ในทางเรขาคณิตเส้นโค้งจีโอเดสิก ( / ˌ dʒ iː . ə ˈ d ɛ s ɪ k , - oʊ - , - ˈ d iː s ɪ k , - z ɪ k / ) ^{[ 1 ] [ 2 ]}คือเส้นโค้งที่แสดงถึงเส้นทาง ( ส่วนโค้ง ) ที่สั้นที่สุด^{[ a ] ​​ในระดับท้องถิ่น [ b ]}ระหว่างสองจุดบนพื้นผิวหรือโดยทั่วไปในแมนิโฟลด์แบบรีมันน์คำนี้ยังมีความหมายใน แมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ใดๆ ที่มีการเชื่อมต่อกันมันเป็นการขยายแนวคิดของ " เส้นตรง "

คำนามgeodesicและคำคุณศัพท์geodeticมาจากgeodesyซึ่งเป็นวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับการวัดขนาดและรูปร่างของโลกแม้ว่าหลักการพื้นฐานหลายอย่างสามารถนำไปใช้กับ รูปทรง เรขาคณิตทรงรี ใดๆ ก็ได้ ในความหมายดั้งเดิม geodesic คือเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างสองจุดบน พื้นผิวโลกสำหรับโลกทรงกลมมันคือส่วนหนึ่งของวงกลมใหญ่ (ดูเพิ่มเติมที่ระยะทางวงกลมใหญ่ ) ต่อมาคำนี้ได้รับการขยายความไปสู่พื้นที่ทางคณิตศาสตร์ที่เป็นนามธรรมมากขึ้น ตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีกราฟเรา อาจพิจารณาgeodesicระหว่างจุดยอด /โหนดสองจุดของกราฟ

ในแมนิโฟลด์หรือซับแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ เส้นจีโอเดสิกมีลักษณะเฉพาะคือความโค้ง จีโอเดสิกเป็นศูนย์ โดยทั่วไปแล้ว ในกรณีที่มีการเชื่อมต่อแบบแอฟฟิน เส้นจีโอเดสิกจะถูกนิยามว่าเป็นเส้นโค้งที่เวกเตอร์สัมผัสยังคงขนานกันหากถูกเคลื่อนย้ายไปตามเส้นโค้งนั้น การนำสิ่งนี้ไปใช้กับการเชื่อมต่อแบบเลวี-ซีวิทาของเมตริกแบบรีมันน์จะทำให้ได้แนวคิดก่อนหน้านี้กลับคืนมา

เส้นทางจีโอเดสิกมีความสำคัญอย่างยิ่งใน ทฤษฎีสั ม พัทธภาพทั่วไป เส้นทางจีโอเดสิก แบบไทม์ไลค์ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ทั่วไป อธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคทดสอบที่ตกลงมาอย่างอิสระ

เส้นทางที่สั้นที่สุดในท้องถิ่นระหว่างจุดสองจุดที่กำหนดในปริภูมิโค้ง ซึ่งถือว่า^{[ b ]}เป็นแมนิโฟลด์แบบรีมันน์สามารถกำหนดได้โดยใช้สมการสำหรับความยาวของเส้นโค้ง (ฟังก์ชันfจากช่วงเปิดของRไปยังปริภูมิ) จากนั้นจึงลดความยาวระหว่างจุดเหล่านี้โดยใช้แคลคูลัสของการแปรผัน วิธีนี้มีปัญหาทางเทคนิคเล็กน้อยเนื่องจากมีปริภูมิอนันต์มิติของวิธีการกำหนดพารามิเตอร์เส้นทางที่สั้นที่สุดที่แตกต่างกัน การจำกัดเซตของเส้นโค้งให้เหลือเฉพาะเส้นโค้งที่กำหนดพารามิเตอร์ "ด้วยความเร็วคงที่" 1 นั้นง่ายกว่า ซึ่งหมายความว่าระยะทางจากf ( s ) ถึงf ( t ) ตามเส้นโค้งเท่ากับ | s − t | หรืออาจใช้ปริมาณอื่นแทนได้ ซึ่งเรียกว่าพลังงานของเส้นโค้ง การลดพลังงานให้เหลือน้อยที่สุดจะนำไปสู่สมการเดียวกันสำหรับจีโอเดสิก (ในที่นี้ "ความเร็วคงที่" เป็นผลมาจากการลดให้เหลือน้อยที่สุด) โดยสัญชาตญาณแล้ว เราสามารถเข้าใจสูตรที่สองนี้ได้โดยสังเกตว่าแถบยางยืดที่ยืดระหว่างสองจุดจะหดตัวลงในด้านกว้าง และเมื่อหดตัวลง พลังงานก็จะน้อยที่สุด รูปทรงของแถบยางยืดที่ได้จึงเป็นรูปทรงทางเรขาคณิตที่สั้นที่สุด (geodesic)

เป็นไปได้ที่เส้นโค้งหลายเส้นระหว่างสองจุดจะทำให้ระยะทางสั้นที่สุด เช่นเดียวกับกรณีของสองจุดที่อยู่ตรงข้ามกันบนทรงกลม ในกรณีเช่นนี้ เส้นโค้งใดๆ เหล่านั้นก็ถือเป็นเส้นโค้งจีโอเดสิกได้

ส่วนที่ต่อเนื่องกันของเส้นโค้งทางภูมิศาสตร์ก็ยังคงเป็นเส้นโค้งทางภูมิศาสตร์เช่นกัน

โดยทั่วไปแล้ว เส้นทางจีโอเดสิกไม่เหมือนกับ "เส้นโค้งที่สั้นที่สุด" ระหว่างสองจุด แม้ว่าแนวคิดทั้งสองจะมีความเกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิดก็ตาม ความแตกต่างคือ เส้นทางจีโอเดสิกเป็นเพียง ระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดในบริเวณ นั้น ๆและถูกกำหนดพารามิเตอร์ด้วย "ความเร็วคงที่" การเดินทาง "อ้อม" บนวงกลมใหญ่ระหว่างสองจุดบนทรงกลมเป็นเส้นทางจีโอเดสิก แต่ไม่ใช่เส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดเหล่านั้น แผนที่จากช่วงหน่วยบนเส้นจำนวนจริงไปยังตัวมันเองให้เส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่าง 0 และ 1 แต่ไม่ใช่เส้นทางจีโอเดสิกเพราะความเร็วของการเคลื่อนที่ของจุดที่สอดคล้องกันนั้นไม่คงที่ ${\displaystyle t\to t^{2}}$

เส้นทางจีโอเดสิกมักพบเห็นได้ในการศึกษาเรขาคณิตแบบรีมันน์และโดยทั่วไปแล้วเรขาคณิตแบบเมตริกในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเส้นทางจีโอเดสิกในปริภูมิเวลาอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคจุดภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงเพียงอย่างเดียว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นทางที่หินที่ตกลงมาดาวเทียม ที่โคจร หรือรูปร่างของวงโคจรของดาวเคราะห์ล้วนเป็นเส้นทางจีโอเดสิก^{[ c ]}ในปริภูมิเวลาโค้ง โดยทั่วไปแล้ว หัวข้อของเรขาคณิตแบบซับรีมันน์เกี่ยวข้องกับเส้นทางที่วัตถุอาจเคลื่อนที่เมื่อวัตถุเหล่านั้นไม่เป็นอิสระ และการเคลื่อนที่ของวัตถุเหล่านั้นถูกจำกัดในหลายๆ ด้าน

บทความนี้เสนอรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการกำหนด การค้นหา และการพิสูจน์การมีอยู่ของเส้นทางที่สั้นที่สุด (geodesic) ในกรณีของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์บทความเรื่องLevi-Civita connectionกล่าวถึงกรณีทั่วไปของแมนิโฟลด์แบบซูโดรีมันน์และ บทความ เรื่อง geodesic (general relativity)กล่าวถึงกรณีพิเศษของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปโดยละเอียดมากขึ้น

ตัวอย่างที่คุ้นเคยที่สุดคือเส้นตรงในเรขาคณิตแบบยุคลิดบน ทรงกลม ภาพของเส้นจีโอเดสิกคือ วงกลมใหญ่เส้นทางที่สั้นที่สุดจากจุดAไปยังจุดBบนทรงกลมคือส่วนโค้งที่สั้นกว่าของวงกลมใหญ่ที่ผ่านจุดAและBถ้าAและBเป็นจุดตรงข้ามกันจะมีเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างทั้งสองจุด เป็นจำนวนอนันต์ เส้นจีโอเดสิกบนทรงรี มีพฤติกรรมที่ซับซ้อนกว่าบนทรงกลม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้น จีโอเดสิก บนทรงรีมักจะไม่เป็นเส้นปิด (ดูรูป)

รูปสามเหลี่ยมจีโอเดสิกเกิดจากเส้นจีโอเดสิกที่เชื่อมจุดสามจุดแต่ละคู่บนพื้นผิวที่กำหนด บนทรงกลม เส้นจีโอเดสิกจะเป็น ส่วนโค้ง ของวงกลมใหญ่ทำให้เกิดเป็นรูปสามเหลี่ยมทรงกลม

ในเรขาคณิตเมตริกเส้นทางจีโอเดสิกคือเส้นโค้งที่ทำให้ระยะทางต่ำสุดในทุกจุดณตำแหน่งนั้นๆกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นเส้นโค้งγ  : I → Mจากช่วงIของจำนวนจริงไปยังปริภูมิเมตริกMเป็นเส้นทางจีโอเดสิกก็ต่อเมื่อมีค่าคงที่v ≥ 0เช่นนั้น สำหรับทุกt ∈ Iจะมีบริเวณใกล้เคียงJของtในIเช่นนั้น สำหรับทุกt ₁ , t ₂ ∈ Jเราจะได้ว่า

${\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=v\left|t_{1}-t_{2}\right|.}$

นี่เป็นการขยายแนวคิดของเส้นจีโอเดสิกสำหรับแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ อย่างไรก็ตาม ในเรขาคณิตเมตริก เส้นจีโอเดสิกที่พิจารณามักจะมีการกำหนดพารามิเตอร์ตามธรรมชาติกล่าวคือ ในเอกลักษณ์ข้างต้นv  = 1 และ

${\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=\left|t_{1}-t_{2}\right|.}$

ถ้าความเท่าเทียมกันสุดท้ายเป็นจริงสำหรับทุกt ₁ , t ₂ ∈ Iเส้นทางจีโอเดสิกนั้นจะเรียกว่า เส้นทางจีโอเดสิ ก ที่ทำให้ค่าต่ำสุดหรือเส้นทางที่สั้นที่สุด

โดยทั่วไปแล้ว ปริภูมิเมตริกอาจไม่มีเส้นทางจีโอเดสิก ยกเว้นเส้นโค้งคงที่ ในทางตรงกันข้าม จุดสองจุดใดๆ ในปริภูมิเมตริกความยาวจะเชื่อมต่อกันด้วยลำดับเส้นทาง ที่สั้นที่สุดที่สามารถหาความยาวได้ แม้ว่าลำดับเส้นทางที่สั้นที่สุดนี้ไม่จำเป็นต้องลู่เข้าสู่เส้นทางจีโอเดสิกก็ตามทฤษฎีบท Hopf-Rinow ในปริภูมิเมตริกให้สถานการณ์ที่ปริภูมิความยาวเป็นปริภูมิจีโอเดสิกโดยอัตโนมัติ

ตัวอย่างทั่วไปของปริภูมิเมตริกเชิงจีโอเดสิกซึ่งมักไม่ใช่แมนิโฟลด์ ได้แก่กราฟเมตริก , คอมเพล็กซ์ทรงหลายเหลี่ยมเมตริก (ที่กะทัดรัดเฉพาะที่) , ปริภูมิพรีฮิลเบิร์ตมิติอนันต์และต้นไม้ จริง

ในแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ ที่มีเมตริกเทนเซอร์ความยาวของเส้นโค้งที่อนุพันธ์ต่อเนื่องจะถูกกำหนดโดย ${\displaystyle M}$${\displaystyle g}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \gamma :[a,b]\to M}$

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt.}$

ระยะทางระหว่างจุดสองจุดและถูกกำหนดให้เป็นค่าต่ำสุดของความยาวที่หาได้จากเส้นโค้งต่อเนื่องที่สามารถหาอนุพันธ์ได้แบบต่อเนื่องเป็นช่วงๆโดยที่และในเรขาคณิตแบบรีมันน์ เส้นทางจีโอเดสิกทั้งหมดเป็นเส้นทางที่ลดระยะทางให้น้อยที่สุดในระดับท้องถิ่น แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง อันที่จริง เส้นทางที่ลดระยะทางให้น้อยที่สุดในระดับท้องถิ่นและมีพารามิเตอร์ที่แปรผันตามความยาวส่วนโค้งเท่านั้นจึงจะเป็นเส้นทางจีโอเดสิก ${\displaystyle d(p,q)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \gamma :[a,b]\to M}$${\displaystyle \gamma (a)=p}$${\displaystyle \gamma (b)=q}$

อีกวิธีหนึ่งที่เทียบเท่ากันในการกำหนดเส้นทางจีโอเดสิกบนแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ คือการกำหนดให้เป็นจุดต่ำสุดของฟังก์ชันการกระทำหรือฟังก์ชันพลังงาน ต่อไปนี้

${\displaystyle E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt.}$

จุดต่ำสุดทั้งหมดของก็เป็นจุดต่ำสุดของ ด้วยเช่นกันแต่เป็นเซตที่ใหญ่กว่า เนื่องจากเส้นทางที่เป็นจุดต่ำสุดของสามารถปรับพารามิเตอร์ใหม่ได้ตามอำเภอใจ (โดยไม่เปลี่ยนแปลงความยาว) ในขณะที่จุดต่ำสุดของไม่สามารถทำได้ สำหรับเส้นโค้งแบบแบ่งช่วง (หรือโดยทั่วไปคือเส้นโค้ง ) อสมการโคชี-ชวาร์ซให้ ผลลัพธ์ดังนี้${\displaystyle E}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle W^{1,2}}$

${\displaystyle L(\gamma )^{2}\leq 2(ba)E(\gamma )}$

โดยจะเท่ากันก็ต่อเมื่อเท่ากับค่าคงที่ ae เท่านั้น เส้นทางควรเดินทางด้วยความเร็วคงที่ ปรากฏว่าตัวลดค่าต่ำสุดของก็ลดค่าต่ำสุดของ ด้วยเช่นกันเพราะปรากฏว่าตัวลดค่าต่ำสุดเหล่านั้นมีพารามิเตอร์เชิงเส้น และอสมการก็กลายเป็นสมการ ประโยชน์ของแนวทางนี้คือ ปัญหาการหาตัวลดค่าต่ำสุดของเป็นปัญหาแปรผันที่แข็งแกร่งกว่า ที่จริงแล้วเป็น "ฟังก์ชันนูน" ของดังนั้นภายในแต่ละชั้นไอโซโทปีของ "ฟังก์ชันที่สมเหตุสมผล" เราควรคาดหวังว่าจะมีตัวลดค่าต่ำสุดอยู่จริง มีเอกลักษณ์ และมีความสม่ำเสมอ ในทางตรงกันข้าม "ตัวลดค่าต่ำสุด" ของฟังก์ชันมักจะไม่ค่อยสม่ำเสมอนัก เพราะอนุญาตให้มีการกำหนดพารามิเตอร์ใหม่ได้ตามอำเภอใจ ${\displaystyle g(\gamma ',\gamma ')}$${\displaystyle E(\gamma )}$${\displaystyle L(\gamma )}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E(\gamma )}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle L(\gamma )}$

สมการการเคลื่อนที่ของ ออยเลอร์-ลากรองจ์สำหรับฟังก์ชันดังกล่าว จะถูกกำหนดในพิกัดท้องถิ่นโดย ${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0,}$

สัญลักษณ์คริสโตเฟลของเมตริกอยู่ที่ไหน นี่คือ สมการจีโอเดสิกซึ่งจะกล่าวถึงต่อ ไป${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$

สามารถใช้เทคนิคแคลคูลัสการแปรผัน แบบคลาสสิกเพื่อตรวจสอบฟังก์ชันพลังงาน ได้การแปรผันแรกของพลังงานถูกกำหนดในพิกัดท้องถิ่นโดย ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \delta E(\gamma )(\varphi )=\left.{\frac {\partial }{\partial t}}\right|_{t=0}E(\gamma +t\varphi )}$

จุดวิกฤตของการเปลี่ยนแปลงแบบแรกคือเส้นทางที่สั้นที่สุด (geodesics) ส่วนการเปลี่ยนแปลงแบบที่สองนั้นกำหนดโดย

${\displaystyle \delta ^{2}E(\gamma )(\varphi ,\psi )=\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\,\partial t}}\right|_{s=t=0}E(\gamma +t\varphi +s\psi ).}$

ในความหมายที่เหมาะสม ค่าศูนย์ของการแปรผันลำดับที่สองตามเส้นทางจีโอเดสิกจะเกิดขึ้นตามฟิลด์จาโคบีดังนั้น ฟิลด์จาโคบีจึงถือได้ว่าเป็นการแปรผันผ่านเส้นทางจีโอเดสิก ${\displaystyle \gamma }$

โดยการประยุกต์ใช้เทคนิคการแปรผันจากกลศาสตร์คลาสสิกเราสามารถมองเส้นทางจีโอเดสิกเป็นการไหลแบบแฮมิลโทเนียนได้ เช่นกัน เส้นทางจีโอเดสิก เป็นคำตอบของสมการแฮมิลตัน ที่เกี่ยวข้อง โดยใช้เมตริกแบบ (เสมือน) รีมันน์เป็น เมตริก แฮมิลโทเนียน

เส้นทางจีโอเดสิกบนแมนิโฟลด์เรียบ ที่มีการเชื่อมต่อแบบแอฟฟินถูกกำหนดให้เป็นเส้นโค้งที่การเคลื่อนย้ายขนานไปตามเส้นโค้งจะรักษาเวกเตอร์สัมผัสของเส้นโค้งไว้ ดังนั้น ${\displaystyle M}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \gamma (t)}$

${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}$

1

ที่แต่ละจุดตามเส้นโค้ง โดยที่คืออนุพันธ์เทียบกับ กล่าวโดยละเอียดกว่านั้น เพื่อที่จะกำหนดอนุพันธ์โคแวเรียนต์ของจำเป็นต้องขยาย ไปยัง ฟิลด์เวกเตอร์ที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องในเซตเปิดก่อนอย่างไรก็ตาม ค่าที่ได้ของ ( 1 ) จะไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกการขยาย ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

เมื่อใช้พิกัดท้องถิ่นบนเราสามารถเขียนสมการจีโอเดสิก (โดยใช้หลักการบวก ) ได้ดังนี้ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\gamma ^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d\gamma ^{\mu }}{dt}}{\frac {d\gamma ^{\nu }}{dt}}=0\ ,}$

โดยที่คือพิกัดของเส้นโค้งและคือสัญลักษณ์คริสตอฟเฟลของการเชื่อมต่อนี่คือสมการเชิงอนุพันธ์สามัญสำหรับพิกัด มันมีคำตอบเดียว เมื่อกำหนดตำแหน่งเริ่มต้นและความเร็วเริ่มต้น ดังนั้น จากมุมมองของกลศาสตร์คลาสสิกเส้นทางจีโอเดสิกสามารถคิดได้ว่าเป็นวิถีของอนุภาคอิสระในแมนิโฟลด์ อันที่จริง สมการนี้หมายความว่าเวกเตอร์ความเร่งของเส้นโค้งไม่มีส่วนประกอบในทิศทางของพื้นผิว (และดังนั้นจึงตั้งฉากกับระนาบสัมผัสของพื้นผิวที่แต่ละจุดของเส้นโค้ง) ดังนั้น การเคลื่อนที่จึงถูกกำหนดโดยการโค้งงอของพื้นผิวอย่างสมบูรณ์ นี่คือแนวคิดของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปที่อนุภาคเคลื่อนที่บนเส้นทางจีโอเดสิกและการโค้งงอเกิดจากแรงโน้มถ่วง ${\displaystyle \gamma ^{\mu }=x^{\mu }\circ \gamma (t)}$${\displaystyle \gamma (t)}$${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}$

ทฤษฎีบทการมีอยู่และการเป็นเอกลักษณ์เฉพาะที่สำหรับเส้นทางจีโอเดสิกส์ระบุว่า เส้นทางจีโอเดสิกส์บนแมนิโฟลด์เรียบที่มีการเชื่อมต่อเชิงเส้นตรงมีอยู่จริงและเป็นเอกลักษณ์ กล่าวโดยละเอียดคือ:

สำหรับจุดp ใดๆ ในMและสำหรับเวกเตอร์V ใดๆ ในT _p M ( ปริภูมิสัมผัสของMที่จุด p ) จะมีเส้นทางจีโอเดสิกที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว : I → Mเช่นนั้น ${\displaystyle \gamma \,}$

${\displaystyle \gamma (0)=p\,}$และ

${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=V,}$

โดยที่Iคือช่วงเปิด ที่ใหญ่ที่สุด ในRซึ่งประกอบด้วย 0

การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ได้มาจากทฤษฎีสม การเชิงอนุพันธ์สามัญ โดยสังเกตว่าสมการจีโอเดสิกเป็นสมการ เชิง อนุพันธ์สามัญอันดับสอง การมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์จึงเป็นผลมาจากทฤษฎีบท Picard–Lindelöfสำหรับคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่มีเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนดไว้ γ ขึ้นอยู่กับทั้งpและ  V อย่างราบรื่น

โดยทั่วไปแล้วฉันอาจไม่ใช่ทั้งหมดของRเช่น สำหรับดิสก์เปิดในR²ใดๆγจะขยายไปยังทั้งหมดของℝก็ต่อเมื่อMเป็นเซตสมบูรณ์ทางธรณีวิทยา ^{เท่านั้น}

การไหลแบบจีโอเดสิกเป็นการกระทำRเฉพาะ ที่ บนมัดสัมผัสTMของแมนิโฟลด์Mซึ่งกำหนดไว้ในลักษณะต่อไปนี้

${\displaystyle G^{t}(V)={\dot {\gamma }}_{V}(t)}$

โดยที่t  ∈  R , V  ∈  TMและหมายถึงเส้นทางจีโอเดสิกที่มีข้อมูลเริ่มต้นดังนั้น จึง เป็นแผนที่เอกซ์โพเนนเชียลของเวกเตอร์tVวงโคจรปิดของการไหลของจีโอเดสิกสอดคล้องกับ จีโอเดสิ ก ปิดบน  M${\displaystyle \gamma _{V}}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{V}(0)=V}$${\displaystyle G^{t}(V)=\exp(tV)}$

บนแมนิโฟลด์แบบ (เสมือน) รีมันน์ การไหลของจีโอเดสิกจะถูกระบุว่าเป็นการไหลของแฮมิลโทเนียนบนบันเดิลโคแทนเจนต์ แฮมิลโทเนียน นั้นจะถูกกำหนดโดยค่าผกผันของเมตริกแบบ (เสมือน) รีมันน์ ซึ่งประเมินเทียบกับ รูป แบบวันฟอร์มแบบแคนอนิกโดยเฉพาะอย่างยิ่ง การไหลจะรักษาเมตริกแบบ (เสมือน) รีมันน์ไว้กล่าวคือ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(G^{t}(V),G^{t}(V))=g(V,V).\,}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อVเป็นเวกเตอร์หน่วย ความเร็วจะคงที่ตลอด ดังนั้นการไหลของเส้นจีโอเดสิกจึงสัมผัสกับมัด สัมผัสหน่วยทฤษฎีบทของ Liouvilleบ่งชี้ถึงความไม่แปรเปลี่ยนของการวัดทางจลนศาสตร์บนมัดสัมผัสหน่วย ${\displaystyle \gamma _{V}}$

การไหลของเส้นจีโอเดสิกกำหนดกลุ่มของเส้นโค้งในมัดสัมผัสอนุพันธ์ของเส้นโค้งเหล่านี้กำหนดสนามเวกเตอร์ บนปริภูมิทั้งหมดของมัดสัมผัส ซึ่งเรียกว่าสเปรย์จีโอเดสิก

กล่าวโดยละเอียด การเชื่อมต่อเชิงเส้นจะทำให้เกิดการแยกกลุ่มมัดสัมผัสคู่ TT Mออกเป็น กลุ่ม มัดแนวนอนและกลุ่มมัดแนวตั้ง :

${\displaystyle TTM=H\oplus V.}$

สามารถมองเห็นภาพมัดสัมผัสคู่ได้ว่าเป็นพื้นที่ของการเปลี่ยนแปลงพร้อมกันทั้งจุดฐานและความเร็ว โดยไม่ต้องกำหนดวิธีการใด ๆ ในการเคลื่อนย้ายความเร็วข้ามจุดฐาน

สำหรับค่าใดๆเส้นใยแนวตั้งจะถูกกำหนดโดยแผนที่การฉายภาพมันประกอบด้วยวิธีการทั้งหมดในการเปลี่ยนความเร็วในขณะที่จุดฐานคงที่และโดยพื้นฐานแล้วมันคือสำเนาของค่าที่ถูกแปลจากค่าหนึ่งไปยัง อีก ค่าหนึ่ง การเชื่อมต่อเชิงเส้นจะเลือกตำแหน่งที่ค่าจะตกอยู่ภายใต้การเปลี่ยนแปลงจุดฐานในขณะที่ "คงที่" ความเร็ว ซึ่งครอบคลุมเส้นใยแนวนอน ในทางกลับกัน เมื่อกำหนดการแยกแล้ว การขนส่งเวกเตอร์ไปตามวิถีโคจรหมายถึงการลากเวกเตอร์ไปตามมัดแนวนอน กล่าวคือ การยกวิถีโคจรขึ้นสองครั้ง จากค่าหนึ่ง ไปยังอีก ค่า หนึ่ง ไปยังอีกค่าหนึ่งโดยมีเงื่อนไขว่า ${\displaystyle x\in M,\;v\in T_{x}M}$${\displaystyle V_{(x,v)}}$${\displaystyle \pi :TM\to M}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T_{x}M}$${\displaystyle (x,0)}$${\displaystyle (x,v)}$${\displaystyle (x,v)}$${\displaystyle H_{(x,v)}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma (t)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle (\gamma (t),v(t),a(t))}$${\displaystyle H}$${\displaystyle d\pi (\gamma (t),v,a(t))=(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))}$

สเปรย์จีโอเดสิกคือสนามเวกเตอร์แนวนอนW ที่ ไม่ซ้ำกันซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้

${\displaystyle d\pi W_{(x,v)}=(x,v)}$

ณ แต่ละจุดหมายถึง การผลักดันไป ข้างหน้า (เชิงอนุพันธ์)ตามการฉายภาพโดยสัญชาตญาณแล้วจะละทิ้งการเปลี่ยนแปลงของความเร็วและคงการเปลี่ยนแปลงของจุดฐานไว้ ${\displaystyle x\in M,\;v\in T_{x}M}$${\displaystyle d\pi :TTM\to TM}$${\displaystyle \pi :TM\to M}$${\displaystyle d\pi }$

โดยทั่วไปแล้ว โครงสร้างเดียวกันนี้ช่วยให้สามารถสร้างสนามเวกเตอร์สำหรับการเชื่อมต่อ Ehresmann ใดๆ บนบันเดิลสัมผัสได้ สำหรับสนามเวกเตอร์ที่ได้จะเป็นสเปรย์ (บนบันเดิลสัมผัสที่ถูกลบ T M  \ {0}) ก็เพียงพอแล้วที่การเชื่อมต่อจะมีความสมมาตรภายใต้การปรับขนาดที่เป็นบวก กล่าวคือ เพียงพอแล้วที่ถ้าถูกส่งผ่านโดยไปยังแล้วจะต้องถูกส่งผ่านไปยังสำหรับทุกไม่จำเป็นว่า ถ้าถูกส่งผ่านไปยัง ด้วยแล้วจะต้องถูกส่งผ่านด้วย ${\displaystyle w\in T_{x}M}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle w'\in T_{x'}M}$${\displaystyle kw}$${\displaystyle kw'}$${\displaystyle k>0}$${\displaystyle u\in T_{x}M}$${\displaystyle u'\in T_{x'}M}$${\displaystyle w+u}$${\displaystyle w'+u'}$

กล่าวคือ (ดูการเชื่อมต่อของ Ehresmann #กลุ่มเวกเตอร์และอนุพันธ์ร่วมแปร ) เพียงพอแล้วที่การกระจายแนวนอนจะสอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าว

${\displaystyle H_{\lambda X}=d(S_{\lambda })_{X}H_{X}\,}$

สำหรับทุกX  ∈ T M  \ {0} และ λ > 0 โดยที่d ( S _λ ) คือการผลักดันไปข้างหน้าตามโฮโมเทตีสเกลาร์ กรณีเฉพาะของการเชื่อมต่อแบบไม่เชิงเส้นที่เกิดขึ้นในลักษณะนี้คือกรณีที่เกี่ยวข้องกับแมนิโฟลด์ฟินส์เลอร์ ${\displaystyle S_{\lambda }:X\mapsto \lambda X.}$

ความสมมาตรภายใต้การปรับขนาดเชิงบวกเป็นสิ่งจำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าการขนส่งเวกเตอร์นั้นมีความชัดเจนตามเส้นทางที่มีทิศทาง กล่าวคือ เมื่อกำหนดพารามิเตอร์ของเส้นโค้งใดๆ และ "การเปลี่ยนแปลงของจังหวะเวลา" ที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดพารามิเตอร์ใหม่ก็ยังคงสร้างการขนส่งเวกเตอร์แบบเดียวกัน หากไม่มีความสมมาตรภายใต้การปรับขนาดเชิงบวก การขนส่งเวกเตอร์ตามเส้นทางที่มีทิศทางจะขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์เฉพาะนั้นๆ ${\displaystyle \gamma :I\to M}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \gamma \circ f}$

สมการ ( 1 ) ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การกำหนดพารามิเตอร์ใหม่แบบแอฟฟิน นั่นคือ การกำหนดพารามิเตอร์ในรูปแบบ

${\displaystyle t\mapsto at+b}$

โดยที่aและbเป็นจำนวนจริงคงที่ ดังนั้น นอกเหนือจากการระบุคลาสของเส้นโค้งฝังตัวบางคลาสแล้ว สมการจีโอเดสิกยังกำหนดคลาสพารามิเตอร์ที่ต้องการบนเส้นโค้งแต่ละเส้นด้วย ดังนั้น คำตอบของ ( 1 ) จึงเรียกว่าจีโอเดสิกที่มีพารามิเตอร์ เชิงเส้น

การเชื่อมต่อแบบแอฟฟินถูกกำหนดโดยตระกูลของเส้นทางจีโอเดสิกที่กำหนดพารามิเตอร์แบบแอฟฟิน โดยพิจารณาถึงแรงบิด ( Spivak 1999 , บทที่ 6, ภาคผนวก I) แรงบิดเองนั้นไม่ได้ส่งผลกระทบต่อตระกูลของเส้นทางจีโอเดสิก เนื่องจากสมการของเส้นทางจีโอเดสิกขึ้นอยู่กับส่วนสมมาตรของการเชื่อมต่อเท่านั้น กล่าวโดยละเอียดคือ ถ้ามีการเชื่อมต่อสองแบบที่เทนเซอร์ผลต่างเป็นไป ตามเงื่อนไข${\displaystyle \nabla ,{\bar {\nabla }}}$

${\displaystyle D(X,Y)=\nabla _{X}Y-{\bar {\nabla }}_{X}Y}$

ถ้าสมมาตรแบบเฉียงแล้วและจะมีเส้นทางจีโอเดสิกเดียวกัน โดยมีการกำหนดพารามิเตอร์เชิงเส้นแบบเดียวกัน ยิ่งไปกว่านั้น ยังมีการเชื่อมต่อที่ไม่ซ้ำกันซึ่งมีเส้นทางจีโอเดสิกเดียวกันกับ แต่มีแรงบิดเป็นศูนย์ ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle {\bar {\nabla }}}$${\displaystyle \nabla }$

เส้นทางจีโอเดสิกที่ไม่มีการกำหนดพารามิเตอร์เฉพาะเจาะจงจะถูกอธิบายโดยการเชื่อมต่อเชิงโปรเจคทีฟ

^{Mitchell [ 3 ]} Kimmel ^{[ 4 ]} Crane ^{[ 5 ]}และคนอื่นๆ ได้เสนอตัวแก้ปัญหาที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหา geodesic ขั้นต่ำบนพื้นผิว

การทดสอบริบบิ้นเป็นวิธีการหาเส้นทางจีโอเดสิกบนพื้นผิวทางกายภาพ^{[ 6 ]}แนวคิดคือการนำกระดาษชิ้นเล็กๆ มาพันรอบเส้นตรง (ริบบิ้น) บนพื้นผิวโค้งให้ใกล้ที่สุดเท่าที่จะทำได้โดยไม่ยืดหรือบีบริบบิ้น (โดยไม่เปลี่ยนรูปทรงเรขาคณิตภายใน)

ตัวอย่างเช่น เมื่อพันริบบิ้นเป็นวงแหวนรอบกรวย ริบบิ้นจะไม่แนบสนิทกับพื้นผิวของกรวย แต่จะยื่นออกมา ดังนั้นวงกลมนั้นจึงไม่ใช่เส้นโค้งที่สั้นที่สุดบนกรวย แต่ถ้าปรับริบบิ้นให้ทุกส่วนสัมผัสกับพื้นผิวของกรวย ก็จะได้เส้นโค้งที่สั้นที่สุดโดยประมาณ

ในทางคณิตศาสตร์ การทดสอบริบบิ้นสามารถกำหนดได้เป็นการหาแผนที่ของบริเวณใกล้เคียงของเส้นตรงในระนาบไปยังพื้นผิวโดยที่แผนที่นั้น"ไม่เปลี่ยนแปลงระยะทางโดยรอบมากนัก" กล่าวคือ ที่ระยะทางจากเราจะได้โดยที่และเป็นเมตริกบนและ ตามลำดับ ${\displaystyle f:N(\ell )\to S}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle l}$${\displaystyle g_{N}-f^{*}(g_{S})=O(\varepsilon ^{2})}$${\displaystyle g_{N}}$${\displaystyle g_{S}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle S}$

แม้ว่าแนวคิดเรื่องเส้นทางที่สั้นที่สุดจะมีลักษณะทางเรขาคณิต แต่ก็มีความเป็นสากลมากจนสามารถนำไปใช้ได้อย่างกว้างขวางในเกือบทุกสาขาวิทยาศาสตร์ และในสาขาวิชาอื่นๆ อีกด้วย

• ในพื้นผิวที่มีลักษณะเฉพาะของออยเลอร์เป็น ลบ คลาสโฮโมโทปีใดๆ (แบบอิสระ) จะกำหนดเส้นทางจีโอเดสิกที่ไม่ซ้ำกัน (แบบปิด) สำหรับ เมตริก ไฮเปอร์โบลิกเส้นทางจีโอเดสิกเหล่านี้มีส่วนสำคัญต่อความเข้าใจเชิงเรขาคณิตของการกระทำของคลาสการแมป
• ปริภูมิเมตริกจีโอเด สิก และปริภูมิความยาวมีพฤติกรรมที่ดีเป็นพิเศษกับการกระทำของกลุ่ม ไอโซเมตริก ( ทฤษฎีบท Švarc-Milnor , ทฤษฎีบท Hopf-Rinow , ทฤษฎีบท Morse ...) ปริภูมิเหล่านี้มักเป็นกรอบที่เหมาะสมสำหรับการสรุปผลลัพธ์จากเรขาคณิตแบบรีมันน์ไปสู่การสร้างที่สะท้อนเรขาคณิตของกลุ่ม ตัวอย่างเช่นความเป็นไฮเปอร์โบลิกของ Gromovสามารถเข้าใจได้ในแง่ของความบางของสามเหลี่ยมจีโอเดสิก และCAT(0)สามารถระบุได้ในแง่ของมุมระหว่างจีโอเดสิก

• การขนส่งที่เหมาะสมที่สุดสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นปัญหาของการค้นหาเส้นทางที่สั้นที่สุดในพื้นที่ที่มีการวัดค่าต่างๆ
• ในเรขาคณิตสารสนเทศความแตกต่างเช่นความแตกต่างของคัลล์แบ็ก-ไลเบลอร์มีบทบาทคล้ายคลึงกับเมตริกแบบรีมันน์ ทำให้สามารถเปรียบเทียบการเชื่อมต่อและเส้นทางจีโอเดสิกได้

• ในกลศาสตร์คลาสสิกวิถีโคจรจะทำให้พลังงานมีค่าน้อยที่สุดตามสมการแฮมิลตัน-จาโคบีซึ่งอาจถือได้ว่าเป็นแนวคิดที่คล้ายคลึงกับเส้นทางจีโอเดสิก ในบางกรณีพิเศษแนวคิดทั้งสองนี้อาจตรงกันได้
• ทฤษฎีสัมพัทธภาพจำลองปริภูมิเวลาเป็นแมนิโฟลด์แบบลอเรนซ์โดยที่แสงเคลื่อนที่ตามเส้นโค้งจีโอเดสิกแบบลอเรนซ์

• ในเคมีเชิงทฤษฎีและ เชิง คำนวณ พิกัดปฏิกิริยาที่แท้จริงของพื้นผิวพลังงานศักยภาพ (PES) สามารถคำนวณได้เป็นเส้นจีโอเดสิกระหว่างจุดต่ำสุดเฉพาะที่ ( ตัวกลาง ) และจุดอานม้า ( สถานะการเปลี่ยนผ่าน ) ^{[ 7 ] [ 8 ]}
• ในพลศาสตร์โมเลกุลโครงสร้างของโปรตีนสามารถถือได้ว่าเป็นจุดบนแมนิโฟลด์โค้ง โดยที่จีโอเดสิกแสดงถึงเส้นทางที่สั้นที่สุดและบิดเบือนน้อยที่สุดระหว่างโครงสร้าง และสามารถช่วยประมาณการเปลี่ยนแปลงที่สังเกตได้และปฏิสัมพันธ์ภายในโมเลกุล^{[ 9 ]}

• การศึกษาว่าระบบประสาทปรับการเคลื่อนไหวของกล้ามเนื้อให้เหมาะสมได้อย่างไร อาจทำได้โดยการกำหนดเมตริกแบบรีมันน์ ให้กับ พื้นที่การกำหนดค่าของร่างกายซึ่งวัดความพยายาม เพื่อให้สามารถระบุปัญหาในแง่ของภูมิศาสตร์ได้^{[ 10 ]}
• ระยะทางจีโอเดสิกมักใช้ในการวัดความยาวของเส้นทางสำหรับการแพร่กระจายสัญญาณในเซลล์ประสาท^{[ 11 ]}
• โครงสร้างของจีโอเดสิกในโมเลกุลขนาดใหญ่มีบทบาทในการศึกษาการพับของโปรตีน^{[ 12 ]}
• โครงสร้างของดวงตารวมซึ่งมีหลายส่วนที่ยึดติดกันและรองรับด้วยโครงตาข่ายโดมทรงเรขาคณิตบนพื้นผิวด้านนอกของดวงตา^{[ 13 ]}

เส้นทางเดินของดาว (Geodesics) ใช้เป็นพื้นฐานในการคำนวณ:

• โครงสร้างลำตัวเครื่องบินทรงเรขาคณิต; ดูโครงสร้างลำตัวเครื่องบินทรงเรขาคณิตหรือโครงสร้างลำตัวเครื่องบินแบบเรขาคณิต
• ระยะทางในแนวนอนบนหรือใกล้โลก; ดู เส้นทางจีโอเดสิกของโลก
• การแมปภาพลงบนพื้นผิวเพื่อการแสดงผล โปรดดูที่การแมป UV
• การวางแผนการเคลื่อนที่ของหุ่นยนต์(เช่น เมื่อพ่นสีชิ้นส่วนรถยนต์) ดูที่ปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุด
• การแก้ไขเส้นทางที่สั้นที่สุดทางภูมิศาสตร์ (GSP) ในการสร้างพื้นผิวแบบปัวซง (เช่น ในทันตกรรมดิจิทัล ) หากไม่มีการสร้างพื้นผิวแบบ GSP มักจะทำให้เกิดการตัดกันเองภายในพื้นผิว

• Adler, Ronald; Bazin, Maurice; Schiffer, Menahem (1975), บทนำสู่ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (ฉบับที่ 2), นิวยอร์ก: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-000423-8ดู บท ที่2
• Abraham, Ralph H. ; Marsden, Jerrold E. (1978), พื้นฐานของกลศาสตร์ , ลอนดอน: Benjamin-Cummings, Bibcode : 1978fome.book.....A , ISBN 978-0-8053-0102-1ดูหัวข้อ 2.7
• Jost, Jürgen (2002), เรขาคณิตแบบรีมันน์และการวิเคราะห์ทางเรขาคณิต , เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42627-1ดูหัวข้อ 1.4
• โคบายาชิ, โชชิจิ ; โนมิซุ, คัตสึมิ (1996), พื้นฐานของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เล่ม 1 (ฉบับพิมพ์ใหม่), ไวลีย์-อินเตอร์ไซแอนซ์, ISBN 0-471-15733-3.
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975), ทฤษฎีสนามแบบคลาสสิก , อ็อกซ์ฟอร์ด: Pergamon, รหัสบรรณานุกรม : 1975ctf..book.....L , ISBN 978-0-08-018176-9ดูหัวข้อ 87
• มิสเนอร์, ชาร์ลส์ ดับเบิลยู. ; ธอร์น, คิป ; วีลเลอร์, จอห์น อาร์ชิบัลด์ (1973), แรงโน้มถ่วง , ดับเบิลยูเอช ฟรีแมน, ISBN 978-0-7167-0344-0
• Ortín, Tomás (2004), Gravity and strings , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ , ISBN 978-0-521-82475-0โปรดสังเกตหน้า 7 และ 10 เป็นพิเศษ
• Volkov, Yu.A. (2001) [1994], "เส้นจีโอเดสิก" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , สำนักพิมพ์ EMS.
• ไวน์เบิร์ก, สตีเวน (1972), แรงโน้มถ่วงและจักรวาลวิทยา: หลักการและการประยุกต์ใช้ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป , นิวยอร์ก: จอห์น ไวลีย์ แอนด์ ซันส์ , รหัสบรรณานุกรม : 1972gcpa.book.....W , ISBN 978-0-471-92567-5ดู บท ที่3

Wikiquote มีคำคมที่เกี่ยวข้องกับ เส้นโค้ง ทางภูมิศาสตร์ (Geodesic )

• ทบทวนเส้นทางจีโอเดสิก — บทนำเกี่ยวกับเส้นทางจีโอเดสิก รวมถึงสองวิธีในการหาอนุพันธ์ของสมการเส้นทางจีโอเดสิก พร้อมการประยุกต์ใช้ในเรขาคณิต (เส้นทางจีโอเดสิกบนทรงกลมและบนทรงโดนัท ) กลศาสตร์ ( เส้นทางแบรคิสโตโครน ) และทัศนศาสตร์ (ลำแสงในตัวกลางที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน)
• ซับ แมนิโฟลด์แบบจีโอเดสิกโดยสมบูรณ์เก็บ ถาวร เมื่อ 10 สิงหาคม 2015 ที่Wayback Machineใน Manifold Atlas