ในทางคณิตศาสตร์บันเดิลบานาค (Banach bundle)คือบันเดิลเวกเตอร์ที่แต่ละไฟเบอร์เป็นปริภูมิบานาค (Banach space)กล่าวคือปริภูมิเวกเตอร์บรรทัดฐานสมบูรณ์ ซึ่งอาจมีมิติอนันต์ได้

ให้Mเป็นแมนิโฟลด์แบบบานาคที่มีระดับC ^pโดยที่p ≥ 0 เรียกว่าปริภูมิฐานให้Eเป็นปริภูมิเชิงทอพอ โล ยีเรียกว่าปริภูมิทั้งหมดให้π  : E → Mเป็นแผนที่ต่อเนื่องแบบทั่วถึง สมมติว่าสำหรับแต่ละจุดx ∈ Mไฟเบอร์E _x = π ⁻¹ ( x ) ได้รับโครงสร้างของปริภูมิแบบบานาคแล้ว ให้

${\displaystyle \{U_{i}|i\in I\}}$

เป็นการคลุมแบบเปิดของMสมมติด้วยว่าสำหรับแต่ละi ∈ Iจะมีปริมาณเวกเตอร์แบบบานาคX _iและแผนที่τ _i

${\displaystyle \tau _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times X_{i}}$

โดยที่

• แผนที่τ _iเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมที่สลับที่กับการฉายภาพลงบนU _iกล่าวคือแผนภาพต่อไปนี้สลับที่ กันได้ :

และสำหรับแต่ละx ∈ U _iแผนที่เหนี่ยวนำτ _ixบนไฟเบอร์E _x

${\displaystyle \tau _{ix}:\pi ^{-1}(x)\to X_{i}}$

เป็นแผนที่เชิงเส้นต่อเนื่องที่ผกผันได้ กล่าว คือ เป็นไอโซมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี

• ถ้าU _iและU _jเป็นสมาชิกสองตัวของกลุ่มปกคลุมแบบเปิดแล้ว แผนที่จะเป็นดังนี้

${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\to \mathrm {Lin} (X_{i};X_{j})}$

${\displaystyle x\mapsto (\tau _{j}\circ \tau _{i}^{-1})_{x}}$

เป็นมอร์ฟิซึม (แผนที่อนุพันธ์ของคลาสC ^p ) โดยที่ Lin( X ; Y ) หมายถึงปริภูมิของแผนที่เชิงเส้นต่อเนื่องทั้งหมดจากปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีX ไปยังปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยี Yอีกปริภูมิหนึ่ง

เซต {( U _i , τ _i )| i ∈ I } เรียกว่าการปกคลุมแบบลดทอนสำหรับπ  : E → Mและแผนที่τ _iเรียกว่าแผนที่ลดทอนการปกคลุมแบบลดทอนสองแบบจะเรียกว่าสมมูลกันถ้าการรวมกันของทั้งสองแบบเป็นไปตามเงื่อนไขสองข้อข้างต้นชั้นสมมูล ของการ ปกคลุม แบบลดทอนดังกล่าวเรียกว่า กำหนดโครงสร้างของบันเดิลบานาคบนπ  : E → M

ถ้าปริภูมิX _i ทั้งหมด เป็นไอโซมอร์ฟิกกันในฐานะปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแล้ว ก็สามารถสันนิษฐานได้ว่าปริภูมิเหล่านั้นทั้งหมดเท่ากับปริภูมิX เดียวกัน ในกรณีนี้π  : E → Mเรียกว่าบันเดิลบานาคที่มีไฟเบอร์Xถ้าMเป็นปริภูมิเชื่อมต่อแล้ว กรณีนี้จะต้องเป็นเช่นนั้นเสมอ เนื่องจากเซตของจุด x ∈ Mที่มีแผนที่แบบไม่สำคัญสำหรับจุดเหล่านั้นคือ เซตของจุด x ∈ M

${\displaystyle \tau _{ix}:\pi ^{-1}(x)\to X}$

สำหรับปริภูมิX ที่กำหนดนั้น ปริภูมิดังกล่าว เป็นได้ทั้งปริภูมิเปิดและปริภูมิ ปิด

ในกรณีมิติจำกัด เงื่อนไขข้อที่สองข้างต้นนั้นได้มาจากเงื่อนไขข้อแรกอยู่แล้ว

• ถ้าVเป็นปริมาณเวกเตอร์แบบบานาคใดๆปริมาณเวกเตอร์สัมผัส T _x VของVที่จุดใดๆx ∈ V จะสมสัณฐานกับ Vเองอย่างชัดเจน ดังนั้น บันเดิลสัมผัส T VของVจึงเป็นบันเดิลแบบบานาคที่มีการฉายภาพตามปกติ

${\displaystyle \pi :\mathrm {T} V\to V;}$

${\displaystyle (x,v)\mapsto x.}$

บันเดิลนี้ "ไม่สำคัญ" ในแง่ที่ว่า T Vยอมรับแผนที่การทำให้ไม่สำคัญที่กำหนดไว้ทั่วโลก: ฟังก์ชันเอกลักษณ์

${\displaystyle \tau =\mathrm {id} :\pi ^{-1}(V)=\mathrm {T} V\to V\times V;}$

${\displaystyle (x,v)\mapsto (x,v)}$

• ถ้าMเป็นแมนิโฟลด์แบบบานาคใดๆ บันเดิลสัมผัส T MของMจะก่อให้เกิดบันเดิลแบบบานาคโดยสัมพันธ์กับการฉายภาพตามปกติ แต่บันเดิลนั้นอาจไม่ใช่บันเดิลแบบธรรมดา
• ในทำนองเดียวกันบันเดิลโคแทนเจนต์ T* Mซึ่งไฟเบอร์เหนือจุดx ∈ Mคือปริภูมิคู่โทโพโลยีของปริภูมิแทนเจนต์ที่x :

${\displaystyle \pi ^{-1}(x)=\mathrm {T} _{x}^{*}M=(\mathrm {T} _{x}M)^{*};}$

นอกจากนี้ยังก่อให้เกิดบันเดิลแบบบานาคโดยสัมพันธ์กับการฉายภาพปกติลงบนMด้วย

• มีความเชื่อมโยงระหว่างปริภูมิบอคเนอร์และบันเดิลบานาค ตัวอย่างเช่น พิจารณาปริภูมิบอคเนอร์X  =  L² ([0,  T ];  H₁ ( ^Ω )) ซึ่งอาจเป็นวัตถุที่มีประโยชน์เมื่อศึกษา เกี่ยวกับ สมการความร้อนบนโดเมน Ω เราอาจมองหาคำตอบσ  ∈  Xของสมการความร้อน สำหรับแต่ละเวลาt , σ ( t ) เป็นฟังก์ชันในปริภูมิโซโบเลฟ^H₁ ( Ω) เราอาจนึกถึงY  = [0,  T ] ×  H₁ ( ^Ω ) ซึ่งเมื่อนำมาคูณแบบคาร์ทีเซียน^แล้วก็มีโครงสร้างของบันเดิลบานาคเหนือแมนิโฟลด์ [0,  T ] ที่มีไฟเบอร์H₁ (Ω) ในกรณีนี้ องค์ประกอบ/คำตอบσ  ∈  Xเป็นภาคตัดขวางของบันเดิลYที่มีความสม่ำเสมอที่กำหนดไว้ ( L²ในความเป็นจริง) หากเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ของปัญหาที่เกี่ยวข้องมีความสำคัญเป็นพิเศษ มุมมองของบันเดิลบานาคอาจเป็นประโยชน์

สามารถสร้างหมวดหมู่ (category) จากบันเดิลบานาคทั้งหมดได้โดยการกำหนดมอร์ฟิซึมที่เหมาะสม

ให้π  : E → Mและπ ′ : E ′ → M ′ เป็นบันเดิลแบบบานาคสองบันเดิล มอร์ฟิซึมของบันเดิลแบบบานาคจากบันเดิลแรกไปยังบันเดิลที่สองประกอบด้วยมอร์ฟิซึมคู่หนึ่ง

${\displaystyle f_{0}:M\to M';}$

${\displaystyle f:E\to E'.}$

การที่fเป็นมอร์ฟิซึมหมายความว่าfเป็นแผนที่ต่อเนื่องของปริภูมิเชิงทอพอโลยี ถ้าแมนิโฟลด์MและM ′ ต่างก็เป็นคลาสC ^pแล้ว ข้อกำหนดที่ว่าf ₀ต้องเป็นมอร์ฟิซึมก็คือข้อกำหนดที่ว่า f ต้องเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ต่อเนื่องp ครั้ง มอร์ฟิซึมทั้งสองนี้จำเป็นต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสองข้อ (อีกครั้ง เงื่อนไขข้อที่สองนั้นซ้ำซ้อนในกรณีมิติจำกัด):

• แผนภาพ

สลับกันได้ และสำหรับแต่ละx ∈ Mแผนที่เหนี่ยวนำ

${\displaystyle f_{x}:E_{x}\to E'_{f_{0}(x)}}$

เป็นแผนที่เชิงเส้นต่อเนื่อง

• สำหรับแต่ละx ₀ ∈ Mจะมีแผนที่ที่ทำให้เป็นแบบไม่สำคัญอยู่

${\displaystyle \tau :\pi ^{-1}(U)\to U\times X}$

${\displaystyle \tau ':\pi '^{-1}(U')\to U'\times X'}$

โดยที่x ₀ ∈ U , f ₀ ( x ₀ ) ∈ U ′,

${\displaystyle f_{0}(U)\subseteq U'}$

และแผนที่

${\displaystyle U\to \mathrm {Lin} (X;X')}$

${\displaystyle x\mapsto \tau '_{f_{0}(x)}\circ f_{x}\circ \tau ^{-1}}$

เป็นมอร์ฟิซึม (แผนที่อนุพันธ์ของคลาสC ^p )

เราสามารถใช้บันเดิลบานาคบนแมนิโฟลด์หนึ่ง และใช้ การสร้าง แบบพูลแบ็กเพื่อกำหนดบันเดิลบานาคใหม่บนแมนิโฟลด์ที่สองได้

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้π  : E → Nเป็นบันเดิลแบบบานาค และf  : M → Nเป็นแผนที่ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ (เช่นเคย ทุกอย่างเป็นC ^p ) จากนั้นพูลแบ็กของπ  : E → Nคือบันเดิลแบบบานาคf * π  : f * E → Mซึ่งมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• สำหรับแต่ละx ∈ M , ( f * E ) _x = E _{f ( x )} ;
• มีแผนภาพการสลับที่

โดยแผนที่แนวนอนด้านบนแสดงถึงเอกลักษณ์ของเส้นใยแต่ละเส้น

• ถ้าEเป็นเซตที่ไม่สำคัญ กล่าวคือเท่ากับN × XสำหรับปริภูมิบานาคX บางตัว แล้วf * Eก็เป็นเซตที่ไม่สำคัญและเท่ากับM × Xเช่นกัน

${\displaystyle f^{*}\pi :f^{*}E=M\times X\to M}$

คือการฉายภาพลงบนพิกัดแรก

• ถ้าVเป็นเซตย่อยเปิดของNและU = f ⁻¹ ( V ) แล้ว

${\displaystyle f^{*}(E_{V})=(f^{*}E)_{U}}$

และมีแผนภาพการสลับตำแหน่ง

โดยที่แผนที่ด้าน "หน้า" และ "หลัง" เหมือนกับแผนที่ในแผนภาพก่อนหน้า และแผนที่จาก "หลัง" ไป "หน้า" นั้น (เกิดจากการ) รวมเข้าด้วยกัน