ในทางคณิตศาสตร์ความสัมพันธ์ หมายถึง ความสัมพันธ์บางอย่างระหว่างวัตถุ สองชิ้น ในเซตซึ่งอาจเป็นจริงหรือไม่เป็นจริงก็ได้^{[ 1 ]}ตัวอย่างเช่น " น้อยกว่า " เป็นความสัมพันธ์บนเซตของจำนวนธรรมชาติตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์นี้เป็นจริงระหว่างค่า1และ3 (เขียนแทนด้วย1 < 3 ) และเช่นเดียวกันระหว่าง3และ4 (เขียนแทนด้วย3 < 4 ) แต่ไม่เป็นจริงระหว่างค่า3และ1หรือระหว่าง4และ4กล่าวคือ3 < 1และ4 < 4ต่างก็มีค่าเป็นเท็จ อีกตัวอย่างหนึ่ง " เป็นน้องสาวของ"เป็นความสัมพันธ์บนเซตของบุคคลทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์นี้เป็นจริงระหว่างมารี กูรีและบรอนิสลาวา ดลุสกาและในทางกลับกัน สมาชิกของเซตอาจไม่มีความสัมพันธ์กัน "ในระดับหนึ่ง" – พวกเขาอาจมีความสัมพันธ์กันหรือไม่ก็ไม่มีความสัมพันธ์กัน

ในทางรูปธรรม ความสัมพันธ์RบนเซตXสามารถมองได้ว่าเป็นเซตของคู่ลำดับ( x , y )ของสมาชิกX [ ^{2 ] ความ} สัมพันธ์Rเป็นจริงระหว่างxและyถ้า( x , y )เป็นสมาชิกของRตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ " น้อยกว่า " บนจำนวนธรรมชาติเป็นเซตอนันต์R _{ที่น้อยกว่า}ของคู่จำนวนธรรมชาติที่มีทั้ง(1,3)และ(3,4)แต่ไม่มี(3,1)หรือ(4,4)ความสัมพันธ์ " เป็น ตัวหารที่ไม่ใช่ ตัวหารศูนย์ของ"บนเซตของจำนวนธรรมชาติหลักเดียวมีขนาดเล็กพอที่จะแสดงได้ดังนี้: R _dv = { (2,4), (2,6), (2,8), (3,6), (3,9), (4,8) }ตัวอย่างเช่น2เป็นตัวหารที่ไม่ใช่ตัวหารศูนย์ของ8 แต่ไม่ใช่ในทางกลับกัน ดังนั้น(2,8) ∈ R _dvแต่(8,2) ∉ R _dv

ถ้าRเป็นความสัมพันธ์ที่ใช้ได้กับxและyเรามักจะเขียนว่าxRyสำหรับความสัมพันธ์ทั่วไปในคณิตศาสตร์ จะมีการใช้สัญลักษณ์พิเศษ เช่น " < " สำหรับ"น้อยกว่า"และ " | " สำหรับ"เป็นตัวหารของ"และที่นิยมใช้มากที่สุดคือ " = " สำหรับ"เท่ากับ"ตัวอย่างเช่น " 1 < 3 ", " 1น้อยกว่า3 " และ " (1,3) ∈ R _{น้อยกว่า} " ล้วนมีความหมายเหมือนกัน บางผู้เขียนอาจเขียนว่า " (1,3) ∈ (<) "

มีการตรวจสอบคุณสมบัติต่างๆ ของความสัมพันธ์ ความสัมพันธ์Rเป็นความสัมพันธ์สะท้อนกลับ (reflexive) ถ้าxRxเป็นจริงสำหรับทุกxและเป็นความสัมพันธ์ไม่สะท้อนกลับ (irreflexive) ถ้าxRx ไม่เป็นจริง สำหรับx ใดๆ เลย ความสัมพันธ์สมมาตร (symmetric) ถ้าxRy บ่งชี้ yRxเสมอและเป็นความสัมพันธ์อสมมาตร (asymmetric) ถ้า xRy บ่งชี้ ว่าyRxเป็นไปไม่ได้ ความสัมพันธ์ถ่ายทอด (transitive) ถ้าxRyและyRz บ่งชี้ xRzเสมอตัวอย่างเช่น " น้อยกว่า " เป็นความสัมพันธ์ไม่สะท้อนกลับ อสมมาตร และถ่ายทอด แต่ไม่เป็นทั้งความสัมพันธ์สะท้อนกลับและสมมาตร " เป็นน้องสาวของ"เป็นทั้งความสัมพันธ์สะท้อนกลับ (เช่นปิแอร์ กูรีไม่ใช่น้องสาวของตัวเอง) ไม่สมมาตร และอสมมาตร ในขณะที่การเป็นหรือไม่เป็นความสัมพันธ์ไม่สะท้อนกลับอาจเป็นเรื่องของคำจำกัดความ (ผู้หญิงทุกคนเป็นน้องสาวของตัวเองหรือไม่?) ^{[ a ]} " เป็นบรรพบุรุษของ"เป็นความสัมพันธ์ถ่ายทอด ในขณะที่ " เป็นพ่อแม่ของ"ไม่ใช่ เราทราบทฤษฎีทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับการรวมกันของคุณสมบัติความสัมพันธ์ต่างๆ เช่น "ความสัมพันธ์แบบถ่ายทอดจะเป็นแบบไม่สะท้อนกลับก็ต่อเมื่อมันเป็นแบบไม่สมมาตร"

ความสัมพันธ์ที่ตรงตามคุณสมบัติบางประการมีความสำคัญเป็นพิเศษลำดับบางส่วนเป็นความสัมพันธ์ที่สะท้อนกลับ สมมาตรผกผัน และถ่ายทอดได้^{[ 3 ]} ความสัมพันธ์สมมูลเป็นความสัมพันธ์ที่สะท้อนกลับ สมมาตร และถ่ายทอดได้^{[ 4 ]} ฟังก์ชัน เป็น ความสัมพันธ์ที่ไม่ซ้ำกันทางขวาและสมบูรณ์ทางซ้าย (ดูด้านล่าง ) ^{[ 5 ] [ 6 ]}

เนื่องจากความสัมพันธ์เป็นเซต จึงสามารถจัดการได้โดยใช้การดำเนินการของเซต รวมถึงการรวมกันการตัดกันและการเติมเต็มซึ่งนำไปสู่พีชคณิตของเซตนอกจากนี้แคลคูลัสของความสัมพันธ์ยังรวมถึงการดำเนินการของการหาความสัมพันธ์ผกผันและการประกอบความสัมพันธ์^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

แนวคิดข้างต้นของความสัมพันธ์^{[ b ]}ได้รับการขยายให้ครอบคลุมถึงความสัมพันธ์ระหว่างสมาชิกของเซตที่แตกต่างกันสองเซต ( ความสัมพันธ์ต่างชนิดเช่น " อยู่บน " ระหว่างเซตของจุด ทั้งหมด และเซตของเส้น ทั้งหมด ในเรขาคณิต) ความสัมพันธ์ระหว่างเซตสามเซตขึ้นไป ( ความสัมพันธ์จำกัดเช่น"บุคคลxอาศัยอยู่ในเมืองyในเวลาz " ) และความสัมพันธ์ระหว่างคลาส^{[ c ]} (เช่น " เป็นสมาชิกของ"บนคลาสของเซตทั้งหมด ดูความสัมพันธ์ทวิภาค § เซตเทียบกับคลาส )

เมื่อกำหนดเซตXแล้ว ความสัมพันธ์RบนXคือเซตของคู่ลำดับขององค์ประกอบจากXอย่างเป็นทางการ: R ⊆ { ( ^x , y ) | x , y ∈ X } ^{[ 2 ] [ 10} ]

ข้อความ( x , y ) ∈ Rอ่านว่า " xมีความสัมพันธ์กับy ใน R " และเขียนใน รูปแบบอินฟิกซ์เป็นxRy [ ^{7 ] [ 8 ] ลำดับ}ขององค์ประกอบมีความสำคัญ ถ้าx ≠ yแล้วyRxสามารถเป็นจริงหรือเท็จได้โดยไม่ขึ้นอยู่กับxRyตัวอย่างเช่น3 หาร 9ลงตัวแต่9 หาร3ไม่ลงตัว

y x	1	2	3	4	6	12
1
2
3
4
6
12
การแสดงค่าR divในรูปแบบเมทริกซ์บูลีน

ความสัมพันธ์RบนเซตจำกัดXสามารถแสดงได้ดังนี้:

• กราฟแบบมีทิศทาง : สมาชิกแต่ละตัวของXสอดคล้องกับจุดยอด; เส้นเชื่อมแบบมีทิศทางจากxไปยังyจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ( x , y ) ∈ R เท่านั้น
• เมทริกซ์บูลีน : สมาชิกของXถูกจัดเรียงตามลำดับคงที่x ₁ , ..., x _nเมทริกซ์มีมิติn × nโดยที่องค์ประกอบในแถวiคอลัมน์jจะเป็น'true' ถ้า( x _i , x _j ) ∈ Rและเป็น 'false' ในกรณีอื่น ๆ
• แผนภาพ 2 มิติ : ในฐานะที่เป็นการขยายความของเมทริกซ์บูลีน ความสัมพันธ์บนเซตRของจำนวนจริง ที่ไม่มีที่สิ้นสุด สามารถแสดงได้ในรูปรูปทรงเรขาคณิตสองมิติ: โดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียนลากจุดที่( x , y )เมื่อใดก็ตามที่( x , y ) ∈ R

ความสัมพันธ์แบบถ่ายทอด^{[ d ]} RบนเซตจำกัดXอาจแสดงได้ดังนี้

• แผนภาพ Hasse : สมาชิกแต่ละตัวของXสอดคล้องกับจุดยอด โดยมีการวาดเส้นขอบแบบมีทิศทางเพื่อให้ มี เส้นทางแบบมีทิศทางจากxไปยังyก็ต่อเมื่อ( x , y ) ∈ R เท่านั้น เมื่อเปรียบเทียบกับการแสดงกราฟแบบมีทิศทาง แผนภาพ Hasse ต้องการเส้นขอบน้อยกว่า ทำให้ภาพไม่ซับซ้อนมากนัก เนื่องจากความสัมพันธ์ " มีเส้นทางแบบมีทิศทางจากxไปยังy " เป็นความสัมพันธ์แบบถ่ายทอดได้ ดังนั้นจึงสามารถแสดงเฉพาะความสัมพันธ์แบบถ่ายทอดได้ในแผนภาพ Hasse โดยปกติแล้ว แผนภาพจะถูกจัดวางโดยให้เส้นขอบทั้งหมดชี้ขึ้นด้านบน และละเว้นลูกศร

ตัวอย่างเช่น บนเซตของตัวหารทั้งหมดของ12ให้กำหนดความสัมพันธ์R _div by

x R _div yถ้า xเป็นตัวหารของ yและ x ≠ y

ในทางคณิตศาสตร์X = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }และR _div = { (1,2), (1,3), (1,4), (1,6), (1,12), (2,4), (2,6), (2,12), (3,6), (3,12), (4,12), (6,12) }การแสดงR _divในรูปเมทริกซ์บูลีนแสดงอยู่ในตารางตรงกลาง ส่วนการแสดงทั้งในรูปแผนภาพ Hasse และกราฟแบบมีทิศทางแสดงอยู่ในภาพด้านซ้าย

สิ่งต่อไปนี้มีความหมายเทียบเท่ากัน:

• x R _div yเป็นจริง
• ( x , y ) ∈ R _div .
• มี เส้นทางจากxไปยังyในแผนภาพ Hasse ที่แสดงถึงR _div
• มี เส้นเชื่อมจากxไปยังyในกราฟแบบมีทิศทางที่แสดงถึงR _div
• ในเมทริกซ์บูลีนที่แสดงถึงR _divนั้น องค์ประกอบในบรรทัดxคอลัมน์yคือ " "

อีกตัวอย่างหนึ่ง กำหนดความสัมพันธ์R _elบนRโดย

x R _el yถ้า x ² + xy + y ² = 1 .

การแสดงR _elในรูปแบบกราฟ 2 มิติจะได้รูปวงรี ดังแสดงในภาพด้านขวา เนื่องจากRไม่ใช่เซตจำกัด จึงไม่สามารถใช้กราฟแบบมีทิศทาง เมทริกซ์บูลีนจำกัด หรือแผนภาพ Hasse ในการแสดงR _elได้

คุณสมบัติสำคัญบางประการที่ความสัมพันธ์RบนเซตXอาจมี ได้แก่:

สะท้อนกลับ

สำหรับทุกx ∈ X , xRxตัวอย่างเช่น≥เป็นความสัมพันธ์สะท้อน แต่>ไม่ใช่

ไม่สะท้อนกลับ (หรือเข้มงวด )

สำหรับทุกx ∈ Xที่ไม่ใช่xRxตัวอย่างเช่น>เป็นความสัมพันธ์ที่ไม่สะท้อน แต่≥ไม่ใช่

ตัวเลือก 2 ข้อก่อนหน้านี้ไม่ได้ครอบคลุมทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สีแดงy = x²ที่แสดงในแผนภาพด้านล่าง ไม่ใช่ทั้งความสัมพันธ์แบบไม่สะท้อนกลับและแบบสะท้อนกลับ เนื่องจากมีคู่⁽ 0,0)แต่ไม่มี คู่ (2,2 )

สมมาตร

สำหรับทุกx , y ∈ Xถ้าxRyแล้วyRxตัวอย่างเช่น "เป็นญาติทางสายเลือดของ" เป็นความสัมพันธ์แบบสมมาตร เพราะxเป็นญาติทางสายเลือดของyก็ต่อเมื่อyเป็นญาติทางสายเลือดของx

แอนติสมมาตร

สำหรับทุกx , y ∈ Xถ้าxRyและyRxแล้วx = yตัวอย่างเช่น≥เป็นความสัมพันธ์แบบปฏิสมมาตร เช่นเดียวกับ>แต่ ในความหมาย ที่ว่างเปล่า (เงื่อนไขในคำนิยามเป็นเท็จเสมอ) ^{[ 11 ]}

ไม่สมมาตร

สำหรับทุกx , y ∈ Xถ้าxRy แล้ว yRxจะไม่เป็นความสัมพันธ์จะเป็นอสมมาตรก็ต่อเมื่อเป็นทั้งปฏิสมมาตรและไม่สะท้อน^{[ 12 ]}ตัวอย่างเช่น>เป็นความสัมพันธ์อสมมาตร แต่≥ไม่ใช่

อีกครั้งหนึ่ง ทางเลือกทั้ง 3 ข้อก่อนหน้านี้ยังไม่ครอบคลุมทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ในกรณีของจำนวนธรรมชาติ ความสัมพันธ์xRyที่กำหนดโดยx > 2นั้นไม่ใช่ทั้งสมมาตร (เช่น5 R 1แต่ไม่ใช่1 R 5 ) หรือปฏิสมมาตร (เช่น6 R 4แต่4 R 6 ก็ ไม่ใช่เช่นกัน) และยิ่งไม่ใช่ความสัมพันธ์แบบอสมมาตรด้วยซ้ำ

สกรรมกริยา

สำหรับทุกx , y , z ∈ Xถ้าxRyและyRzแล้วxRzความสัมพันธ์แบบถ่ายทอดจะเป็นความสัมพันธ์แบบไม่สะท้อนกลับก็ต่อเมื่อเป็นความสัมพันธ์แบบอสมมาตร^{[ 13 ]}ตัวอย่างเช่น "เป็นบรรพบุรุษของ" เป็นความสัมพันธ์แบบถ่ายทอด ในขณะที่ "เป็นพ่อแม่ของ" ไม่ใช่

เชื่อมต่อแล้ว

สำหรับทุกx , y ∈ Xถ้าx ≠ yแล้วxRyหรือyRxตัวอย่างเช่น ในจำนวนธรรมชาติ<เป็นตัวเชื่อม ในขณะที่ " เป็นตัวหารของ"ไม่ใช่ (เช่น5 R 7และ7 R 5 ไม่ใช่ )

เชื่อมโยงอย่างแน่นหนา

สำหรับทุกx , y ∈ X , xRyหรือyRxตัวอย่างเช่น บนจำนวนธรรมชาติ≤เป็นความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยงอย่างแน่นแฟ้น แต่<ไม่ใช่ ความสัมพันธ์จะเชื่อมโยงอย่างแน่นแฟ้นก็ต่อเมื่อเป็นความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยงและสะท้อนกลับได้

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง^{[ e ]} (เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันเอกลักษณ์ด้านซ้าย^{[ 14 ]} )

สำหรับทุกx , y , z ∈ Xถ้าxRyและzRyแล้วx = zตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สีเขียวและสีน้ำเงินในแผนภาพเป็นความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ความสัมพันธ์สีแดงไม่ใช่ (เนื่องจากเชื่อมโยงทั้ง−1และ1กับ1 ) และความสัมพันธ์สีดำก็ไม่ใช่เช่นกัน (เนื่องจากเชื่อมโยงทั้ง−1และ1กับ0 )

ฟังก์ชัน^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ e ]} (เรียกอีกอย่างว่าเอกลักษณ์ทางขวา [ ^{14 ]}กำหนดทางขวา^{[ 18 ]}หรือเอกภาค^{[ 9 ] )}

สำหรับทุกx , y , z ∈ Xถ้าxRyและxRzแล้วy = zความสัมพันธ์เช่นนี้เรียกว่าฟังก์ชันบางส่วนตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สีแดงและสีเขียวในแผนภาพเป็นฟังก์ชัน แต่ความสัมพันธ์สีน้ำเงินไม่ใช่ (เพราะมันเชื่อมโยง1กับทั้ง−1และ1 ) และความสัมพันธ์สีดำก็ไม่ใช่ (เพราะมันเชื่อมโยง 0 กับทั้ง −1 และ 1)

อนุกรม^{[ e ]} (เรียกอีกอย่างว่าผลรวมหรือผลรวมซ้าย )

สำหรับทุกx ∈ Xจะมีy ∈ X บางตัว ที่ทำให้xRyตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สีแดงและสีเขียวในแผนภาพเป็นความสัมพันธ์ทั้งหมด แต่ความสัมพันธ์สีน้ำเงินไม่ใช่ (เนื่องจากไม่ได้เชื่อมโยง−1กับจำนวนจริงใดๆ) และความสัมพันธ์สีดำก็ไม่ใช่ (เนื่องจากไม่ได้เชื่อมโยง2กับจำนวนจริงใดๆ) อีกตัวอย่างหนึ่ง^{> เป็นความสัมพันธ์แบบอนุกรมเหนือจำนวนเต็ม แต่ไม่ใช่ความสัมพันธ์แบบอนุกรมเหนือจำนวนเต็มบวก เพราะไม่มี y ในจำนวนเต็มบวกที่ 1 > y [ 19 ]}อย่างไรก็ตาม < เป็นความสัมพันธ์แบบ^{อนุกรมเหนือ}จำนวนเต็มบวกจำนวนตรรกยะ และจำนวนจริง ความ สัมพันธ์สะท้อนกลับทุกความสัมพันธ์เป็นอนุกรม: สำหรับx ที่กำหนด ให้เลือกy = x

ฟังก์ชันทั่วถึง^{[ e ]} (เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันทางขวาแบบสมบูรณ์^{[ 14 ]}หรือฟังก์ชันทั่วถึง )

สำหรับทุกy ∈ Xจะมีx ∈ X อยู่จริง ที่ทำให้xRyตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สีเขียวและสีน้ำเงินในแผนภาพเป็นความสัมพันธ์ทั่วถึง แต่ความสัมพันธ์สีแดงไม่ใช่ (เพราะมันไม่ได้เชื่อมโยงจำนวนจริงใดๆ กับ−1 ) และความสัมพันธ์สีดำก็ไม่ใช่ (เพราะมันไม่ได้เชื่อมโยงจำนวนจริงใดๆ กับ2 )

ความสัมพันธ์ทางทรัพย์สิน

	การสะท้อนกลับ	สมมาตร	การถ่ายทอด	การเชื่อมต่อ	ตัวอย่าง
คำสั่งซื้อบางส่วน	รีเฟล	แอนติซิม	ใช่		ชุดย่อย
ลำดับบางส่วนที่เข้มงวด	ไร้การสะท้อน	อะซิม	ใช่		ชุดย่อยที่เข้มงวด
คำสั่งซื้อทั้งหมด	รีเฟล	แอนติซิม	ใช่	ใช่	เรียงตามลำดับตัวอักษร
ลำดับที่เข้มงวดทั้งหมด	ไร้การสะท้อน	อะซิม	ใช่	ใช่	เรียงตามลำดับตัวอักษรอย่างเคร่งครัด
ความสัมพันธ์สมมูล	รีเฟล	ซิม	ใช่		ความเท่าเทียมกัน

ความสัมพันธ์ที่ตรงตามคุณสมบัติข้างต้นบางประการนั้นมีประโยชน์อย่างยิ่ง และด้วยเหตุนี้จึงได้รับการตั้งชื่อเฉพาะของตนเอง

ความสัมพันธ์สมมูล

ความสัมพันธ์ที่เป็นทั้งแบบสะท้อนกลับ สมมาตร และถ่ายทอดได้ นอกจากนี้ยังเป็นความสัมพันธ์ที่สมมาตร ถ่ายทอดได้ และต่อเนื่องด้วย เนื่องจากคุณสมบัติเหล่านี้บ่งบอกถึงการสะท้อนกลับ

คำสั่งซื้อบางส่วน

ความสัมพันธ์ที่เป็นทั้งแบบสะท้อนกลับ แบบสมมาตรผกผัน และแบบถ่ายทอดได้

ลำดับบางส่วนที่เข้มงวด

ความสัมพันธ์ที่ไม่สะท้อนกลับ ไม่สมมาตร และถ่ายทอดได้

คำสั่งซื้อทั้งหมด

ความสัมพันธ์ที่สะท้อนกลับ สมมาตรแบบผกผัน ถ่ายทอดได้ และเชื่อมโยงกัน^{[ 20 ]}

ลำดับที่เข้มงวดทั้งหมด

ความสัมพันธ์ที่ไม่สะท้อนกลับ ไม่สมมาตร ถ่ายทอดได้ และเชื่อมโยงกัน

หนึ่งต่อหนึ่ง^{[ e ]}

เป็นฟังก์ชันแบบหนึ่งต่อหนึ่งและแบบฟังก์ชันเชิงฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สีเขียวในแผนภาพเป็นความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ความสัมพันธ์สีแดง สีน้ำเงิน และสีดำไม่ใช่

หนึ่งต่อหลาย^{[ e ]}

เป็นความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ไม่ใช่แบบฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สีน้ำเงินในแผนภาพเป็นความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหลาย แต่ความสัมพันธ์สีแดง สีเขียว และสีดำไม่ใช่

หลายต่อหนึ่ง^{[ e ]}

เป็นฟังก์ชัน ไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สีแดงในแผนภาพเป็นความสัมพันธ์แบบหลายต่อหนึ่ง แต่ความสัมพันธ์สีเขียว สีฟ้า และสีดำไม่ใช่

หลายต่อหลาย^{[ e ]}

ไม่ใช่ความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งหรือแบบฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สีดำในแผนภาพเป็นความสัมพันธ์แบบหลายต่อหลาย แต่ความสัมพันธ์สีแดง สีเขียว และสีน้ำเงินไม่ใช่

ฟังก์ชัน^{[ e ]}​

ความสัมพันธ์ที่เป็นฟังก์ชันและสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สีแดงและสีเขียวในแผนภาพเป็นฟังก์ชัน แต่ความสัมพันธ์สีน้ำเงินและสีดำไม่ใช่

การฉีด^{[ e ]}

ฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective function) ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สีเขียวในแผนภาพเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ความสัมพันธ์สีแดง สีน้ำเงิน และสีดำไม่ใช่

การส่งทั่วถึง^{[ e ]}

ฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันทั่วถึง (surjective) ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สีเขียวในแผนภาพเป็นฟังก์ชันทั่วถึง แต่ความสัมพันธ์สีแดง สีน้ำเงิน และสีดำไม่ใช่

การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง^{[ e ]}

ฟังก์ชันที่เป็นทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและฟังก์ชันทั่วถึง ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สีเขียวในแผนภาพเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง แต่ความสัมพันธ์สีแดง สีน้ำเงิน และสีดำไม่ใช่

สหภาพ^{[ f ]}

ถ้าRและSเป็นความสัมพันธ์บนเซต Xแล้วR ∪ S = { ( x , y ) | xRyหรือxSy }คือ ความสัมพันธ์ แบบยูเนียนของRและSสมาชิกเอกลักษณ์ของการดำเนินการนี้คือความสัมพันธ์ว่าง ตัวอย่างเช่น≤คือยูเนียนของ<และ=และ≥คือยูเนียนของ>และ=

จุดตัด^{[ f ]}

ถ้าRและSเป็นความสัมพันธ์บนXแล้วR ∩ S = { ( x , y ) | xRyและxSy }คือความสัมพันธ์แบบจุดตัดของRและSองค์ประกอบเอกลักษณ์ของการดำเนินการนี้คือความสัมพันธ์สากล ตัวอย่างเช่น "เป็นไพ่ที่ต่ำกว่าในชุดเดียวกันกับ" คือจุดตัดของ "เป็นไพ่ที่ต่ำกว่า" และ "อยู่ในชุดเดียวกันกับ"

องค์ประกอบ^{[ f ]}

ถ้าRและSเป็นความสัมพันธ์เหนือXแล้วS ∘ R = { ( x , z ) | มีy ∈ Xที่ทำให้xRyและySz } (หรือเขียนแทนด้วยR ; S ) คือผลคูณเชิงสัมพัทธ์ของRและSองค์ประกอบเอกลักษณ์คือความสัมพันธ์เอกลักษณ์ ลำดับของRและSในสัญลักษณ์S ∘ Rที่ใช้ในที่นี้ สอดคล้องกับลำดับสัญลักษณ์มาตรฐานสำหรับการประกอบฟังก์ชันตัวอย่างเช่น การประกอบ "เป็นแม่ของ" ∘ "เป็นพ่อของ" ให้ผลลัพธ์เป็น "เป็นปู่ย่าตายายฝ่ายแม่ของ" ในขณะที่การประกอบ "เป็นพ่อของ" ∘ "เป็นแม่ของ" ให้ผลลัพธ์เป็น "เป็นย่าตายายฝ่ายแม่ของ" สำหรับกรณีแรก ถ้าxเป็นพ่อของyและyเป็นแม่ของzแล้วxก็เป็นปู่ย่าตายายฝ่ายแม่ของzด้วย

คอนเวิร์ส^{[ f ]}

ถ้าRเป็นความสัมพันธ์เหนือเซตXและYแล้วR ^T = { ( y , x ) | xRy }คือความสัมพันธ์ผกผันของRเหนือเซตYและXตัวอย่างเช่น=เป็นความสัมพันธ์ผกผันของตัวเอง เช่นเดียวกับ≠และ<กับ>เป็นความสัมพันธ์ผกผันซึ่งกันและกัน เช่นเดียวกับ≤กับ≥

ส่วนเติมเต็ม^{[ f ]}

ถ้าRเป็นความสัมพันธ์บนXแล้วR = { ( x , y ) | x , y ∈ Xและไม่ใช่xRy } (หรือเขียนแทนด้วยRหรือ¬ R ) คือความสัมพันธ์เสริมของRตัวอย่างเช่น=และ≠เป็นความสัมพันธ์เสริมซึ่งกันและกัน เช่นเดียวกับ⊆และ⊈ , ⊇และ⊉ , และ∈และ∉และสำหรับอันดับทั้งหมด<และ≥ , และ>และ≤ ก็เป็นความสัมพันธ์เสริมซึ่งกันและกัน เช่นกันความสัมพันธ์เสริมของความสัมพันธ์ผกผันR ^Tคือความสัมพันธ์ผกผันของความสัมพันธ์เสริม${\displaystyle {\overline {R^{\mathsf {T}}}}={\bar {R}}^{\mathsf {T}}.}$

ข้อจำกัด^{[ f ]}

ถ้าRเป็นความสัมพันธ์บนXและSเป็นเซตย่อยของXแล้วR _{| S} = { ( x , y ) | xRyและx , y ∈ S }คือความสัมพันธ์จำกัดของ Rกับ Sนิพจน์ R _{| S} = { ( x , y ) | xRyและ x ∈ S }คือความสัมพันธ์การจำกัดทางซ้ายของ Rกับ S ; นิพจน์ R ^{| S} = { ( x , y ) | xRyและ y ∈ S }เรียกว่าความสัมพันธ์แบบจำกัดทางขวาของ Rกับ Sถ้าความสัมพันธ์เป็นแบบสะท้อนกลับ ไม่สะท้อนกลับสมมาตรปฏิสมมาตรอสมมาตรถ่ายทอดได้ สมบูรณ์ไตรภาคลำดับบางส่วนลำดับสมบูรณ์ลำดับอ่อนที่เข้มงวดลำดับก่อนสมบูรณ์(ลำดับอ่อน) หรือความสัมพันธ์สมมูล ข้อจำกัดของความสัมพันธ์นั้นก็จะเป็นแบบนั้นด้วย อย่างไรก็ตามการปิดแบบถ่ายทอดได้ของข้อจำกัดจะเป็นเซตย่อยของข้อจำกัดของการปิดแบบถ่ายทอดได้ กล่าวคือ โดยทั่วไปแล้วจะไม่เท่ากัน ตัวอย่างเช่น การจำกัดความสัมพันธ์ " xเป็นพ่อแม่ของ y " ให้เฉพาะผู้หญิง จะได้ความสัมพันธ์ " xเป็นแม่ของหญิง y " การปิดแบบถ่ายทอดได้ของความสัมพันธ์นี้ไม่ได้เชื่อมโยงหญิงกับยายของเธอ ในทางกลับกัน การปิดแบบถ่ายทอดได้ของ "เป็นพ่อแม่ของ" คือ "เป็นบรรพบุรุษของ" การจำกัดความสัมพันธ์นี้ให้เฉพาะผู้หญิงจะเชื่อมโยงหญิงกับยายของเธอ

ความสัมพันธ์RบนเซตXและYเรียกว่า...ความสัมพันธ์ R ⊆ S หมายถึงเซตย่อยของSกล่าวคือสำหรับทุก x ∈ X และy ∈ Yถ้า xRyแล้ว xSyถ้า Rอยู่ใน Sและ Sอยู่ใน Rแล้ว Rและ Sเรียกว่าเท่ากันเขียนว่าR = Sถ้า Rอยู่ใน S แต่S ไม่อยู่ในR แล้ว Rเรียกว่าไม่เท่ากันเล็กกว่า Sเขียนแทนด้วย R ⊊ Sตัวอย่างเช่น ในจำนวนตรรกยะความสัมพันธ์>เล็กกว่า≥และเท่ากับการประกอบกันของ> ∘>

• ความสัมพันธ์จะเรียกว่าไม่สมมาตรก็ต่อเมื่อมันเป็นความสัมพันธ์แบบปฏิสมมาตรและไม่สะท้อนกลับเท่านั้น
• ความสัมพันธ์แบบถ่ายทอดจะเป็นความสัมพันธ์แบบไม่สะท้อนกลับก็ต่อเมื่อมันเป็นความสัมพันธ์แบบไม่สมมาตรเท่านั้น
• ความสัมพันธ์จะเป็นแบบสะท้อนกลับได้ก็ต่อเมื่อส่วนเติมเต็มของความสัมพันธ์นั้นเป็นแบบไม่สะท้อนกลับได้
• ความสัมพันธ์จะมีความเชื่อมโยงอย่างแน่นแฟ้นก็ต่อเมื่อความสัมพันธ์นั้นมีความเชื่อมโยงและสะท้อนกลับได้เท่านั้น
• ความสัมพันธ์จะเท่ากับความสัมพันธ์ผกผันก็ต่อเมื่อความสัมพันธ์นั้นเป็นความสัมพันธ์สมมาตร
• ความสัมพันธ์จะเรียกว่าเชื่อมโยงกันได้ก็ต่อเมื่อส่วนเติมเต็มของความสัมพันธ์นั้นเป็นความสัมพันธ์แบบปฏิสมมาตร
• ความสัมพันธ์จะเชื่อมโยงกันอย่างแน่นแฟ้นก็ต่อเมื่อส่วนเติมเต็มของความสัมพันธ์นั้นไม่สมมาตร^{[ 21 ]}
• ถ้าRและSเป็นความสัมพันธ์บนเซตXและRอยู่ในSแล้ว
  • ถ้าRเป็นเมทริกซ์สะท้อนกลับ เมทริกซ์เชื่อมต่อ เมทริกซ์เชื่อมต่ออย่างแน่นหนา เมทริกซ์รวมซ้าย หรือเมทริกซ์รวมขวา แล้วS ก็เป็นเมทริก ซ์ สะท้อนกลับหรือเมทริกซ์เชื่อมต่ออย่างแน่นหนาเช่นกัน
  • ถ้าSเป็นเมทริกซ์ที่ไม่สะท้อนกลับ สมมาตรไม่สมมาตร สมมาตรตรงข้าม มีเอกลักษณ์ทางซ้าย หรือมีเอกลักษณ์ทางขวา แล้วR ก็เป็นเมท ริกซ์ แบบนั้นเช่นกัน
• ความสัมพันธ์จะเป็นแบบสะท้อนกลับ ไม่สะท้อนกลับ สมมาตร ไม่สมมาตร ปฏิสมมาตร เชื่อมโยง เชื่อมโยงอย่างแน่นแฟ้น และถ่ายทอดได้ ถ้าความสัมพันธ์ผกผันของมันเป็นแบบนั้นตามลำดับ

• ความสัมพันธ์เชิงลำดับรวมถึงลำดับที่เข้มงวด :
  • มากกว่า
  • มากกว่าหรือเท่ากับ
  • น้อยกว่า
  • น้อยกว่าหรือเท่ากับ
  • แบ่ง (อย่างเท่าๆ กัน)
  • เซตย่อยของ
• ความสัมพันธ์สมมูล :
  • ความเท่าเทียมกัน
  • ขนานกับ (สำหรับปริภูมิเชิงเส้นตรง )
  • อยู่ในความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับ
  • ไอโซมอร์ฟิก
• ความสัมพันธ์แบบอดทนเป็นความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับและสมมาตร:
  • ความสัมพันธ์แบบพึ่งพาความสัมพันธ์แบบความคลาดเคลื่อนที่จำกัด
  • ความสัมพันธ์อิสระซึ่งเป็นส่วนเติมเต็มของความสัมพันธ์พึ่งพาบางอย่าง
• ความสัมพันธ์ทางเครือญาติ

แนวคิดความสัมพันธ์ข้างต้นได้รับการขยายให้ครอบคลุมถึงความสัมพันธ์ระหว่างสมาชิกของเซตสองเซตที่แตกต่างกัน เมื่อกำหนดเซตXและYความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นเอกพันธ์RบนXและYคือเซตย่อยของ{ ( x , y ) | x ∈ X , y ∈ Y } ^{[ 2 ] [ 22 ]} เมื่อX = Yจะได้แนวคิดความสัมพันธ์ที่อธิบายไว้ข้างต้น ซึ่งมักเรียกว่าความสัมพันธ์ที่เป็นเอกพันธ์ (หรือความสัมพันธ์ภายใน ) ^{[ 23 ] [ 24 ]}เพื่อแยกความแตกต่างจากการขยายความทั่วไป คุณสมบัติและการดำเนินการข้างต้นที่ทำเครื่องหมาย “ ^{[ e ]} “ และ “ ^{[ f ]} “ ตามลำดับ จะขยายไปสู่ความสัมพันธ์ที่ไม่ เป็นเอกพันธ์ ตัวอย่างของความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นเอกพันธ์คือ “มหาสมุทรxมีพรมแดนติดกับทวีปy ” ตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดคือฟังก์ชัน^{[ g ]}ที่มีโดเมนและช่วงที่แตกต่างกัน เช่นsqrt : N → R ₊ .

• โครงสร้างเหตุการณ์คือ ความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันระหว่างชุดของจุดและเส้น
• ทฤษฎีลำดับศึกษาคุณสมบัติของความสัมพันธ์เชิงลำดับ
• พีชคณิตเชิงสัมพันธ์