ในทางคณิตศาสตร์เรขาคณิตวิเคราะห์ (เรียกอีกอย่างว่าเรขาคณิตคาร์ทีเซียน) อธิบายทุกจุดในปริภูมิสามมิติโดยใช้พิกัดสามแกนแกนพิกัด สามแกน ถูกกำหนด โดยแต่ละแกนตั้งฉากกับอีกสองแกนที่จุดกำเนิดซึ่งเป็นจุดที่แกนทั้งสามตัดกัน โดยปกติจะใช้สัญลักษณ์x , yและzตำแหน่งของจุดใดๆ ในปริภูมิสามมิติเมื่อเทียบกับแกนเหล่านี้ จะกำหนดโดยชุดตัวเลขจริง สามตัวเรียงลำดับ โดยแต่ละตัวเลขแสดงระยะห่างของจุดนั้นจากจุดกำเนิดที่วัดตามแกนที่กำหนด ซึ่งเท่ากับระยะห่างของจุดนั้นจากระนาบที่กำหนดโดยแกนอีกสองแกน^{[ 21 ]}

วิธีการอื่นๆ ที่นิยมใช้ในการอธิบายตำแหน่งของจุดในพื้นที่สามมิติ ได้แก่พิกัดทรงกระบอกและพิกัดทรงกลมแม้ว่าจะมีวิธีการที่เป็นไปได้มากมายนับไม่ถ้วนก็ตาม^{[ 22 ] [ 23 ]}สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม โปรดดูที่พื้นที่ยุคลิด

ด้านล่างนี้คือภาพของระบบต่างๆ ที่กล่าวถึงข้างต้น

• 
  ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน
• 
  ระบบพิกัดทรงกระบอก
• 
  ระบบพิกัดทรงกลม

จุดสองจุดที่แตกต่างกันจะกำหนดเส้น ตรงเสมอ จุดสามจุดที่แตกต่างกันจะอยู่บนเส้นเดียวกันหรือกำหนดระนาบ เฉพาะ ในทางกลับกัน จุดสี่จุดที่แตกต่างกันอาจอยู่บนเส้นเดียวกัน อยู่บนระนาบเดียวกันหรือกำหนดพื้นที่ทั้งหมด^{[ 24 ]}

เส้นตรงสองเส้นที่แตกต่างกันอาจตัดกันขนานกันหรือเฉียงกัน ก็ได้ เส้นตรงสองเส้นที่ขนานกัน หรือเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันจะอยู่บนระนาบเดียวกัน ดังนั้น เส้นเฉียงจึงเป็นเส้นตรงที่ไม่มาบรรจบกันและไม่อยู่บนระนาบเดียวกัน^{[ 25 ]}

ระนาบสองระนาบที่แตกต่างกันอาจมาบรรจบกันที่เส้นตรงเดียวกันหรือขนานกัน (กล่าวคือ ไม่บรรจบกัน) ^{[ 25 ]}ระนาบสามระนาบที่แตกต่างกัน ซึ่งไม่มีคู่ใดขนานกัน อาจมาบรรจบกันที่เส้นตรงเดียวกัน มาบรรจบกันที่จุดร่วมจุดเดียว หรือไม่มีจุดร่วมเลย ในกรณีสุดท้าย เส้นตัดกันทั้งสามเส้นของระนาบแต่ละคู่จะขนานกัน^{[ 26 ]}

เส้นตรงสามารถอยู่ในระนาบที่กำหนด ตัดกับระนาบนั้น ณ จุดเดียว หรือขนานกับระนาบนั้นได้^{[ 25 ]}ในกรณีสุดท้าย เส้นตรงสามารถเกิดขึ้นได้ในระนาบที่ขนานกับเส้นตรงที่กำหนด

ไฮเปอร์เพลนคือปริภูมิย่อยที่มีมิติน้อยกว่ามิติของปริภูมิเต็มหนึ่งมิติ ไฮเปอร์เพลนของปริภูมิสามมิติคือปริภูมิย่อยสองมิติ นั่นคือระนาบ ในแง่ของพิกัดคาร์ทีเซียน จุดของไฮเปอร์เพลนจะสอดคล้องกับสมการเชิงเส้น เพียงสมการเดียว ดังนั้นระนาบในปริภูมิ 3 มิตินี้จึงถูกอธิบายด้วยสมการเชิงเส้น เส้นตรงสามารถอธิบายได้ด้วยสมการเชิงเส้นอิสระสองสมการ โดยแต่ละสมการแทนระนาบที่มีเส้นตรงนี้เป็นจุดตัดร่วม^{[ 27 ]}

ทฤษฎีบทของวาริญงกล่าวว่า จุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ก่อตัวเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานดังนั้นจึงอยู่บนระนาบเดียวกัน^{[ 28 ]}

ทรงกลมในปริภูมิ 3 มิติ (เรียกอีกอย่างว่าทรงกลม 2 มิติเพราะเช่นเดียวกับพื้นผิว ทั้งหมด มันเป็นสองมิติโดยเนื้อแท้) ประกอบด้วยเซตของจุดทั้งหมดในปริภูมิ 3 มิติที่ระยะห่างคงที่rจากจุดศูนย์กลางPของแข็งที่ล้อมรอบด้วยทรงกลมเรียกว่าลูกบอล (หรือลูกบอล 3 มิติ ) ^{[ 29 ]}

ปริมาตรของลูกบอลกำหนดโดย^{[ 30 ]}$${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3},}$$ และพื้นที่ผิวของทรงกลมคือ^{[ 30 ]}$${\displaystyle A=4\pi r^{2},}$$

ทรงกลมอีกประเภทหนึ่งเกิดขึ้นจากทรงกลม 4 มิติ ซึ่งพื้นผิวสามมิติคือทรงกลม 3 มิติ : จุดที่อยู่ห่างจากจุดกำเนิดของปริภูมิยุคลิดR ⁴เท่ากัน หากจุดมีพิกัดP ( x , y , z , w )แล้วx ² + y ² + z ² + w ² = 1จะบ่งบอกลักษณะของจุดเหล่านั้นบนทรงกลม 3 มิติหน่วยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด^{[ 31 ]}

ทรงกลม 3 มิตินี้เป็นตัวอย่างของแมนิโฟลด์ 3 มิติ : พื้นที่ซึ่ง 'ดูเหมือน' พื้นที่ 3 มิติในระดับท้องถิ่น^{[ 32 ]}ในแง่ของโทโพโลยีที่แม่นยำ จุดแต่ละจุดของทรงกลม 3 มิติจะมีบริเวณใกล้เคียงซึ่งมีลักษณะทางโท โพโลยีเหมือนกับ เซตย่อยแบบเปิดของพื้นที่ 3 มิติ

ในสามมิติ มีโพลีโทปปกติ เก้าแบบ ได้แก่ ทรงหลายเหลี่ยมเพลโตแบบนูนห้าแบบและทรงหลายเหลี่ยมเคปเลอร์-ปวงโซต์แบบไม่นูนสี่แบบ^{[ 33 ]}

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติในสามมิติ

ระดับ	ทรงหลายเหลี่ยมเพลโต					โพลีเฮดราเคปเลอร์-ปวงโซต์
สมมาตร	ที	โอ้		ฉัน
กลุ่มค็อกซ์เตอร์	A , [3,3]	B , [4,3]		H , [5,3]
คำสั่ง	24	48		120
ทรงหลายเหลี่ยมปกติ	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}	{5/2,5}	{5,5/2}	{5/2,3}	{3,5/2}

พื้นผิวที่เกิดจากการหมุนเส้นโค้ง ระนาบ รอบเส้นคงที่ในระนาบของเส้นโค้งนั้นเรียกว่าพื้นผิวการหมุน เส้นโค้งระนาบเรียกว่าเส้นกำเนิดของพื้นผิว ส่วนตัดของพื้นผิวที่เกิดจากการตัดพื้นผิวกับระนาบที่ตั้งฉาก (ตั้งฉาก) กับแกน เรียกว่าวงกลม^{[ 34 ] [ 35 ]}

ตัวอย่างง่ายๆ เกิดขึ้นเมื่อเส้นกำเนิดเป็นเส้นตรง ถ้าเส้นกำเนิดตัดกับเส้นแกน พื้นผิวของการหมุนจะเป็นกรวยกลมตรงที่มีจุดยอด (ยอดแหลม) อยู่ที่จุดตัด อย่างไรก็ตาม ถ้าเส้นกำเนิดและแกนขนานกัน พื้นผิวของการหมุนจะเป็นทรงกระบอกกลม^{[ 34 ] [ 35 ]}

ในทำนองเดียวกันกับภาคตัดกรวยเซตของจุดที่มีพิกัดคาร์ทีเซียนสอดคล้องกับสมการทั่วไปกำลังสอง กล่าวคือ $${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Fxy+Gyz+Hxz+Jx+Ky+Lz+M=0,}$$ โดยที่A , B , C , F , G , H , J , K , LและM เป็นจำนวนจริง และ A , B , C , F , GและHทั้งหมดไม่เป็นศูนย์ เรียกว่าพื้นผิวควอดริก^{[ 36 ]}

มี พื้นผิวควอดริก ที่ไม่เสื่อมสภาพอยู่ หกประเภท : ^{[ 36 ]}

1. ทรงรี
2. ไฮเปอร์โบโลอิดของแผ่นเดียว
3. ไฮเปอร์โบโลอิดของแผ่นสองแผ่น
4. กรวยวงรี
5. พาราโบโลอิดวงรี
6. พาราโบโลอิดไฮเปอร์โบลิก

พื้นผิวควอดริกที่เสื่อมสภาพ ได้แก่ เซตว่าง จุดเดียว เส้นเดียว ระนาบเดียว คู่ของระนาบ หรือทรงกระบอกควอดริก (พื้นผิวที่ประกอบด้วยภาคตัดกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพในระนาบπและเส้นทั้งหมดของR ³ที่ผ่านภาคตัดกรวยนั้นซึ่งตั้งฉากกับπ ) ^{[ 36 ]}บางครั้งกรวยวงรีก็ถือว่าเป็นพื้นผิวควอดริกที่เสื่อมสภาพเช่นกัน

ทั้งไฮเปอร์โบโลอิดของแผ่นเดียวและพาราโบโลอิดไฮเปอร์โบลิกเป็นพื้นผิวที่ถูกกำหนดหมายความว่าสามารถสร้างขึ้นจากตระกูลของเส้นตรงได้ อันที่จริง แต่ละพื้นผิวมีตระกูลของเส้นกำเนิดสองตระกูล สมาชิกของแต่ละตระกูลจะไม่ทับซ้อนกัน และสมาชิกแต่ละตัวของตระกูลหนึ่งจะตัดกับสมาชิกทุกตัวของอีกตระกูลหนึ่ง ยกเว้นเพียงกรณีเดียว^{[ 36 ]}แต่ละตระกูลเรียกว่าเรกูลัส^{[ 37 ]}

เวกเตอร์สามารถจินตนาการได้ว่าเป็นลูกศร ขนาดของเวกเตอร์คือความยาวของมัน และทิศทางของเวกเตอร์คือทิศทางที่ลูกศรชี้ เวกเตอร์ใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$เวกเตอร์สามารถแทนได้ด้วยลำดับสามตัวเลขจริง ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าส่วนประกอบของเวกเตอร์

ผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัวA = [ A , A , A ]และB = [ B , B , B ]ถูกกำหนดดังนี้: ^{[ 39 ]}

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}=\sum _{i=1}^{3}A_{i}B_{i}.}$

ขนาดของเวกเตอร์Aเขียนแทนด้วย|| A ||ผลคูณดอทของเวกเตอร์A = [ A , A , A ]กับตัวมันเองคือ

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2},}$

ซึ่งให้^{[ 39 ]}

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}}},}$

สูตรสำหรับความยาวแบบยุคลิดของเวกเตอร์

โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงส่วนประกอบของเวกเตอร์ ผลคูณดอทของเวกเตอร์ยุคลิดที่ไม่เป็นศูนย์สองตัวAและBจะได้รับจาก^{[ 39 ]}

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}$

โดยที่θคือมุมระหว่างAและB

ตัวอย่างทางกายภาพ พิจารณาบล็อกที่วางอยู่บนระนาบเอียง ซึ่งถูก แรงโน้มถ่วงดึงลงมาสามารถใช้ผลคูณดอทในการคำนวณงาน ได้${\displaystyle W}$ดำเนินการโดยเวกเตอร์แรง คงที่${\displaystyle \mathbf {g} }$ซึ่งถูกนำมาใช้ในมุมหนึ่ง${\displaystyle \theta }$ไปตามทิศทางการเคลื่อนที่ลงเนิน${\displaystyle \mathbf {d} }$นั่นคือ: ^{[ 40 ]}

${\displaystyle W=\mathbf {g} \cdot \mathbf {d} =\|\mathbf {g} \|\,\|\mathbf {d} \|\cos \theta }$

ผลคูณไขว้หรือผลคูณเวกเตอร์เป็นการดำเนินการแบบไบนารีบนเวกเตอร์ สองตัวใน ปริภูมิสามมิติและใช้สัญลักษณ์ × แทน ผลคูณไขว้A × Bของเวกเตอร์AและBคือเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับทั้งสองเวกเตอร์ และดังนั้นจึงตั้งฉากกับระนาบที่บรรจุเวกเตอร์ทั้งสองนั้น มีการประยุกต์ใช้มากมายในคณิตศาสตร์ฟิสิกส์และวิศวกรรม^{[ 41 ]}ตัวอย่างเช่น สามารถใช้ในการคำนวณแรงบิด ของ สลักเกลียวที่หมุนด้วยประแจ หรือแรงลอเรนซ์ที่กระทำต่ออิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่ผ่านสนามแม่เหล็ก^{[ 42 ]}

ในภาษาฟังก์ชัน ผลคูณไขว้คือฟังก์ชันหนึ่ง${\displaystyle \times$ :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}} . ^{[ 43 ]}

ส่วนประกอบของผลคูณไขว้คือ${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =[A_{2}B_{3}-B_{2}A_{3},A_{3}B_{1}-B_{3}A_{1},A_{1}B_{2}-B_{1}A_{2}]}$และยังสามารถเขียนเป็นส่วนประกอบได้ โดยใช้หลักการรวมผลบวกของไอน์สไตน์ดังนี้${\displaystyle (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )_{i}=\varepsilon _{ijk}A_{j}B_{k}}$ที่ไหน${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$คือสัญลักษณ์ Levi-Civita [ ^{44 ] มัน}มีคุณสมบัติที่ว่า${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =-\mathbf {B} \times \mathbf {A} }$[ ^{41 ]​}

ขนาดของมันมีความสัมพันธ์กับมุม${\displaystyle \theta }$ระหว่าง${\displaystyle \mathbf {A} }$และ${\displaystyle \mathbf {B} }$โดยเอกลักษณ์^{[ 41 ]}$${\displaystyle \left\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right\|=\left\|\mathbf {A} \right\|\cdot \left\|\mathbf {B} \right\|\cdot \left|\sin \theta \right|.}$$

พื้นที่และผลคูณก่อให้เกิดพีชคณิตเหนือฟิลด์ซึ่งไม่ใช่แบบสลับที่ได้หรือแบบเชื่อมโยงได้แต่เป็นพีชคณิตลีที่มีผลคูณไขว้เป็นวงเล็บลี^{[ 45 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พื้นที่พร้อมกับผลคูณ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},\times )}$มีโครงสร้างสมมาตรกับพีชคณิตลีของการหมุนสามมิติซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์${\displaystyle {\mathfrak {ดังนั้น}}(3)}$[ ^{43 ]}เพื่อให้เป็นไปตามสัจพจน์ของพีชคณิตลี แทนที่จะใช้การเชื่อมโยง ผลคูณไขว้จะสอดคล้องกับ^{เอกลักษณ์}ของจาโคบีสำหรับเวกเตอร์สามตัวใดๆ${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }$และ${\displaystyle \mathbf {C} }$^{[ 45 ]}

$${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=0}$$

ใน มิติ n เราสามารถ นำผลคูณของ เวกเตอร์ n − 1 ตัวมาสร้างเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งหมดได้ แต่ถ้าผลคูณจำกัดอยู่ที่ผลคูณไบนารีที่ไม่ธรรมดาที่มีผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ ผลคูณนั้นจะมีอยู่เฉพาะในมิติสามมิติและเจ็ดมิติเท่านั้น^{[ 46 ]}

การอธิบายพื้นที่สามมิติว่าเป็นพื้นที่เวกเตอร์สามมิติอาจเป็นประโยชน์${\displaystyle V}$เมื่อเทียบกับจำนวนจริง ซึ่งแตกต่างจาก${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ในทางที่แยบยล ตามนิยามแล้ว มีพื้นฐานอยู่${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}}$สำหรับ${\displaystyle V}$สิ่งนี้สอดคล้องกับไอโซมอร์ฟิซึมระหว่าง${\displaystyle V}$และ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$: ^{[ 38 ]}โครงสร้างสำหรับไอโซมอร์ฟิซึมพบได้ที่นี่อย่างไรก็ตาม ไม่มีฐาน 'ที่ต้องการ' หรือ 'มาตรฐาน' สำหรับ${\displaystyle V}$.

ในทางกลับกัน มีพื้นฐานที่ต้องการสำหรับ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ซึ่งเป็นผลมาจากการอธิบายว่าเป็นผลคูณคาร์ทีเซียนของสำเนาของ${\displaystyle \mathbb {R} }$นั่นคือ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$พื้นที่ยูคลิดสามมิติ^{[ 47 ]}ซึ่งทำให้สามารถกำหนดนิยามของการฉายภาพแบบแคนอนได้${\displaystyle \pi _{i}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$, ที่ไหน${\displaystyle 1\leq i\leq 3}$. ตัวอย่างเช่น,${\displaystyle \pi _{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=x}$ซึ่งจะทำให้สามารถกำหนดมาตรฐานพื้นฐาน ได้${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{Standard}}=\{E_{1},E_{2},E_{3}\}}$กำหนดโดย $${\displaystyle \pi _{i}(E_{j})=\delta _{ij}}$$ ที่ไหน${\displaystyle \delta _{ij}}$คือเดลต้าโครเนกเกอร์เขียนออกมาแบบเต็ม ฐานมาตรฐานคือ^{[ 48 ]}

$${\displaystyle E_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},E_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},E_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.}$$

ดังนั้น${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$สามารถมองได้ว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์นามธรรม พร้อมด้วยโครงสร้างเพิ่มเติมของการเลือกฐาน ในทางกลับกัน${\displaystyle V}$สามารถได้รับโดยเริ่มจาก${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$และการ 'ลืม' โครงสร้างผลคูณคาร์ทีเซียน หรือเทียบเท่ากับการเลือกฐานมาตรฐาน

ตรงข้ามกับปริภูมิเวกเตอร์ทั่วไป${\displaystyle V}$พื้นที่${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$บางครั้งเรียกว่าพื้นที่พิกัด^{[ 49 ]}

ในเชิงกายภาพ การใช้รูปแบบนามธรรมเป็นสิ่งที่พึงปรารถนาในเชิงแนวคิด เพื่อให้สมมติโครงสร้างให้น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ หากโครงสร้างนั้นไม่ได้กำหนดไว้โดยพารามิเตอร์ของปัญหาเฉพาะนั้น ตัวอย่างเช่น ในปัญหาเกี่ยวกับสมมาตรแบบหมุน การทำงานกับคำอธิบายที่ชัดเจนยิ่งขึ้นของพื้นที่สามมิติ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$สมมติว่ามีการเลือกฐานที่สอดคล้องกับชุดแกน แต่ในสมมาตรแบบหมุน ไม่มีเหตุผลใดที่จะเลือกชุดแกนชุดหนึ่งมากกว่าชุดแกนเดียวกันที่ถูกหมุนไปโดยพลการ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเลือกแกนที่ต้องการจะทำลายสมมาตรแบบหมุนของปริภูมิทางกายภาพ

ในเชิงการคำนวณ จำเป็นต้องใช้คำอธิบายที่ชัดเจนยิ่งขึ้น${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$เพื่อทำการคำนวณที่เป็นรูปธรรม

ความชันบ่งชี้ทิศทางของการเพิ่มขึ้นมากที่สุดของฟังก์ชันและขนาดของมัน ตัวอย่างเช่น การไหลของอนุภาค โดยความชันคือขนาดและทิศทางของการไหล ณ ตำแหน่งหนึ่ง^{[ 53 ]}ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ความชันของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$กำหนดโดย^{[ 54 ]}

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }$

โดยที่i , jและkเป็นเวกเตอร์หน่วยสำหรับ แกน x , yและzตามลำดับ ในสัญกรณ์ดัชนีจะเขียนว่า^{[ 55 ]}

$${\displaystyle (\nabla f)_{i}=\partial _{i}f.}$$

ไดเวอร์เจนซ์ บ่งชี้ถึง ฟลักซ์สุทธิของสนามเวกเตอร์รอบจุด เช่น การเพิ่มขึ้นหรือลดลงของความหนาแน่นของอนุภาค กล่าวคือ ตำแหน่งนั้นเป็นแหล่งกำเนิดหรือแหล่งดูดซับ [ ^{56 ] ได} เวอร์เจนซ์ของ สนามเวกเตอร์ (ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้) F = U i + V j + W kนั่นคือฟังก์ชัน${\displaystyle \mathbf {F}$ :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}} เท่ากับ ฟังก์ชันค่า สเกลาร์ : ^{[ 54 ]}

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}+{\frac {\partial W}{\partial z}}.}$

ในสัญกรณ์ดัชนี ตามธรรมเนียมการรวมของไอน์สไตน์นี่คือ^{[ 55 ]}$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\partial _{i}F_{i}.}$$

เคิร์ล (หรือโรเตอร์) เป็นเวกเตอร์ที่บ่งบอกถึงการหมุนเวียนแบบหมุนของสนามเวกเตอร์ เมื่อขยายในพิกัดคาร์ทีเซียน (ดูDel ในพิกัดทรงกระบอกและทรงกลมสำหรับ การแสดงพิกัด ทรงกลมและทรงกระบอก ) เคิร์ล ∇ × Fคือ สำหรับFที่ประกอบด้วย [ F , F , F ]: ^{[ 57 ]}

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}$

สิ่งนี้ขยายความได้ดังนี้: ^{[ 54 ]}

${\displaystyle \operatorname {curl} \,\mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} .}$

ในสัญกรณ์ดัชนี ตามธรรมเนียมการรวมของไอน์สไตน์ นี่คือ^{[ 55 ]}$${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )_{i}=\epsilon _{ijk}\partial _{j}F_{k},}$$ ที่ไหน${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$สัญลักษณ์นี้เป็นสัญลักษณ์ที่ไม่สมมาตรโดยสิ้นเชิง หรือที่เรียกว่าสัญลักษณ์เลวี-ซิวิทา

อินทิกรัลเส้นของฟังก์ชันตามเส้นโค้งสามารถคิดได้ว่าเป็นผลรวมต่อเนื่องของค่าฟังก์ชันตามส่วนเพิ่มเล็กน้อยของเส้นโค้งนั้น สำหรับฟิลด์สเกลาร์f  : U ⊆ R ⁿ → R อินทิกรัลเส้นตามเส้นโค้งเรียบเป็นช่วงC ⊂ Uถูกกำหนดดังนี้^{[ 58 ]}

${\displaystyle \int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.}$

โดยที่r : [a, b] → Cเป็นฟังก์ชันพาราเมตริกซ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ( bijective ) ใดๆ ของเส้นโค้ง Cซึ่งr ( a ) และr ( b ) เป็นจุดปลายของเส้น โค้ง Cและ${\displaystyle a<b}$.

สำหรับฟิลด์เวกเตอร์F  : U ⊆ R ⁿ → R ⁿปริพันธ์เส้นตามเส้นโค้ง เรียบเป็นช่วงๆ C ⊂ Uในทิศทางของrถูกกำหนดดังนี้^{[ 58 ]}

${\displaystyle \int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt,}$

ที่ไหน${\displaystyle \cdot }$คือผลคูณดอทและr : [a, b] → Cคือการกำหนดพารามิเตอร์ แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ของเส้นโค้งCโดยที่r ( a ) และr ( b ) ให้จุดปลายของCชนิดย่อยของอินทิกรัลเส้นที่พบในฟิสิกส์คือวงปิดระนาบ ซึ่งกำหนดการไหลเวียนของฟังก์ชันรอบวง^{[ 59 ]}

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} .}$

อินทิกรัลพื้นผิวเป็นการขยายความของอินทิกรัลหลายชั้นไปสู่การอินทิเกรตบนพื้นผิวอาจมองได้ว่าเป็น อนาล็อกของอินทิกรัลเส้นในรูปแบบของอินทิก รัลสองชั้นในการหาสูตรที่ชัดเจนสำหรับอินทิกรัลพื้นผิว เราจำเป็นต้องกำหนดพารามิเตอร์ ของ พื้นผิวที่สนใจSโดยพิจารณาระบบพิกัดโค้งบนSเช่นละติจูดและลองจิจูดบนทรงกลมให้การกำหนดพารามิเตอร์ดังกล่าวเป็นx ( s , t ) โดยที่ ( s , t ) เปลี่ยนแปลงในบางบริเวณTบนระนาบดังนั้น อินทิกรัลพื้นผิวจึงกำหนดโดย

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

โดยที่นิพจน์ระหว่างขีดบนด้านขวามือคือขนาดของผลคูณเชิงเวกเตอร์ของอนุพันธ์ย่อยของx ( s , t ) และเรียกว่าองค์ประกอบ พื้นผิว เมื่อกำหนดสนามเวกเตอร์vบนSซึ่งก็คือฟังก์ชันที่กำหนดเวกเตอร์v ( x ) ให้กับแต่ละ xในS แล้ว อินทิกรัลพื้นผิวสามารถกำหนดได้ทีละส่วนตามนิยามของอินทิกรัลพื้นผิวของสนามสเกลาร์ ผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์

ปริมาตรอินทิกรัลคืออินทิกรัลเหนือโดเมน หรือบริเวณ สามมิติเมื่ออินทิกรัลเป็นศูนย์ (หนึ่ง) ปริมาตรอินทิกรัลก็คือปริมาตร ของบริเวณนั้น ^{[ 60 ] [ 1 ]} นอกจากนี้ยังอาจหมายถึง อินทิ กรัลสามชั้นภายในบริเวณDในR ³ของฟังก์ชัน${\displaystyle f(x,y,z),}$และมักเขียนในรูปแบบ:

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$

ทฤษฎีบทพื้นฐานของอินทิกรัลเส้น กล่าวว่าอินทิกรัลเส้นที่ผ่าน ฟิลด์ เกรเดียนต์สามารถประเมินได้โดยการประเมินฟิลด์สเกลาร์ดั้งเดิมที่จุดปลายของเส้นโค้ง^{[ 61 ]}

อนุญาต${\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$. แล้ว

${\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} .}$

ทฤษฎีบทของ Stokes เชื่อมโยงอินทิกรัลพื้นผิวของcurlของเวกเตอร์ฟิลด์ F เหนือพื้นผิว Σ ในปริภูมิสามมิติแบบยุคลิดกับอินทิกรัลเส้นของเวกเตอร์ฟิลด์เหนือขอบเขต ∂Σ: ^{[ 62 ]}

${\displaystyle \iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} .}$

สมมติว่าVเป็นเซตย่อยของ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(ในกรณีที่n = 3, Vแทนปริมาตรในปริภูมิ 3 มิติ) ซึ่งกะทัดรัดและมีขอบเขตเรียบ เป็นช่วงๆ S (ระบุด้วย∂ V = S เช่นกัน ) ถ้าFเป็นสนามเวกเตอร์ที่อนุพันธ์ต่อเนื่องซึ่งกำหนดบนบริเวณใกล้เคียงของVแล้วทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์กล่าวว่า: ^{[ 63 ]}

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,dV=}$${\displaystyle \scriptstyle S}$${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,dS.}$

ด้านซ้ายคือปริพันธ์ปริมาตรเหนือปริมาตรVด้านขวาคือปริพันธ์พื้นผิวเหนือขอบเขตของปริมาตรVแมนิโฟลด์ปิด∂V โดยทั่วไปคือขอบเขตของ V ที่มีทิศทาง จาก เวกเตอร์ปกติที่ชี้ออกด้านนอกและnคือเวกเตอร์ปกติหน่วยที่ชี้ออกด้านนอกของขอบเขต∂V ( อาจใช้ dS เป็นตัวย่อสำหรับn dS )