ระบบออร์โธเซนทริก

ในทางเรขาคณิตระบบออร์โธเซนทริกคือเซตของจุดสี่จุดบนระนาบโดยจุดหนึ่งเป็นจุดออร์โธเซนทริกของสามเหลี่ยมที่เกิดจากจุดอีกสามจุดที่เหลือ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เส้นที่ผ่านจุดคู่ที่ไม่ทับซ้อนกันจะตั้งฉากกันและวงกลมสี่วงที่ผ่านจุดสามจุดใดๆ ในสี่จุดจะมีรัศมีเท่ากัน^{[ 1 ]}

ถ้าจุดสี่จุดประกอบกันเป็นระบบจุดตั้งฉากกันจุดแต่ละจุดในสี่จุดนั้นจะเป็นจุดตั้งฉากของอีกสามจุดที่เหลือ สามเหลี่ยมทั้งสี่รูปนี้จะมีวงกลมเก้าจุด เดียวกัน ดังนั้น สามเหลี่ยมทั้งสี่รูปนี้จะต้องมีวงกลมล้อมรอบ ที่มี รัศมีวงกลมล้อมรอบเท่า กัน

วงกลมเก้าจุดทั่วไป

จุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุดร่วมนี้อยู่ที่จุดศูนย์กลางมวลของจุดตั้งฉากทั้งสี่จุด รัศมีของวงกลมเก้าจุดร่วมนี้คือระยะทางจากจุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุดไปยังจุดกึ่งกลางของเส้นเชื่อมทั้งหกเส้นที่เชื่อมจุดตั้งฉากคู่ใดๆ ที่วงกลมเก้าจุดร่วมนี้ผ่าน วงกลมเก้าจุดยังผ่านจุดตัดตั้งฉากสามจุดที่ฐานของเส้นความสูงของสามเหลี่ยมที่เป็นไปได้ทั้งสี่รูปด้วย

จุดศูนย์กลางเก้าจุดทั่วไปนี้ตั้งอยู่ตรงจุดกึ่งกลางของเส้นเชื่อมที่เชื่อมจุดออร์โธเซนทริกใดๆ กับจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบของสามเหลี่ยมที่เกิดจากจุดออร์โธเซนทริกอีกสามจุด

วงกลมเก้าจุดทั่วไปจะสัมผัสกับวงกลมภายในและวงกลมภายนอกทั้ง 16 วงของสามเหลี่ยมทั้งสี่รูปซึ่งจุดยอดของสามเหลี่ยมเหล่านั้นประกอบกันเป็นระบบออร์โธเซนทริก^{[ 2 ]}

สามเหลี่ยมออร์โธติกทั่วไป จุดศูนย์กลางภายใน และจุดศูนย์กลางภายนอก

ถ้าเราต่อเส้นเชื่อมทั้งหกเส้นที่เชื่อมจุดออร์โธเซนทริกชุดใด ๆ ออกไปเป็นเส้นตรงหกเส้นที่ตัดกัน จะได้จุดตัดเจ็ดจุด สี่จุดในจำนวนนี้คือจุดออร์โธเซนทริกเดิม และอีกสามจุดคือ จุดตัด ตั้งฉากที่ปลายเส้นความสูงการเชื่อมจุดตั้งฉากทั้งสามจุดนี้เข้าด้วยกันเป็นรูปสามเหลี่ยม จะสร้างรูปสามเหลี่ยมออร์โธนิกที่เหมือนกันในทุกรูปสามเหลี่ยมที่เป็นไปได้ทั้งสี่รูปที่เกิดจากจุดออร์โธเซนทริกทั้งสี่จุดที่เลือกมาทีละสามจุด

จุดศูนย์กลางภายในของสามเหลี่ยมออร์ธิกทั่วไปนี้จะต้องเป็นหนึ่งในสี่จุดออร์โธเซนทริกดั้งเดิม ยิ่งไปกว่านั้น จุดที่เหลืออีกสามจุดจะกลายเป็นจุดศูนย์กลางภายนอกของสามเหลี่ยมออร์ธิกทั่วไปนี้ จุดออร์โธเซนทริกที่กลายเป็นจุดศูนย์กลางภายในของสามเหลี่ยมออร์ธิกคือจุดออร์โธเซนทริกที่อยู่ใกล้กับจุดศูนย์กลางเก้าจุดทั่วไปมากที่สุด ความสัมพันธ์ระหว่างสามเหลี่ยมออร์ธิกและจุดออร์โธเซนทริกดั้งเดิมทั้งสี่จุดนี้นำไปสู่ข้อเท็จจริงที่ว่าจุดศูนย์กลางภายในและจุดศูนย์กลางภายนอกของสามเหลี่ยมอ้างอิงก่อให้เกิดระบบออร์โธเซนทริก^{[ 3 ]}

โดยปกติแล้ว เราจะแยกจุดออร์โธเซนทริกจุดหนึ่งออกจากจุดอื่นๆ โดยเฉพาะจุดที่เป็นจุดศูนย์กลางภายในของสามเหลี่ยมออร์โธริก จุดนี้จะใช้สัญลักษณ์ $H แทนจุดออร์โธเซนทริกของจุดออร์โธเซนทริกภายนอกสามจุดที่ถูกเลือกเป็นสามเหลี่ยมอ้างอิง △ ABC$ $ใน$ การ $กำหนด$ ค่ามาตรฐานนี้ จุด $H$ จะอยู่ภายใน $△ ABC$ เสมอ และมุมทั้งหมดของ $△ ABC$ จะเป็นมุมแหลม สามเหลี่ยมที่เป็นไปได้สี่รูปที่กล่าวถึงข้างต้นคือสามเหลี่ยม $△ ABC$ , $△ ABH$ , $△ ACH$ และ $△ BCH$ เส้นเชื่อมทั้งหกที่กล่าวถึงข้างต้นคือ $AB$ , $AC$ , $BC$ , $AH$ , $BH$ และ $CH$ จุดตัดทั้งเจ็ดที่กล่าวถึงข้างต้นคือ $A$ , $B$ , $C$ และ $H$ (จุดออร์โธเซนทริกเดิม) และ $H A$ , $H B$ และ $H C$ (จุดปลายของเส้นความสูงของ $△ ABC$ และจุดยอดของสามเหลี่ยมออร์โธริก)

ระบบออร์โธเซนทริกและแกนออร์โธของมัน

แกนตั้งฉากที่เกี่ยวข้องกับระบบพิกัดตั้งฉากมาตรฐาน $A$ , $B$ , $C$ และ $H$ โดยที่ $△ ABC$ คือสามเหลี่ยมอ้างอิง คือเส้นตรงที่ผ่านจุดตัดสามจุดที่เกิดขึ้นเมื่อแต่ละด้านของสามเหลี่ยมตั้งฉากมาบรรจบกับแต่ละด้านของสามเหลี่ยมอ้างอิง ทีนี้ลองพิจารณาสามเหลี่ยมอีกสามรูปที่เป็นไปได้ คือ $△ ABH$ , $△ ACH$ และ $△ BCH$ แต่ละรูปมีแกนตั้งฉากของตัวเอง

เส้นออยเลอร์และระบบออร์โธเซนทริกแบบโฮโมเทติก

ให้เวกเตอร์ $a$ , $b$ , $c$ และ $h$ กำหนดตำแหน่งของจุดออร์โธเซนทริกทั้งสี่จุด และให้ α เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของ $N$ ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางเก้าจุดร่วม ลากเส้นเชื่อมจุดออร์โธเซนทริกทั้งสี่จุดเข้ากับจุดศูนย์กลางเก้าจุดร่วม แล้วต่อเส้นเหล่านั้นออกเป็นสี่เส้น เส้นทั้งสี่นี้จะแทนเส้นออยเลอร์ของสามเหลี่ยมที่เป็นไปได้สี่รูป โดยที่เส้นที่ต่อออกไป $HN$ คือเส้นออยเลอร์ของสามเหลี่ยม $△$ $ABC$ และเส้นที่ต่อออกไป $AN$ คือเส้นออยเลอร์ของสามเหลี่ยม $△$ $BCH$ เป็นต้น ถ้า เลือกจุด $P บนเส้นออยเลอร์$ $HN$ ของสามเหลี่ยมอ้างอิง $△$ $ABC$ โดยมีเวกเตอร์ตำแหน่ง $p$ ที่ $p$ $=$ $n$ $+ α($ $h$ $-$ $n$ $)$ โดยที่ $α เป็นค่าคงที่บริสุทธิ์ที่ไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุดออร์โธเซนท$ $ริก$ ทั้งสี่จุด และเลือกจุดเพิ่มเติมอีกสามจุด $PA$ $,$ PA $,$ B $และ$ PC $ที่$ p_a $=$ $n$ $+$ $α($ $a$ $-$ $n$ $)$ เป็นต้น แล้ว $P$ , $PA$ $,$ $PA$ $,$ $B$ และ $PC$ $จะ$ ประกอบกันเป็นระบบออร์โธเซนทริก ระบบออร์โธเซนทริกที่สร้างขึ้นนี้จะเป็นระบบโฮโมเทติกกับระบบสี่จุดดั้งเดิมเสมอ โดยมีจุดศูนย์กลางเก้าจุดร่วมเป็นจุดศูนย์กลางโฮโมเทติก และ α คืออัตราส่วนของความคล้ายคลึงกัน $\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} +\mathbf {h} }{4}}$

เมื่อเลือก $P เป็นจุดศูนย์กลางมวล$ $G$ แล้ว $α = -1/3$ เมื่อเลือก $P เป็น$ จุดศูนย์กลางวงกลมล้อม รอบ $O$ แล้ว $α = -1$ และระบบพิกัดเชิงมุมที่สร้างขึ้นจะสมมาตรกับระบบพิกัดเดิม รวมถึงเป็นการสะท้อนของระบบพิกัดเดิมรอบจุดศูนย์กลางเก้าจุด ในการจัดเรียงนี้ $P A$ , $P B$ และ $P C$ จะประกอบกันเป็นสามเหลี่ยมจอห์นสันของสามเหลี่ยมอ้างอิงเดิม $△ ABC$ ดังนั้นวงกลมล้อมรอบของสามเหลี่ยมทั้งสี่ $△ ABC$ , $△ ABH$ , $△ ACH$ และ $△ BCH$ จึงเท่ากันทั้งหมดและประกอบกันเป็นวงกลมจอห์นสันดังแสดงในแผนภาพด้านข้าง

คุณสมบัติเพิ่มเติม

เส้นออยเลอร์ทั้งสี่ของระบบพิกัดออร์โธเซนทริกตั้งฉากกับแกนออร์ธิกทั้งสี่ของระบบพิกัดออร์โธเซนทริก

ตัวเชื่อมทั้งหกตัวที่เชื่อมจุดออร์โธเซนทริกทั้งสี่จุดเดิมเข้าด้วยกัน จะสร้างคู่ของตัวเชื่อมที่ตั้งฉากซึ่งกันและกัน โดยที่ตัวเชื่อมเหล่านั้นจะสอดคล้องกับสมการระยะทาง

${\overline {AB}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}=4R^{2}$

โดยที่ $R$ คือรัศมีวงกลมล้อมรอบร่วมของสามเหลี่ยมทั้งสี่รูปที่เป็นไปได้ สมการเหล่านี้เมื่อรวมกับกฎของไซน์จะส่งผลให้ได้เอกลักษณ์

${\frac {\overline {BC}}{\sin A}}={\frac {\overline {AC}}{\sin B}}={\frac {\overline {AB}}{\sin C}}={\frac {\overline {HA}}{|\cos A|}}={\frac {\overline {HB}}{|\cos B|}}={\frac {\overline {HC}}{|\cos C|}}=2R.$

ทฤษฎีบทของเฟือร์บัคกล่าวว่า วงกลมเก้าจุดสัมผัสกับวงกลมแนบในและวงกลมแนบนอกทั้งสามวงของสามเหลี่ยมอ้างอิง เนื่องจากวงกลมเก้าจุดเป็นวงกลมร่วมของสามเหลี่ยมทั้งสี่รูปที่เป็นไปได้ในระบบพิกัดเชิงตั้งฉาก ดังนั้นจึงสัมผัสกับวงกลม 16 วงที่ประกอบเป็นวงกลมแนบในและวงกลมแนบนอกของสามเหลี่ยมทั้งสี่รูปนั้น

รูปทรงกรวยใดๆ ที่ผ่านจุดออร์โธเซนทริกทั้งสี่จุด จะเป็นไฮเปอร์โบ ลาเหลี่ยมเท่านั้น นี่เป็นผลมาจากทฤษฎีบทกรวยของเฟือร์บัคที่กล่าวว่า สำหรับรูปทรงกรวยล้อมรอบสามเหลี่ยมอ้างอิงทั้งหมดที่ผ่านจุดออร์โธเซนทริกของมันด้วยตำแหน่งของจุดศูนย์กลางของรูปทรงกรวยล้อมรอบเหล่านั้นจะก่อตัวเป็นวงกลมเก้าจุด และรูปทรงกรวยล้อมรอบเหล่านั้นจะเป็นไฮเปอร์โบลาเหลี่ยมเท่านั้น ตำแหน่งของจุดยอดของไฮเปอร์โบลาเหลี่ยมตระกูลนี้จะอยู่บนแกนออร์โธทั้งสี่เสมอ ดังนั้น หากลากไฮเปอร์โบลาเหลี่ยมผ่านจุดออร์โธเซนทริกทั้งสี่จุด มันจะมีจุดศูนย์กลางคงที่จุดหนึ่งบนวงกลมเก้าจุดร่วม แต่จะมีจุดยอดสี่จุด จุดละหนึ่งจุดบนแกนออร์โธของสามเหลี่ยมที่เป็นไปได้ทั้งสี่รูป จุดหนึ่งบนวงกลมเก้าจุดที่เป็นจุดศูนย์กลางของไฮเปอร์โบลาเหลี่ยมนี้จะมีค่าที่แตกต่างกันสี่ค่า ขึ้นอยู่กับว่าใช้สามเหลี่ยมใดในสี่รูปนั้นเป็นสามเหลี่ยมอ้างอิง

ไฮเปอร์โบลาสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีการบันทึกไว้อย่างดีซึ่งผ่านจุดออร์โธเซนทริกทั้งสี่จุด ได้แก่ ไฮเปอร์โบลาวงกลมของเฟือร์บัคเยราเบคและคีเพิร์ต ของสามเหลี่ยมอ้างอิง $△ ABC$ ในระบบมาตรฐานที่มี $H$ เป็นจุดออร์โธเซนทริก

รูปสามเหลี่ยมที่เป็นไปได้ทั้งสี่รูปมีชุดของ รูป กรวย สี่รูป ที่เรียกว่ารูปกรวยตั้งฉาก ซึ่งมีคุณสมบัติร่วมกันบางประการ จุดสัมผัสของรูปกรวยตั้งฉากเหล่านี้กับรูปสามเหลี่ยมที่เป็นไปได้ทั้งสี่รูปเกิดขึ้นที่จุดยอดของรูปสามเหลี่ยมตั้งฉากร่วม ในระบบพิกัดตั้งฉากแบบมาตรฐาน รูปกรวยตั้งฉากที่สัมผัสกับด้านของรูปสามเหลี่ยม $△ ABC$ คือวงรี และรูปกรวยตั้งฉากของรูปสามเหลี่ยมที่เป็นไปได้อีกสามรูปคือไฮเปอร์โบลา รูปกรวยตั้งฉากทั้งสี่นี้ยังใช้จุดBrianchon $H$ ร่วมกัน ซึ่งเป็นจุดตั้งฉากที่อยู่ใกล้กับจุดศูนย์กลางเก้าจุดร่วมมากที่สุด จุดศูนย์กลางของรูปกรวยตั้งฉากเหล่านี้คือจุดกึ่งกลาง $K$ ของรูปสามเหลี่ยมที่เป็นไปได้ทั้งสี่รูป

มีลูกบาศก์หลายลูกที่ได้รับการบันทึกไว้ซึ่งผ่านสามเหลี่ยมอ้างอิงและจุดศูนย์กลางความตั้งฉากของสามเหลี่ยมนั้น ลูกบาศก์วงกลมล้อมรอบที่รู้จักกันในชื่อลูกบาศก์ความตั้งฉาก - K006 นั้นน่าสนใจตรงที่มันผ่านระบบจุดศูนย์กลางความตั้งฉากสามระบบ รวมถึงจุดยอดทั้งสามของสามเหลี่ยมความตั้งฉาก (แต่ไม่ใช่จุดศูนย์กลางความตั้งฉากของสามเหลี่ยมความตั้งฉาก) ระบบจุดศูนย์กลางความตั้งฉากทั้งสามระบบนั้นได้แก่ จุดศูนย์กลางภายในและจุดศูนย์กลางภายนอก สามเหลี่ยมอ้างอิงและจุดศูนย์กลางความตั้งฉากของสามเหลี่ยม และสุดท้ายคือจุดศูนย์กลางความตั้งฉากของสามเหลี่ยมอ้างอิงพร้อมกับจุดตัดอีกสามจุดที่ลูกบาศก์นี้มีกับวงกลมล้อมรอบของสามเหลี่ยมอ้างอิง

วงกลมขั้วสองวงใดๆของสามเหลี่ยมสองรูปในระบบออร์โธเซนทริกจะตั้งฉากกัน^{[ 4 ]}

หมายเหตุ

↑โคซิก, เจอร์ซี; โซเล็คกี, อันเดรเซจ (2009) "การแยกส่วนสามเหลี่ยม" (PDF ) คณิตศาสตร์อเมริกันรายเดือน116 (3): 228– 237. ดอย : 10.1080/00029890.2009.11920932 .
^ Weisstein, Eric W. "ระบบออร์โธเซนทริก" จาก MathWorld--แหล่งข้อมูลเว็บ Wolfram [1]
^ จอ ห์นสัน 1929หน้า 182
^ จอ ห์นสัน 1929หน้า 177

ลิงก์ภายนอก

เอริค ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์ " จุดศูนย์กลางเชิงตั้งฉาก" , "ทฤษฎีบทของเฟือร์บัค" , "ทฤษฎีบทภาคตัดกรวยของเฟือร์บัค" , " ไฮเปอร์โบลาของเฟือร์บั ค" , "ไฮ เปอร์โบลาของเจราเบค" , "ไฮเปอร์โบลาของคีเพิร์ต" , "ภาคตัดกรวยเชิงตั้งฉาก" , "แกน เชิงตั้งฉาก" , "ตัววิเคราะห์ สเปกตรัม" MathWorld
เบอร์นาร์ด กิเบิร์ต เซอร์คัมคิวบิก K006
คลาร์ก คิมเบอร์ลิง, " สารานุกรมจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม " (รวบรวมจุดที่น่าสนใจประมาณ 5,000 จุดที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมใดๆ)

[1] โคซิก, เจอร์ซี; โซเล็คกี, อันเดรเซจ (2009) "การแยกส่วนสามเหลี่ยม" (PDF ) คณิตศาสตร์อเมริกันรายเดือน116 (3): 228– 237. ดอย : 10.1080/00029890.2009.11920932 .

[2] Weisstein, Eric W. "ระบบออร์โธเซนทริก" จาก MathWorld--แหล่งข้อมูลเว็บ Wolfram [1]

[FOOTNOTEJohnson1929[httpsbabelhathitrustorgcgiptidwu89043163211view1upseq200_182]-3] จอ ห์นสัน 1929หน้า 182

[FOOTNOTEJohnson1929[httpsbabelhathitrustorgcgiptidwu89043163211view1upseq195_177]-4] จอ ห์นสัน 1929หน้า 177

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]