ในทางคณิตศาสตร์การจำกัดขอบเขตของฟังก์ชัน คือ ฟังก์ชันใหม่ที่ได้มาจากการเลือกโดเมน ที่เล็กลง สำหรับฟังก์ชันเดิม ฟังก์ชันนั้นจึงเรียกว่าขยายขอบเขต ของฟังก์ชันนั้น${\displaystyle f}$${\displaystyle f\vert _{A}}$${\displaystyle f{\upharpoonright _{A}},}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\vert _{A}.}$

ให้เป็นฟังก์ชันจากเซตไปยังเซตถ้าเซตเป็นเซตย่อยของแล้วข้อจำกัดของไปยัง คือฟังก์ชัน^{[ 1 ]} ที่กำหนดโดยสำหรับอย่างไม่เป็นทางการ ข้อจำกัดของไปยังคือฟังก์ชันเดียวกันกับแต่กำหนดไว้เฉพาะบนเท่านั้น ${\displaystyle f:E\to F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle {f|}_{A}:A\to F}$$${\displaystyle {f|}_{A}(x)=f(x)}$${\displaystyle x\in A.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle A}$

หาก มองฟังก์ชัน เป็น ความสัมพันธ์บนผลคูณคาร์ทีเซียนการจำกัดของไปยัง สามารถแสดงได้ด้วยกราฟของ ฟังก์ชันนั้น${\displaystyle f}$${\displaystyle (x,f(x))}$${\displaystyle E\times F,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),}$

โดยที่คู่ต่างๆแทนคู่ลำดับในกราฟ${\displaystyle (x,f(x))}$${\displaystyle G.}$

ฟังก์ชันถูกเรียกว่าเป็น${\displaystyle F}$การขยายฟังก์ชันอื่นถ้าเมื่อใดก็ตามที่ อยู่ในโดเมนของแล้วก็จะอยู่ในโดเมนของด้วย นั่นคือ ถ้าและ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f(x)=F(x).}$${\displaystyle \operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F}$${\displaystyle F{\big \vert }_{\operatorname {domain} f}=f.}$

เอการขยายเชิงเส้น (ตามลำดับ,การขยายแบบต่อเนื่อง (เช่น การขยายแบบต่อเนื่อง) ของฟังก์ชันคือการขยายของฟังก์ชันที่เป็นแผนที่เชิงเส้น(เช่นแผนที่แบบต่อเนื่อง) เช่นกัน ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

1. ข้อจำกัดของฟังก์ชันที่ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (non-injective function ) ในโดเมนนั้นคือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injection function)${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}=[0,\infty )}$${\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}.}$
2. ฟังก์ชันแฟกทอเรียลคือการจำกัดฟังก์ชันแกมมาให้อยู่บนจำนวนเต็มบวก โดยที่ค่าอาร์กิวเมนต์ถูกเลื่อนไปหนึ่งตำแหน่ง:${\displaystyle {\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!}$

• การจำกัดฟังก์ชันให้อยู่ในโดเมนทั้งหมดของ ฟังก์ชันนั้น จะได้ฟังก์ชันเดิมกลับคืนมา นั่นคือ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f|_{X}=f.}$
• การจำกัดฟังก์ชันสองครั้งนั้นเหมือนกับการจำกัดฟังก์ชันครั้งเดียว กล่าวคือ ถ้าแล้ว${\displaystyle A\subseteq B\subseteq \operatorname {dom} f,}$${\displaystyle \left(f|_{B}\right)|_{A}=f|_{A}.}$
• ข้อจำกัดของฟังก์ชันเอกลักษณ์บนเซตไปยังเซตย่อยของคือแผนที่การรวมจากไปยัง^{[ 2 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$
• ข้อจำกัดของฟังก์ชันต่อเนื่องคือฟังก์ชันต่อเนื่อง^{[ 3 ] [ 4 ]}

ฟังก์ชันจะมีฟังก์ชันผกผันได้ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งถ้าฟังก์ชันไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง อาจสามารถหาฟังก์ชันผกผันบางส่วน ได้ โดยการจำกัดโดเมน ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน ที่กำหนดบนช่วงทั้งหมดของไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เนื่องจากสำหรับทุก ๆ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันจะกลายเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งถ้าเราจำกัดให้อยู่ในโดเมนซึ่งในกรณีนี้ ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(x)=x^{2}}$$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty ),}$$${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$$

(ถ้าเราจำกัดขอบเขตให้อยู่ในโดเมนที่กำหนด ตัวผกผันจะเป็นค่าลบของรากที่สองของ) หรืออีกทางหนึ่ง ไม่จำเป็นต้องจำกัดขอบเขตของโดเมน หากเราอนุญาตให้ตัวผกผันเป็นฟังก์ชันที่มีหลายค่าได้ ${\displaystyle (-\infty ,0],}$${\displaystyle y.}$

ในพีชคณิตเชิงสัมพันธ์การเลือก (บางครั้งเรียกว่าข้อจำกัดเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับการใช้ SELECT ในSQL ) เป็นการ ดำเนินการเอกภาคที่เขียนในรูปแบบ หรือโดยที่: ${\displaystyle \sigma _{a\theta b}(R)}$${\displaystyle \sigma _{a\theta v}(R)}$

• ${\displaystyle a}$และเป็นชื่อคุณลักษณะ${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle \theta }$เป็นการดำเนินการแบบไบนารีในเซต${\displaystyle \{<,\leq ,=,\neq ,\geq ,>\},}$
• ${\displaystyle v}$เป็นค่าคงที่
• ${\displaystyle R}$เป็นความสัมพันธ์

การเลือกนี้ จะเลือก คู่ข้อมูลทั้งหมดที่ตรงตามเงื่อนไขระหว่างค่าและแอตทริบิวต์ ${\displaystyle \sigma _{a\theta b}(R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

การเลือกนี้จะเลือกคู่ข้อมูลทั้งหมดที่ตรงตามเงื่อนไขระหว่างแอตทริบิวต์และค่า${\displaystyle \sigma _{a\theta v}(R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle a}$${\displaystyle v.}$

ดังนั้น ตัวดำเนินการเลือกจึงจำกัดการเลือกให้เหลือเพียงส่วนย่อยของฐานข้อมูลทั้งหมด

ทฤษฎีบทการวาง (Pasting Lemma) เป็นผลลัพธ์ในทางโทโพโลยีที่เชื่อมโยงความต่อเนื่องของฟังก์ชันกับความต่อเนื่องของการจำกัดฟังก์ชันนั้นบนเซตย่อย

ให้และ เป็นเซตย่อยปิดสองเซต (หรือเซตย่อยเปิดสองเซต) ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีโดยที่และให้เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีเช่นกัน ถ้าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเมื่อจำกัดให้อยู่ในทั้งและแล้วเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A=X\cup Y,}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle f}$

ผลลัพธ์นี้ทำให้เราสามารถนำฟังก์ชันต่อเนื่องสองฟังก์ชันที่กำหนดบนเซตย่อยปิด (หรือเปิด) ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีมาสร้างฟังก์ชันใหม่ได้

ชีฟ (Sheaves)เป็นวิธีการหนึ่งในการขยายข้อจำกัดไปยังวัตถุอื่นนอกเหนือจากฟังก์ชัน

ในทฤษฎีชีฟ (sheaf theory ) เรากำหนดวัตถุในหมวดหมู่(category) ให้กับ เซตเปิดแต่ละ เซต ใน ปริภูมิเชิงทอพอโลยี (topological space ) และกำหนดให้วัตถุเหล่านั้นต้องเป็นไปตามเงื่อนไขบางประการ เงื่อนไขที่สำคัญที่สุดคือ ต้องมีมอร์ฟิซึมแบบจำกัด (restriction morphism ) ระหว่างวัตถุทุกคู่ที่เกี่ยวข้องกับเซตเปิดที่ซ้อนกัน กล่าวคือ ถ้าแล้วจะมีมอร์ฟิซึมที่ตรงตามคุณสมบัติต่อไปนี้ ซึ่งออกแบบมาเพื่อเลียนแบบการจำกัดของฟังก์ชัน: ${\displaystyle F(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V\subseteq U,}$${\displaystyle \operatorname {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)}$

• สำหรับเซตเปิดทุกเซตของมอร์ฟิซึมการจำกัด มอร์ฟิซึมเอกลักษณ์บนเซตนั้นก็คือมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์นั่นเอง${\displaystyle U}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)}$${\displaystyle F(U).}$
• ถ้าเรามีเซตเปิดสามเซตแล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเซตประกอบ${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U,}$${\displaystyle \operatorname {res} _{W,V}\circ \operatorname {res} _{V,U}=\operatorname {res} _{W,U}.}$
• (ความเป็นท้องถิ่น) ถ้าเป็นการ คลุม แบบเปิด ของเซตเปิดและถ้ามี ที่ทำให้สำหรับแต่ละเซตของการคลุมนั้น แล้ว; และ${\displaystyle \left(U_{i}\right)}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle s,t\in F(U)}$${\displaystyle s{\big \vert }_{U_{i}}=t{\big \vert }_{U_{i}}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle s=t}$
• (การติดกาว) ถ้าเป็นการคลุมแบบเปิดของเซตเปิดและถ้าสำหรับแต่ละมีส่วนตัดขวางกำหนดไว้ โดยที่สำหรับแต่ละคู่ของเซตคลุม ข้อจำกัดของและสอดคล้องกันในส่วนที่ทับซ้อนกัน: แล้วจะมีส่วนตัด ขวาง เช่นนั้นสำหรับแต่ละ${\displaystyle \left(U_{i}\right)}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x_{i}\in F\left(U_{i}\right)}$${\displaystyle U_{i},U_{j}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle s_{j}}$${\displaystyle s_{i}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}},}$${\displaystyle s\in F(U)}$${\displaystyle s{\big \vert }_{U_{i}}=s_{i}}$${\displaystyle i.}$

กลุ่มของวัตถุทั้งหมดดังกล่าวเรียกว่าชีฟ (sheaf ) หากมีคุณสมบัติเพียงสองข้อแรก จะเรียกว่าพรีชีฟ (pre-sheaf )

โดยทั่วไปแล้ว ข้อจำกัด (หรือข้อจำกัดโดเมนหรือ ข้อจำกัดด้านซ้าย ) ของความสัมพันธ์ทวิภาคระหว่างและอาจนิยามได้ว่าเป็นความสัมพันธ์ที่มีโดเมนโคโดเมนและกราฟ ในทำนองเดียวกัน เราสามารถกำหนดข้อจำกัดด้านขวาหรือข้อจำกัดช่วง ได้ อันที่จริง เราสามารถกำหนดข้อจำกัดให้กับ ความสัมพันธ์ แบบ n-aryได้ เช่นเดียวกับเซตย่อยที่เข้าใจว่าเป็นความสัมพันธ์ เช่น ความสัมพันธ์ของผลคูณคาร์ทีเซียนสำหรับความสัมพันธ์ทวิภาค กรณีเหล่านี้ไม่เข้ากับโครงร่างของ ชีฟ${\displaystyle A\triangleleft R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G(A\triangleleft R)=\{(x,y)\in F(R):x\in A\}.}$${\displaystyle R\triangleright B.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle E\times F}$

การต่อต้านการจำกัดโดเมน (หรือการลบโดเมน ) ของฟังก์ชันหรือความสัมพันธ์ทวิภาค(ที่มีโดเมน และโคโดเมน) โดยเซตอาจกำหนดได้เป็น; มันจะลบองค์ประกอบทั้งหมดของออกจากโดเมน บางครั้งจะใช้สัญลักษณ์ ⩤  ^{[ 5 ]} ในทำนองเดียวกัน การต่อต้านการจำกัดเรนจ์ (หรือการลบเรนจ์ ) ของฟังก์ชันหรือความสัมพันธ์ทวิภาคโดยเซตกำหนดได้เป็น; มันจะลบองค์ประกอบทั้งหมดของออกจากโคโดเมนบางครั้งจะใช้สัญลักษณ์ ⩥ ${\displaystyle R}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (E\setminus A)\triangleleft R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R.}$${\displaystyle R}$${\displaystyle B}$${\displaystyle R\triangleright (F\setminus B)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle F.}$${\displaystyle R}$${\displaystyle B.}$

• ข้อจำกัด  – เงื่อนไขของปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด ซึ่งคำตอบจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขนี้
• การหดกลับของการเปลี่ยนรูป  – การแมปแบบต่อเนื่องและรักษาตำแหน่งจากปริภูมิเชิงทอพอโลยีไปยังปริภูมิย่อยPages displaying short descriptions of redirect targets
• ทรัพย์สินในท้องถิ่น
• ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์) § ข้อจำกัดและการขยาย
• ความสัมพันธ์ทวิภาค § ข้อจำกัด
• พีชคณิตเชิงสัมพันธ์ § การเลือก (σ)