ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์สัญลักษณ์Christoffelเป็นอาร์เรย์ของตัวเลขที่อธิบาย^การเชื่อมต่อเมตริก [ ^{1 ]} การเชื่อมต่อเมตริกเป็นความเฉพาะเจาะจงของการเชื่อมต่อแอฟฟินกับพื้นผิวหรือแมนิโฟลด์ อื่นๆ ที่มีเมตริกทำให้สามารถวัดระยะทางบนพื้นผิวนั้นได้ ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์การเชื่อมต่อแอฟฟินสามารถกำหนดได้โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงเมตริก และแนวคิดเพิ่มเติมอีกมากมายก็เกิดขึ้นตามมา เช่นการขนส่งแบบขนานอนุพันธ์โคแวเรียน ต์ เส้นทางจีโอ เดสิกฯลฯ ก็ไม่จำเป็นต้องใช้แนวคิดของเมตริกเช่น กัน ^{[ 2 ] [ 3 ]}อย่างไรก็ตาม เมื่อมีเมตริก แนวคิดเหล่านี้สามารถเชื่อมโยงโดยตรงกับ "รูปร่าง" ของแมนิโฟลด์เองได้ รูปร่างนั้นถูกกำหนดโดยวิธีที่ปริภูมิสัมผัสเชื่อมต่อกับปริภูมิโคแทนเจนต์โดยเทนเซอร์เมตริก^{[ 4 ]} ในเชิงนามธรรม อาจกล่าวได้ว่าแมนิโฟลด์มี เฟรมบันเดิลที่เกี่ยวข้อง ( ออร์โทนอร์มอล ) โดยแต่ละ " เฟรม " เป็นตัวเลือก ที่เป็นไปได้ของเฟรมพิกัดเมตริกที่ไม่เปลี่ยนแปลงบ่งชี้ว่ากลุ่มโครงสร้างของเฟรมบันเดิลคือกลุ่มออร์โธโกนอลO( p , q )ดังนั้น แมนิโฟลด์ดังกล่าวจึงจำเป็นต้องเป็นแมนิโฟลด์แบบ ( ซูโด- ) รีมันน์ [ ^{5 ] [ 6 ] สัญลักษณ์}คริสตอฟเฟลให้การแสดงที่เป็นรูปธรรมของการเชื่อมต่อของเรขาคณิตแบบ (ซูโด-) รีมันน์ในแง่ของพิกัดบนแมนิโฟลด์ แนวคิดเพิ่มเติม เช่น การขนส่งแบบขนาน เส้นทางจีโอเดสิก ฯลฯ สามารถแสดงได้ในรูปของสัญลักษณ์คริสตอฟเฟล

โดยทั่วไปแล้ว จะมีการเชื่อมต่อเมตริกจำนวนอนันต์สำหรับเทนเซอร์เมตริก ที่กำหนด อย่างไรก็ตาม มีการเชื่อมต่อที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวที่ปราศจากแรงบิด นั่นคือ การเชื่อมต่อ เลวี-ซีวิทาเป็นเรื่องปกติในฟิสิกส์และทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปที่จะทำงานเกือบทั้งหมดโดยใช้การเชื่อมต่อเลวี-ซีวิทา โดยทำงานในกรอบพิกัด (เรียกว่าพิกัดโฮโลโนมิก ) ซึ่งแรงบิดเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น ในปริภูมิยูคลิดสัญลักษณ์คริสตอฟเฟลอธิบายว่าฐานพิกัดท้องถิ่นเปลี่ยนแปลงอย่างไรจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง

ณ แต่ละจุดของ แมนิโฟลด์ nมิติพื้นฐาน สำหรับระบบพิกัดท้องถิ่นใดๆ รอบจุดนั้น สัญลักษณ์ Christoffel จะถูกแทนด้วยΓ ⁱ _jkสำหรับi , j , k = 1, 2, ..., nแต่ละรายการในอาร์เรย์n × n × n นี้ เป็นจำนวนจริงภายใต้การแปลงพิกัดเชิงเส้นบนแมนิโฟลด์ สัญลักษณ์ Christoffel จะแปลงสภาพเหมือนส่วนประกอบของเทนเซอร์แต่ภายใต้การแปลงพิกัดทั่วไป ( ดิฟฟีโอโมฟิซึม ) พวกมันจะไม่แปลงสภาพ คุณสมบัติทางพีชคณิตส่วนใหญ่ของสัญลักษณ์ Christoffel มาจากความสัมพันธ์กับการเชื่อมต่อเชิงเส้นตรง มีเพียงไม่กี่คุณสมบัติเท่านั้นที่มาจากข้อเท็จจริงที่ว่ากลุ่มโครงสร้างคือกลุ่มเชิงตั้งฉากO( m , n ) (หรือกลุ่ม Lorentz O(3, 1)สำหรับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป)

สัญลักษณ์คริสตอฟเฟลใช้สำหรับการคำนวณเชิงปฏิบัติ ตัวอย่างเช่นเทนเซอร์ความโค้งของรีมันน์สามารถแสดงได้อย่างสมบูรณ์ในรูปของสัญลักษณ์คริสตอฟเฟลและอนุพันธ์ย่อยอันดับ แรกของมัน ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปการเชื่อมต่อทำหน้าที่เป็นสนามแรงโน้มถ่วงโดยที่ศักย์โน้มถ่วง ที่สอดคล้องกัน คือเทนเซอร์เมตริก เมื่อระบบพิกัดและเทนเซอร์เมตริกมีสมมาตรบางอย่างร่วมกัน ค่าΓ ⁱ _jk จำนวนมาก จะเป็น ศูนย์

สัญลักษณ์ Christoffel ตั้งชื่อตามElwin Bruno Christoffel (1829–1900) ^{[ 7 ]}

คำจำกัดความที่ระบุไว้ด้านล่างนี้ใช้ได้กับทั้งแมนิโฟลด์แบบรีมันน์และแมนิโฟลด์แบบเสมือนรีมันน์เช่น แม นิโฟลด์ในทฤษฎี สัมพัทธภาพทั่วไปโดยต้องแยกความแตกต่างระหว่างดัชนีบนและล่าง ( ดัชนี แบบคอนทราแวเรียนต์และแบบโคแวเรียนต์ ) อย่างระมัดระวัง สูตรเหล่านี้ใช้ได้กับทั้งสองแบบของการกำหนดเครื่องหมายเว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น

ในบทความนี้ใช้หลักการบวกแบบไอน์สไตน์ โดยเวกเตอร์จะแสดงด้วยตัวอักษรตัวหนา สัมประสิทธิ์ การเชื่อมต่อของการเชื่อมต่อแบบเลวี-ซีวิทา (หรือการเชื่อมต่อแบบซูโด-รีมันน์) ที่แสดงในฐานพิกัดเรียกว่าสัญลักษณ์คริสตอฟเฟล

เมื่อกำหนดแมนิโฟลด์ หนึ่งแล้ว แอตลาสจะประกอบด้วยชุดแผนภูมิสำหรับแต่ละการปกคลุมแบบเปิด แผนภูมิ เหล่านี้ช่วยให้ สามารถ ดึง ฐานเวกเตอร์มาตรฐานบน แมนิโฟลด์นั้น กลับไปยังฐานเวกเตอร์บนปริภูมิสัมผัสของ แม นิโฟลด์ได้ โดยทำได้ดังนี้ เมื่อกำหนดฟังก์ชันจริงใดๆแผนภูมิจะช่วยให้สามารถกำหนด เกรเดียนต์ ได้:${\displaystyle M}$${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle U\subset M}$${\displaystyle ({\vec {e}__{1},\cdots ,{\vec {e}__{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \partial _{i}f\equiv {\frac {\partial \left(f\circ \varphi ^{-1}\right)}{\partial x^{i}}}\quad {\mbox{สำหรับ }}i=1,\,2,\,\dots ,\,n}$

โดยทั่วไปแล้ว การไล่ระดับนี้เรียกว่าการดึงกลับ (pullback ) เพราะมัน "ดึงกลับ" การไล่ระดับไปยังการไล่ระดับบน การดึง กลับนี้ไม่ขึ้นอยู่กับแผนภูมิในลักษณะนี้ ฐานเวกเตอร์มาตรฐาน บน จะดึงกลับไปยังฐานเวกเตอร์มาตรฐาน ("พิกัด") บนซึ่งเรียกว่า "ฐานพิกัด" เพราะมันขึ้นอยู่กับพิกัดบน อย่างชัดเจนบางครั้งเรียกว่า "ฐานท้องถิ่น" ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle ({\vec {e}__{1},\cdots ,{\vec {e}__{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle (\partial _{1},\cdots ,\partial _{n})}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

คำจำกัดความนี้อนุญาตให้มีการใช้สัญลักษณ์ อย่างไม่ถูกต้องได้ เวกเตอร์ เหล่านี้ถูกกำหนดให้มีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเวกเตอร์ฐานบนสัญลักษณ์นี้ทำหน้าที่เป็นเครื่องเตือนใจว่าเวกเตอร์ฐานบนปริภูมิสัมผัสมาจากการสร้างแบบเกรเดียนต์ อย่างไรก็ตาม เป็นเรื่องปกติที่จะ "ลืม" การสร้างนี้ และเขียน (หรือกำหนด) เวกเตอร์บน โดยที่ขอบเขตของสัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไปทั้งหมดรวมถึงการใช้ลูกศรและตัวหนาเพื่อแสดงถึงเวกเตอร์: ${\displaystyle \partial _{i}}$${\displaystyle {\vec {e}__{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \partial _{i}}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle e_{i}\equiv \partial _{i}}$

${\displaystyle \partial _{i}\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\equiv e_{i}\equiv {\vec {e}}_{i}\equiv \mathbf {e} _{i}\equiv {\boldsymbol {\partial }}_{i}}$

โดยใช้เป็นเครื่องเตือนใจว่าสัญลักษณ์เหล่านี้มีความหมายเทียบเท่ากันสำหรับแนวคิดเดียวกัน การเลือกใช้สัญลักษณ์ขึ้นอยู่กับรูปแบบและรสนิยม และแตกต่างกันไปในแต่ละข้อความ ${\displaystyle \equiv }$

ฐานพิกัดให้ฐานเวกเตอร์สำหรับฟิลด์เวกเตอร์บนสัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไปสำหรับฟิลด์เวกเตอร์บนได้แก่ ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle X={\vec {X}}=X^{i}\partial _{i}=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

ตัวอักษรพิมพ์ใหญ่ที่ไม่มีลูกศรเวกเตอร์นั้นเป็นที่นิยมเป็นพิเศษสำหรับการเขียนสัญลักษณ์แบบไม่มีดัชนีเพราะช่วยลดความยุ่งยากและยังช่วยย้ำเตือนว่าผลลัพธ์นั้นเป็นอิสระจากฐานที่เลือก และในกรณีนี้ก็เป็นอิสระจากแผนที่กายวิภาคด้วย ${\displaystyle X}$

มีการใช้สัญลักษณ์ที่ไม่ถูกต้องในลักษณะเดียวกันเพื่อผลักดันรูปแบบหนึ่งมิติจากไปยังโดยทำได้โดยการเขียนหรือหรือรูปแบบหนึ่งมิติที่ได้คือซึ่งจะถูกเชื่อมเข้ากับเวกเตอร์ฐานเป็นโปรดสังเกตการใช้ดัชนีบนและล่างอย่างระมัดระวัง เพื่อแยกแยะเวกเตอร์แบบคอนทราแวเรียนต์และโคแวเรียนต์ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})=(x^{1},\ldots ,x^{n})}$${\displaystyle x=\varphi }$${\displaystyle x^{i}=\varphi ^{i}}$${\displaystyle dx^{i}=d\varphi ^{i}}$${\displaystyle dx^{i}(\partial _{j})=\delta _{j}^{i}}$

การดึงกลับ (pullback) เหนี่ยวนำ (กำหนด) เทนเซอร์เมตริกบนมีการใช้สัญลักษณ์หลายรูปแบบโดยทั่วไป: โดยที่ทั้งจุดกลางและวงเล็บเหลี่ยมแสดงถึงผลคูณสเกลาร์รูปแบบสุดท้ายใช้เทนเซอร์ซึ่งเข้าใจว่าเป็นเทนเซอร์เมตริก "พื้นที่ราบ" สำหรับแมนิโฟลด์แบบรีมันน์มันคือเดลต้าโครเนกเกอร์สำหรับแมนิโฟลด์แบบซูโดรีมันน์ มันคือเมทริกซ์แนวทแยงที่มีลายเซ็นสัญลักษณ์นี้ทำหน้าที่เป็นเครื่องเตือนใจว่าการดึงกลับนั้นแท้จริงแล้วเป็นการแปลงเชิงเส้น ซึ่งกำหนดให้เป็นเกรเดียนต์ข้างต้น ตัวอักษรดัชนีอยู่ใน ในขณะที่ตัวอักษรดัชนีอยู่ในแมนิโฟลด์สัมผัส ${\displaystyle M}$$${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\langle {\vec {e}__{i},{\vec {e}}_{j}\rangle =e_{i}^{a}e_{j}^{b}\,\eta _{ab}}$$${\displaystyle \langle ,\rangle }$${\displaystyle \eta _{ab}}$${\displaystyle \eta _{ab}=\เดลต้า _{ab}}$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle e_{i}^{a}}$${\displaystyle a,b,c,\cdots }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle i,j,k,\cdots }$

เมทริกซ์ผกผัน ของเมตริกเทนเซอร์กำหนดโดย ซึ่งใช้ในการกำหนดฐานคู่: ${\displaystyle g^{ij}}$${\displaystyle g_{ij}}$$${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\เดลต้า _{k}^{i}}$$$${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\mathbf {e} _{j}g^{ji},\quad i=1,\,2,\,\dots ,\,n}$$

บางตำราเขียนไว้สำหรับเพื่อให้เทนเซอร์เมตริกมีรูปแบบที่น่าสนใจเป็นพิเศษ โดยทั่วไปแล้วจะทำเช่นนี้เพื่อให้ สามารถใช้สัญลักษณ์ ได้อย่างชัดเจนสำหรับ เวียร์ไบน์ ${\displaystyle \mathbf {g} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {g} _{i}\cdot \mathbf {g} _{j}}$${\displaystyle e_{i}}$

ในปริภูมิยูคลิดนิยามทั่วไปที่ให้ไว้ด้านล่างสำหรับสัญลักษณ์คริสโตเฟลชนิดที่สอง สามารถพิสูจน์ได้ว่าเทียบเท่ากับ: $${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\frac {\partial \mathbf {e} _{j}}{\partial x^{i}}}\cdot \mathbf {e} ^{k}={\frac {\partial \mathbf {e} _{j}}{\บางส่วน x^{i}}}\cdot g^{km}\mathbf {e} _{ม}}$$

สัญลักษณ์คริสโตเฟลชนิดแรกสามารถพบได้โดยการลดดัชนี : $${\displaystyle \Gamma _{kij}={\Gamma \cdot \mathbf {e} ^{m}g_{mk}={\frac {\partial \mathbf {e} _{j}}{\partial x^{i}}}\cdot \mathbf {e} _{k}}$$

เมื่อจัดเรียงใหม่ เราจะเห็นว่า (โดยสมมติว่าอนุพันธ์ย่อยอยู่ในปริภูมิสัมผัส ซึ่งไม่สามารถเกิดขึ้นได้ใน ปริภูมิ โค้งที่ ไม่ใช่แบบยุคลิด ): $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {e} _{j}}{\บางส่วน x^{i}}}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{k}=\Gamma _{kij}\mathbf {e} ^{k}}$$

กล่าวคือ อาร์เรย์ที่แสดงด้วยสัญลักษณ์ Christoffel จะติดตามการเปลี่ยนแปลงของฐานจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง หากอนุพันธ์ไม่อยู่ในปริภูมิสัมผัส นิพจน์ที่ถูกต้องคือการฉายภาพของอนุพันธ์บนปริภูมิสัมผัส (ดูอนุพันธ์ร่วมแปรด้านล่าง) สัญลักษณ์ชนิดที่สองจะแยกส่วนการเปลี่ยนแปลงโดยสัมพันธ์กับฐาน ในขณะที่สัญลักษณ์ชนิดแรกจะแยกส่วนโดยสัมพันธ์กับฐานคู่ ในรูปแบบนี้ จะเห็นความสมมาตรของดัชนีสองตัวล่างหรือสองตัวสุดท้ายได้ง่าย: และ จากนิยามของและข้อเท็จจริงที่ว่าอนุพันธ์ย่อยสลับกันได้ (ตราบใดที่แมนิโฟลด์และระบบพิกัดมีพฤติกรรมที่ดี ) $${\displaystyle {\Gamma ^{k}__{ij}={\Gamma ^{k}__{ji}}$$${\displaystyle \Gamma _{kij}=\Gamma _{kji},}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

ค่าตัวเลขเดียวกันสำหรับสัญลักษณ์ Christoffel ชนิดที่สองยังสัมพันธ์กับอนุพันธ์ของฐานคู่ ดังที่เห็นได้ในนิพจน์: ซึ่งเราสามารถจัดเรียงใหม่ได้ดังนี้: $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {e} ^{i}}{\partial x^{j}}}=-{\Gamma ^{i}}_{jk}\mathbf {e} ^{k},}$$$${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}=-{\frac {\partial \mathbf {e} ^{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} _{k}.}$$

สัญลักษณ์คริสโตเฟลมีสองรูปแบบ คือ แบบแรกและแบบที่สอง คำจำกัดความของแบบที่สองนั้นพื้นฐานกว่า จึงนำเสนอไว้ก่อน

สัญลักษณ์ Christoffel ชนิดที่สองคือสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อ—ในฐานพิกัด—ของการเชื่อมต่อ Levi-Civitaกล่าวอีกนัยหนึ่ง สัญลักษณ์ Christoffel ชนิดที่สอง^{[ 8 ] [ 9 ]} Γ ^k _ij (บางครั้งΓ^เค_อิเจหรือ{^เค_อิเจ} ) ^{[ 7 ] [ 8 ]}ถูกกำหนดให้เป็นสัมประสิทธิ์ที่ไม่ซ้ำกัน โดย ที่คือการเชื่อมต่อ Levi-Civitaบน Mที่ใช้ในทิศทางพิกัด e _i (เช่น ∇ _i ≡ ∇ _{e i} ) และ โดยที่ คือ ฐานพิกัดท้องถิ่น (โฮโลโนมิก )เนื่องจากการเชื่อมต่อนี้มีแรงบิด เป็นศูนย์ และฟิลด์เวกเตอร์โฮโลโนมิกสลับกันได้ (เช่น) เราจึงมี ดังนั้นในฐานนี้ สัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อจึงสมมาตร: ^{[ 8 ]} ด้วยเหตุนี้ การเชื่อมต่อที่ไม่มีแรงบิดจึงมักเรียกว่า สมมาตร$${\displaystyle \nabla _{i}\mathrm {e} _{j}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathrm {e} _{k},}$$${\displaystyle \nabla _{i}}$${\displaystyle e_{i}=\partial _{i}}$${\displaystyle [e_{i},e_{j}]=[\partial _{i},\partial _{j}]=0}$$${\displaystyle \nabla _{i}\mathrm {e} _{j}=\nabla _{j}\mathrm {e} _{i}.}$$$${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ji}.}$$

สัญลักษณ์ Christoffel สามารถหาได้จากการที่อนุพันธ์ร่วมแปรของเทนเซอร์เมตริก มีค่าเป็นศูนย์ : ${\displaystyle g_{ik}}$$${\displaystyle 0=\nabla _{l}g_{ik}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}-g_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-g_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}-2g_{m(k}{\Gamma ^{m}}_{i)l}.}$$

เพื่อความสะดวกในการเขียนแบบย่อสัญลักษณ์นาบลาและสัญลักษณ์อนุพันธ์ย่อยมักถูกละทิ้ง และใช้เครื่องหมายเซมิโคลอนและเครื่องหมายจุลภาค แทน เพื่อแยกดัชนีที่ใช้สำหรับอนุพันธ์ ดังนั้นบางครั้งจึงเขียนข้างต้นได้ดังนี้ $${\displaystyle 0=\,g_{ik;l}=g_{ik,l}-g_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-g_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}.}$$

โดยใช้ว่าสัญลักษณ์มีความสมมาตรในดัชนีสองตัวล่าง เราสามารถแก้สัญลักษณ์ Christoffel ได้อย่างชัดเจนเป็นฟังก์ชันของเทนเซอร์เมตริกโดยการสลับดัชนีและรวมใหม่: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{m}}}\right)={\frac {1}{2}}g^{im}\left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}\right),}$$

โดยที่( g ^jk )คือเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์( g _jk )ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้ (โดยใช้เดลต้าโครเนกเกอร์และสัญกรณ์ของไอน์สไตน์สำหรับการบวก) แม้ว่าสัญลักษณ์คริสตอฟเฟลจะเขียนด้วยสัญกรณ์เดียวกับเทนเซอร์ที่มีสัญกรณ์ดัชนีแต่ ก็ไม่ได้แปลงรูปเหมือนเทนเซอร์ภายใต้การเปลี่ยนพิกัด${\displaystyle g^{ji}g_{ik}=\delta ^{j}{}_{k}}$

การหดตัวของดัชนีบนกับดัชนีล่างตัวใดตัวหนึ่ง (ซึ่งสมมาตรกัน) จะนำไปสู่ ​​โดยที่คือดีเทอร์มิแนนต์ของเทนเซอร์เมตริก เอกลักษณ์นี้สามารถใช้ในการประเมินไดเวอร์เจนซ์ของเวกเตอร์และอนุพันธ์โคแวเรียนต์ของความหนาแน่นเทนเซอร์ได้ นอกจากนี้ $${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{ki}={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\ln {\sqrt {|g|}}}$$${\displaystyle g=\det g_{ik}}$

${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{ki}={\Gamma ^{i}}_{ik}={\tfrac {1}{2}}\left(g^{mi}g_{mk,i}+g^{mi}g_{mi,k}-g^{im}g_{ki,m}\right)={\tfrac {1}{2}}g^{mi}g_{mi,k}}$.

สัญลักษณ์ Christoffel ชนิดแรกสามารถได้มาจากสัญลักษณ์ Christoffel ชนิดที่สองและเมตริก^{[ 11 ]}$${\displaystyle \Gamma _{cab}=g_{cd}{\Gamma ^{d}}_{ab}\,,}$$

หรือจากเมตริกเพียงอย่างเดียว^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{cab}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ca}}{\partial x^{b}}}+{\frac {\partial g_{cb}}{\partial x^{a}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{c}}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\,\left(g_{ca,b}+g_{cb,a}-g_{ab,c}\right)\\&={\frac {1}{2}}\,\left(\partial _{b}g_{ca}+\partial _{a}g_{cb}-\partial _{c}g_{ab}\right)\,.\\\end{aligned}}}$$

นอกจากนี้ ยังพบสัญลักษณ์ทางเลือกอีกด้วย^{[ 7 ] [ 12 ] [ 13 ]}

$${\displaystyle \Gamma _{cab}=[ab,c].}$$ เป็นที่น่าสังเกตว่า[ ab , c ] = [ ba , c ] . ^{[ 10 ]}

โดยทั่วไปแล้ว สัญลักษณ์ Christoffel จะถูกกำหนดในฐานพิกัด ซึ่งเป็นแบบแผนที่ใช้ในที่นี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ชื่อสัญลักษณ์ Christoffelสงวนไว้สำหรับเฟรมพิกัด (เช่น เฟรม โฮโลโนมิก ) เท่านั้น อย่างไรก็ตาม สัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อสามารถกำหนดได้ในฐานเวกเตอร์สัมผัสu _i ที่เป็นไปโดยพลการ (เช่น ฐานที่ไม่ใช่โฮโลโนมิก) โดย $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} _{i}}\mathbf {u} _{j}={\omega ^{k}}_{ij}\mathbf {u} _{k}.}$$

โดยชัดเจน ในแง่ของเทนเซอร์เมตริก นี่คือ^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\omega ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}g^{im}\left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}+c_{mkl}+c_{mlk}-c_{klm}\right),}$$

โดยที่c _klm = g _mp c _kl ^pคือสัมประสิทธิ์การสลับตำแหน่งของฐาน นั่นคือ $${\displaystyle [\mathbf {u} _{k},\,\mathbf {u} _{l}]={c_{kl}}^{m}\mathbf {u} _{m}}$$

โดยที่u และ_k คือ เวกเตอร์ฐานและ[ , ]คือวงเล็บ Lieเวกเตอร์หน่วยมาตรฐานในพิกัดทรงกลมและทรงกระบอกเป็นตัวอย่างของฐานที่มีสัมประสิทธิ์การสลับที่ไม่เป็นศูนย์ ความแตกต่างระหว่างการเชื่อมต่อในกรอบดังกล่าวและการเชื่อมต่อ Levi-Civita เรียกว่าเท นเซอร์การบิดเบี้ยว

เมื่อเราเลือกฐานX _i ≡ u _iออร์โทนอร์มอล: g _ab ≡ η _ab = ⟨ X _a , X _b ⟩แล้วg _mk,l ≡ η _mk,l = 0ซึ่งหมายความว่า และสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อจะกลายเป็นแบบแอนติสมมาตรในดัชนีสองตัวแรก: โดยที่ $${\displaystyle {\omega ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}\eta ^{im}\left(c_{mkl}+c_{mlk}-c_{klm}\right)}$$$${\displaystyle \omega _{abc}=-\omega _{bac}\,,}$$$${\displaystyle \omega _{abc}=\eta _{ad}{\omega ^{d}}_{bc}\,.}$$

ในกรณีนี้ ค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อω ^a _bcเรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์การหมุน ของRicci ^{[ 14 ] [ 15 ]}

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถกำหนดสัมประสิทธิ์การหมุนของ Ricci ได้ดังนี้: ^{[ 9 ]} โดยที่u _iเป็นฐานออร์โทนอร์มอลที่ไม่ใช่โฮโลโนมิก และu ^k = η ^kl u _lเป็นฐานร่วมของมัน $${\displaystyle {\omega ^{k}}_{ij}:=\mathbf {u} ^{k}\cdot \left(\nabla _{j}\mathbf {u} _{i}\right)\,,}$$

ภายใต้การเปลี่ยนตัวแปรจากเป็นสัญลักษณ์ Christoffel จะแปลงรูปดังนี้ ${\displaystyle \left(x^{1},\,\ldots ,\,x^{n}\right)}$${\displaystyle \left({\bar {x}}^{1},\,\ldots ,\,{\bar {x}}^{n}\right)}$

$${\displaystyle {{\bar {\Gamma }}^{i}}_{kl}={\frac {\partial {\bar {x}}^{i}}{\partial x^{m}}}\,{\frac {\partial x^{n}}{\partial {\bar {x}}^{k}}}\,{\frac {\partial x^{p}}{\partial {\bar {x}}^{l}}}\,{\Gamma ^{m}}_{np}+{\frac {\partial ^{2}x^{m}}{\partial {\bar {x}}^{k}\partial {\bar {x}}^{l}}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}}{\partial x^{m}}}}$$

โดยเส้นขีดบนแสดงถึงสัญลักษณ์ Christoffel ในระบบพิกัด สัญลักษณ์ Christoffel ไม่ได้แปลงรูปเหมือนเทนเซอร์ แต่แปลงรูปเหมือนวัตถุในเจ็ตบันเดิลกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น สัญลักษณ์ Christoffel สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นฟังก์ชันบนเจ็ตบันเดิลของเฟรมบันเดิลของMโดยไม่ขึ้นอยู่กับระบบพิกัดท้องถิ่นใดๆ การเลือกใช้ระบบพิกัดท้องถิ่นจะกำหนดส่วนท้องถิ่นของบันเดิลนี้ ซึ่งสามารถนำมาใช้ดึงสัญลักษณ์ Christoffel กลับมาเป็นฟังก์ชันบนM ได้แม้ว่าฟังก์ชันเหล่านี้จะขึ้นอยู่กับการเลือกใช้ระบบพิกัดท้องถิ่นก็ตาม ${\displaystyle {\bar {x}}^{i}}$

สำหรับแต่ละจุด จะมีระบบพิกัดที่สัญลักษณ์ Christoffel หายไป ณ จุดนั้น^{[ 16 ]} สิ่งเหล่านี้เรียกว่าพิกัดปกติ (geodesic) และมักใช้ในเรขาคณิตแบบรีมันน์

มีคุณสมบัติที่น่าสนใจบางประการที่สามารถอนุมานได้โดยตรงจากกฎการแปลง

• สำหรับการแปลงเชิงเส้น ส่วนที่ไม่เอกพันธุ์ของการแปลง (พจน์ที่สองทางด้านขวามือ) จะหายไปโดยสมบูรณ์ จากนั้นจะมีพฤติกรรมเหมือนเทนเซอร์${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}}$
• ถ้าเรามีฟิลด์การเชื่อมต่อสองฟิลด์ เช่นและแล้วผลต่างของฟิลด์ทั้งสองจะเป็นเทนเซอร์ เนื่องจากเทอมที่ไม่เป็นเอกพันธ์จะหักล้างกันเอง เทอมที่ไม่เป็นเอกพันธ์นั้นขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงของพิกัดเท่านั้น แต่ไม่ขึ้นอยู่กับสัญลักษณ์ของคริสตอฟเฟลเอง${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}}$${\displaystyle {{\tilde {\Gamma }}^{i}}_{jk}}$${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}-{{\tilde {\Gamma }}^{i}}_{jk}}$
• ถ้าสัญลักษณ์ Christoffel ไม่สมมาตรเกี่ยวกับดัชนีล่างในระบบพิกัดหนึ่ง เช่นแล้วสัญลักษณ์นั้นจะยังคงไม่สมมาตรภายใต้การเปลี่ยนพิกัดใดๆ ผลที่ตามมาของคุณสมบัตินี้คือ เป็นไปไม่ได้ที่จะหาระบบพิกัดที่องค์ประกอบทั้งหมดของสัญลักษณ์ Christoffel เป็นศูนย์ ณ จุดใดจุดหนึ่ง เว้นแต่ดัชนีล่างจะสมมาตร คุณสมบัตินี้ได้รับการชี้ให้เห็นโดยAlbert Einstein ^{[ 17 ]}และErwin Schrödinger ^{[ 18 ]}อย่างอิสระ${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}\neq {\Gamma ^{i}}_{kj}}$

ถ้าเวกเตอร์เคลื่อนที่ขนานไปตามเส้นโค้งที่กำหนดโดยพารามิเตอร์บางตัวบนแมนิโฟลด์แบบรีมันน์อัตราการเปลี่ยนแปลงของส่วนประกอบของเวกเตอร์จะกำหนดโดย ${\displaystyle \xi ^{i}}$${\displaystyle s}$$${\displaystyle {\frac {d\xi ^{i}}{ds}}=-{\Gamma ^{i}}_{mj}{\frac {dx^{m}}{ds}}\xi ^{j}.}$$

ตอนนี้ เพียงแค่ใช้เงื่อนไขที่ว่า ผลคูณเชิงสเกลาร์ที่เกิดจากเวกเตอร์สองตัวใดๆนั้นไม่เปลี่ยนแปลง ก็เพียงพอที่จะได้สัญลักษณ์คริสตอฟเฟลแล้ว เงื่อนไขนั้นคือ ซึ่งตามกฎผลคูณจะขยายได้เป็น ${\displaystyle g_{ik}\xi ^{i}\eta ^{k}}$${\displaystyle \xi ^{i}}$${\displaystyle \eta ^{k}}$$${\displaystyle {\frac {d}{ds}}\left(g_{ik}\xi ^{i}\eta ^{k}\right)=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}{\frac {dx^{l}}{ds}}\xi ^{i}\eta ^{k}+g_{ik}{\frac {d\xi ^{i}}{ds}}\eta ^{k}+g_{ik}\xi ^{i}{\frac {d\eta ^{k}}{ds}}=0.}$$

เมื่อใช้กฎการขนส่งแบบขนานกับเวกเตอร์สองตัวใดๆ และเปลี่ยนชื่อดัชนีจำลองและรวบรวมสัมประสิทธิ์ของ(เวกเตอร์ใดๆ) เราจะได้ ${\displaystyle \xi ^{i}\eta ^{k}dx^{l}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}=g_{rk}{\Gamma ^{r}}_{il}+g_{ir}{\Gamma ^{r}}_{lk}.}$$

สมการนี้เหมือนกับสมการที่ได้จากการกำหนดให้ค่าอนุพันธ์ร่วมแปรของเมตริกเทนเซอร์เป็นศูนย์ในส่วนนิยามทั่วไป การพิสูจน์จากตรงนี้ทำได้ง่าย โดยการสลับดัชนีในสมการข้างต้นแบบวนรอบ เราจะได้สมการเพิ่มอีกสองสมการ จากนั้นเมื่อรวมสมการทั้งสามนี้เข้าด้วยกันแบบเชิงเส้น เราก็สามารถแสดงออกมาในรูปของเมตริกเทนเซอร์ได้ ${\displaystyle ikl}$${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}}$

ให้XและYเป็นฟิลด์เวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบX ⁱและY ^kตามลำดับ แล้ว ส่วนประกอบที่ kของอนุพันธ์ร่วมแปรของYเทียบกับXจะกำหนดโดย $${\displaystyle \left(\nabla _{X}Y\right)^{k}=X^{i}(\nabla _{i}Y)^{k}=X^{i}\left({\frac {\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}}+{\Gamma ^{k}}_{im}Y^{m}\right).}$$

ในที่นี้ใช้ สัญกรณ์ของไอน์สไตน์ ดังนั้นดัชนีที่ซ้ำกันแสดงถึงผลรวมของดัชนี และการหดตัวกับเทนเซอร์เมตริกทำหน้าที่เพิ่มและลดดัชนี:$${\displaystyle g(X,Y)=X^{i}Y_{i}=g_{ik}X^{i}Y^{k}=g^{ik}X_{i}Y_{k}.}$$

โปรดจำไว้ว่าg _ik ≠ g ^ikและg ⁱ _k = δ ⁱ _k ซึ่งก็ คือเดลต้าโครเนกเกอร์ ตามธรรมเนียมแล้ว เทนเซอร์เมตริกจะเป็นเท น เซอร์ที่มีดัชนีต่ำกว่า วิธีที่ถูกต้องในการหาg ^ikจากg _ikคือการแก้สมการเชิงเส้นg ^ij g _jk = δ ⁱ _k

ข้อความที่ระบุว่าการเชื่อมต่อ ปราศจาก แรงบิดกล่าวคือ $${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,\,Y]}$$

เทียบเท่ากับข้อความที่ว่า ในระบบพิกัดพื้นฐาน สัญลักษณ์คริสตอฟเฟลมีความสมมาตรในดัชนีสองตัวล่าง: $${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}={\Gamma ^{i}}_{kj}.}$$

คุณสมบัติการแปลงแบบไม่มีดัชนีของเทนเซอร์นั้นกำหนดโดยการดึงกลับ (pullback)สำหรับดัชนีแบบโคแวเรียนต์ (covariant indices) และการผลักไปข้างหน้า (pushforward)สำหรับดัชนีแบบคอนทราแวเรียนต์ (contravariant indices) บทความเกี่ยวกับอนุพันธ์แบบโคแวเรียนต์ให้รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการสอดคล้องกันระหว่างสัญกรณ์แบบไม่มีดัชนีและสัญกรณ์แบบมีดัชนี

อนุพันธ์โคแวเรียนต์ของสนามเวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบV ^mคือ $${\displaystyle \nabla _{l}V^{m}={\frac {\partial V^{m}}{\partial x^{l}}}+{\Gamma ^{m}}_{kl}V^{k}.}$$

โดยอนุมานแล้ว ไดเวอร์เจนซ์ของเวกเตอร์สามารถหาได้ดังนี้ $${\displaystyle \nabla _{i}V^{i}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {-g}}\,V^{i}\right)}{\partial x^{i}}}.}$$

อนุพันธ์โคแวเรียนต์ของสนามโคเวกเตอร์ω _mคือ $${\displaystyle \nabla _{l}\omega _{m}={\frac {\partial \omega _{m}}{\partial x^{l}}}-{\Gamma ^{k}}_{ml}\omega _{k}.}$$

สมมาตรของสัญลักษณ์คริสโตเฟลในตอนนี้หมายความว่า สำหรับฟิลด์สเกลาร์ใดๆ ก็ตาม แต่โดยทั่วไปแล้วอนุพันธ์ร่วมแปรของฟิลด์เทนเซอร์ลำดับสูงกว่าจะไม่สลับที่กัน (ดูเทนเซอร์ความโค้ง ) $${\displaystyle \nabla _{i}\nabla _{j}\varphi =\nabla _{j}\nabla _{i}\varphi }$$

อนุพันธ์โคแวเรียนต์ของ ฟิลด์เทนเซอร์ประเภท(2, 0) A ^ikคือ นั่นคือ $${\displaystyle \nabla _{l}A^{ik}={\frac {\partial A^{ik}}{\partial x^{l}}}+{\Gamma ^{i}}_{ml}A^{mk}+{\Gamma ^{k}}_{ml}A^{im},}$$$${\displaystyle {A^{ik}}_{;l}={A^{ik}}_{,l}+A^{mk}{\Gamma ^{i}}_{ml}+A^{im}{\Gamma ^{k}}_{ml}.}$$

ถ้าฟิลด์เทนเซอร์เป็นแบบผสมอนุพันธ์โคแวเรียนต์ของมันจะเป็น และถ้าฟิลด์เทนเซอร์เป็นประเภท(0, 2)อนุพันธ์โคแวเรียนต์ของมันจะเป็น $${\displaystyle {A^{i}}_{k;l}={A^{i}}_{k,l}+{A^{m}}_{k}{\Gamma ^{i}}_{ml}-{A^{i}}_{m}{\Gamma ^{m}}_{kl},}$$$${\displaystyle A_{ik;l}=A_{ik,l}-A_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-A_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}.}$$

ในการหาอนุพันธ์ผกผันของสนามเวกเตอร์ เราต้องแปลงสนามเวกเตอร์นั้นให้เป็นอนุพันธ์ร่วมแปรโดยใช้เทนเซอร์เมตริกก่อน $${\displaystyle \nabla ^{l}V^{m}=g^{il}\nabla _{i}V^{m}=g^{il}\partial _{i}V^{m}+g^{il}\Gamma _{ki}^{m}V^{k}=\partial ^{l}V^{m}+g^{il}\Gamma _{ki}^{m}V^{k}}$$

สัญลักษณ์คริสโตเฟลถูกนำมาใช้บ่อยครั้งในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ของไอน์สไตน์ ซึ่งปริภูมิเวลา ถูกแทน ด้วยแมนิโฟลด์ลอเรนซ์ 4 มิติโค้ง ที่ มีการเชื่อมต่อแบบเลวี-ซีวิทาสมการสนามของไอน์สไตน์ซึ่งกำหนดเรขาคณิตของปริภูมิเวลาในสภาวะที่มีสสารนั้น ประกอบด้วยเทนเซอร์ริชชีดังนั้นการคำนวณสัญลักษณ์คริสโตเฟลจึงมีความสำคัญอย่างยิ่ง เมื่อกำหนดเรขาคณิตแล้ว เส้นทางของอนุภาคและลำแสงจะถูกคำนวณโดยการแก้สมการจีโอเดสิก ซึ่งมีสัญลักษณ์คริสโตเฟลปรากฏอยู่โดยชัดเจน

ให้เป็นพิกัดทั่วไป และเป็นความเร็วทั่วไป พลังงานจลน์สำหรับมวลหนึ่งหน่วยจะกำหนดโดย โดยที่ เป็นเทนเซอร์เมตริกถ้าฟังก์ชันศักย์ มีอยู่จริง ส่วนประกอบคอนทราแวเรียนต์ของแรงทั่วไปต่อมวลหนึ่งหน่วยคือ เมตริก (ใน ที่นี้อยู่ในโดเมนเชิงพื้นที่ล้วนๆ) สามารถหาได้จากองค์ประกอบเส้นแทนที่ลากรางจ์ลงในสมการออยเลอร์-ลากรางจ์เราจะได้^{[ 19 ]}${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle {\dot {x}}^{i}}$${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}g_{ik}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{k}}$${\displaystyle g_{ik}}$${\displaystyle V\left(x^{i}\right)}$${\displaystyle F_{i}=\partial V/\partial x^{i}}$${\displaystyle ds^{2}=2Tdt^{2}}$${\displaystyle L=T-V}$

$${\displaystyle g_{ik}{\ddot {x}}^{k}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{il}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{lk}}{\partial x^{i}}}\right){\dot {x}}^{l}{\dot {x}}^{k}=F_{i}.}$$

เมื่อคูณด้วยแล้วเราจะได้ ${\displaystyle g^{ij}}$$${\displaystyle {\ddot {x}}^{j}+{\Gamma ^{j}}_{lk}{\dot {x}}^{l}{\dot {x}}^{k}=F^{j}.}$$

เมื่อสามารถใช้พิกัดคาร์ทีเซียนได้ (เช่นในกรอบอ้างอิงเฉื่อย) เราจะมีเมตริกแบบยุคลิด สัญลักษณ์คริสตอฟเฟลจะหายไป และสมการจะลดลงเหลือเพียงกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันในพิกัดโค้ง^{[ 20 ]} (บังคับในกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อย ซึ่งเมตริกไม่ใช่แบบยุคลิดและไม่แบนราบ) แรงเสมือนเช่นแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางและแรงโคริโอลิสมีต้นกำเนิดมาจากสัญลักษณ์คริสตอฟเฟล ดังนั้นจึงมาจากพิกัดโค้งเชิงพื้นที่ล้วนๆ

กำหนดให้ระบบพิกัดทรงกลมเป็นพิกัดที่ใช้อธิบายจุดต่างๆ บนพื้นผิวโลก (โดยประมาณว่าเป็นทรงกลมในอุดมคติ)

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(R,\theta ,\varphi )&={\begin{pmatrix}R\cos \theta \cos \varphi &R\cos \theta \sin \varphi &R\sin \theta \end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

สำหรับจุด x, Rคือระยะทางถึงแกนโลก (โดยปกติจะประมาณรัศมีโลก ) θและφคือละติจูดและลองจิจูด ค่าθที่เป็นบวกหมายถึงซีกโลกเหนือ เพื่อให้การคำนวณอนุพันธ์ง่ายขึ้น มุมจะถูกกำหนดในหน่วยเรเดียน (โดยที่ d sin(x)/dx = cos(x) ค่าองศาจะเพิ่มตัวประกอบ 360 / 2 pi เข้ามา)

ณ ตำแหน่งใดๆ ทิศทางสัมผัสคือ(ขึ้น) (เหนือ) และ(ตะวันออก) - คุณสามารถใช้ดัชนี 1, 2, 3 ได้เช่นกัน ${\displaystyle e_{R}}$${\displaystyle e_{\theta }}$${\displaystyle e_{\varphi }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e_{R}&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &\sin \theta \end{pmatrix}}\\e_{\theta }&=R\cdot {\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \varphi &-\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \end{pmatrix}}\\e_{\varphi }&=R\cos \theta \cdot {\begin{pmatrix}-\sin \varphi &\cos \varphi &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

เมตริกเทนเซอร์ที่เกี่ยวข้องจะมีเฉพาะองค์ประกอบแนวทแยง (ความยาวเวกเตอร์ยกกำลังสอง) เท่านั้น นี่เป็นข้อดีของระบบพิกัด และไม่ใช่ความจริงโดยทั่วไป

^{[ 21 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{RR}=1\qquad &g_{\theta \theta }=R^{2}\qquad &g_{\varphi \varphi }=R^{2}\cos ^{2}\theta \qquad &g_{ij}=0\quad \mathrm {else} \\g^{RR}=1\qquad &g^{\theta \theta }=1/R^{2}\qquad &g^{\varphi \varphi }=1/(R^{2}\cos ^{2}\theta )\qquad &g^{ij}=0\quad \mathrm {else} \\\end{aligned}}}$$

ตอนนี้เราสามารถคำนวณปริมาณที่จำเป็นได้แล้ว ตัวอย่างเช่น:

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{R}=e_{R}g^{RR}=1\cdot e_{R}&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &\sin \theta \end{pmatrix}}\\{\Gamma ^{R}}_{\varphi \varphi }=e^{R}\cdot {\frac {\partial }{\partial \varphi }}e_{\varphi }&=e^{R}\cdot {\begin{pmatrix}-R\cos \theta \cos \varphi &-R\cos \theta \sin \varphi &0\end{pmatrix}}=-R\cos ^{2}\theta \\\end{aligned}}}$$

สัญลักษณ์ Christoffel ชนิดที่สองที่ได้จึงมีดังนี้ (จัดเรียงตามดัชนี "อนุพันธ์" iในเมทริกซ์): ${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ji}=e^{k}\cdot {\frac {\partial e_{j}}{\partial x^{i}}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{RR}&{\Gamma ^{R}}_{\theta R}&{\Gamma ^{R}}_{\varphi R}\\{\Gamma ^{\theta }}_{RR}&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta R}&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi R}\\{\Gamma ^{\varphi }}_{RR}&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta R}&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi R}\\\end{pmatrix}}&=\quad {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1/R&0\\0&0&1/R\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{R\theta }&{\Gamma ^{R}}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{R}}_{\varphi \theta }\\{\Gamma ^{\theta }}_{R\theta }&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi \theta }\\{\Gamma ^{\varphi }}_{R\theta }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi \theta }\\\end{pmatrix}}\quad &={\begin{pmatrix}0&-R&0\\1/R&0&0\\0&0&-\tan \theta \end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{R\varphi }&{\Gamma ^{R}}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{R}}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma ^{\theta }}_{R\varphi }&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma ^{\varphi }}_{R\varphi }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi \varphi }\\\end{pmatrix}}&=\quad {\begin{pmatrix}0&0&-R\cos ^{2}\theta \\0&0&\cos \theta \sin \theta \\1/R&-\tan \theta &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

ค่าเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าทิศทางสัมผัส (คอลัมน์: , , ) เปลี่ยนแปลงอย่างไร เมื่อมองจากมุมมองภายนอก (เช่น จากอวกาศ) แต่แสดงในทิศทางสัมผัสของตำแหน่งจริง (แถว: R , θ , φ ) ${\displaystyle e_{R}}$${\displaystyle e_{\theta }}$${\displaystyle e_{\varphi }}$

ยกตัวอย่างเช่น พิจารณาอนุพันธ์ที่ไม่เป็นศูนย์เทียบกับθในซึ่งสอดคล้องกับการเคลื่อนที่ไปทางทิศเหนือ (dθ เป็นบวก): ${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{j\ \theta }}$

• ทิศเหนือใหม่จะเปลี่ยนไปเป็นค่า -R dθ ในทิศทางขึ้น (R) ดังนั้นทิศเหนือจะหมุนลงไปทางศูนย์กลางของโลก${\displaystyle e_{\theta }}$
• ในทำนองเดียวกัน ทิศทางขึ้นจะถูกปรับไปทางทิศเหนือ ความยาวที่แตกต่างกันของและส่งผลให้เกิดตัวประกอบ 1/R${\displaystyle e_{R}}$${\displaystyle e_{R}}$${\displaystyle e_{\theta }}$
• เมื่อเคลื่อนไปทางเหนือ เวกเตอร์สัมผัสตะวันออกจะเปลี่ยนความยาว (-tan(θ) บนแนวทแยง) โดยจะหดตัว (-tan(θ) dθ < 0) ในซีกโลกเหนือ และเพิ่มขึ้น (-tan(θ) dθ > 0) ในซีกโลกใต้^{[ 21 ]}${\displaystyle e_{\varphi }}$

ผลกระทบเหล่านี้อาจไม่ปรากฏชัดเจนในระหว่างการเคลื่อนที่ เนื่องจากเป็นการปรับแต่งที่ทำให้การวัดอยู่ในพิกัดR , θ , φอย่างไรก็ตาม มันอาจส่งผลต่อระยะทาง สมการทางฟิสิกส์ ฯลฯ ดังนั้น หากคุณต้องการทราบการเปลี่ยนแปลงที่แน่นอนของสนามแม่เหล็กที่ชี้ไปทาง "ทิศใต้" โดยประมาณ คุณอาจจำเป็นต้องแก้ไขการวัดของคุณด้วยการเปลี่ยนแปลงทิศเหนือโดยใช้สัญลักษณ์ของคริสตอฟเฟลเพื่อให้ได้ค่า "จริง" ( เทนเซอร์ )

สัญลักษณ์ Christoffel ชนิดแรกแสดงการเปลี่ยนแปลงแบบเดียวกันโดยใช้พิกัดที่ปรับแก้ตามเมตริก เช่น สำหรับอนุพันธ์เทียบกับφ : ${\displaystyle {\Gamma _{l}}_{ji}=g_{lk}{\Gamma ^{k}}_{ji}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\Gamma _{R}}_{R\varphi }&{\Gamma _{R}}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{R}}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma _{\theta }}_{R\varphi }&{\Gamma _{\theta }}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{\theta }}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma _{\varphi }}_{R\varphi }&{\Gamma _{\varphi }}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{\varphi }}_{\varphi \varphi }\\\end{pmatrix}}&=R\cos \theta {\begin{pmatrix}0&0&-\cos \theta \\0&0&R\sin \theta \\\cos \theta &-R\sin \theta &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

แนวทางแบบลากรางจ์ในการหาคำตอบ

ในระบบพิกัดทรงกระบอก พิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดทรงกระบอกมีอยู่ดังนี้:

${\textstyle {\begin{cases}x=r\cos \varphi \\y=r\sin \varphi \\z=h\end{cases}}}$และ${\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)\\h=z\end{cases}}}$

จุดพิกัดคาร์ทีเซียนมีอยู่จริง และสัญลักษณ์คริสตอฟเฟลจะหายไปเมื่อเวลาผ่านไป ดังนั้น ในระบบพิกัดทรงกระบอก:

${\displaystyle \Gamma _{rr}^{r}=\Gamma _{\varphi r}^{r}={\frac {\partial ^{2}x}{\partial r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}y}{\partial r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial z}}=0}$

${\displaystyle \Gamma _{r\varphi }^{r}=\Gamma _{\varphi r}^{r}={\frac {\partial ^{2}x}{\partial r\partial \varphi }}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}y}{\partial r\partial \varphi }}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial r\partial \varphi }}{\frac {\partial r}{\partial z}}=-\sin \varphi \cos \varphi +\sin \varphi \cos \varphi =0}$

${\displaystyle \Gamma _{\varphi \varphi }^{r}={\frac {\partial ^{2}x}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}y}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial z}}=-{\frac {x}{r}}-{\frac {y}{r}}=-r}$

${\displaystyle \Gamma _{rr}^{\varphi }=\Gamma _{\varphi r}^{\varphi }={\frac {\partial ^{2}x}{\partial r^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}y}{\partial r^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial r^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=0}$

${\displaystyle \Gamma _{r\varphi }^{\varphi }=\Gamma _{\varphi r}^{\varphi }={\frac {\partial ^{2}x}{\partial r\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}y}{\partial r\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial r\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=-{\frac {y}{r^{2}}}+\cos \varphi {\frac {x}{r^{2}}}={\frac {1}{r}}}$

${\displaystyle \Gamma _{\varphi \varphi }^{\varphi }={\frac {\partial ^{2}x}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}y}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=-{\frac {x}{r^{2}}}-{\frac {y}{r^{2}}}=0}$

พิกัดทรงกลม (โดยใช้ Lagrangian 2x2x2)

${\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$

สามารถประเมินค่าลากรางเจียนได้ดังนี้:

${\displaystyle L={\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}}$

เพราะฉะนั้น,

${\displaystyle {\begin{cases}{\ddot {\phi }}+2{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}{\dot {\theta }}{\dot {\phi }}=0\\{\ddot {\theta }}-\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}=0\\{\frac {d^{2}x^{k}}{d\lambda ^{2}}}+\Gamma _{ij}^{k}{\frac {dx^{i}}{d\lambda }}{\frac {dx^{j}}{d\lambda }}=0\\{\frac {\partial L}{\partial {\ddot {\theta }}}}=0\end{cases}}}$ สามารถจัดเรียงใหม่ได้เป็น${\displaystyle {\begin{cases}{\ddot {\phi }}+2{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}{\dot {\theta }}{\dot {\phi }}=0\\{\ddot {\theta }}-\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}=0\end{cases}}}$

โดยใช้สมการจีโอเดสิกต่อไปนี้:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{k}}{d\lambda ^{2}}}+\Gamma _{ij}^{k}{\frac {dx^{i}}{d\lambda }}{\frac {dx^{j}}{d\lambda }}=0}$

สามารถจัดหาสิ่งต่อไปนี้ได้:

${\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-\sin \theta \cos \theta (\Gamma _{12}^{2})=\Gamma _{21}^{2}{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}}$

^{[ 21 ]}

โดยการนำกลศาสตร์ลากรางจ์ มา ใช้และใช้สมการออยเลอร์-ลากรางจ์สัญลักษณ์คริสตอฟเฟลสามารถแทนที่ลงในลากรางจ์เพื่ออธิบายเรขาคณิตของแมนิโฟลด์ได้ สัญลักษณ์คริสตอฟเฟลคำนวณได้จากเทนเซอร์เมตริกสมการจึงสามารถอนุมานและแสดงออกมาได้จากหลักการของการกระทำน้อยที่สุด เมื่อใช้สมการออยเลอร์-ลากรางจ์กับระบบสมการ ลากรางจ์จะรวมพจน์ที่เกี่ยวข้องกับสัญลักษณ์คริสตอฟเฟล ทำให้สมการสามารถใช้กับความโค้ง ซึ่งสามารถกำหนดสมการการเคลื่อนที่ที่ถูกต้องสำหรับวัตถุที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นทางจีโอเดสิกได้

สมการออยเลอร์-ลากรองจ์ถูกนำมาประยุกต์ใช้กับฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับเส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุในระบบพิกัดทรงกลม

กำหนดให้และ โดยที่และ${\displaystyle L\in C^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$${\displaystyle y\in C^{1}[a,b]}$${\displaystyle y(a)=C}$${\displaystyle ey(b)=d}$

ถ้า

${\displaystyle {\begin{cases}\int _{a}^{b}L(y(x))dx\\\int _{a}^{b}L(y'(x))dx\\\int _{a}^{b}L(x)dx\end{cases}}}$

ถึงจุดต่ำสุดซึ่ง เป็นคำตอบที่สามารถหาได้จากการแก้สมการเชิงอนุพันธ์: ${\displaystyle min\equiv y_{0}\in C}$${\displaystyle y_{0}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial L}{\partial y'}}(y(x),y'(x))\right)-{\frac {\partial L}{\partial y}}(y(x),y'(x))=0}$

สมการเชิงอนุพันธ์ให้เงื่อนไขทางคณิตศาสตร์ที่ต้องเป็นไปตามนั้นเพื่อให้ได้เส้นทางที่เหมาะสมที่สุด

^{[ 21 ]}

• บทนำสู่คณิตศาสตร์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป
• แมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้
• รายชื่อสูตรในเรขาคณิตแบบรีมันน์
• แคลคูลัสริชชี
• เทนเซอร์ความโค้งรีมันน์
• สมการเกาส์-โคดัซซี
• ตัวอย่างการคำนวณสัญลักษณ์คริสตอฟเฟล