ค่าคงที่ของ Feigenbaum

ค่าคงที่ Feigenbaum δแสดงถึงลิมิตของอัตราส่วนของระยะทางระหว่างแผนภาพการแยกสาขาที่ต่อเนื่องกันบนL i / L i + 1
ความมีเหตุผล	ไม่ทราบ
เครื่องหมาย	δ และ α
ตัวแทน
ทศนิยม	4.6692... และ 2.5029...

ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะทฤษฎีการแยกสาขา ค่าคง ที่Feigenbaum / ˈ f aɪ ɡ ə n b aʊ m / ^{[ 1 ]} δและαเป็นค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ สองค่า ซึ่งทั้งสองค่าแสดงอัตราส่วนในแผนภาพการแยกสาขาสำหรับแผนที่ที่ไม่เป็นเชิงเส้น โดยตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์Mitchell J. Feigenbaum

เดิมที Feigenbaum เชื่อมโยงค่าคงที่แรกกับการแยกสาขาแบบเพิ่มคาบเป็นสองเท่าในแผนที่โลจิสติกแต่ยังแสดงให้เห็นว่าใช้ได้กับแผนที่หนึ่งมิติ ทั้งหมดที่มี ค่าสูงสุดกำลัง สองเพียงค่า เดียวผลที่ตามมาของความทั่วไปนี้คือระบบอลวน ทุกระบบ ที่สอดคล้องกับคำอธิบายนี้จะแยกสาขาในอัตราเดียวกัน Feigenbaum ค้นพบสิ่งนี้ในปี 1975 ^{[ 2 ] [ 3 ]}และเขาได้ตีพิมพ์อย่างเป็นทางการในปี 1978 ^{[ 4 ]}

ค่าคงที่ Feigenbaum ตัวแรกหรือเรียกง่ายๆ ว่าค่าคงที่ Feigenbaum ^{[ 5 ]} δคือ อัตราส่วนจำกัดของช่วงการแยกสาขาแต่ละช่วงต่อช่วงถัดไป ระหว่างการเพิ่มเป็น สองเท่าของคาบเวลา ของ แผนที่ พารามิเตอร์เดียว

${\displaystyle x_{i+1}=f(x_{i}),}$

โดย ที่f ( x )เป็นฟังก์ชันที่มีพารามิเตอร์การแยกสาขาa

กำหนดโดยขีดจำกัด : ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \delta =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n-1}-a_{n-2}}{a_{n}-a_{n-1}}}}$

โดยที่a และ_nคือค่าที่ไม่ต่อเนื่องของaในช่วงเวลาที่nเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า

นี่คือค่าตัวเลข (ลำดับA006890ในOEIS ):

${\displaystyle \delta =4.669\,201\,609\,102\,990\,671\,853\,203\,820\,466\ldots }$

• การประมาณค่า เชิงตรรกะอย่างง่ายคือ⁠621/133ซึ่งถูกต้องถึง 5 ค่าสำคัญ (เมื่อปัดเศษ) หากต้องการความแม่นยำมากขึ้นให้ ใช้1228/263ซึ่งมีความถูกต้องถึง 7 ค่าสำคัญ
• มันมีค่าประมาณเท่ากับ⁠10/π − 1โดยมีข้อผิดพลาด 0.0047%

เพื่อให้เข้าใจที่มาของตัวเลขนี้ ลองพิจารณาแผนที่พารามิเตอร์เดียว จริง

${\displaystyle f(x)=ax^{2}.}$

ในที่นี้aคือพารามิเตอร์การแยกสาขาxคือตัวแปร ค่าของaที่ทำให้คาบเวลาเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า (เช่น ค่าที่มากที่สุดสำหรับaที่ไม่มี วงโคจร คาบ 2หรือค่าa ที่มากที่สุด ที่ไม่มี วงโคจร คาบ 4 ) คือa ₁ , a ₂เป็นต้น ซึ่งแสดงไว้ในตารางด้านล่าง: ^{[ 7 ]}

n	ระยะเวลา	พารามิเตอร์การแยกสาขา( n )	อัตราส่วน​a n −1 − a n −2/แอน − แอน −1⁠
1	2	0.75	—
2	4	1.25	—
3	8	1.368 0989	4.2337
4	16	1.394 0462	4.5515
5	32	1.399 6312	4.6458
6	64	1.400 8286	4.6639
7	128	1.401 0853	4.6682
8	256	1.401 1402	4.6689

อัตราส่วนในคอลัมน์สุดท้ายลู่เข้าสู่ค่าคงที่ Feigenbaum ตัวแรก ตัวเลขเดียวกันนี้เกิดขึ้นสำหรับแผนที่โลจิสติกส์

${\displaystyle f(x)=ax(1-x)}$

โดยมีพารามิเตอร์จริงaและตัวแปรxจัดทำตารางค่าการแยกสาขาอีกครั้ง: ^{[ 8 ]}

n	ระยะเวลา	พารามิเตอร์การแยกสาขา( n )	อัตราส่วน​a n −1 − a n −2/แอน − แอน −1⁠
1	2	3	—
2	4	3.449 4897	—
3	8	3.544 0903	4.7514
4	16	3.564 4073	4.6562
5	32	3.568 7594	4.6683
6	64	3.569 6916	4.6686
7	128	3.569 8913	4.6680
8	256	3.569 9340	4.6768

ในกรณีของเซตแมนเดลบร็อตสำหรับพหุนามกำลังสองเชิงซ้อน

${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$

ค่าคงที่ของ Feigenbaum คืออัตราส่วนจำกัดระหว่างเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่อยู่ติดกันบนแกนจริงในระนาบเชิงซ้อน (ดูภาพเคลื่อนไหวทางด้านขวาข้างบน )

n	คาบ = 2 n	พารามิเตอร์การแยกสาขา ( c n )	อัตราส่วน${\displaystyle ={\dfrac {c_{n-1}-c_{n-2}}{c_{n}-c_{n-1}}}}$
1	2	-0.75	—
2	4	−1.25	—
3	8	−1.368 0989	4.2337
4	16	−1.394 0462	4.5515
5	32	−1.399 6312	4.6459
6	64	−1.400 8287	4.6639
7	128	−1.401 0853	4.6668
8	256	−1.401 1402	4.6740
9	512	−1.401 151 982 029	4.6596
10	1024	−1.401 154 502 237	4.6750
...	...	...	...
∞		−1.401 155 1890 ...

พารามิเตอร์การแยกสาขาคือจุดรากของส่วนประกอบคาบ2n ^{อนุกรม}นี้ลู่เข้าสู่จุด Feigenbaum c = −1.401155...... อัตราส่วนในคอลัมน์สุดท้ายลู่เข้าสู่ค่าคงที่ Feigenbaum ตัวแรก

แผนที่อื่นๆ ก็แสดงอัตราส่วนนี้เช่นกัน ในแง่นี้ ค่าคง ที่ ของ Feigenbaum ในทฤษฎีการแยกสาขาจึงคล้ายคลึงกับπในเรขาคณิตและeในแคลคูลัส

ค่าคงที่ Feigenbaum ตัวที่สองหรือพารามิเตอร์การลด Feigenbaum ^{[ 5 ]} αกำหนดโดย (ลำดับA006891ในOEIS ):

${\displaystyle \alpha =2.502\,907\,875\,095\,892\,822\,283\,902\,873\,218\ldots }$

เป็นอัตราส่วนระหว่างความกว้างของซี่ฟันกับความกว้างของซี่ฟันย่อยหนึ่งในสองซี่ (ยกเว้นซี่ฟันที่อยู่ใกล้รอยพับที่สุด) จะใช้เครื่องหมายลบกับαเมื่อวัดอัตราส่วนระหว่างซี่ฟันย่อยด้านล่างกับความกว้างของซี่ฟัน^{[ 9 ]}

ตัวเลขเหล่านี้ใช้ได้กับ ระบบไดนามิกหลายประเภท(ตัวอย่างเช่น ก๊อกน้ำหยดไปจนถึงการเติบโตของประชากร) ^{[ 9 ]}

การประมาณค่า เชิงตรรกะอย่างง่ายคือ⁠5/2ซึ่งถูกต้องถึงค่าสำคัญ 2 ค่า สำหรับความแม่นยำที่มากขึ้น⁠13/11×​​17/11×​​37/27=​​8177/3267มีการใช้ ค่า ⁠ซึ่งถูกต้องถึง 8 ค่าสำคัญ

เชื่อกันว่าตัวเลขทั้งสองเป็นจำนวนอดิศัยแม้ว่าจะยังไม่มีการพิสูจน์ก็ตาม^{[ 10 ]}ในความเป็นจริง ไม่มีหลักฐานที่ทราบแน่ชัดว่าค่าคงที่ใดเป็นจำนวนอตรรกยะด้วย ซ้ำ

การพิสูจน์ความเป็นสากลของค่าคงที่ Feigenbaum ครั้งแรกดำเนินการโดยOscar Lanfordโดยใช้ความช่วยเหลือจากคอมพิวเตอร์ในปี 1982 ^{[ 11 ]} (โดยมีการแก้ไขเล็กน้อยโดยJean-Pierre Eckmannและ Peter Wittwer จากมหาวิทยาลัยเจนีวาในปี 1987 ^{[ 12 ]} ) ตลอดหลายปีที่ผ่านมา มีการค้นพบวิธีการที่ไม่ใช้ตัวเลขสำหรับส่วนต่างๆ ของการพิสูจน์ ซึ่งช่วยให้Mikhail Lyubichสามารถสร้างการพิสูจน์ที่ไม่ใช้ตัวเลขที่สมบูรณ์ครั้งแรกได้^{[ 13 ]}

หน้าต่างคาบ 3 ในแผนที่โลจิสติกส์ยังมีเส้นทางคาบสามเท่าไปสู่ความโกลาหล (เคลื่อนไปยังหน้าต่างย่อยคาบ 3 ในแต่ละขั้นตอน) ไปถึงความโกลาหลที่และมีค่าคงที่ Feigenbaum สองค่าของตัวเอง: ผลลัพธ์ที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับหน้าต่างคาบ n ที่แยกเดี่ยวอื่นๆ ในบริเวณโกลาหล ทำให้ได้และสำหรับแต่ละหน้าต่าง มีความสัมพันธ์สากลระหว่างค่าคงที่ทั้งสองเนื่องจาก Eckmann, Epstein และ Wittwer ว่า[ ^{14 ] [ 15 ] :ภาคผนวก F.2} ${\displaystyle r=3.854077963591\dots }$${\displaystyle \delta =55.26,\alpha =9.277}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \delta }$${\textstyle 3\delta \approx \alpha ^{2}}$

• Feigenbaum Constant – จาก Wolfram MathWorld
• ลำดับ OEIS A006890 (การขยายทศนิยมของความเร็วการแยกสาขาของ Feigenbaum)

ลำดับ OEIS A006891 (การขยายทศนิยมของพารามิเตอร์การลด Feigenbaum)

ลำดับ OEIS A195102 (การขยายทศนิยมของพารามิเตอร์สำหรับผลเฉลยกำลังสองของสมการ Feigenbaum-Cvitanovic)

• ค่าคงที่ไฟเกนบัม – PlanetMath
• ฮอฟสเตตเตอร์, ฮารัลด์ (25 ตุลาคม 2558) "การคำนวณค่าคงที่ไฟเกนบัม " www.harald-hofstaetter.at (สมุดบันทึก Julia สำหรับคำนวณค่าคงที่ Feigenbaum ) สืบค้นเมื่อ7 เมษายน 2024 .
• Moriarty, Philip; Bowley, Roger (2009). " δ – ค่าคงที่ของ Feigenbaum" . Sixty Symbols . Brady Haranสำหรับมหาวิทยาลัยนอตติงแฮม .
• Thurlby, Judi (2021). การคำนวณจุดคงที่และตัวดึงดูดของการปรับค่าใหม่ที่เข้มงวด (ปริญญาเอก). มหาวิทยาลัยพอร์ตสมัธ. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 22 เมษายน 2022. สืบค้นเมื่อ21 มีนาคม 2022 .ไฟล์ PDF