ในคณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและสาขาที่เกี่ยวข้องแผนที่เกือบเปิดระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีคือแผนที่ที่ตรงตามเงื่อนไขที่คล้ายคลึงกัน แต่มีความอ่อนกว่า เงื่อนไขของการเป็นแผนที่เปิด ดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง สำหรับ ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีบางประเภท ตัวดำเนินการเชิงเส้น แบบ ทั่วถึง ทั้งหมดจำเป็นต้องเป็นแผนที่เกือบเปิด

เมื่อกำหนดแผนที่แบบทั่วถึงจุดหนึ่งเรียกว่า a${\displaystyle f:X\to Y,}$${\displaystyle x\in X}$จุดเปิดสำหรับและกล่าวได้ว่าเปิดที่(หรือแผนที่เปิดที่) ถ้าสำหรับทุกย่านเปิดของเป็นย่านของใน(โปรดทราบว่าย่านนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นเปิด) ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle f(U)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f(U)}$

ฟังก์ชันทั่วถึง (surjective map) เรียกว่าฟังก์ชันเปิด (open map)ถ้ามันเปิดที่ทุกจุดในโดเมนของมัน ในขณะที่มันเรียกว่าฟังก์ชันเกือบเปิด (almost open map) ถ้า ไฟเบอร์แต่ละตัวของมันมีจุดเปิดอยู่บางจุด กล่าวอย่างชัดเจน ฟังก์ชันทั่วถึงจะเรียกว่าเกือบเปิดถ้าสำหรับทุก ๆจะมีบางค่า ที่ทำให้ เปิดที่ ทุกฟังก์ชันทั่วถึงเกือบเปิดจำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันเปิด${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle y\in Y,}$${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x.}$แผนที่เสมือนเปิด (แนะนำโดยAlexander Arhangelskiiในปี 1963) ซึ่งตามคำนิยามหมายความว่า สำหรับทุกๆและทุกๆ ย่านของ(นั่นคือ)จะต้องเป็นย่านของ${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq \operatorname {Int} _{X}U}$${\displaystyle f(U)}$${\displaystyle y.}$

แผนที่เชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) สองปริภูมิเรียกว่าอะไร?${\displaystyle T:X\to Y}$แผนที่เชิงเส้นเกือบเปิดหรือแผนที่เชิงเส้นเกือบเปิดหากสำหรับย่านใกล้เคียงใดๆของในการปิดของในเป็นย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิด ที่สำคัญ ผู้เขียนบางคนใช้คำจำกัดความที่แตกต่างกันของ "แผนที่เกือบเปิด" ซึ่งพวกเขากำหนดให้แผนที่เชิงเส้นต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้แทน: สำหรับย่านใกล้เคียงใดๆของในการปิดของใน(แทนที่จะเป็น ใน) เป็นย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิด บทความนี้จะไม่ใช้คำจำกัดความนี้ ^{[ 1 ]}${\displaystyle U}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle T(U)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle U}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle T(U)}$${\displaystyle T(X)}$${\displaystyle Y}$

ถ้าแผนที่เชิงเส้นเกือบเปิด (almost open map) แล้ว เนื่องจากเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของที่บรรจุบริเวณใกล้เคียงจุดกำเนิดในแผนที่นั้น แผนที่ เชิงเส้น จึงต้องเป็นการส่งแบบทั่วถึง (surjective ) ด้วยเหตุนี้ ผู้เขียนหลายคนจึงกำหนดให้การส่งแบบทั่วถึงเป็นส่วนหนึ่งของนิยามของ "เกือบเปิด" ${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle T(X)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle T:X\to Y}$

ถ้าเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง แล้วจะเป็นเกือบเปิดก็ต่อเมื่อเป็นเกือบต่อเนื่อง^{[ 1 ]}${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{-1}}$

ทุกแผนที่เปิด แบบทั่วถึง (surjective open map ) เป็นแผนที่เกือบเปิด (almost open map) แต่โดยทั่วไปแล้ว ข้อความกลับกันนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป ถ้าการส่งแบบทั่วถึงเป็นแผนที่เกือบเปิดแล้ว มันจะเป็นแผนที่เปิดก็ต่อเมื่อมันตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้ (เงื่อนไขที่ไม่ขึ้น อยู่กับ โทโพโลยีของ แต่อย่างใด): ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \sigma }$

เมื่อใดก็ตาม ที่อยู่ใน ไฟเบอร์เดียวกันของ(นั่นคือ) แล้วสำหรับทุกย่านใกล้เคียงของ จะมีย่านใกล้เคียง ของบางย่าน ที่ สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่า${\displaystyle m,n\in X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(m)=f(n)}$${\displaystyle U\in \tau }$${\displaystyle m,}$${\displaystyle V\in \tau }$${\displaystyle n}$${\displaystyle F(V)\subseteq F(U).}$

ถ้าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เงื่อนไขข้างต้นก็จำเป็นสำหรับฟังก์ชันนั้นที่จะเป็นฟังก์ชันเปิดด้วย กล่าวคือ ถ้าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันทั่วถึงต่อเนื่อง ฟังก์ชันนั้นจะเป็นฟังก์ชันเปิดก็ต่อเมื่อฟังก์ชันนั้นเกือบเปิดและเป็นไปตามเงื่อนไขข้างต้น ${\displaystyle f:X\to Y}$

ทฤษฎีบท : ^{[ 1 ]}ถ้าเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบทั่วถึงจากปริภูมิที่นูนเฉพาะที่ไปยังปริภูมิทรงกระบอกแล้วจะเป็นเกือบเปิด${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T}$

ทฤษฎีบท : ^{[ 1 ]}ถ้าเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบทั่วถึงจาก TVS ไปยังปริภูมิแบร์แล้วเกือบจะเปิด${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T}$

ทฤษฎีบททั้งสองข้างต้นไม่จำเป็นต้องให้แผนที่เชิงเส้นแบบทั่วถึงเป็นไปตามเงื่อนไขทางโทโพโลยี ใดๆ

ทฤษฎีบท : ^{[ 1 ]}ถ้าเป็นTVS ที่สมบูรณ์แบบที่สามารถกำหนดเมตริกเทียมได้เป็นTVS ของ Hausdorff และเป็นการส่งแบบปิดและเกือบเปิดเชิงเส้น แล้วเป็นแผนที่เปิด${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle T}$

ทฤษฎีบท : ^{[ 1 ]}สมมติว่าเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่องจากTVS ที่สมบูรณ์แบบที่สามารถระบุเมตริกเทียมได้ไปยัง TVS ของ Hausdorff ถ้าภาพของไม่น้อยในแล้วเป็นแผนที่เปิดแบบทั่วถึง และเป็นปริภูมิเมตริกที่สมบูรณ์แบบ${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle Y}$

• เซตเปิดเกือบสมบูรณ์  – ผลต่างระหว่างเซตเปิดกับเซตที่ไม่สมบูรณ์Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ปริภูมิทรงกระบอก  – ประเภทหนึ่งของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอ พอโลยี
• ทฤษฎีบทผกผันแบบมีขอบเขต  – เงื่อนไขสำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้นที่จะเป็นตัวดำเนินการเปิดPages displaying short descriptions of redirect targets
• กราฟปิด  – คุณสมบัติของฟังก์ชันในทางโทโพโลยีPages displaying short descriptions of redirect targets
• ทฤษฎีบทกราฟปิด  – ทฤษฎีบทที่เชื่อมโยงความต่อเนื่องกับกราฟ
• เซตเปิด  – เซตย่อยพื้นฐานของปริภูมิเชิงทอพอโลยี
• แผนที่แบบเปิดและแบบปิด  – ฟังก์ชันที่ส่งเซตย่อยแบบเปิด (หรือแบบปิด) ไปยังเซตย่อยแบบเปิด (หรือแบบปิด)
• ทฤษฎีบทการแมปแบบเปิด (การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน)  – เงื่อนไขสำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้นที่จะเป็นแบบเปิด (หรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทบานาค-เชาเดอร์)
• แผนที่กึ่งเปิด  – การขยายแนวคิดของแผนที่เปิดในทางโทโพโลยี
• การส่งทั่วถึงของปริภูมิ Fréchet  – การกำหนดลักษณะเฉพาะของการส่งทั่วถึง
• พื้นที่เชื่อมโยง  – พื้นที่ที่ทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดและกราฟแบบปิดใช้ได้

• บูร์บากิ, นิโคลัส (1987) [1981]. ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี: บทที่ 1–5 องค์ประกอบทางคณิตศาสตร์ . แปลโดย Eggleston, HG; มาดาน เบอร์ลิน นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-แวร์แลกไอเอสบีเอ็น 3-540-13627-4. OCLC  17499190 .
• Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978). Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 692. Berlin, New York, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC  4493665 .
• จาร์โชว, ฮันส์ (1981) ช่องว่างนูนเฉพาะที่ สตุ๊ตการ์ท : บีจี ทอยบเนอร์ไอเอสบีเอ็น 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• Khaleelulla, SM (1982). ตัวอย่างค้านในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . บันทึกการบรรยายทางคณิตศาสตร์ . เล่มที่ 936. เบอร์ลิน, ไฮเดลเบิร์ก, นิวยอร์ก: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370 .
• เคอเธ่ กอตต์ฟรีด (1983) [1969] ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี I. กรุนเดิลเริน เดอร์ มาเทมาติเชน วิสเซนชาฟเทิน ฉบับที่ 159. แปลโดย Garling, DJH New York: Springer Science & Business Media ไอเอสบีเอ็น 978-3-642-64988-2. MR  0248498 . OCLC  840293704 .
• นาริซี, ลอว์เรนซ์; เบคเกนสไตน์, เอ็ดเวิร์ด (2011). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). โบคา ราตัน, ฟลอริดา: สำนักพิมพ์ CRC. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . Cambridge Tracts in Mathematics . เล่มที่ 53. เคมบริดจ์ ประเทศอังกฤษ: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250 .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีGTMเล่ม 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer New York. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• เทรฟส์, ฟรองซัวส์ (2549) [2510] ปริภูมิเวกเตอร์ทอพอโลยี การแจกแจง และเคอร์เนล Mineola, NY: สิ่งพิมพ์โดเวอร์ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• วิลานสกี, อัลเบิร์ต (2013). วิธีการสมัยใหม่ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . ไมเนโอลา, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์โดเวอร์ อิงค์. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .