ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์แผนที่เกาส์ ของพื้นผิวคือฟังก์ชันที่แมปแต่ละจุดบนพื้นผิวไปยังทิศทางปกติ ของ ^จุด นั้น ซึ่งเป็น เวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับพื้นผิว ณ จุดนั้น กล่าวคือ เมื่อกำหนดพื้นผิวXใน^{ปริภูมิ}ยุคลิดR³แผนที่เกาส์คือแผนที่N : X → S² (โดยที่S²คือทรงกลมหน่วย ) ซึ่งสำหรับแต่ละpในX ค่า ^ของฟังก์ชันN ( p ) คือเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับXณ จุดpแผนที่เกาส์ตั้งชื่อตามคาร์ล เอฟ. เกาส์

แผนที่เกาส์สามารถกำหนดได้ (ในระดับทั่วโลก) ก็ต่อเมื่อพื้นผิวนั้นสามารถกำหนดทิศทางได้ซึ่งในกรณีนี้ระดับ ของแผนที่เกาส์ จะเป็นครึ่งหนึ่งของค่าลักษณะเฉพาะของออยเลอร์แผนที่เกาส์สามารถกำหนดได้ในระดับท้องถิ่นเสมอ (เช่น บนส่วนเล็กๆ ของพื้นผิว) ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริก ซ์จาโคเบียนของแผนที่เกาส์เท่ากับความโค้งเกาส์เซียนและอนุพันธ์ของแผนที่เกาส์เรียกว่า ตัวดำเนิน การ รูปร่าง

เกาส์เขียนร่างแรกเกี่ยวกับหัวข้อนี้ในปี พ.ศ. 2368 และตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2360 ^{[ 1 ]}

นอกจากนี้ยังมีแผนที่เกาส์สำหรับลิงก์ซึ่งใช้ในการคำนวณหมายเลขการเชื่อมโยง

แผนที่เกาส์สามารถนิยามได้สำหรับไฮเปอร์เซอร์เฟซในR ⁿว่าเป็นแผนที่จากไฮเปอร์เซอร์เฟซไปยังทรงกลมหน่วยS n ^{− 1}  ⊆  R ⁿ

สำหรับ k - submanifoldทั่วไปที่มีทิศทางของR ⁿแผนที่เกาส์สามารถกำหนดได้เช่นกัน และปริภูมิเป้าหมายของมันคือGrassmannian ที่มีทิศทาง กล่าว คือ เซตของ ระนาบ k ที่มีทิศทางทั้งหมด ในR ⁿในกรณีนี้ จุดบน submanifold จะถูกแมปไปยังปริภูมิสัมผัสที่มีทิศทาง นอกจากนี้ยังสามารถแมปไปยัง ปริภูมิ ปกติ ที่มีทิศทางได้ ซึ่งเทียบเท่ากันผ่านส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉาก ในปริภูมิยูคลิด 3 มิติสิ่งนี้กล่าวว่าระนาบ 2 มิติที่มีทิศทางมีลักษณะเฉพาะด้วยเส้น 1 มิติที่มีทิศทาง เทียบเท่ากับเวกเตอร์ปกติหน่วย (เช่น) ดังนั้นจึงสอดคล้องกับคำจำกัดความข้างต้น^{[ 2 ]}${\displaystyle {\tilde {G}__{k,n}}$${\displaystyle {\tilde {G}__{k,n}\cong {\tilde {G}__{nk,n}}$${\displaystyle {\tilde {G}}_{1,n}\cong S^{n-1}}$

สุดท้ายนี้ แนวคิดของแผนที่เกาส์สามารถขยายไปสู่ซับแมนิโฟลด์แบบมี ทิศทาง Xที่มีมิติkในแมนิโฟลด์รีมันน์ แวดล้อมแบบมีทิศทาง Mที่มีมิติn ได้ ในกรณีนั้น แผนที่เกาส์จะไปจากXไปยังเซตของระนาบ สัมผัส kในบันเดิลสัมผัสTMปริภูมิเป้าหมายสำหรับแผนที่เกาส์Nคือ บัน เดิลกราสส์มันน์ที่สร้างขึ้นบนบันเดิลสัมผัสTMในกรณีที่บันเดิลสัมผัสจะถูกทำให้เป็นศูนย์ (ดังนั้นบันเดิลกราสส์มันน์จึงกลายเป็นแผนที่ไปยังกราสส์มันน์) และเราจะได้นิยามก่อนหน้านี้กลับคืนมา ${\displaystyle M=\mathbf {R} ^{n}}$

พื้นที่ของภาพที่ได้จากแผนที่เกาส์เรียกว่าความโค้งรวมและเทียบเท่ากับปริพันธ์พื้นผิวของความโค้งเกาส์ภายในบริเวณที่เครื่องหมายของความโค้งไม่เปลี่ยนแปลง นี่คือการตีความดั้งเดิมที่เกาส์ได้ให้ไว้

${\displaystyle \iint _{R}\pm |N_{u}\times N_{v}|\ du\,dv=\iint _{R}K|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv=\iint _{S}K\ dA}$

ทฤษฎีบท เกาส์-บอนเนต์เชื่อมโยงความโค้งรวมของพื้นผิวกับคุณสมบัติทาง โทโพโลยีของพื้นผิว นั้น

แผนที่เกาส์สะท้อนคุณสมบัติหลายอย่างของพื้นผิว: เมื่อพื้นผิวมีความโค้งเกาส์เป็นศูนย์ (นั่นคือตามแนวเส้นพาราโบลา ) แผนที่เกาส์จะเกิดหายนะจากการพับ [ ^{3 ] การ}พับนี้อาจมีจุดแหลมและจุดแหลมเหล่านี้ได้รับการศึกษาอย่างละเอียดโดยThomas Banchoff , Terence GaffneyและClint McCroryทั้งเส้นพาราโบลาและจุดแหลมเป็นปรากฏการณ์ที่เสถียรและจะคงอยู่ภายใต้การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของพื้นผิว จุดแหลมเกิดขึ้นเมื่อ:

1. พื้นผิวมีระนาบสัมผัสสองจุด
2. สันเขาตัดผ่านเส้นโค้งพาราโบลา
3. ณ จุดปิดของชุดจุดเปลี่ยนเว้าของเส้นโค้งเชิงเส้นกำกับของพื้นผิว

ปลายแหลมมีสองประเภท ได้แก่ปลายแหลมรูปวงรีและปลายแหลมรูปไฮเปอร์โบลา

• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "แผนที่เกาส์" . แมทเวิลด์ .
• Thomas Banchoff; Terence Gaffney; Clint McCrory; Daniel Dreibelbis (1982). Cusps of Gauss Mappings . Research Notes in Mathematics. Vol. 55. London: Pitman Publisher Ltd. ISBN 0-273-08536-0สืบค้นข้อมูลเมื่อ วัน ที่4 มีนาคม 2559