ในวิชาฟิสิกส์เวกเตอร์พอยน์ติง (หรือเวกเตอร์อูมอฟ-พอยน์ติง ) แสดงถึงการไหลของพลังงาน ในทิศทาง (การถ่ายโอนพลังงานต่อหน่วยพื้นที่ ต่อหน่วยเวลา) หรือการไหลของพลังงานในสนามแม่เหล็กไฟฟ้าหน่วยSIของเวกเตอร์พอยน์ติงคือวัตต์ต่อตารางเมตร (W/m² ⁾ ; kg/s³ ^ในหน่วยฐาน SIตั้งชื่อตามผู้ค้นพบคือจอห์น เฮนรี พอยน์ติงซึ่งเป็นผู้คิดค้นขึ้นครั้งแรกในปี 1884 ^{[ 1 ] :132} นิโคไล อูมอฟก็ได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้คิดค้นแนวคิดนี้เช่นกัน^{[ 2 ]}โอลิเวอร์ เฮวิไซด์ก็ค้นพบมันอย่างอิสระในรูปแบบทั่วไปที่ยอมรับอิสระในการเพิ่มเคิร์ลของสนามเวกเตอร์ใดๆ ลงในคำจำกัดความ^{[ 3 ]} เวกเตอร์พอยน์ติงถูกใช้ในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้าควบคู่ไปกับทฤษฎีบทของพอยน์ติงซึ่งเป็นสมการความต่อเนื่องที่แสดงถึงการอนุรักษ์พลังงานแม่เหล็กไฟฟ้าเพื่อคำนวณการไหลของพลังงานในสนามแม่เหล็กไฟฟ้า

ในเอกสารต้นฉบับของ Poynting และในตำราส่วนใหญ่ เวกเตอร์ Poynting ถูกกำหนดให้เป็นผลคูณไขว้^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} โดยที่ตัวอักษรตัวหนาแทนเวกเตอร์และ ${\displaystyle \mathbf {S} }$$${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} ,}$$

• Eคือ เวกเตอร์ สนามไฟฟ้า ;
• Hคือ เวกเตอร์สนามเสริมหรือ สนามแม่เหล็กของสนามแม่เหล็กหลัก

การแสดงออกนี้มักเรียกว่ารูปแบบอับราฮัม และเป็น รูป แบบ ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุด^{[ 7 ]}เวกเตอร์ Poynting มักจะแสดงด้วยSหรือN

กล่าวโดยง่าย เวกเตอร์พอยน์ติงSณจุดใดจุดหนึ่งแสดงถึงขนาดและทิศทางของความหนาแน่นพลังงานพื้นผิวที่เกิดจากสนามแม่เหล็กไฟฟ้าณ จุดนั้น ในเชิงวิชาการมากขึ้น เวกเตอร์พอยน์ติงคือปริมาณที่ต้องใช้เพื่อให้ทฤษฎีบทของพอยน์ติงมีความถูกต้อง ทฤษฎีบทของพอยน์ติงกล่าวโดยพื้นฐานว่า ผลต่างระหว่างพลังงานแม่เหล็กไฟฟ้าที่เข้าสู่บริเวณหนึ่งกับพลังงานแม่เหล็กไฟฟ้าที่ออกจากบริเวณนั้น จะต้องเท่ากับพลังงานที่ถูกแปลงหรือสลายไปในบริเวณนั้น กล่าวคือ เปลี่ยนไปเป็นพลังงานรูปแบบอื่น (มักจะเป็นความร้อน) ทฤษฎีบทของพอยน์ติงเป็นเพียงคำกล่าวเกี่ยวกับการ อนุรักษ์พลังงาน ในระดับท้องถิ่น

หากพลังงานแม่เหล็กไฟฟ้าไม่ได้รับหรือสูญเสียไปกับพลังงานรูปแบบอื่นภายในบริเวณใดบริเวณหนึ่ง (เช่น พลังงานกลหรือความร้อน) พลังงานแม่เหล็กไฟฟ้าก็จะถูกอนุรักษ์ไว้ในบริเวณนั้น ทำให้ได้สมการความต่อเนื่องซึ่งเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของพอยน์ติง: โดยที่คือความหนาแน่นของพลังงานของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า เงื่อนไขที่พบได้บ่อยนี้เป็นจริงในตัวอย่างง่ายๆ ต่อไปนี้ ซึ่งเวกเตอร์พอยน์ติงได้รับการคำนวณและพบว่าสอดคล้องกับการคำนวณกำลังไฟฟ้าในวงจรไฟฟ้าตามปกติ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} =-{\frac {\partial u}{\partial t}}}$$${\displaystyle u}$

เราสามารถหาคำตอบที่ค่อนข้างง่ายได้ในกรณีของการส่งกำลังไฟฟ้าผ่านสายเคเบิลโคแอกเซียล ส่วนหนึ่ง ที่วิเคราะห์ในพิกัดทรงกระบอก ดังแสดงในแผนภาพประกอบ สมมาตรของแบบจำลองบ่งชี้ว่าไม่มีการพึ่งพาค่าθ (สมมาตรแบบวงกลม) หรือค่าZ (ตำแหน่งตามแนวสายเคเบิล) แบบจำลอง (และคำตอบ) สามารถพิจารณาได้ง่ายๆ ว่าเป็นวงจร DC ที่ไม่ขึ้นอยู่กับเวลา แต่คำตอบต่อไปนี้ก็ใช้ได้ดีเช่นกันกับการส่งกำลังไฟฟ้าความถี่วิทยุ ตราบใดที่เราพิจารณาช่วงเวลาหนึ่ง (ซึ่งแรงดันและกระแสไม่เปลี่ยนแปลง) และผ่านส่วนของสายเคเบิลที่สั้นเพียงพอ (สั้นกว่าความยาวคลื่นมาก ดังนั้นปริมาณเหล่านี้จึงไม่ขึ้นอยู่กับค่า Z )

สายเคเบิลโคแอกเซียลถูกกำหนดให้มีตัวนำ ภายใน ที่มีรัศมีR ₁และตัวนำภายนอกที่มีรัศมีภายในR ₂ (ความหนาที่เกินกว่าR ₂ไม่มีผลต่อการวิเคราะห์ต่อไปนี้) ระหว่างR ₁และR ₂สายเคเบิลประกอบด้วยวัสดุไดอิเล็กท ริกในอุดมคติที่ มีค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าสัมพัทธ์ε _rและเราสมมติว่าตัวนำไม่มีคุณสมบัติทางแม่เหล็ก (ดังนั้นμ = μ ₀ ) และไม่มีการสูญเสีย (ตัวนำที่สมบูรณ์แบบ) ซึ่งทั้งหมดนี้เป็นการประมาณที่ดีสำหรับสายเคเบิลโคแอกเซียลในโลกแห่งความเป็นจริงในสถานการณ์ทั่วไป

ตัวนำกลางมีแรงดันVและดึงกระแสIไปทางขวา ดังนั้นเราคาดว่ากำลังไฟฟ้ารวมจะเท่ากับP = V · Iตามกฎพื้นฐานของไฟฟ้าอย่างไรก็ตาม โดยการประเมินเวกเตอร์ Poynting เราสามารถระบุลักษณะของกำลังไฟฟ้าที่ไหลในแง่ของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กภายในสายเคเบิลโคแอกเซียลได้ สนามไฟฟ้าเป็นศูนย์ภายในตัวนำแต่ละตัว แต่ระหว่างตัวนำ ( ) สมมาตรกำหนดว่าสนามไฟฟ้าอยู่ในทิศทางรัศมี และสามารถแสดงได้ (โดยใช้กฎของเกาส์ ) ว่าต้องเป็นไปตามรูปแบบต่อไปนี้: Wสามารถประเมินได้โดยการอินทิเกรตสนามไฟฟ้าจากถึงซึ่งต้องเป็นค่าลบของแรงดันV : ดังนั้น: ${\displaystyle R_{1}<r<R_{2}}$$${\displaystyle E_{r}(r)={\frac {W}{r}}}$$${\displaystyle r=R_{2}}$${\displaystyle R_{1}}$$${\displaystyle -V=\int _{R_{2}}^{R_{1}}{\frac {W}{r}}dr=-W\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right)}$$$${\displaystyle W={\frac {V}{\ln(R_{2}/R_{1})}}}$$

เนื่องจากสมมาตร สนามแม่เหล็กจะมีค่าไม่เป็นศูนย์ได้เฉพาะใน ทิศทาง θ เท่านั้น กล่าวคือ เป็นสนามเวกเตอร์ที่วนรอบตัวนำตรงกลางที่รัศมีทุกค่าระหว่างR 1 _และ R 2 _{ภายใน}ตัวนำเอง สนามแม่เหล็กอาจเป็นศูนย์หรือไม่เป็นศูนย์ก็ได้ แต่เรื่องนี้ไม่สำคัญ เนื่องจากเวกเตอร์ Poynting ในบริเวณเหล่านี้เป็นศูนย์เพราะสนามไฟฟ้าเป็นศูนย์ ภายนอกสายเคเบิลโคแอกเซียลทั้งหมด สนามแม่เหล็กเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ เนื่องจากเส้นทางในบริเวณนี้มีกระแสสุทธิเป็นศูนย์ (+ Iในตัวนำตรงกลางและ − Iในตัวนำด้านนอก) และสนามไฟฟ้าก็เป็นศูนย์อยู่แล้วเช่นกัน โดยใช้กฎของแอมแปร์ในบริเวณตั้งแต่R ₁ถึงR ₂ซึ่งครอบคลุมกระแส + Iในตัวนำตรงกลาง แต่ไม่มีส่วนร่วมจากกระแสในตัวนำด้านนอก เราพบว่าที่รัศมีr : ทีนี้ จากสนามไฟฟ้าในทิศทางรัศมีและสนามแม่เหล็กสัมผัส เวกเตอร์พอยน์ติงซึ่งได้จากผลคูณเวกเตอร์ของทั้งสอง จะมีค่าไม่เป็นศูนย์เฉพาะใน ทิศทาง Zตามทิศทางของสายเคเบิลโคแอกเซียลเอง ดังที่เราคาดหวังไว้ อีกครั้งหนึ่ง S(r) เป็นฟังก์ชันของr เท่านั้น เราสามารถประเมินค่าS ( r ) ได้ดังนี้: โดยที่Wกำหนดไว้ข้างต้นในรูปของแรงดันไฟฟ้าของตัวนำตรงกลางVกำลัง ไฟฟ้า รวมที่ไหลลงสายเคเบิลโคแอกเซียลสามารถคำนวณได้โดยการอินทิเกรตตลอดพื้นที่หน้าตัดA ทั้งหมด ของสายเคเบิลระหว่างตัวนำ: $${\displaystyle {\begin{aligned}I=\oint _{C}\mathbf {H} \cdot ds&=2\pi rH_{\theta }(r)\\H_{\theta }(r)&={\frac {I}{2\pi r}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle S_{z}(r)=E_{r}(r)H_{\theta }(r)={\frac {W}{r}}{\frac {I}{2\pi r}}={\frac {W\,I}{2\pi r^{2}}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{tot}}&=\iint _{\mathbf {A} }S_{z}(r,\theta )\,dA=\int _{R_{1}}^{R_{2}}2\pi rdrS_{z}(r)\\&=\int _{R_{1}}^{R_{2}}{\frac {W\,I}{r}}dr=W\,I\,\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right).\end{aligned}}}$$

เมื่อแทนค่าคงที่W ด้วยคำตอบก่อนหน้านี้ เราจะพบว่า กำลังที่ได้จากการอินทิเกรตเวกเตอร์ Poynting เหนือหน้าตัดของสายเคเบิลโคแอกเซียลนั้น เท่ากับผลคูณของแรงดันและกระแสไฟฟ้าอย่างแม่นยำ ซึ่งเป็นค่าที่คำนวณได้สำหรับกำลังที่ส่งผ่านโดยใช้กฎพื้นฐานของไฟฟ้า $${\displaystyle P_{\mathrm {tot} }=I\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right){\frac {V}{\ln(R_{2}/R_{1})}}=V\,I}$$

ตัวอย่างอื่นๆ ที่คล้ายกันซึ่ง สามารถคำนวณผลลัพธ์ P = V · Iได้โดยวิธีวิเคราะห์ ได้แก่ สายส่งแบบแผ่นขนาน^{[ 8 ]}โดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียนและสายส่งแบบสองสาย^{[ 9 ]}โดยใช้พิกัดทรงกระบอกแบบไบโพลาร์

ในสมการของแม็กซ์เวลล์เวอร์ชัน "จุลภาค" นิยามนี้จะต้องถูกแทนที่ด้วยนิยามในแง่ของสนามไฟฟ้าEและความหนาแน่นของฟลักซ์แม่เหล็กB (ซึ่งจะอธิบายในภายหลังในบทความ)

นอกจากนี้ยังสามารถรวมสนามการกระจัดทางไฟฟ้าDกับฟลักซ์แม่เหล็กBเพื่อให้ได้รูปแบบ Minkowskiของเวกเตอร์ Poynting หรือใช้DและHเพื่อสร้างเวอร์ชันอื่นได้อีกด้วย ทางเลือกนี้เป็นที่ถกเถียงกัน: Pfeifer et al. ^{[ 10 ]}สรุปและแก้ไขข้อพิพาทที่ยาวนานนับศตวรรษระหว่างผู้สนับสนุนรูปแบบ Abraham และ Minkowski ได้ในระดับหนึ่ง (ดูข้อโต้แย้ง Abraham–Minkowski )

เวกเตอร์ Poynting แสดงถึงกรณีเฉพาะของเวกเตอร์การไหลของพลังงานสำหรับพลังงานแม่เหล็กไฟฟ้า อย่างไรก็ตาม พลังงานทุกประเภทมีทิศทางการเคลื่อนที่ในอวกาศ เช่นเดียวกับความหนาแน่น ดังนั้นเวกเตอร์การไหลของพลังงานจึงสามารถกำหนดได้สำหรับพลังงานประเภทอื่น ๆ เช่นพลังงานกลเวกเตอร์ Umov–Poynting ^{[ 11 ]}ที่ค้นพบโดยNikolay Umovในปี 1874 อธิบายการไหลของพลังงานในของเหลวและสื่อยืดหยุ่นในมุมมองทั่วไปอย่างสมบูรณ์

เวกเตอร์ Poynting ปรากฏในทฤษฎีบทของ Poynting (ดูบทความนั้นสำหรับการพิสูจน์) ซึ่งเป็นกฎการอนุรักษ์พลังงาน: โดยที่J _fคือความหนาแน่นกระแสของประจุอิสระและuคือความหนาแน่นพลังงานแม่เหล็กไฟฟ้าสำหรับวัสดุเชิงเส้นที่ไม่กระจาย ตัว ซึ่งกำหนดโดย โดย ที่ $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J_{\mathrm {f} }} \cdot \mathbf {E} ,}$$$${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} \right)\!,}$$

• Eคือสนามไฟฟ้า;
• Dคือสนามการกระจัดทางไฟฟ้า
• Bคือความหนาแน่นของฟลักซ์แม่เหล็ก;
• Hคือสนามแม่เหล็ก^{[ 12 ] : 258–260}

พจน์แรกทางด้านขวามือแสดงถึงการไหลของพลังงานแม่เหล็กไฟฟ้าเข้าสู่ปริมาตรเล็กๆ ในขณะที่พจน์ที่สองหักลบงานที่สนามกระทำต่อกระแสไฟฟ้าอิสระ ซึ่งส่งผลให้พลังงานแม่เหล็กไฟฟ้าสูญเสียไปในรูปของการสูญเสียความร้อน ฯลฯ ในคำจำกัดความนี้ กระแสไฟฟ้าที่ถูกผูกไว้จะไม่รวมอยู่ในพจน์นี้ แต่จะส่งผลต่อSและuแทน

สำหรับแสงในสุญญากาศ ความหนาแน่นของโมเมนตัมเชิงเส้นคือ ${\displaystyle {\frac {\langle S\rangle }{c^{2}}}.}$

สำหรับวัสดุเชิงเส้นไม่มีการกระจายตัว (ซึ่งส่วนประกอบความถี่ทั้งหมดเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่ากัน) และเป็นเนื้อเดียวกันทุกทิศทาง (เพื่อความง่าย) ความสัมพันธ์เชิงโครงสร้างสามารถเขียนได้ดังนี้ โดย ที่ $${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} ,}$$

• εคือค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าของวัสดุ
• μคือค่าการซึมผ่านของวัสดุ^{[ 12 ] : 258–260}

ในที่นี้εและμเป็นค่าคงที่เชิงสเกลาร์ที่เป็นจำนวนจริง ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่ง ทิศทาง และความถี่

โดยหลักการแล้ว สิ่งนี้จำกัดทฤษฎีบทของ Poynting ในรูปแบบนี้ไว้เฉพาะสนามในสุญญากาศและวัสดุเชิงเส้นที่ไม่กระจายตัวเท่านั้น การขยายไปสู่วัสดุที่กระจายตัวนั้นเป็นไปได้ภายใต้สถานการณ์บางอย่างโดยต้องแลกมาด้วยเงื่อนไขเพิ่มเติม^{[ 12 ] : 262–264}

ผลที่ตามมาประการหนึ่งของสูตร Poynting คือสนามแม่เหล็กไฟฟ้าจะทำงานได้ ต้องมีทั้งสนามแม่เหล็กและสนามไฟฟ้าอยู่ด้วยกัน สนามแม่เหล็กเพียงอย่างเดียวหรือสนามไฟฟ้าเพียงอย่างเดียวไม่สามารถทำงานใดๆ ได้^{[ 13 ]}

ในคลื่น ระนาบแม่เหล็กไฟฟ้าที่แพร่กระจาย ในตัวกลางไอโซโทรปิกที่ไม่มีการสูญเสีย เวกเตอร์ Poynting ณ ขณะนั้นจะชี้ไปในทิศทางการแพร่กระจายเสมอ ในขณะที่ขนาดจะแกว่งอย่างรวดเร็ว สามารถสังเกตได้ง่ายๆ ว่าในคลื่นระนาบ ขนาดของสนามแม่เหล็กH ( r , t ) จะเท่ากับขนาดของเวกเตอร์สนามไฟฟ้าE ( r , t ) หารด้วยηซึ่ง เป็น อิมพีแดนซ์ภายในของตัวกลางการส่งผ่าน โดยที่ | A | แทนขนาดของ เวกเตอร์ Aเนื่องจากEและHตั้งฉากกัน ขนาดของผลคูณเวกเตอร์ของทั้งสองจึงเป็นผลคูณของขนาดของทั้งสอง โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป ให้Xเป็นทิศทางของสนามไฟฟ้า และYเป็นทิศทางของสนามแม่เหล็ก เวกเตอร์ Poynting ณ ขณะนั้น ซึ่งได้จากผลคูณเวกเตอร์ของEและHจะอยู่ในทิศทางบวกของแกนZ : $${\displaystyle |\mathbf {H} |={\frac {|\mathbf {E} |}{\eta }},}$$$${\displaystyle \left|{\mathsf {S_{z}}}\right|=\left|{\mathsf {E_{x}}}{\mathsf {H_{y}}}\right|={\frac {\left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}}{\eta }}.}$$

การหาพลังงานเฉลี่ยตามเวลาในคลื่นระนาบนั้น จำเป็นต้องหาค่าเฉลี่ยในช่วงคาบของคลื่น (ความถี่ผกผันของคลื่น): โดยที่E _rmsคือค่ารากกำลังสองเฉลี่ย (RMS) ของแอมพลิจูดสนามไฟฟ้า ในกรณีสำคัญที่E ( t ) เปลี่ยนแปลงแบบไซน์ที่ความถี่บางค่า โดยมีแอมพลิจูดสูงสุดE _peakนั้นE _rmsคือโดยเวกเตอร์ Poynting เฉลี่ยจะกำหนดโดย: นี่คือรูปแบบที่พบได้บ่อยที่สุดสำหรับฟลักซ์พลังงานของคลื่นระนาบ เนื่องจากแอมพลิจูดสนามแบบไซน์มักจะแสดงในรูปของค่าสูงสุด และปัญหาที่ซับซ้อนมักจะได้รับการแก้ไขโดยพิจารณาเพียงความถี่เดียวในแต่ละครั้ง อย่างไรก็ตาม นิพจน์ที่ใช้E _rmsนั้นเป็นแบบทั่วไปอย่างสมบูรณ์ สามารถนำไปใช้ได้ เช่น ในกรณีของสัญญาณรบกวนซึ่งสามารถวัดแอมพลิจูด RMS ได้ แต่แอมพลิจูด "สูงสุด" นั้นไม่มีความหมาย ในพื้นที่ว่าง อิมพีแดนซ์ภายในηจะกำหนดโดยอิมพีแดนซ์ของพื้นที่ว่างη ₀ ≈ 377 Ω ในวัสดุไดอิเล็กทริกที่ไม่ใช่แม่เหล็ก (เช่น วัสดุโปร่งใสทั้งหมดที่ความถี่แสง) ที่มีค่าคงที่ไดอิเล็กทริก εr ที่กำหนดไว้หรือในวัสดุทางแสงที่มีดัชนีหักเห εr ค่าอิม_พีแดนซ์ภายในจะหาได้ดังนี้: $${\displaystyle \left\langle {\mathsf {S_{z}}}\right\rangle ={\frac {\left\langle \left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}\right\rangle }{\eta }}={\frac {\mathsf {E_{\text{rms}}^{2}}}{\eta }},}$$${\displaystyle {\mathsf {E_{peak}}}/{\sqrt {2}}}$$${\displaystyle \left\langle {\mathsf {S_{z}}}\right\rangle ={\frac {\mathsf {E_{peak}^{2}}}{2\eta }}.}$$  ${\displaystyle {\mathsf {n}}={\sqrt {\epsilon _{r}}}}$$${\displaystyle \eta ={\frac {\eta _{0}}{\sqrt {\epsilon _{r}}}}.}$$

ในทางทัศนศาสตร์ ค่าของฟลักซ์การแผ่รังสีที่ผ่านพื้นผิว ซึ่งก็คือส่วนประกอบเฉลี่ยของเวกเตอร์พอยน์ติงในทิศทางตั้งฉากกับพื้นผิวนั้น ในทางเทคนิคเรียกว่า ความเข้มของการแผ่รังสี ( irradiance ) ซึ่งโดยทั่วไปมักเรียกง่ายๆ ว่าความเข้ม (intensity) (ซึ่งเป็นคำที่มีความหมายกำกวมอยู่บ้าง)

สมการของแม็กซ์เวลล์ในรูปแบบ "จุลภาค" (เชิงอนุพันธ์) ยอมรับเฉพาะสนามพื้นฐานEและB เท่านั้น โดยไม่มีแบบจำลองของตัวกลางวัสดุ ใช้เพียงค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าและสภาพซึมผ่านทางแม่เหล็กของสุญญากาศเท่านั้น และไม่มีDหรือHเมื่อใช้แบบจำลองนี้ เวกเตอร์พอยน์ติงจะถูกกำหนดเป็น โดย ที่ $${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,}$$

• μ ₀คือค่าสภาพซึมผ่านของสุญญากาศ ;
• Eคือเวกเตอร์สนามไฟฟ้า;
• Bคือฟลักซ์แม่เหล็ก

นี่คือการแสดงออกทั่วไปของเวกเตอร์ Poynting ^{[ 14 ]}รูปแบบที่สอดคล้องกันของทฤษฎีบทของ Poyntingคือ โดยที่Jคือความหนาแน่นกระแสรวมและความหนาแน่นพลังงานuกำหนดโดย โดย ที่ε ₀คือค่าสภาพยอมของสุญญากาศสามารถอนุมานได้โดยตรงจากสมการของ Maxwell ในแง่ ของประจุ รวมและกระแสและ กฎ แรง Lorentzเท่านั้น $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,}$$$${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\varepsilon _{0}|\mathbf {E} |^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}|\mathbf {B} |^{2}\right)\!,}$$

นิยามทางเลือกสองแบบของเวกเตอร์ Poynting จะเท่ากันในสุญญากาศหรือในวัสดุที่ไม่ใช่แม่เหล็ก โดยที่B = μ ₀ Hในกรณีอื่นๆ ทั้งหมด นิยามทั้งสองจะแตกต่างกันตรงที่S = (1/ μ ₀ ) E × B และ uที่สอดคล้องกันนั้นเป็นการแผ่รังสีล้วนๆ เนื่องจากเทอมการกระจาย− J ⋅ Eครอบคลุมกระแสทั้งหมด ในขณะที่ นิยาม E × Hมีส่วนประกอบจากกระแสที่ถูกผูกไว้ซึ่งจะถูกแยกออกจากเทอมการกระจาย^{[ 15 ]}

เนื่องจากมีเพียงสนามไมโครสโคปิกEและB เท่านั้น ที่เกิดขึ้นในการหาอนุพันธ์ของS = (1/ μ ₀ ) E × Bและความหนาแน่นของพลังงาน จึงไม่ต้องตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับวัสดุใดๆ ที่มีอยู่ เวกเตอร์ Poynting และทฤษฎีบทและนิพจน์สำหรับความหนาแน่นของพลังงานนั้นใช้ได้ทั่วไปในสุญญากาศและวัสดุทุกชนิด^{[ 15 ]}

รูปแบบข้างต้นของเวกเตอร์ Poynting แสดงถึง การไหลของพลังงาน ทันทีเนื่องจาก สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก ทันทีโดยทั่วไปแล้ว ปัญหาในแม่เหล็กไฟฟ้าจะถูกแก้ในแง่ของ สนามที่เปลี่ยนแปลง แบบไซน์ที่ความถี่ที่กำหนด ผลลัพธ์ที่ได้สามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้ทั่วไปมากขึ้น ตัวอย่างเช่น โดยการแสดงรังสีที่ไม่สอดคล้องกันว่าเป็นผลรวมของคลื่นดังกล่าวที่ความถี่ต่างกันและมีแอมพลิจูดผันผวน

ดังนั้น เราจะไม่พิจารณาE ( t )และH ( t ) ณ ขณะนั้น ที่ใช้ข้างต้น แต่จะพิจารณาแอมพลิจูดเชิงซ้อน (เวกเตอร์) สำหรับแต่ละค่า ซึ่งอธิบายเฟส (รวมถึงแอมพลิจูด) ของคลื่นที่สอดคล้องกันโดยใช้ สัญกรณ์ เฟเซอร์ เวกเตอร์แอมพลิจู _ดเชิงซ้อนเหล่านี้ไม่ใช่ฟังก์ชันของเวลา เนื่องจากเข้าใจได้ว่าหมายถึงการสั่นตลอดเวลา เฟเซอร์เช่นEmเข้าใจได้ว่าหมายถึงสนามที่แปรผันแบบไซน์ ซึ่งแอมพลิจูด ณ ขณะนั้น^{E(t) เป็นไปตามส่วนจริงของ Em e jωt}โดยที่ωคือความถี่( _{เรเดียน})ของคลื่นไซน์ที่กำลังพิจารณา

ในโดเมนเวลา จะเห็นได้ว่าการไหลของพลังงานทันทีจะผันผวนด้วยความถี่ 2ω แต่โดยปกติแล้วสิ่งที่น่าสนใจคือ การไหลของพลังงาน เฉลี่ยซึ่งไม่ได้พิจารณาความผันผวนเหล่านั้น ในคณิตศาสตร์ด้านล่างนี้ จะทำได้โดยการรวมตลอดรอบเต็มT = 2π / ω ปริมาณต่อไปนี้ ซึ่งยังคงเรียกว่า "เวกเตอร์ Poynting" จะแสดงโดยตรงในรูปของเฟเซอร์ดังนี้: โดยที่^∗หมายถึงค่าสังยุคเชิงซ้อนการไหลของพลังงานเฉลี่ยตามเวลา (ตามเวกเตอร์ Poynting ทันทีที่เฉลี่ยตลอดรอบเต็ม เช่น) จะได้จากส่วนจริงของS _mส่วนจินตนาการมักจะถูกละเลย^{[ 12 ]}อย่างไรก็ตาม มันหมายถึง "พลังงานปฏิกิริยา" เช่น การรบกวนเนื่องจากคลื่นนิ่งหรือสนามใกล้ของเสาอากาศ ใน คลื่นระนาบแม่เหล็กไฟฟ้าเดี่ยว(ซึ่งแตกต่างจากคลื่นนิ่งที่สามารถอธิบายได้ว่าเป็นคลื่นสองลูกที่เคลื่อนที่ในทิศทางตรงกันข้าม) EและHจะมีเฟสตรงกันพอดี ดังนั้นS _mจึงเป็นเพียงจำนวนจริงตามคำนิยามข้างต้น $${\displaystyle \mathbf {S} _{\mathrm {m} }={\tfrac {1}{2}}\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*},}$$

ความเท่าเทียมกันของRe( S _m )กับค่าเฉลี่ยตามเวลาของเวกเตอร์ Poynting ทันทีSสามารถแสดงได้ดังต่อไปนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {S} (t)&=\mathbf {E} (t)\times \mathbf {H} (t)\\&=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}\right)\times \operatorname {Re} \!\left(\mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-j\omega t}\right)\times {\tfrac {1}{2}}\!\left(\mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}+\mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{4}}\!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{2j\omega t}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-2j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{2j\omega t}\right)\!.\end{aligned}}}$$

ค่าเฉลี่ยของเวกเตอร์ Poynting S ในช่วงเวลาหนึ่งๆ จะคำนวณได้จากสูตร: $${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mathbf {S} (t)\,dt={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\!\left[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\mathbf {E} _{\mathrm {m} }}\times {\mathbf {H} _{\mathrm {m} }}e^{2j\omega t}\right)\right]dt.}$$

พจน์ที่สองคือส่วนประกอบความถี่คู่ที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ ดังนั้นเราจึงได้ว่า: $${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle ={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\mathbf {E} _{\mathrm {m} }}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {S} _{\mathrm {m} }\right)}$$

ตามธรรมเนียมบางอย่าง อาจละเว้นตัวประกอบ 1/2 ในคำจำกัดความข้างต้นได้ การคูณด้วย 1/2 นั้นจำเป็นสำหรับการอธิบายการไหลของพลังงานอย่างถูกต้อง เนื่องจากขนาดของE _mและH _mหมายถึง สนาม สูงสุดของปริมาณที่แกว่งไปมา หากอธิบายสนามในแง่ของ ค่า รากกำลังสองเฉลี่ย (RMS) (ซึ่งแต่ละค่าจะเล็กลงด้วยตัวประกอบ 1/2 ) จะได้การไหลของพลังงานเฉลี่ยที่ถูกต้องโดยไม่ต้องคูณด้วย 1/2 ${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$

ถ้าตัวนำมีความต้านทานสูง เวกเตอร์ Poynting จะเอียงเข้าหาและกระทบกับตัวนำใกล้กับพื้นผิวของตัวนำนั้น^{[ 9 ] : รูปที่ 7, 8} เมื่อเวกเตอร์ Poynting เข้าไปในตัวนำ มันจะโค้งงอไปในทิศทางที่เกือบตั้งฉากกับพื้นผิว^{[ 16 ] : 61} นี่เป็นผลมาจากกฎของ Snellและความเร็วแสงที่ช้ามากภายในตัวนำ สามารถให้คำจำกัดความและการคำนวณความเร็วแสงในตัวนำได้^{[ 17 ] : 402} ภายในตัวนำ เวกเตอร์ Poynting แสดงถึงการไหลของพลังงานจากสนามแม่เหล็กไฟฟ้าเข้าไปในลวด ทำให้เกิดความร้อนจูล แบบต้านทาน ในลวด สำหรับการพิสูจน์ที่เริ่มต้นด้วยกฎของ Snell โปรดดู Reitz หน้า 454 ^{[ 18 ] : 454}

ความหนาแน่นของโมเมนตัมเชิงเส้นของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าคือS / c²โดยที่Sคือขนาดของเวกเตอร์พอยน์ติง และ^c คือความเร็วแสงในสุญญากาศแรงดันรังสีที่เกิดจากคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าบนพื้นผิวของเป้าหมายกำหนดโดย $${\displaystyle P_{\mathrm {rad} }={\frac {\langle S\rangle }{\mathrm {c} }}.}$$

เวกเตอร์ Poynting ปรากฏในทฤษฎีบทของ Poynting เฉพาะผ่านทางไดเวอร์เจนซ์∇ ⋅ Sเท่านั้น กล่าวคือ เงื่อนไขที่จำเป็นคือปริพันธ์พื้นผิวของเวกเตอร์ Poynting รอบพื้นผิวปิดจะต้องอธิบายการไหลสุทธิของพลังงานแม่เหล็กไฟฟ้าเข้าหรือออกจากปริมาตรที่ล้อมรอบนั้น ซึ่งหมายความว่า การเพิ่มสนามเวกเตอร์โซเลนอยด์ (ที่มีไดเวอร์เจนซ์เป็นศูนย์) เข้ากับSจะส่งผลให้เกิดสนามอีกสนามหนึ่งที่ตรงตามคุณสมบัติที่จำเป็นของสนามเวกเตอร์ Poynting ตามทฤษฎีบทของ Poynting เนื่องจากได เวอร์เจนซ์ของเคิร์ลใดๆ เป็นศูนย์เราจึงสามารถเพิ่มเคิร์ลของสนามเวกเตอร์ใดๆ เข้ากับเวกเตอร์ Poynting และสนามเวกเตอร์S ′ ที่ได้ก็จะยังคงตรงตามทฤษฎีบทของ Poynting

อย่างไรก็ตาม แม้ว่าเวกเตอร์ Poynting เดิมทีจะถูกกำหนดขึ้นเพื่อจุดประสงค์ของทฤษฎีบทของ Poynting เท่านั้น ซึ่งมีเพียงไดเวอร์เจนซ์ของมันปรากฏอยู่ แต่ปรากฏว่าการเลือกรูปแบบข้างต้นนั้นเป็นเอกลักษณ์^{[ 12 ] : 258–260, 605–612} ส่วนต่อไปนี้จะยกตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าเหตุใดจึงไม่สามารถยอมรับการเพิ่มสนามโซเลนอยด์แบบสุ่มลงในE × Hได้

การพิจารณาเวกเตอร์พอยน์ติงในสนามสถิตแสดงให้เห็นถึงลักษณะสัมพัทธภาพของสมการแม็กซ์เวลล์ และช่วยให้เข้าใจส่วนประกอบแม่เหล็กของแรงลอเรนซ์q ( v × B ) ได้ดียิ่งขึ้น เพื่อเป็นการยกตัวอย่าง ภาพประกอบที่แสดงเวกเตอร์พอยน์ติงในตัวเก็บประจุ ทรงกระบอก ซึ่งตั้งอยู่ใน สนาม H (ชี้เข้าไปในหน้ากระดาษ) ที่สร้างขึ้นโดยแม่เหล็กถาวร แม้ว่าจะมีเพียงสนามไฟฟ้าสถิตและสนามแม่เหล็กสถิตเท่านั้น การคำนวณเวกเตอร์พอยน์ติงก็สร้างการไหลของพลังงานแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นวงกลมตามเข็มนาฬิกาโดยไม่มีจุดเริ่มต้นหรือจุดสิ้นสุด

แม้ว่าการไหลเวียนของพลังงานอาจดูไม่สมจริง แต่การมีอยู่ของมันเป็นสิ่งจำเป็นเพื่อรักษาการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมโมเมนตัมของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในพื้นที่ว่างเท่ากับกำลังของมันหารด้วยcซึ่งเป็นความเร็วแสง ดังนั้น การไหลเวียนของพลังงานแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นวงกลมจึงหมายถึงโมเมนตัมเชิงมุม[ ^{19 ] หาก}เราต่อลวดระหว่างแผ่นทั้งสองของตัวเก็บประจุที่มีประจุ จะมีแรงลอเรนซ์กระทำต่อลวดนั้นในขณะที่ตัวเก็บประจุกำลังคายประจุเนื่องจากกระแสคายประจุและสนามแม่เหล็กที่ตัดกัน แรงนั้นจะเป็นแนวเส้นรอบวงของแกนกลางและจะเพิ่มโมเมนตัมเชิงมุมให้กับระบบ โมเมนตัมเชิงมุมนั้นจะตรงกับโมเมนตัมเชิงมุมที่ "ซ่อนอยู่" ซึ่งเปิดเผยโดยเวกเตอร์พอยน์ติงที่ไหลเวียนอยู่ก่อนที่ตัวเก็บประจุจะคายประจุ

• เวกเตอร์คลื่น

Wikiquote มีคำคมที่เกี่ยวข้องกับ เวกเตอร์ ของPoynting

เว็บไซต์ Wikiversityมีบทเรียนเกี่ยวกับ ทฤษฎีบทของ Poynting

• เบ็คเกอร์, ริชาร์ด (1982). สนามแม่เหล็กไฟฟ้าและปฏิสัมพันธ์ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1). ไมเนโอลา, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์โดเวอร์. ISBN 978-0-486-64290-1.
• เอ็ดมินิสเตอร์, โจเซฟ; นาห์วี, มาห์มูด (2013) แม่เหล็กไฟฟ้า (ฉบับที่ 4) นิวยอร์ก: แมคกรอว์-ฮิลล์ไอเอสบีเอ็น 978-0-07-183149-9.