ฟังก์ชันของตัวแปรจริงหลายตัว

ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันของตัวแปรจริงหลายตัวหรือฟังก์ชันหลายตัวแปรจริงคือฟังก์ชัน ที่มี อาร์กิวเมนต์มากกว่าหนึ่งตัวโดยที่อาร์กิวเมนต์ทั้งหมดเป็น ตัวแปร จริงแนวคิดนี้ขยายแนวคิดของฟังก์ชันของตัวแปรจริงไปสู่ฟังก์ชันที่มีหลายตัวแปร ตัวแปร "อินพุต" จะมีค่าเป็นจำนวนจริง ในขณะที่ "เอาต์พุต" หรือที่เรียกว่า "ค่าของฟังก์ชัน" อาจเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนอย่างไรก็ตาม การศึกษาฟังก์ชันที่มีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อนสามารถลดทอนลงเป็นการศึกษาฟังก์ชันที่มีค่าเป็นจำนวนจริง ได้ง่ายๆ โดยการพิจารณาส่วนจริงและ ส่วน จินตนาการของฟังก์ชันเชิงซ้อน ดังนั้น เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่นอย่างชัดเจน ในบทความนี้จะพิจารณาเฉพาะฟังก์ชันที่มีค่าเป็นจำนวนจริงเท่านั้น

โดเมนของฟังก์ชันที่มีตัวแปร $n$ ตัว คือเซตย่อยของ ที่ฟังก์ชัน นั้นถูกกำหนดไว้ ตามปกติแล้ว โดเมนของฟังก์ชันที่มีตัวแปรจริงหลายตัว จะต้องประกอบด้วยเซต เปิดที่ ไม่ว่าง ของ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

คำจำกัดความทั่วไป

n = 1

n = 2

n = 3

ฟังก์ชัน

f (x 1, x 2, \dots, x n)

ของ ตัวแปร

n

ตัว ถูกพล็อตเป็นกราฟในปริภูมิ

R n + 1

โดเมนคือบริเวณสีแดง

n

มิติ และภาพคือเส้นโค้งสีม่วง

n

มิติ

ฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริง $n$ ตัว คือฟังก์ชันที่รับค่าจำนวนจริง $n$ $ตัวเป็นอินพุต ซึ่ง$ โดยทั่วไปจะแทนด้วยตัวแปร $x₁$ $,$ $x₂$ $,$ $\dots,$ $xₙ$ เพื่อสร้างจำนวนจริงอีกตัวหนึ่ง ซึ่งก็ $คือ$ $ค่าของฟังก์ชัน โดยทั่วไปจะเขียนแทนด้วย f(x₁, x₂, \dots, xₙ)$ เพื่อความ $ง่าย$ $ใน$ $บทความ$ $นี้$ $จะ$ $เรียก$ $ฟังก์ชัน$ $ค่า$ $จริง$ ของตัวแปรจริงหลายตัวว่า $ฟังก์ชัน$ เพื่อหลีกเลี่ยงความกำกวม ฟังก์ชันประเภทอื่นๆ ที่อาจเกิดขึ้นจะถูกระบุอย่างชัดเจน

ฟังก์ชันบางฟังก์ชันถูกกำหนดไว้สำหรับค่าจริงทั้งหมดของตัวแปร (กล่าวได้ว่าฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ทุกที่) แต่ฟังก์ชันอื่นๆ บางฟังก์ชันถูกกำหนดไว้เฉพาะเมื่อค่าของตัวแปรอยู่ในเซตย่อย $X$ ของ $R n$ ซึ่งเป็นโดเมนของฟังก์ชัน และโดเมนนี้จะต้องมี เซต เปิดของ $R n$ อยู่เสมอ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันค่าจริงของ ตัวแปรจริง $n$ ตัว คือฟังก์ชัน

f:X\to \mathbb {R}

โดยที่โดเมน $X$ ของมัน คือเซตย่อยของ $R n$ ที่ประกอบด้วยเซตเปิดที่ไม่ว่างเปล่า

$เนื่องจาก$ องค์ประกอบของ $X$ คือทูเปิล n $ตัว$ $($ $x₁$ $,$ $x₂$ $, \dots,$ $xₙ$ $)$ (โดยปกติจะคั่นด้วยวงเล็บ) สัญลักษณ์ทั่วไปสำหรับการแสดงฟังก์ชันคือ $f$ $(($ $x₁$ $,$ $x₂$ $,$ $\dots,$ $xₙ$ $)$ $)$ $แต่$ $การใช้งานทั่วไป ซึ่ง$ $มีมา นาน กว่านิยาม$ $ทั่วไป$ ของฟังก์ชันระหว่างเซต คือการไม่ ใช้ วงเล็บสอง $ชั้น$ และเขียนเพียง $f$ $($ $x₁$ $,$ $x₂$ $, \dots$ $,$ $xₙ$ $)$

นอกจากนี้ ยังนิยมใช้สัญลักษณ์ย่อแทน $n$ -tuple $(x 1, x 2, \dots, x n)$ โดยใช้สัญลักษณ์ที่คล้ายกับที่ใช้กับเวกเตอร์เช่น ตัวหนา $x$ , ขีดเส้นใต้ $x$ หรือ ตัวเอียง $x \to$ บทความนี้จะใช้ตัวหนา

ตัวอย่างง่ายๆ ของฟังก์ชันที่มีตัวแปรสองตัว ได้แก่:

{\begin{aligned}&V:X\to \mathbb {R} \\&X=\left\{(A,h)\in \mathbb {R} ^{2}\mid A>0,h>0\right\}\\&V(A,h)={\frac {1}{3}}Ah\end{aligned}}

ซึ่งก็คือปริมาตร $V$ ของกรวยที่มีพื้นที่ฐาน $A$ และความสูง $h$ วัดในแนวตั้งฉากจากฐาน ขอบเขตจำกัดให้ตัวแปรทั้งหมดเป็นค่าบวก เนื่องจากความยาวและพื้นที่ต้องเป็นค่าบวก

ตัวอย่างของฟังก์ชันที่มีตัวแปรสองตัว:

{\begin{aligned}&z:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \\&z(x,y)=ax+by\end{aligned}}

โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่จริงที่ไม่เป็นศูนย์ เมื่อใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน สามมิติ โดยที่ ระนาบ xy $เป็น$ โดเมน $R²$ และแกน z เป็นโคโดเมน $R$ เราสามารถมองเห็นภาพเป็นระนาบสองมิติ โดยมีความชันเท่ากับ $a$ ในทิศทาง x บวก และความชันเท่ากับ $b$ ในทิศทาง y บวก ฟังก์ชันนี้กำหนดไว้อย่างดีที่ทุกจุด $($ $x$ $,$ $y$ $)$ ใน $R²$ ตัวอย่างก่อนหน้านี้สามารถขยายไปยังมิติที่สูงกว่าได้อย่างง่ายดาย $:$

{\begin{aligned}&z:\mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R} \\&z(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{p})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{p}x_{p}\end{aligned}}

สำหรับค่าคงที่จริงที่ไม่เป็นศูนย์ $p ค่า$ ได้แก่ $a 1, a 2, \dots, a p$ ซึ่งอธิบายระนาบไฮเปอร์มิติ $p$

นอร์มแบบยุคลิด :

f({\boldsymbol {x}})=\|{\boldsymbol {x}}\|={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}

นอกจากนี้ยังเป็นฟังก์ชันของ ตัวแปร nตัว ซึ่งถูกกำหนดไว้ทุกที่ ในขณะที่

g({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{f({\boldsymbol {x}})}}

ถูกกำหนดเฉพาะเมื่อ $x \neq (0, 0, \dots, 0)$ เท่านั้น

สำหรับตัวอย่างฟังก์ชันที่ไม่เป็นเชิงเส้นในสองตัวแปร:

{\begin{aligned}&z:X\to \mathbb {R} \\&X=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\,:\,x^{2}+y^{2}\leq 8\,,\,x\neq 0\,,\,y\neq 0\right\}\\&z(x,y)={\frac {1}{2xy}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\end{aligned}}

ซึ่งรับจุดทั้งหมดใน $X$ , วงกลมรัศมี $\sqrt8 ที่$ "เจาะ" ที่จุดกำเนิด $(x, y) = (0, 0)$ ในระนาบ $R2$ และส่งคืนจุดใน $R$ ฟังก์ชันนี้ไม่รวมจุดกำเนิด $(x, y) = (0, 0)$ หากรวมไว้ด้วย $ฟังก์ชัน$ $f$ จะไม่นิยามที่จุดนั้น การใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน 3 มิติ โดยมี ระนาบ xyเป็นโดเมน $R2$ และแกน z เป็นโคโดเมน $R สามารถมองเห็นภาพ$ $ได้$ เป็นพื้นผิวโค้ง

สามารถประเมินค่าฟังก์ชันได้ที่จุด $(x, y) = (2, \sqrt 3)$ ใน $X$ :

z\left(2,{\sqrt {3}}\right)={\frac {1}{2\cdot 2\cdot {\sqrt {3}}}}{\sqrt {\left(2\right)^{2}+\left({\sqrt {3}}\right)^{2}}}={\frac {1}{4{\sqrt {3}}}}{\sqrt {7}}\,,

อย่างไรก็ตาม ไม่สามารถประเมินฟังก์ชันได้ที่ค่าใดค่าหนึ่ง เช่น

(x,y)=(65,{\sqrt {10}})\,\Rightarrow \,x^{2}+y^{2}=(65)^{2}+({\sqrt {10}})^{2}>8

เนื่องจากค่า $x$ และ $y$ เหล่านี้ ไม่เป็นไปตามกฎของโดเมน

ภาพ

ภาพของฟังก์ชัน $f$ $($ $x$ $1$ $,$ $x$ $2$ $, \dots,$ $x$ $n$ $)$ คือเซตของค่าทั้งหมดของ $f$ เมื่อ $n$ -tuple $($ $x$ $1$ $,$ $x$ $2$ $, \dots,$ x $n$ $)$ $อยู่$ ในโดเมนทั้งหมดของ $f$ สำหรับฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่อง (ดูคำจำกัดความด้านล่าง) ที่มีโดเมนเชื่อมต่อกัน ภาพจะเป็นช่วงหรือค่าเดียว ในกรณีหลัง ฟังก์ชันนั้นจะเป็นฟังก์ชันคงที่

ภาพผกผันของจำนวนจริง $c$ ที่กำหนดให้ เรียกว่าเซตระดับซึ่งเป็นเซตของคำตอบของสม การ $f (x 1, x 2, \dots, x n) = c$

โดเมน

โดเมนของฟังก์ชันของตัวแปรจริงหลายตัวคือเซตย่อยของ $R$ $n$ ซึ่งบางครั้งอาจถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจน แต่ก็ไม่เสมอไป ในความเป็นจริง หากเราจำกัดโดเมน $X$ ของฟังก์ชัน $f$ ให้เป็นเซตย่อย $Y$ $\subset$ $X$ เราจะ ได้ฟังก์ชันที่แตกต่างออกไปในเชิงรูปแบบ นั่นคือการจำกัด $f$ ให้อยู่บน $Y$ ซึ่งเขียนแทนด้วยในทางปฏิบัติ การระบุ $f$ และและละเว้นตัวจำกัด $|$ $Y$ มัก จะไม่เป็นอันตราย (แต่ไม่เสมอไป) $f|_{Y}$ $f|_{Y}$

ในทางกลับกัน บางครั้งก็เป็นไปได้ที่จะขยายขอบเขตของฟังก์ชันที่กำหนดโดยธรรมชาติ เช่น โดยอาศัยความต่อเนื่องหรือโดยการต่อยอดเชิงวิเคราะห์

นอกจากนี้ ฟังก์ชันหลายฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ในลักษณะที่ยากต่อการระบุโดเมนอย่างชัดเจน ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดฟังก์ชัน $f$ มา แล้ว อาจเป็นเรื่องยากที่จะระบุโดเมนของฟังก์ชันนั้นหาก $f$ เป็นพหุนามหลายตัวแปร (ซึ่งมีg เป็นโดเมน) ก็ยิ่งยากที่จะตรวจสอบว่าโดเมนของ $g$ ก็คือ g ด้วย หรือ ไม่ ซึ่งเทียบเท่ากับการทดสอบว่าพหุนามเป็นบวกเสมอหรือไม่ และเป็นหัวข้อของการวิจัยที่กำลังได้รับความสนใจอย่างมาก (ดูพหุนามบวก ) $g({\boldsymbol {x}})=1/f({\boldsymbol {x}}).$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

โครงสร้างพีชคณิต

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ตามปกติบนจำนวนจริงสามารถขยายไปใช้กับฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริงหลายตัวได้ในลักษณะต่อไปนี้:

สำหรับจำนวนจริง $r$ ทุก ตัวฟังก์ชันคงที่นี้ สามารถหาได้ทุกที่ $(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto r$
สำหรับจำนวนจริง $r$ ทุกตัว และฟังก์ชัน $f$ ทุกตัว ฟังก์ชัน: จะมีโดเมนเดียวกันกับ $f$ (หรือสามารถนิยามได้ทุกที่หาก $r$ $= 0$ ) $rf:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto rf(x_{1},\ldots ,x_{n})$
ถ้า $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันสองฟังก์ชันของโดเมน X และ Y ตามลำดับโดย $ที่$ X $\cap$ Y $ประกอบด้วย เซต เปิด$ ที่ไม่ว่างของ $R n$ แล้วและเป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนประกอบด้วย $X$ $\cap$ $Y$ $f\,g:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,g(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $g\,f:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto g(x_{1},\ldots ,x_{n})\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})$

ดังนั้น ฟังก์ชันของ ตัวแปร $n$ ตัวที่นิยามได้ทุก ที่ และฟังก์ชันของ ตัวแปร $n$ ตัวที่นิยามได้ในบริเวณใกล้เคียงจุดที่กำหนด ต่างก็ก่อให้เกิดพีชคณิตสลับที่บนจำนวนจริง ( พีชคณิต $R$ ) นี่เป็นตัวอย่างต้นแบบของปริภูมิฟังก์ชัน

เราอาจนิยามในทำนองเดียวกันได้

1/f:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto 1/f(x_{1},\ldots ,x_{n}),

ซึ่งจะเป็นฟังก์ชันก็ต่อเมื่อเซตของจุด $(x 1, \dots, x n)$ ในโดเมนของ $f$ ซึ่ง $f (x 1, \dots, x n) \neq 0$ ประกอบด้วยเซตย่อยเปิดของ $R n$ ข้อจำกัดนี้บ่งชี้ว่าพีชคณิตทั้งสองข้าง ต้น ไม่ใช่ฟิลด์

ฟังก์ชันตัวแปรเดียวที่สัมพันธ์กับฟังก์ชันหลายตัวแปร

ฟังก์ชันในตัวแปรจริงตัวเดียวสามารถหาได้ง่ายๆ โดยการกำหนดค่าคงที่ให้กับตัวแปรทุกตัวยกเว้นตัวแปรเดียว ตัวอย่างเช่น ถ้า $(a₁, \dots, an)$ เป็นจุดภายในโดเมนของฟังก์ชัน $f$ ค่าของ $x₂, \dots,$ $xn$ สามารถกำหนดให้เป็น $a₂$ $, \dots,$ $an$ $ตาม$ $ลำดับ$ เพื่อให้ได้ฟังก์ชันตัวแปรเดียว

x\mapsto f(x,a_{2},\ldots ,a_{n}),

โดเมนของฟังก์ชันนี้ครอบคลุมช่วงที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $a 1$ ฟังก์ชันนี้อาจมองได้ว่าเป็นการจำกัด ฟังก์ชัน $f$ ให้อยู่บนเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ $x i = a i$ สำหรับ $i = 2, \dots, n$

ฟังก์ชันตัวแปรเดียวอื่นๆ อาจถูกกำหนดโดยการจำกัด $f$ ให้อยู่บนเส้นตรงใดๆ ที่ผ่านจุด $(a 1, \dots, a n)$ ฟังก์ชันเหล่านี้คือฟังก์ชันต่างๆ

x\mapsto f(a_{1}+c_{1}x,a_{2}+c_{2}x,\ldots ,a_{n}+c_{n}x),

โดยที่ $c i$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมด

ในส่วนถัดไป เราจะแสดงให้เห็นว่า ถ้าฟังก์ชันหลายตัวแปรมีความต่อเนื่อง ฟังก์ชันตัวแปรเดียวทั้งหมดเหล่านี้ก็จะมีความต่อเนื่องเช่นกัน แต่ในทางกลับกันนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป

ความต่อเนื่องและขอบเขต

จนกระทั่งช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์พิจารณา เฉพาะ ฟังก์ชันต่อเนื่อง เท่านั้น ในเวลานั้น แนวคิดเรื่องความต่อเนื่องได้รับการพัฒนาสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรจริงหนึ่งตัวหรือหลายตัวเป็นเวลานานพอสมควรก่อนที่จะมีการนิยามอย่างเป็นทางการของปริภูมิ เชิงทอพอโลยีและแผนที่ต่อเนื่องระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี เนื่องจากฟังก์ชันต่อเนื่องของตัวแปรจริงหลายตัวพบได้ทั่วไปในคณิตศาสตร์ จึงควรค่าแก่การนิยามแนวคิดนี้โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงแนวคิดทั่วไปของแผนที่ต่อเนื่องระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี

ในการกำหนดความต่อเนื่อง จะเป็นประโยชน์ที่จะพิจารณาฟังก์ชันระยะทางของ $R n$ ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่กำหนดได้ทุกที่ของตัวแปรจริง $2 n ตัว:$

d({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})=d(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}

ฟังก์ชัน $f$ จะต่อเนื่องที่จุด $a = (a 1, \dots, a n)$ ซึ่งอยู่ภายในโดเมนของฟังก์ชัน ถ้าสำหรับทุกจำนวนจริงบวก $ε$ จะมีจำนวนจริงบวก $φ$ ที่ทำให้ $| f (x) - f (a)| < ε$ สำหรับทุก $x$ ที่ $d (x, a) < φ$ กล่าวอีกนัยหนึ่ง $φ$ อาจถูกเลือกให้มีค่าเล็กพอที่จะทำให้ภาพของทรงกลมรัศมี $φ$ ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $a$ $โดยฟังก์ชัน f$ อยู่ภายในช่วงความยาว $2$ $ε$ ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $f$ $($ $a$ $)$ ฟังก์ชันจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อมันต่อเนื่องที่ทุกจุดในโดเมนของมัน

ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องที่ $f (a)$ แล้ว ฟังก์ชันเอกตัวแปรทั้งหมดที่ได้จากการกำหนดค่าตัวแปร xᵢ ทั้งหมด $ยกเว้น$ ตัวแปรเดียวที่ค่า $aᵢ$ จะต่อเนื่องที่ $f (a)$ $แต่ ข้อความกลับกัน$ $นั้น$ ไม่จริง นั่นหมายความว่า ฟังก์ชันเอกตัวแปรทั้งหมดเหล่านี้อาจต่อเนื่องสำหรับฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องที่ $f (a)$ ก็ได้ ตัวอย่างเช่น พิจารณาฟังก์ชัน $f$ ที่ $f (0, 0) = 0$ และกำหนดโดยเงื่อนไขอื่นๆ ดังนี้

f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}.

ฟังก์ชัน $x \mapsto f (x, 0)$ และ $y \mapsto f (0, y)$ ต่างก็เป็นฟังก์ชันคงที่และเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ฟังก์ชัน $f$ ไม่ต่อเนื่องที่ $(0, 0)$ เพราะถ้า $ε < 1/2$ และ $y = x 2 \neq 0$ เราจะได้ $f (x, y) = 1/2$ แม้ว่า $| x |$ จะมีค่าน้อยมากก็ตาม ถึงแม้จะไม่ต่อเนื่อง แต่ฟังก์ชันนี้ยังมีคุณสมบัติเพิ่มเติมคือ ฟังก์ชันเอกตัวแปรทั้งหมดที่ได้จากการจำกัดฟังก์ชันนี้ให้อยู่บนเส้นตรงที่ผ่านจุด $(0, 0)$ ก็เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเช่นกัน ในความเป็นจริง เรามี

f(x,\lambda x)={\frac {\lambda x}{x^{2}+\lambda ^{2}}}

สำหรับ $λ \neq$ 0

ลิมิตที่จุดของฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริงหลายตัวถูกกำหนดดังต่อไปนี้^{[ 1 ]}ให้ $a = (a 1, a 2, \dots, a n)$ เป็นจุดในการปิดเชิงโทโพโลยีของโดเมน $X$ ของฟังก์ชัน $f$ ฟังก์ชัน $f$ มีลิมิต $L$ เมื่อ $x$ มีแนวโน้มเข้าสู่ $a$ ซึ่งแสดงด้วย

L=\lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}f({\boldsymbol {x}}),

ถ้าเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง: สำหรับทุกจำนวนจริง $บวก ε > 0$ จะมีจำนวนจริง $บวก δ > 0$ อยู่ด้วย ซึ่ง

|f({\boldsymbol {x}})-L|<\varepsilon

สำหรับทุก $x$ ในโดเมนที่

d({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {a}})<\delta .

ถ้าลิมิตมีอยู่ ลิมิตนั้นจะมีเพียงหนึ่งเดียว ถ้า $a$ อยู่ภายในโดเมน ลิมิตจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันต่อเนื่องที่ $a$ เท่านั้น ในกรณีนี้ เราจะได้

f({\boldsymbol {a}})=\lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}f({\boldsymbol {x}}).

เมื่อ $a$ อยู่ในขอบเขตของโดเมนของ $f$ และถ้า $f$ มีลิมิตที่ $a$ สูตรหลังนี้จะช่วยให้สามารถ "ขยายโดเมนของ $f$ ไปยัง $a$ โดยอาศัยความต่อเนื่อง" ได้

สมมาตร

ฟังก์ชันสมมาตรคือ ฟังก์ชัน $f$ ที่ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อ สลับ ตัวแปร $x i$ และ $x j :$

f(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=f(\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{i},\ldots )

โดยที่ $i$ และ $j$ มีค่าเป็น $1, 2, \dots, n$ ตัวอย่างเช่น:

f(x,y,z,t)=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}

ฟังก์ชัน นี้มีความสมมาตรใน $x, y, z$ เนื่องจากเมื่อสลับคู่ $x, y, z ใดๆ ฟังก์ชัน$ $f$ ก็ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง แต่ไม่มีความสมมาตรในทุก $x, y, z, t$ เนื่องจากเมื่อสลับ $t$ กับ $x$ หรือ $y$ หรือ $z$ จะได้ฟังก์ชันที่แตกต่างกัน

การประกอบฟังก์ชัน

สมมติว่าฟังก์ชันต่างๆ

\xi _{1}=\xi _{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\quad \xi _{2}=\xi _{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\ldots \xi _{m}=\xi _{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),

หรือเขียนให้กระชับยิ่งขึ้น $ξ = ξ (x)$ ทั้งหมดถูกกำหนดบนโดเมน $X$ เมื่อ ทูเพิล $n$ ตัว $x = (x 1, x 2, \dots, x n)$ เปลี่ยนแปลงใน $X$ ซึ่งเป็นเซตย่อยของ $R n$ ทู เพิล $m$ ตัว $ξ = (ξ 1, ξ 2, \dots, ξ m)$ จะเปลี่ยนแปลงในอีกบริเวณ $Ξ ซึ่ง$ เป็นเซตย่อยของ $R m$ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ:

{\boldsymbol {\xi }}:X\to \Xi .

จากนั้นฟังก์ชัน $ζ$ ของฟังก์ชัน $ξ (x)$ กำหนดบน $Ξ$ ,

{\begin{aligned}&\zeta :\Xi \to \mathbb {R} ,\\&\zeta =\zeta (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{m}),\end{aligned}}

เป็นการประกอบฟังก์ชันที่กำหนดบน $X$ [ ²^{] กล่าวอีกนัยหนึ่ง}^คือการแมป

{\begin{aligned}&\zeta :X\to \mathbb {R} ,\\&\zeta =\zeta (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{m})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}

โปรดทราบว่าตัวเลข $m$ และ $n$ ไม่จำเป็นต้องเท่ากัน

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน

f(x,y)=e^{xy}[\sin 3(x-y)-\cos 2(x+y)]

นิยามไว้ทุกที่บน $R 2$ สามารถเขียนใหม่ได้โดยการแนะนำ

(\alpha ,\beta ,\gamma )=(\alpha (x,y),\beta (x,y),\gamma (x,y))=(xy,x-y,x+y)

ซึ่งได้รับการกำหนดไว้ทุกที่ใน $R 3$ เพื่อให้ได้

f(x,y)=\zeta (\alpha (x,y),\beta (x,y),\gamma (x,y))=\zeta (\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{\alpha }[\sin(3\beta )-\cos(2\gamma )]\,.

การประกอบฟังก์ชันสามารถใช้เพื่อลดรูปฟังก์ชัน ซึ่งมีประโยชน์สำหรับการคำนวณ อินทิ ก รัลหลายตัวและการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

แคลคูลัส

แคลคูลัสเบื้องต้นคือแคลคูลัสของฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริงหนึ่งตัว และแนวคิดหลักของการหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวสามารถขยายไปใช้กับฟังก์ชันของตัวแปรจริงมากกว่าหนึ่งตัวได้ การขยายนี้เรียกว่าแคลคูลัส หลายตัวแปร

อนุพันธ์ย่อย

อนุพันธ์ย่อยสามารถกำหนดได้โดยเทียบกับตัวแปรแต่ละตัว:

{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad {\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).

$อนุพันธ์ย่อย นั้นเป็นฟังก์ชัน โดยแต่ละอนุพันธ์ย่อยแสดงถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของ f ขนานกับแกน x₁,$ $x₂, \dots, xₙ$ ที่ $ทุก$ จุด $ใน โดเมน (ถ้า อนุพันธ์ มี$ อยู่และต่อเนื่อง—ดูเพิ่มเติมด้านล่าง) อนุพันธ์อันดับแรกจะเป็นบวกถ้าฟังก์ชันเพิ่มขึ้นตามทิศทางของแกนที่เกี่ยวข้อง เป็นลบถ้าลดลง และเป็นศูนย์ถ้าไม่มีการเพิ่มขึ้นหรือลดลง การหาค่าอนุพันธ์ย่อยที่จุดใดจุดหนึ่งในโดเมนจะให้ค่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันที่จุดนั้นในทิศทางขนานกับแกนใดแกนหนึ่ง ซึ่งเป็นจำนวนจริง

สำหรับฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริง $y = f (x)$ อนุพันธ์สามัญ $dy / dx$ ของฟังก์ชัน นี้คือเกรเดียนต์ของเส้นสัมผัสของเส้นโค้ง $y = f (x)$ ที่ทุกจุดในโดเมนในเชิงเรขาคณิต อนุพันธ์ย่อยขยายแนวคิดนี้ไปยังระนาบสัมผัสของเส้นโค้ง

สามารถคำนวณอนุพันธ์ย่อยอันดับสองสำหรับตัวแปรทุกคู่ได้:

{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).

ในทางเรขาคณิต ค่าเหล่านี้มีความสัมพันธ์กับความโค้ง เฉพาะที่ ของภาพฟังก์ชัน ณ ทุกจุดในโดเมน ณ จุดใดๆ ที่ฟังก์ชันนั้นถูกกำหนดไว้อย่างดี ฟังก์ชันอาจเพิ่มขึ้นตามแกนบางแกน และ/หรือลดลงตามแกนอื่นๆ และ/หรือไม่เพิ่มขึ้นหรือลดลงเลยตามแกนอื่นๆ

สิ่งนี้ทำให้เกิด จุดนิ่งที่เป็นไปได้หลากหลาย ได้แก่ จุดสูงสุดทั่วโลกหรือเฉพาะที่ จุดต่ำสุดทั่วโลกหรือเฉพาะที่และจุดอานม้าซึ่งเป็นจุดแปรผันหลายมิติที่เทียบได้กับจุดเปลี่ยนเว้าสำหรับฟังก์ชันจริงของตัวแปรจริงหนึ่งตัว เมทริกซ์เฮสเซียนเป็นเมทริกซ์ของอนุพันธ์ย่อยอันดับสองทั้งหมด ซึ่งใช้ในการตรวจสอบจุดนิ่งของฟังก์ชัน ซึ่งมีความสำคัญสำหรับ การหาค่าเหมาะสมที่สุด ทาง คณิตศาสตร์

โดยทั่วไป อนุพันธ์ย่อยอันดับสูง $p$ จะมีรูปแบบดังนี้:

{\frac {\partial ^{p}}{\partial x_{1}^{p_{1}}\partial x_{2}^{p_{2}}\cdots \partial x_{n}^{p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\equiv {\frac {\partial ^{p_{1}}}{\partial x_{1}^{p_{1}}}}{\frac {\partial ^{p_{2}}}{\partial x_{2}^{p_{2}}}}\cdots {\frac {\partial ^{p_{n}}}{\partial x_{n}^{p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

โดยที่ $p 1, p 2, \dots, p n$ แต่ละตัวเป็นจำนวนเต็มระหว่าง $0$ ถึง $p$ ซึ่ง $p 1 + p 2 + \dots + p n = p$ โดยใช้นิยามของอนุพันธ์ย่อยลำดับศูนย์เป็นตัวดำเนินการเอกลักษณ์ :

{\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{1}^{0}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad \ldots ,\,{\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{n}^{0}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,.

จำนวนอนุพันธ์ย่อยที่เป็นไปได้จะเพิ่มขึ้นตาม $ค่า p$ แม้ว่าอนุพันธ์ย่อยแบบผสมบางตัว (อนุพันธ์ย่อยที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว) จะไม่จำเป็น เนื่องจากความสมมาตรของอนุพันธ์ย่อยอันดับสองซึ่งจะช่วยลดจำนวนอนุพันธ์ย่อยที่ต้องคำนวณสำหรับค่า $p$ บาง ค่า

ความสามารถในการหาอนุพันธ์ของตัวแปรหลายตัว

ฟังก์ชัน $f (x)$ สามารถหาอนุพันธ์ได้ในบริเวณใกล้เคียงจุด $a$ ถ้ามี $n$ -tuple ของตัวเลขที่ขึ้นอยู่กับ $a$ โดยทั่วไป $A (a) = (A 1 (a), A 2 (a), \dots, A n (a))$ ดังนั้น: ^{[ 3 ]}

f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+\alpha ({\boldsymbol {x}})|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|

ในขณะที่. นี่หมายความว่า ถ้า $f$ สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด $a$ แล้ว $f$ จะต่อเนื่องที่ $x$ $=$ $a$ แม้ว่าในทางกลับกันจะไม่เป็นจริงก็ตาม - ความต่อเนื่องในโดเมนไม่ได้หมายความถึงความสามารถในการหาอนุพันธ์ในโดเมน ถ้า $f$ สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ $a$ แล้วอนุพันธ์ย่อยอันดับแรกจะมีอยู่ ณ จุด $a$ และ: $\alpha ({\boldsymbol {x}})\to 0$ $|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|\to 0$

\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}=A_{i}({\boldsymbol {a}})

สำหรับ $i = 1, 2, \dots, n$ ซึ่งสามารถหาได้จากนิยามของอนุพันธ์ย่อยแต่ละตัว ดังนั้นอนุพันธ์ย่อยของ $f$ จึงมีอยู่จริง

โดยสมมติว่าระบบพิกัดคาร์ทีเซียนแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีมิติ $n$ มิติ อนุพันธ์ย่อยเหล่านี้สามารถนำมาใช้สร้างตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นแบบ เวกเตอร์ ซึ่งเรียกว่าเกรเดียนต์ (หรือที่รู้จักกันในชื่อ " nabla " หรือ " del ") ในระบบพิกัดนี้:

\nabla f({\boldsymbol {x}})=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)f({\boldsymbol {x}})

มีการใช้งานอย่างแพร่หลายในแคลคูลัสเวกเตอร์เนื่องจากมีประโยชน์ในการสร้างตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์อื่นๆ และการกำหนดทฤษฎีบทในแคลคูลัสเวกเตอร์อย่างกระชับ

จากนั้น เมื่อแทนที่ค่าความชัน $\nabla f$ (ที่ประเมินค่า ณ $x = a)$ ด้วยการจัดเรียงใหม่เล็กน้อย จะได้:

f({\boldsymbol {x}})-f({\boldsymbol {a}})=\nabla f({\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+\alpha |{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|

โดยที่ $\cdot$ หมายถึงผลคูณดอท สมการนี้แสดงถึง การประมาณเชิงเส้นที่ดีที่สุดของฟังก์ชัน $f$ ที่ทุกจุด $x$ ภายในบริเวณใกล้เคียงของ $a$ สำหรับการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยใน $f$ และ $x$ เมื่อ $x \to a$ :

df=\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{1}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{1}+\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{2}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{2}+\dots +\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{n}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{n}=\nabla f({\boldsymbol {a}})\cdot d{\boldsymbol {x}}

ซึ่งนิยามว่าคือผลต่างรวมหรือเรียกง่ายๆ ว่าผลต่างของ $f$ ที่จุด $a$ นิพจน์นี้สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยทั้งหมดของ $f$ โดยการบวกการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยทั้งหมดของ $f$ ใน ทิศทาง $x i$ ทั้งหมด นอกจากนี้ $df$ ยัง สามารถตีความได้ว่าเป็นโคเวกเตอร์ที่มีเวกเตอร์ฐานเป็นการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย $dx i$ ในแต่ละทิศทาง และอนุพันธ์ย่อยของ $f$ เป็นส่วนประกอบ

ในทางเรขาคณิต $\nabla f$ ตั้งฉากกับเซตระดับของ $f$ ซึ่งกำหนดโดย $f (x) = c$ ซึ่งสำหรับค่าคงที่ $c$ บางค่า จะอธิบาย พื้นผิวไฮเปอร์มิติ $(n - 1)$ อนุพันธ์ของค่าคงที่เท่ากับศูนย์:

df=(\nabla f)\cdot d{\boldsymbol {x}}=0

โดยที่ $d x$ คือการ เปลี่ยนแปลง เล็กน้อยของ $x$ ในไฮเปอร์เซอร์ $เฟซ f (x) = c$ และเนื่องจากผลคูณดอทของ $\nabla f$ และ $d x$ เป็นศูนย์ นั่นหมายความว่า $\nabla f$ ตั้งฉากกับ $d x$

ในระบบพิกัดโค้ง ใดๆ ใน มิติ $n$ นิพจน์โดยตรงสำหรับเกรเดียนต์จะไม่เรียบง่ายเช่นนั้น – จะต้องมีตัวประกอบมาตราส่วนในรูปของเทนเซอร์เมตริกสำหรับระบบพิกัดนั้น สำหรับกรณีข้างต้นที่ใช้ตลอดบทความนี้ เมตริกคือเดลต้าโครเนกเกอร์และตัวประกอบมาตราส่วนทั้งหมดคือ 1

คลาสของความสามารถในการหาอนุพันธ์

ถ้าอนุพันธ์ย่อยอันดับแรกทั้งหมดที่ประเมิน ณ จุด $a$ ในโดเมน:

\left.{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}\,,\quad \left.{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}\,,\ldots ,\left.{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}

มีอยู่และต่อเนื่องสำหรับทุกค่า $a$ ในโดเมน $f$ มีคลาสความสามารถในการหาอนุพันธ์ $C 1$ โดยทั่วไป ถ้า อนุพันธ์ย่อยอันดับ $p$ ทั้งหมด ที่ประเมิน ณ จุด $a$ :

\left.{\frac {\partial ^{p}}{\partial x_{1}^{p_{1}}\partial x_{2}^{p_{2}}\cdots \partial x_{n}^{p_{n}}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}

ถ้า f มีอยู่และต่อเนื่อง โดยที่ $p 1, p 2, \dots, p n$ และ $p$ เป็นดังข้างต้น สำหรับทุก $ค่า a$ ในโดเมน แล้ว $f$ สามารถหาอนุพันธ์ได้ถึงอันดับ $p$ ตลอดทั้งโดเมน และมีชั้นความสามารถในการหาอนุพันธ์ $C p$

ถ้า $f$ อยู่ในชั้นความสามารถในการหาอนุพันธ์ $C \infty$ $f$ จะมีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องทุกอันดับและเรียกว่าเรียบถ้า f $เป็น$ ฟังก์ชันวิเคราะห์และเท่ากับอนุกรมเทย์เลอร์ ของ f รอบจุดใดๆ ในโดเมน สัญลักษณ์ $C ω$ จะแทนชั้นความสามารถในการหาอนุพันธ์นี้

การบูรณาการหลายแบบ

การอินทิเกรตแบบจำกัดขอบเขตสามารถขยายไปสู่การอินทิเกรตหลายตัวแปรโดยใช้สัญลักษณ์ดังนี้;

\int _{R_{n}}\cdots \int _{R_{2}}\int _{R_{1}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}\equiv \int _{R}f({\boldsymbol {x}})\,d^{n}{\boldsymbol {x}}

โดยที่แต่ละบริเวณ $R 1, R 2, \dots, R n$ เป็นเซตย่อยหรือทั้งหมดของเส้นจำนวนจริง:

R_{1}\subseteq \mathbb {R} \,,\quad R_{2}\subseteq \mathbb {R} \,,\ldots ,R_{n}\subseteq \mathbb {R} ,

และผลคูณคาร์ทีเซียนของพวกมันจะให้พื้นที่ที่จะทำการอินทิเกรตเป็นเซตเดียว:

R=R_{1}\times R_{2}\times \dots \times R_{n}\,,\quad R\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,,

ปริมาตรหลาย มิติ $n$ มิติเมื่อประเมินค่าแล้ว อินทิกรัลจำกัดจะเป็นจำนวนจริงก็ต่อเมื่ออินทิกรัลลู่เข้าในบริเวณ $R$ ของการอินทิเกรต (ผลลัพธ์ของอินทิกรัลจำกัดอาจลู่เข้าสู่ค่าอนันต์สำหรับบริเวณที่กำหนด ในกรณีเช่นนั้น อินทิกรัลจะยังคงไม่นิยาม) ตัวแปรต่างๆ จะถูกมองว่าเป็นตัวแปร "เสมือน" หรือ"ตัวแปรผูกพัน"ซึ่งถูกนำมาใช้แทนตัวเลขในกระบวนการอินทิเกรต

อินทิกรัลของฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริง $y = f (x)$ เทียบกับ $x$ มีการตีความทางเรขาคณิตเป็นพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง $y = f (x)$ และ แกน $x$ อินทิกรัลหลายชั้นขยายมิติของแนวคิดนี้: โดยสมมติว่า มี ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าในมิติ $n$ อิน ทิกรัลจำกัดข้างต้นมีการตีความทางเรขาคณิตเป็นปริมาตร หลายมิติในมิติ $n$ ที่ล้อมรอบด้วย $f$ $($ $x$ $)$ และ แกน $x₁$ $,$ $x₂$ $,$ $\dots,$ $xₙ ซึ่งอาจมีค่าเป็นบวก ลบ หรือศูนย์ ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันที่กำลังหาอินทิก$ $รั$ $ล$ (ถ้าอินทิกรัลลู่เข้า)

แม้ว่าแนวคิดเรื่องปริมาตรไฮเปอร์แบบจำกัดจะเป็นประโยชน์ แต่แนวคิดที่สำคัญกว่าของปริพันธ์จำกัดก็คือ การที่มันแสดงถึงปริมาณรวมภายในพื้นที่ ซึ่งมีความสำคัญในคณิตศาสตร์ประยุกต์และฟิสิกส์ กล่าวคือ ถ้า $f$ เป็น สนาม ความหนาแน่นสเกลาร์และ $x$ เป็น พิกัด เวกเตอร์ตำแหน่งกล่าวคือปริมาณสเกลาร์ต่อหน่วย ปริมาตรไฮเปอร์ nมิติ การอินทิเกรตเหนือบริเวณ $R$ จะให้ปริมาณรวมใน $R$ แนวคิดที่เป็นทางการมากขึ้นของปริมาตรไฮเปอร์เป็นหัวข้อของทฤษฎีการวัดข้างต้นเราใช้การวัดของเลเบสดูการอินทิเกรตของเลเบสสำหรับข้อมูลเพิ่มเติมในหัวข้อนี้

ทฤษฎีบท

ด้วยนิยามของการอินทิเกรตหลายตัวและการอนุพันธ์ย่อยหลายตัว ทำให้สามารถกำหนดทฤษฎีบทสำคัญๆ ได้ รวมถึงทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสในตัวแปรจริงหลายตัว (เช่นทฤษฎีบทของสโตกส์ ) การอินทิเกรตโดยส่วนในตัวแปรจริงหลายตัวสมมาตรของการอนุพันธ์ย่อยระดับสูงและ ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์สำหรับฟังก์ชันหลายตัวแปรการประเมินค่าส่วนผสมของการอินทิเกรตและการอนุพันธ์ย่อยหลายตัวสามารถทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทการหาอนุพันธ์ภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัล

แคลคูลัสเวกเตอร์

เราสามารถรวบรวมฟังก์ชันจำนวนหนึ่งซึ่งแต่ละฟังก์ชันประกอบด้วยตัวแปรจริงหลายตัวได้ เช่น

y_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad y_{2}=f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\ldots ,y_{m}=f_{m}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})

แปลงเป็น $m$ -tuple หรือบางครั้งอาจเป็นเวกเตอร์คอลัมน์หรือเวกเตอร์แถวตามลำดับ:

(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m})\leftrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\f_{2}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&\cdots &f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}

เวกเตอร์ทั้งหมดได้รับการปฏิบัติในลักษณะเดียวกันกับเวกเตอร์ฟิลด์ ที่มี $m$ องค์ประกอบและใช้รูปแบบใดก็ได้ที่สะดวก สัญลักษณ์ทั้งหมดข้างต้นมีสัญลักษณ์ย่อร่วมกัน คือ $y$ $=$ $f$ $($ $x$ $)$ แคลคูลัสของเวกเตอร์ฟิลด์ดังกล่าวเรียกว่าแคลคูลัสเวกเตอร์สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการจัดการเวกเตอร์แถวและเวกเตอร์คอลัมน์ของฟังก์ชันหลายตัวแปร โปรดดูแคลคูลัสเมทริกซ์

ฟังก์ชันโดยนัย

ฟังก์ชันโดยปริยายค่าจริงของตัวแปรจริงหลายตัวไม่ได้เขียนในรูปแบบ " $y = f (\dots)$ " แต่การแมปจะเป็นจากปริภูมิ $R n + 1$ ไปยังองค์ประกอบศูนย์ใน $R$ (เพียงแค่ศูนย์ธรรมดา 0):

{\begin{aligned}&\phi :\mathbb {R} ^{n+1}\to \{0\}\\&\phi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},y)=0\end{aligned}}

เป็นสมการที่มีตัวแปรทั้งหมด ฟังก์ชันโดยปริยายเป็นวิธีที่ทั่วไปกว่าในการแสดงฟังก์ชัน เนื่องจากถ้า:

y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

จากนั้นเราก็สามารถกำหนดได้เสมอว่า:

\phi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},y)=y-f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0

แต่ในทางกลับกันนั้นไม่สามารถทำได้เสมอไป กล่าวคือ ฟังก์ชันโดยนัยบางฟังก์ชันอาจไม่มีรูปแบบที่ชัดเจน

ตัวอย่างเช่น เมื่อใช้สัญลักษณ์ช่วงให้กำหนด

{\begin{aligned}&\phi :X\to \{0\}\\&\phi (x,y,z)=\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{c}}\right)^{2}-1=0\\&X=[-a,a]\times [-b,b]\times [-c,c]=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\,:\,-a\leq x\leq a,-b\leq y\leq b,-c\leq z\leq c\right\}.\end{aligned}}

เมื่อเลือกใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติ (3D) ฟังก์ชันนี้จะอธิบายพื้นผิวของทรงรี สามมิติ ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ โดยมีแกนกึ่งเอก $a, b, c$ คงที่ ตามแนว แกน x , yและzบวกตามลำดับ ในกรณีที่ $a = b = c = r$ เราจะได้ทรงกลมรัศมี $r$ ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด ตัวอย่าง ภาคตัดกรวย อื่นๆ ที่สามารถอธิบายได้ในทำนองเดียวกัน ได้แก่ไฮเปอร์โบโลอิดและพาราโบโลอิดและโดยทั่วไปแล้วพื้นผิวสองมิติใดๆ ในปริภูมิยูคลิดสามมิติก็สามารถอธิบายได้เช่นกัน ตัวอย่างข้างต้นสามารถหาค่า $x$ , $y$ หรือ $z$ ได้ แต่การเขียนในรูปแบบปริยายจะดูเรียบร้อยกว่ามาก

ตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้:

{\begin{aligned}&\phi :\mathbb {R} ^{4}\to \{0\}\\&\phi (t,x,y,z)=Ctze^{tx-yz}+A\sin(3\omega t)\left(x^{2}z-By^{6}\right)=0\end{aligned}}

สำหรับค่าคงที่จริงที่ไม่เป็นศูนย์ $A, B, C, ω$ ฟังก์ชันนี้กำหนดไว้อย่างดีสำหรับทุก $(t, x, y, z)$ แต่ไม่สามารถหาคำตอบที่ชัดเจนสำหรับตัวแปรเหล่านี้และเขียนเป็น " $t =$ ", " $x =$ ", เป็นต้นได้

ทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายของตัวแปรจริงมากกว่าสองตัวเกี่ยวข้องกับความต่อเนื่องและความสามารถในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ดังต่อไปนี้^{[ 4 ]}ให้ $ϕ (x 1, x 2, \dots, x n)$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีอนุพันธ์ย่อยอันดับแรกต่อเนื่อง และให้ϕที่ประเมินค่า ณ จุด $(a, b) = (a 1, a 2, \dots, a n, b)$ เป็นศูนย์:

\phi ({\boldsymbol {a}},b)=0;

และให้ค่าอนุพันธ์ย่อยอันดับแรกของ $ϕ$ เทียบกับ $y$ ที่ประเมิน ณ จุด $(a, b)$ มีค่าไม่เป็นศูนย์:

\left.{\frac {\partial \phi ({\boldsymbol {x}},y)}{\partial y}}\right|_{({\boldsymbol {x}},y)=({\boldsymbol {a}},b)}\neq 0.

จากนั้น จะมีช่วง $[y 1, y 2]$ ที่ประกอบด้วย $b$ และบริเวณ $R$ ที่ประกอบด้วย $(a, b)$ โดยที่สำหรับทุก $x$ ใน $R$ จะมีค่า $y$ เพียงค่าเดียว ใน $[y 1, y 2]$ ที่สอดคล้องกับ $ϕ (x, y) = 0$ และ $y$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของ $x$ ดังนั้น $ϕ (x, y (x)) = 0$ อนุพันธ์รวมของฟังก์ชันมีดังนี้:

dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}dx_{2}+\dots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n};

d\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial \phi }{\partial x_{2}}}dx_{2}+\dots +{\frac {\partial \phi }{\partial x_{n}}}dx_{n}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}dy.

เมื่อแทน $ค่า dy$ ลงในอนุพันธ์ตัวหลังและเทียบสัมประสิทธิ์ของอนุพันธ์ จะได้อนุพันธ์ย่อยอันดับแรกของ $y$ เทียบกับ $x i$ ในรูปของอนุพันธ์ของฟังก์ชันดั้งเดิม ซึ่งแต่ละตัวเป็นคำตอบของสมการเชิงเส้น

{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}=0

สำหรับ $i = 1, 2, \dots$ , $n$

ฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนของตัวแปรจริงหลายตัว

ฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนของตัวแปรจริงหลายตัวสามารถกำหนดได้โดยการผ่อนปรนข้อจำกัดของโคโดเมนให้เป็นจำนวนจริงในนิยามของฟังก์ชันค่าจริง และอนุญาตให้มีค่า เชิงซ้อนได้

ถ้า $f (x 1, \dots, x n)$ เป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนดังกล่าว ก็สามารถแยกส่วนประกอบได้ดังนี้

f(x_{1},\ldots ,x_{n})=g(x_{1},\ldots ,x_{n})+ih(x_{1},\ldots ,x_{n}),

โดยที่ $g$ และ $h$ เป็นฟังก์ชันค่าจริง กล่าวอีกนัยหนึ่ง การศึกษาฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนสามารถลดทอนลงเหลือการศึกษาคู่ของฟังก์ชันค่าจริงได้อย่างง่ายดาย

การลดรูปนี้ใช้ได้กับคุณสมบัติทั่วไป อย่างไรก็ตาม สำหรับฟังก์ชันที่ระบุไว้อย่างชัดเจน เช่น:

z(x,y,\alpha ,a,q)={\frac {q}{2\pi }}\left[\ln \left(x+iy-ae^{i\alpha }\right)-\ln \left(x+iy+ae^{-i\alpha }\right)\right]

การคำนวณส่วนจริงและส่วนจินตนาการอาจเป็นเรื่องยาก

แอปพลิเคชัน

ฟังก์ชันหลายตัวแปรของตัวแปรจริงเกิดขึ้นอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ในวิศวกรรมและฟิสิกส์เนื่องจากปริมาณทางกายภาพ ที่สังเกตได้ เป็นจำนวนจริง (ที่มีหน่วยและมิติ ที่เกี่ยวข้อง ) และปริมาณทางกายภาพใดๆ ก็ตามโดยทั่วไปจะขึ้นอยู่กับปริมาณอื่นๆ อีกหลายปริมาณ

ตัวอย่างของฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริงหลายตัว

ตัวอย่างในกลศาสตร์ต่อเนื่องได้แก่ความหนาแน่น มวลเฉพาะที่ $ρ$ ของการกระจายมวล ซึ่งเป็น สนามสเกลาร์ที่ขึ้นอยู่กับพิกัดตำแหน่งเชิงพื้นที่ (ในที่นี้ใช้พิกัดคาร์ทีเซียนเป็นตัวอย่าง) $r = (x, y, z)$ และเวลา $t$ :

\rho =\rho (\mathbf {r} ,t)=\rho (x,y,z,t)

ในทำนองเดียวกันสำหรับความหนาแน่นประจุไฟฟ้าของ วัตถุ ที่มีประจุไฟฟ้าและสนาม ศักย์สเกลาร์ อื่นๆ อีกมากมาย

อีกตัวอย่างหนึ่งคือสนามความเร็วซึ่งเป็นสนามเวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบของความเร็ว $v = (v x, v y, v z)$ ซึ่งแต่ละส่วนประกอบเป็นฟังก์ชันหลายตัวแปรของพิกัดเชิงพื้นที่และเวลาในลักษณะเดียวกัน:

\mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (x,y,z,t)=[v_{x}(x,y,z,t),v_{y}(x,y,z,t),v_{z}(x,y,z,t)]

ในทำนองเดียวกันสำหรับสนามเวกเตอร์ทางกายภาพอื่นๆ เช่นสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กและสนาม ศักย์เวกเตอร์

อีกตัวอย่างที่สำคัญคือสมการสถานะในอุณหพลศาสตร์ซึ่งเป็นสมการที่เชื่อมโยงความดัน $P$ อุณหภูมิ $T$ และปริมาตร $V$ ของของเหลว โดยทั่วไปจะมีรูปแบบโดยปริยาย :

f(P,V,T)=0

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือกฎของแก๊สอุดมคติ :

f(P,V,T)=PV-nRT=0

โดยที่ $n$ คือจำนวนโมลซึ่งเป็นค่าคงที่สำหรับปริมาณสาร ที่กำหนด และ $R คือ$ ค่าคงที่ของแก๊ส สมการสถานะที่ซับซ้อนกว่านี้ได้รับการพัฒนาขึ้นจากประสบการณ์ แต่ทั้งหมดก็มีรูปแบบโดยนัยดังที่กล่าวมาข้างต้น

ฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริงหลายตัวปรากฏให้เห็นอย่างแพร่หลายในวิชาเศรษฐศาสตร์ในพื้นฐานของทฤษฎีผู้บริโภคอรรถประโยชน์ถูกแสดงออกมาในรูปของฟังก์ชันของปริมาณสินค้าต่างๆ ที่บริโภค โดยแต่ละปริมาณเป็นตัวแปรในฟังก์ชันอรรถประโยชน์ ผลลัพธ์ของการเพิ่มอรรถประโยชน์สูงสุดคือชุดของฟังก์ชันอุปสงค์ซึ่งแต่ละฟังก์ชันแสดงถึงปริมาณความต้องการสินค้าเฉพาะอย่างในรูปของฟังก์ชันของราคาสินค้าต่างๆ และรายได้หรือความมั่งคั่ง ในทฤษฎีผู้ผลิตโดยทั่วไปแล้ว บริษัทจะถูกสมมติว่าพยายามเพิ่มกำไรสูงสุดในรูปของฟังก์ชันของปริมาณสินค้าต่างๆ ที่ผลิตได้และปริมาณปัจจัยการผลิตต่างๆ ที่ใช้ ผลลัพธ์ของการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดคือชุดของฟังก์ชันอุปสงค์สำหรับปัจจัยการผลิตต่างๆ และชุดของฟังก์ชันอุปทานสำหรับผลิตภัณฑ์ต่างๆ โดยแต่ละฟังก์ชันจะมีราคาสินค้าและปัจจัยการผลิตเป็นตัวแปร

ตัวอย่างของฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนของตัวแปรจริงหลายตัว

ปริมาณทางกายภาพบางอย่างอาจมีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน เช่นอิมพีแดนซ์เชิงซ้อน ค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าเชิงซ้อน ค่าสภาพซึมผ่านทางแม่เหล็กเชิงซ้อนและดัชนีหักเหเชิงซ้อน ซึ่งปริมาณเหล่านี้ก็เป็นฟังก์ชันของตัวแปรจริง เช่น ความถี่หรือเวลา รวมถึงอุณหภูมิด้วย

ใน กลศาสตร์ของไหลสองมิติโดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีการไหลศักย์ที่ใช้ในการอธิบายการเคลื่อนที่ของของไหลใน 2 มิติศักย์เชิงซ้อน

F(x,y,\ldots )=\varphi (x,y,\ldots )+i\psi (x,y,\ldots )

เป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนของพิกัดเชิงพื้นที่สองพิกัด $x$ และ $y$ และ ตัวแปร จริง อื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับระบบ ส่วนจริงคือศักย์ความเร็วและส่วนจินตนาการคือฟังก์ชันกระแส

ฮาร์มอนิกทรงกลมปรากฏในฟิสิกส์และวิศวกรรมในฐานะคำตอบของสมการลาปลาสรวมถึงฟังก์ชันเฉพาะของตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมองค์ประกอบzซึ่งเป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนของมุมเชิงขั้วทรง กลมค่าจริง :

Y_{\ell }^{m}=Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )

ในกลศาสตร์ควอนตัม ฟังก์ชันคลื่นจำเป็นต้องมีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน แต่เป็นฟังก์ชันของ พิกัดเชิงพื้นที่ จริง (หรือ ส่วนประกอบ ของโมเมนตัม ) เช่นเดียวกับเวลา $t$ :

\Psi =\Psi (\mathbf {r} ,t)=\Psi (x,y,z,t)\,,\quad \Phi =\Phi (\mathbf {p} ,t)=\Phi (p_{x},p_{y},p_{z},t)

โดยแต่ละส่วนมีความสัมพันธ์กันด้วยการแปลงฟูริเยร์

ดูเพิ่มเติม

[ 1 ]

2

[ 3 ]

[ 4 ]