วเข้าหาจุดศูนย์กลางมวล และกระเด้งกลับด้วยความเร็วสูงเท่าเดิม

ความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลไม่เปลี่ยนแปลงเนื่องจากการชน เพื่อให้เห็นภาพนี้ ลองพิจารณาจุดศูนย์กลางมวล ณ เวลาก่อนการชนและเวลาหลังการชน: ${\displaystyle t}$${\displaystyle t'}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}(t)&={\frac {m_{A}x_{A}(t)+m_{B}x_{B}(t)}{m_{A}+m_{B}}}\\{\bar {x}}(t')&={\frac {m_{A}x_{A}(t')+m_{B}x_{B}(t')}{m_{A}+m_{B}}}.\end{aligned}}}$$

ดังนั้น ความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลก่อนและหลังการชนคือ: $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\bar {x}}&={\frac {m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}}{m_{A}+m_{B}}}\\v_{\bar {x}}'&={\frac {m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}}{m_{A}+m_{B}}}.\end{aligned}}}$$

ตัวเศษของและ คือโมเมนตัมรวมก่อนและหลังการชน เนื่องจากโมเมนตัมถูกอนุรักษ์ เราจึงได้${\displaystyle v_{\bar {x}}}$${\displaystyle v_{\bar {x}}'}$${\displaystyle v_{\bar {x}}=v_{\bar {x}}'\,.}$

ตาม ทฤษฎีสั ม พัทธภาพพิเศษpแทนโมเมนตัมของอนุภาคใดๆ ที่มีมวล m , v แทนความเร็ว และcคือความเร็วแสง $${\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

ในกรอบอ้างอิงศูนย์กลางโมเมนตัมที่โมเมนตัมรวมเท่ากับศูนย์ $${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=-p_{2}\\p_{1}^{2}&=p_{2}^{2}\\E&={\sqrt {m_{1}^{2}c^{4}+p_{1}^{2}c^{2}}}+{\sqrt {m_{2}^{2}c^{4}+p_{2}^{2}c^{2}}}\\p_{1}&=\pm {\frac {\sqrt {E^{4}-2E^{2}m_{1}^{2}c^{4}-2E^{2}m_{2}^{2}c^{4}+m_{1}^{4}c^{8}-2m_{1}^{2}m_{2}^{2}c^{8}+m_{2}^{4}c^{8}}}{2cE}}\\u_{1}&=-v_{1}.\end{aligned}}}$$

ในที่นี้แทนถึงมวลนิ่งของวัตถุทั้งสองที่ชนกันแทนถึงความเร็วของวัตถุทั้งสองก่อนการชน แทนถึงความเร็วของวัตถุทั้งสองหลังการชน แทนถึงโมเมนตัมของวัตถุ ทั้งสอง คือความเร็วแสงในสุญญากาศ และแทนถึงพลังงานรวม ซึ่งเป็นผลรวมของมวลนิ่งและพลังงานจลน์ของวัตถุทั้งสอง ${\displaystyle m_{1},m_{2}}$${\displaystyle u_{1},u_{2}}$${\displaystyle v_{1},v_{2}}$${\displaystyle p_{1},p_{2}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle E}$

เนื่องจากพลังงานและโมเมนตัมรวมของระบบได้รับการอนุรักษ์ และมวลนิ่งของวัตถุไม่เปลี่ยนแปลง จึงแสดงให้เห็นว่าโมเมนตัมของวัตถุที่ชนกันนั้นถูกกำหนดโดยมวลนิ่ง พลังงานรวม และโมเมนตัมรวมของวัตถุที่ชนกัน เมื่อเทียบกับกรอบอ้างอิงศูนย์กลางโมเมนตัมโมเมนตัมของวัตถุที่ชนกันแต่ละชิ้นจะไม่เปลี่ยนแปลงขนาดหลังการชน แต่ทิศทางการเคลื่อนที่จะเปลี่ยนทิศทาง

เมื่อเปรียบเทียบกับกลศาสตร์คลาสสิกซึ่งให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำในการจัดการกับวัตถุขนาดใหญ่ที่เคลื่อนที่ช้ากว่าความเร็วแสง มาก โมเมนตัมรวมของวัตถุสองชิ้นที่ชนกันนั้นขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิง ในกรอบอ้างอิงศูนย์กลางโมเมนตัมตามกลศาสตร์คลาสสิกแล้ว

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=0\\m_{1}u_{1}^{2}+m_{2}u_{2}^{2}&=m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}\\{\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{2}}}&={\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{2}}}\\(m_{1}+m_{2})(m_{2}u_{2})^{2}&=(m_{1}+m_{2})(m_{2}v_{2})^{2}\\u_{2}&=-v_{2}\\{\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{2}}}&={\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{2}}}\\(m_{1}+m_{2})(m_{1}u_{1})^{2}&=(m_{1}+m_{2})(m_{1}v_{1})^{2}\\u_{1}&=-v_{1}\,.\end{aligned}}}$$

ผลลัพธ์นี้สอดคล้องกับการคำนวณเชิงสัมพัทธภาพแม้จะมีข้อแตกต่างอื่นๆ ก็ตาม ${\displaystyle u_{1}=-v_{1},}$

หนึ่งในสมมติฐานของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษระบุว่า กฎทางฟิสิกส์ เช่น การอนุรักษ์โมเมนตัม ควรจะไม่เปลี่ยนแปลงในกรอบอ้างอิงเฉื่อยทุกกรอบ ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยทั่วไปที่โมเมนตัมรวมอาจเป็นค่าใดๆ ก็ได้

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {m_{1}\;u_{1}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;u_{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}&={\frac {m_{1}\;v_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;v_{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=p_{T}\\{\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}&={\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=E\end{aligned}}}$$ เราสามารถมองวัตถุเคลื่อนที่ทั้งสองเป็นระบบเดียว โดยที่โมเมนตัมรวมคือพลังงานรวมคือและความเร็วคือความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล เมื่อเทียบกับกรอบอ้างอิงของจุดศูนย์กลางโมเมนตัม โมเมนตัมรวมจะมีค่าเท่ากับศูนย์ สามารถแสดงได้ว่ากำหนดโดย: ตอนนี้ความเร็วก่อนการชนในกรอบอ้างอิงของจุดศูนย์กลางโมเมนตัมและคือ: ${\displaystyle p_{T},}$${\displaystyle E}$${\displaystyle v_{c}}$${\displaystyle v_{c}}$$${\displaystyle v_{c}={\frac {p_{T}c^{2}}{E}}}$$${\displaystyle u_{1}'}$${\displaystyle u_{2}'}$$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}'&={\frac {u_{1}-v_{c}}{1-{\frac {u_{1}v_{c}}{c^{2}}}}}\\u_{2}'&={\frac {u_{2}-v_{c}}{1-{\frac {u_{2}v_{c}}{c^{2}}}}}\\v_{1}'&=-u_{1}'\\v_{2}'&=-u_{2}'\\v_{1}&={\frac {v_{1}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{1}'v_{c}}{c^{2}}}}}\\v_{2}&={\frac {v_{2}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{2}'v_{c}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}}$$

เมื่อไหร่และ${\displaystyle u_{1}\ll c}$${\displaystyle u_{2}\ll c\,,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{T}&\approx m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}\\v_{c}&\approx {\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\u_{1}'&\approx u_{1}-v_{c}\approx {\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{1}-m_{1}u_{1}-m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{2}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}\\u_{2}'&\approx {\frac {m_{1}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{1}'&\approx {\frac {m_{2}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{2}'&\approx {\frac {m_{1}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{1}&\approx v_{1}'+v_{c}\approx {\frac {m_{2}u_{2}-m_{2}u_{1}+m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{2}&\approx {\frac {u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\end{aligned}}}$$

ดังนั้น การคำนวณแบบคลาสสิกจึงยังคงใช้ได้เมื่อความเร็วของวัตถุทั้งสองที่ชนกันนั้นต่ำกว่าความเร็วแสงมาก (~300,000 กิโลเมตรต่อวินาที)

โดยใช้สิ่งที่เรียกว่าพารามิเตอร์ความเร็ว (โดยทั่วไปเรียกว่าความรวดเร็ว ) ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle {\frac {v}{c}}=\tanh(s),}$$ เราได้รับ $${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=\operatorname {sech} (s).}$$

พลังงานและโมเมนตัมเชิงสัมพัทธภาพแสดงได้ดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc^{2}\cosh(s)\\p&={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc\sinh(s)\end{aligned}}}$$

สมการผลรวมของพลังงานและโมเมนตัมของมวลที่ชนกัน ( และความเร็วสอดคล้องกับพารามิเตอร์ความเร็ว) หลังจากหารด้วยกำลังที่เหมาะสมแล้วมีดังนี้: ${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2},}$${\displaystyle v_{1},v_{2},u_{1},u_{2}}$${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}}$${\displaystyle c}$$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}\cosh(s_{1})+m_{2}\cosh(s_{2})&=m_{1}\cosh(s_{3})+m_{2}\cosh(s_{4})\\m_{1}\sinh(s_{1})+m_{2}\sinh(s_{2})&=m_{1}\sinh(s_{3})+m_{2}\sinh(s_{4})\end{aligned}}}$$

และสมการที่ขึ้นอยู่กัน ซึ่งเป็นผลรวมของสมการข้างต้น: $${\displaystyle m_{1}e^{s_{1}}+m_{2}e^{s_{2}}=m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}$$

ลบกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ "โมเมนตัม" ออกจาก "พลังงาน" และใช้เอกลักษณ์หลังจากทำให้ง่ายขึ้นแล้วจะได้: ${\textstyle \cosh ^{2}(s)-\sinh ^{2}(s)=1,}$$${\displaystyle 2m_{1}m_{2}(\cosh(s_{1})\cosh(s_{2})-\sinh(s_{2})\sinh(s_{1}))=2m_{1}m_{2}(\cosh(s_{3})\cosh(s_{4})-\sinh(s_{4})\sinh(s_{3}))}$$

สำหรับมวลที่ไม่เป็นศูนย์ โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติไฮเปอร์โบลิกเราจะได้: ${\textstyle \cosh(a-b)=\cosh(a)\cosh(b)-\sinh(b)\sinh(a),}$$${\displaystyle \cosh(s_{1}-s_{2})=\cosh(s_{3}-s_{4})}$$

เนื่องจากฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันคู่ เราจึงได้สองคำตอบ: จากสมการสุดท้าย ซึ่งนำไปสู่คำตอบที่ไม่ใช่คำตอบศูนย์ เราแก้สมการและแทนค่าลงในสมการที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร เราจะได้และจากนั้นเราก็จะได้: ${\displaystyle \cosh(s)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}-s_{2}&=s_{3}-s_{4}\\s_{1}-s_{2}&=-s_{3}+s_{4}\end{aligned}}}$$${\displaystyle s_{2}}$${\displaystyle e^{s_{1}}}$${\displaystyle e^{s_{2}},}$$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{s_{1}}&=e^{s_{4}}{\frac {m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}{m_{1}e^{s_{4}}+m_{2}e^{s_{3}}}}\\e^{s_{2}}&=e^{s_{3}}{\frac {m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}{m_{1}e^{s_{4}}+m_{2}e^{s_{3}}}}\end{aligned}}}$$

นี่คือวิธีแก้ปัญหา แต่แสดงออกมาในรูปของพารามิเตอร์ความเร็ว การแทนค่ากลับเพื่อให้ได้คำตอบสำหรับความเร็วคือ: $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}/c&=\tanh(s_{1})={\frac {e^{s_{1}}-e^{-s_{1}}}{e^{s_{1}}+e^{-s_{1}}}}\\v_{2}/c&=\tanh(s_{2})={\frac {e^{s_{2}}-e^{-s_{2}}}{e^{s_{2}}+e^{-s_{2}}}}\end{aligned}}}$$

แทนที่คำตอบก่อนหน้าและแทนที่ด้วย: และหลังจากการแปลงที่ยาวนาน โดยการแทนที่: เราจะได้: ${\displaystyle e^{s_{3}}={\sqrt {\frac {c+u_{1}}{c-u_{1}}}}}$${\displaystyle e^{s_{4}}={\sqrt {\frac {c+u_{2}}{c-u_{2}}}},}$${\textstyle Z={\sqrt {\left(1-u_{1}^{2}/c^{2}\right)\left(1-u_{2}^{2}/c^{2}\right)}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{2}Z+2m_{2}^{2}c^{2}u_{2}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})c^{2}u_{1}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{2}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}\\v_{2}&={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{1}Z+2m_{1}^{2}c^{2}u_{1}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}^{2}u_{2}+(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})c^{2}u_{2}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{1}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})u_{1}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}\,.\end{aligned}}}$$

สำหรับกรณีของวัตถุสองชิ้นที่ไม่หมุนและชนกันในสองมิติ การเคลื่อนที่ของวัตถุจะถูกกำหนดโดยกฎการอนุรักษ์สามข้อ ได้แก่ โมเมนตัม พลังงานจลน์ และโมเมนตัมเชิงมุมความเร็วโดยรวมของแต่ละวัตถุจะต้องถูกแบ่งออกเป็นสองความเร็วที่ตั้งฉากกัน คือ ความเร็วหนึ่งสัมผัสกับระนาบปกติร่วมของวัตถุที่ชนกัน ณ จุดสัมผัส และอีกความเร็วหนึ่งอยู่ตามแนวเส้นการชน เนื่องจากแรงที่กระทำต่อการชนจะเกิดขึ้นเฉพาะตามแนวเส้นการชนเท่านั้น ความเร็วที่สัมผัสกับจุดชนจึงไม่เปลี่ยนแปลง ความเร็วตามแนวเส้นการชนเหล่านี้สามารถนำไปใช้ในสมการเดียวกับการชนในหนึ่งมิติได้ จากนั้นจึงสามารถคำนวณความเร็วสุดท้ายได้จากความเร็วสองส่วนประกอบใหม่ และจะขึ้นอยู่กับจุดชน การศึกษาการชนกันในสองมิติได้ดำเนินการกับวัตถุหลายชนิดในกรอบของก๊าซสองมิติ

ในกรอบอ้างอิงของจุดศูนย์กลางโมเมนตัมณ เวลาใดๆ ความเร็วของวัตถุทั้งสองจะอยู่ในทิศทางตรงกันข้าม โดยขนาดของความเร็วแปรผกผันกับมวล ในการชนแบบยืดหยุ่น ขนาดของความเร็วจะไม่เปลี่ยนแปลง ทิศทางอาจเปลี่ยนแปลงได้ขึ้นอยู่กับรูปร่างของวัตถุและจุดที่เกิดการชน ตัวอย่างเช่น ในกรณีของทรงกลม มุมจะขึ้นอยู่กับระยะห่างระหว่างเส้นทาง (ขนาน) ของจุดศูนย์กลางของวัตถุทั้งสอง การเปลี่ยนแปลงทิศทางที่ไม่เป็นศูนย์นั้นเป็นไปได้ หากระยะห่างนี้เป็นศูนย์ ความเร็วจะกลับทิศทางในการชน หากระยะห่างนี้ใกล้เคียงกับผลรวมของรัศมีของทรงกลม วัตถุทั้งสองจะเบี่ยงเบนไปเพียงเล็กน้อย

สมมติว่าอนุภาคที่สองหยุดนิ่งก่อนการชน มุมเบี่ยงเบนของอนุภาคทั้งสองและเกี่ยวข้องกับมุมเบี่ยงเบนในระบบศูนย์กลางมวลโดย^{[ 4 ​​]} ขนาดของความเร็วของอนุภาคหลังการชนคือ: ${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle \tan \theta _{1}={\frac {m_{2}\sin \theta }{m_{1}+m_{2}\cos \theta }},\qquad \theta _{2}={\frac {{\pi }-{\theta }}{2}}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}v'_{1}&=v_{1}{\frac {\sqrt {m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2m_{1}m_{2}\cos \theta }}{m_{1}+m_{2}}}\\v'_{2}&=v_{1}{\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\sin {\frac {\theta }{2}}.\end{aligned}}}$$

ส่วนประกอบความเร็ว x และ y สุดท้ายของลูกบอลลูกแรกสามารถคำนวณได้ดังนี้: ^{[ 5 ]} โดยที่v ₁และv ₂คือขนาดสเกลาร์ของความเร็วเดิมสองค่าของวัตถุm ₁และm ₂คือมวลของวัตถุθ ₁และθ ₂คือมุมการเคลื่อนที่ของวัตถุ(หมายความว่าการเคลื่อนที่ลงตรงๆ ไปทางขวาจะเป็นมุม −45° หรือมุม 315°) และ phi ตัวเล็ก ( φ ) คือมุมสัมผัส (เพื่อให้ได้ ความเร็ว xและyของลูกบอลลูกที่สอง จำเป็นต้องเปลี่ยนตัวห้อย '1' ทั้งหมดเป็นตัวห้อย '2') $${\displaystyle {\begin{aligned}v'_{1x}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\cos(\varphi )+v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\cos(\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})\\[0.8em]v'_{1y}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\sin(\varphi )+v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\sin(\varphi +{\tfrac {\pi }{2}}),\end{aligned}}}$$${\displaystyle v_{1x}=v_{1}\cos \theta _{1},\;v_{1y}=v_{1}\sin \theta _{1}}$

สมการนี้ได้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าปฏิสัมพันธ์ระหว่างวัตถุทั้งสองสามารถคำนวณได้ง่ายตามมุมสัมผัส ซึ่งหมายความว่าความเร็วของวัตถุสามารถคำนวณได้ในมิติเดียวโดยการหมุนแกน x และ y ให้ขนานกับมุมสัมผัสของวัตถุ จากนั้นหมุนกลับไปยังทิศทางเดิมเพื่อให้ได้ส่วนประกอบ x และ y ที่แท้จริงของความเร็ว^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

ในการแสดงผลแบบไม่คำนึงถึงมุม ความเร็วที่เปลี่ยนแปลงจะถูกคำนวณโดยใช้จุดศูนย์กลางx ₁และx ₂ณ เวลาที่เกิดการสัมผัส ดังนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} '_{1}&=\mathbf {v} _{1}-{\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2},\,\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\rangle }{\|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\|^{2}}}\ (\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}),\\\mathbf {v} '_{2}&=\mathbf {v} _{2}-{\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1},\,\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\rangle }{\|\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\|^{2}}}\ (\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1})\end{aligned}}}$$

1

โดยวงเล็บเหลี่ยมแสดงถึงผลคูณภายใน (หรือผลคูณดอท ) ของเวกเตอร์สองตัว

ในกรณีเฉพาะของอนุภาคที่มีมวลเท่ากัน สามารถตรวจสอบได้โดยตรงจากการคำนวณจากผลลัพธ์ข้างต้นว่าผลคูณสเกลาร์ของความเร็วก่อนและหลังการชนนั้นเท่ากัน นั่นคือแม้ว่าผลคูณนี้จะไม่ใช่ค่าคงที่แบบบวกในลักษณะเดียวกับโมเมนตัมและพลังงานจลน์สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น แต่ดูเหมือนว่าการรักษาปริมาณนี้ไว้จะสามารถนำมาใช้เพื่อหาอนุพันธ์ของกฎการอนุรักษ์ลำดับที่สูงกว่าได้^{[ 12 ]}${\displaystyle \langle \mathbf {v} '_{1},\mathbf {v} '_{2}\rangle =\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle .}$

แรงดล${\displaystyle \mathbf {J} }$ระหว่างการชนกันของแต่ละอนุภาคคือ:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p'_{1}} -\mathbf {p_{1}} &=\mathbf {J_{1}} ,\\\mathbf {p'_{2}} -\mathbf {p_{2}} &=\mathbf {J_{2}} \end{aligned}}}$$

2

การอนุรักษ์โมเมนตัมหมายความว่า ... ${\displaystyle \mathbf {J} \equiv \mathbf {J_{1}} =-\mathbf {J_{2}} }$

เนื่องจากแรงระหว่างการชนตั้งฉากกับพื้นผิวของอนุภาคทั้งสอง ณ จุดสัมผัส แรงดลจึงอยู่ตามแนวเส้นที่ขนานกับเวกเตอร์สัมพัทธ์ระหว่างจุดศูนย์กลางของอนุภาค ณ เวลาที่ชนกัน: ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\equiv \Delta \mathbf {x} }$

${\displaystyle \mathbf {J} =\lambda \,\mathbf {\hat {n}} ,}$สำหรับบางคนยังต้องพิจารณาและตัดสินใจ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} \equiv {\frac {\Delta \mathbf {x} }{\|\Delta \mathbf {x} \|}}}$

จากนั้นจาก ( 2 ):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v'_{1}} &=\mathbf {v_{1}} +{\frac {\lambda }{m_{1}}}\mathbf {\hat {n}} ,\\\mathbf {v'_{2}} &=\mathbf {v_{2}} -{\frac {\lambda }{m_{2}}}\mathbf {\hat {n}} \end{aligned}}}$$

3

จากสมการข้างต้น ตามหลักการอนุรักษ์พลังงานจลน์:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m_{1}\|\mathbf {v} _{1}\|^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}\|\mathbf {v} _{2}\|^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}\|\mathbf {v} _{1}'\|^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}\|\mathbf {v} _{2}'\|^{2}}$

ซึ่งทำให้ง่ายขึ้นเป็น

${\displaystyle \lambda ^{2}{\frac {m_{1}+m_{2}}{m_{1}m_{2}}}+2\lambda \,\langle \mathbf {\hat {n}} ,\Delta \mathbf {v} \rangle =0,\quad }$กับ${\displaystyle \quad \Delta \mathbf {v} \equiv \mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}.}$

( คำแนะนำ : และใช้คุณสมบัติความเป็นเส้นตรงและความสมมาตรของผลคูณภายใน) ${\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }$

คำตอบทั้งสองของสมการนี้คือและโดยที่สอดคล้องกับกรณีที่ไม่มีการชนกัน เมื่อแทนค่าที่ไม่ธรรมดาของใน ( 3 ) เราจะได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ ( 1 ) ${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle \lambda =-2{\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\langle \mathbf {\hat {n}} ,\Delta \mathbf {v} \rangle }$${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle \lambda }$

เนื่องจากสมการทั้งหมดอยู่ในรูปแบบเวกเตอร์ การพิสูจน์นี้จึงใช้ได้กับสามมิติที่มีทรงกลมด้วยเช่นกัน

• การชนกัน
• การชนแบบไม่ยืดหยุ่น
• สัมประสิทธิ์การคืนตัว
• การชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์

• การแก้ปัญหาการชนกันของวัตถุแข็งในสามมิติรวมถึงการหาที่มาโดยใช้กฎการอนุรักษ์